2020高考数学专题08数列(解析版)

1、专题08 数列1.【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4 0, a5 5,则2A. an2n 5B.an3n 1022n 8nD.Sn2nS4 4al由题知，41a5 a1d 424d 5解得a1 d【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前2.an 2n 5, Sn n 4n,故选 a.n项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前 n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断.2.【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a53a3 4a1,则a3A. 16B.

2、8C. 4D. 2【解析】设正数的等比数列 an的公比为q,则2a aq aq3aq 15a1q4 3aq2 4al解得a12 ,a3 ad 4 ,故选 C.【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键3.【2019年高考浙江卷】设 abCR,数列an满足 a1=a, an+1 = an2+b, n N ,则B.当b1 ,a10410C.当b2, aw 10D.当 b4,a10 10【解析】当b=0时，取a=0,则an0, n N当b<0时，令xx2 b ,即 x2则该方程1 4b0,即必存在Xo ，2使得X0X0b 0,则一定存在ai=a=Xo,使得an 12

3、anban对任意n N成立,解方程a21 Ji 4bW 11 4b 当10时,290时,总存在1 4b,使得ai a2a1010 ，故C、D两项均不正确.当b 0时，a22a1则a3a2 bb2b,a42a3bb2 b2 时，a4则a61142,a722a883410则a9a102a9121210,10故A项正确.(ii)当1 一时,4a1=a=0,所以a4所以a101716a?14，a324故B项不正确.故本题正确答案为 A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进rH少讨论a的可能取值，利用 排除法”求解.4.【2019年高考全国I卷理数】、

4、一 41记Sn为等比数列an的刖n项和.右为 一3a6,则 S5二121【答案】3【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1121 3 213,a4a6,所以伊-q5,又q 0,所以q 3,所以cS5ai(15q )；(1 35) 31 39【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及骞的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误.八一 ，、 S SS105.【2019年局考全国III卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和，4金0, a2 3al，则三0S5【解析】设等差数列an的公差为d,因 a? 3a1，所以 a1 d 3a1，即 2a1 d所以S0S510a5al10

5、9, d22100a125a14.【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算.渗透了数学运算素养.使用转化思想得出答案.6.【2019年高考北京卷理数】设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a2=-3 , S5=-10 ,则 a5=，Sn的最小值为【答案】0,10.【解析】等差数列an中，S55a310 ,得 a32,又 a23 ,所以公差 d a3 a2 1由等差数列an的性质得n5时，ana5 a3 2d 0,0,n 6时，为大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为10.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式？求和公式？等差数列的性质，难度不大，注重重要知识？基础知识？基本

6、运算能力的考查7.【2019年高考江苏卷】已知数列%(n N)是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5 a8 0£ 27则S8的值是.【答案】16a2a5 a8 al d & 4d & 7d 0【解析】由题意可得：9 8，S9 9al 1 d 27ai5 一8 7解得：，则 S8 8al d 40 28 2 16.d 212【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建 a1, d的方程组.8.【2019年高考全国II卷理数】已知数列an和bn满足a

7、1=1,b1=0, 4an 1 3an a 4,4bn 1 3bn an 4. 证明：an+bn是等比数列，an廿是等差数列；(II)求an和bn的通项公式.c 11,11【答案】(I)见解析；(2)ann bnn .2n 22n 2一一 一 ,、，,、.1 .、【解析】(1)由题设得4(an 1 bn 1)2(an bn),即 an1 bn1 -(anbn).一 i,1一又因为a1+b1=l,所以 an bn是首项为1,公比为一的等比数列.2由题设得 4(an1bn1)4(%bn)8,即 41bn 14bn2.又因为a1)1=l,所以an bn是首项为1,公差为2的等差数列. .1.C ，(

8、2)由(1)知，anbnF,anbn2n 1.所以an1112(an bn) (an bn) 2 0 2 ,111bn 2(an bn) (an bn)T n -9.【2019年高考北京卷理数】已知数列an,从中选取第il项、第i2项、第im项（il<i2<-<im）,若ail ai2a% ,则称新数列a, a2， ， aim为而的长度为m的递增子列.规定：数列函的任意一项都是an的长度为1的递增子列.（I）写出数列1,8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；（n ）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为am。，长度为q的递增子列的末项的最小值为

9、an0 .若 p<q,求证：am0<an0 ；（出）设无穷数列an的各项均为正整数， 且任意两项均不相等. 若an的长度为s的递增子列末项的最 小值为2sT,且长度为s末项为2sT的递增子列恰有2s-1个（s=1, 2,），求数列an的通项公式.【答案】（I ） 1,3,5,6 （答案不唯一）；（I加解析；（I见解析.【解析】（I）1,3, 5, 6.（答案不唯一）（n ）设长度为q末项为an0的一个递增子列为ar1 , ar2 ,L , arq 1 , an0 .由 p<q,得 ar aran .rprq 1n0因为an的长度为p的递增子列末项的最小值为am,又ar1,ar

10、2,L ,arp是an的长度为p的递增子列，所以 am0 arp .所以 am。 an。（in）由题设知，所有正奇数都是an中的项.先证明：若2m是an中的项，则2m必排在2m-1之前（m为正整数）.假设2 m排在2m- 1之后.设ap1,ap2,L ,apm1,2m 1是数列 an 的长度为m末项为2m-1的递增子列，则ap1,ap2,L ,apm1,2m 1,2m是数列an的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是an中的项.假设存在正偶数不是 an中的项，设不在 an中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k-1之前(k=1, 2,，m-1),所以2k和2k 1

11、不可能在 an的同一个递增子列中.又an中不超过2m+1的数为1, 2,，2m- 2, 2m- 1, 2m+1 ,所以 an的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为2 442 &432 1 1 2m 1(m 1)个2m.与已知矛盾.最后证明：2m排在2m-3之后(m>为整数).假设存在2m (m>2),使得2m排在2m-3之前,则an的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列 an只可能为21,4,3,，2m- 32m, 2m-1,经验证，数列2, 1, 4, 3,2m- 3, 2m, 2m-1符合条件.所以an nn1,n为奇

12、数,1,n为偶数.【名师点睛】新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说新题”不一定是 雉题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.10.【2019年高考天津卷理数】设an是等差数列,bn是等比数列.已知仇4,bi 6,b22a2 2,b3 2a3 4.(I)求an和bn的通项公式;(n)设数列cn满足G1,cn1, 2bk,nn2k,Qk 1，其中k N*.(i)求数列a2nC2n1的通项公式;(ii)求2naqi

13、 1(I) an3n 1;bn3 2n(I)a2nnC2n19 41 (ii)2naq27 22n 1 5 2n1 n 12i 110,6q 6 2d,.【解析】（i）设等差数列 an的公差为d ,等比数列bn的公比为q .依题意得2解6q2 12 4d,19得d 3, q 2,故an 4 (n1) 3 3n 1,bn所以,an的通项公式为an 3n 1,bn的通项公式为bn2n(n)(i)a2na2n bn 12n所以,数列a2nC2n1的通项公式为a2nC2n9 4n(ii)2naiGi 12naii 1ai Ci2n1ai2n4i 12n 13 25 2n 14 1 4n27 22n 1

14、5 2n 1n项和公式等基础知识.考查化“M 数列”【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.11.【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为（1）已知等比数列an（nN ）满足：a2a4a5,a3 4a2 4a1 0 ,求证：数列an为 “m数列”;(2)已知数列bn(n N）满足：b22,其中Sn为数列bn的前n项和. bn bn 1求数列bn的通项公式;设m为正整数，若存在“M数列”Cn (nN ）,对任意正整数 k,当k新时，都有Ck蒯bk Ck 1成立，求m的最大值.【答案】（1）见解析；（2） b

15、n=n n【解析】解：（1）设等比数列an的公比为q,所以 a1 WQ qw 0.a2 a4 a5a3 4a2 4 al052 4aq2aq4aq4alq 4al因此数列an为“ MH数列”(2)因为 Snbnbn 1，所以bn0 .由bi1,Sibi,21，则b22.b2由Snbn2bn 1bnbn2(bn 11bn)，2时,由bnc cu1Sn Si 得 bn2bn1bnbn ibn2 bnbn 1 '整理得bn 1bn 12bn.所以数列 bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n n N由知，bk=k, k n .因为数列cn为“M数列”，设公比为q,

16、所以C1=1, q>0. k 1k因为 ck<bk<Ck+1,所以 q k q ,其中 k=1, 2, 3,，m.当k=1时，有ql；当 k=2, 3,In k .，m时，有In qkIn kk 1In x1设f (x) =(x 1),则 f '(x) -xIn x2 x令f'(x) 0,得x=e.列表如下:x(1.e)e(e, +o0)f'(x)+0一f (x)极大值d因为2In8In9In 3In3 二7,所以 f(k)max f(3) 6633仃 3 一In kk取 q 遮，当 k=1, 2, 3, 4, 5时，一,lnq,即 k q ,k经检验

17、知qk也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m>q分别取k=3, 6,得3对3,且q5w。从而q15>243且q15w216所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5.【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.12.【2019年高考浙江卷】设等差数列 an的前n项和为Sn, a3 4 , a4 S3,数列bn满足：对每个n N ,Sn bn,Sn 1 bn,Sn2 bn 成等比数列.（I）求数列an, bn的通项公式;(II)记 cnN ,证明：c1 c2 + Lcn

18、 2s/n, n N .【答案】（I） an 2 n 1 , bn n n 1 ；（II）证明见解析【解析】（I）设数列an的公差为d,由题意得a1 2d 4, a1 3d 3al 3d ,解得 a1 0, d 2 .*从而 an2n 2, n N .所以 Snn2 n, n N* ,由Sn bn,Sn 1 4,0 2 bn成等比数列得Sn12 bnSnbnSn 2 bn解得 bn1 Sn 1 SnSn 2d所以 bnn2 n, n N（II）G2n2一2n(n 1)n(n 1)我们用数学归纳法证明. 当n=1时，ci=0<2,不等式成立；（ii）假设n k k N*时不等式成立，即g

19、C2 L Ck 2乐.2、,k2Vk1 .即当n k 1时不等式也成立.根据（i）和（ii）,不等式dc2Lcn 2x/n对任意n N成立.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算 求解能力和综合应用能力.13 .【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列an中，a3, a9是方程x2 24x 12 0的两根，则数列an的前11项和等于A. 66B. 132C.66D.32【答案】D【解析】因为a3, a9是方程x2 24x 12 0的两根，所以 a3 a924 ,又 a3 a924 2a6 ,所以 a612 ,c11 （a

20、 an） 11 2 a6. _ _S11 一（-1一112 6132,故选 D.22【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题14 .【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】 定义在0,+8）上的函数？?？满足：当0 W?< 2时，？?？ 二2? ?;当？? 2时，？?？= 3? 2） .记函数？的极大值点从小到大依次记为?,?,? ,?,并记相应的极大值为 ?,?,? ,?,?,则？?？+ ?+ ? + ?0?0的值为A . 19 X 320 + 1C. 20 X319 + 1B. 19 X 319 + 1D. 20 X 320 + 1【解析】

21、由题意当0W?<2时，f(x) 2x x2(x 1)2 1,极大值点为1,极大值为1,当？? 2时，f (x) 3f x 2 .则极大值点形成首项为 1公差为2的等差数列，极大值形成首项为1公比为3的等比数列，故？?= 2?- 1 .,?= 3?-1 ,故？?= (2?- 1)3?-1 ,设 S=?+ ?+ ? + ?0?20 = 1 ?1 + 3 ?31 + 5 ?32 + ? + 39 ?319,3s=1 ?31 + 3?32 + ? + 39 ?320 ,两式相减得-2S=1 + 2(31 +32+? + 319)-320 = 1 + 2 X 3(13二-39 ? 320 = -2

22、 - 38 ?320 1-3S=19 X 320 + 1,故选：A.【名师点睛】本题考查数列与函数综合，错位相减求和，确定？?及？?罚通项公式是关键，考查计算能力，是中档题.anan 1nan an 115 .【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列?中，？= 2,且1、.2(n 2),则数列；?不前2019项和为(' ?1)4039D . 20204036201940372019B , 10100，2019【答案】B?【解析】：？?+ ?-1 = ?,?,_ + 2 (?> 2),an 12 2 anan 1n,整理得：(？?- 1)2 - (?-1 - 1)2

23、= ?(？?- 1)2 - (?- 1)2 = ?+ (? 1) + ? ? + 2,又？ = 2,(?-1)2?S?+1)2，可得:1. . . .11则数列许2刖2019项和为：2(1 -2+3+ ? +1201912020 ) = 2 (11_ 20192020 ) = 10101_2_11(?-1)2 =?+1)=( ?-?+1n 2log 2a2n，则数列 1bn的前10项和为Sn1 3,Sn1 Sn，(n 2)2an，票加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、 与计算能力，属于中档题.16 .【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题

24、】九章算术第三章 衰分”介绍比例分配问题：衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为 衰分比”.如：甲、乙、丙、丁 “哀”得 100,60, 36,21.6个单位，递减的比例为40%,今共有粮m(m 0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行衰分”已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则 衰分比”与m的值分别为A. 20% 369B. 80% 369C. 40% 360D. 60% 365【答案】A【解析】设 衰分比”为a,甲衰分得b石， 2_b(1 a) 80 3 由题意得 b(1 a) b(1 a)3 164,b 80 164 m解得 b 125, a 20%,m 36

25、9.故选A.【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.17 .【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列an的前n项和为Sn,已知a1 1,a2 2且 an 2 2 Sn Sn 1 3 ,记 bn log 2a2n 1【答案】200【解析】a1 1, a2 2 ,且 an 2 2Sn . a3 2 3 3 2 , an 2 2Sn Sn1 3,n2 时，am2Sm&3,两式相减可得，an2 an1 2 0 Sn 1即 n2 时，an 2an 12anan1 即 an2，数列an的奇数项和偶数项分别成等比数列

26、，公比均为2,n 1 nn 1 n 1a2n2 22 , a2n i 1 22 bn log 2 a2n1 log2 a2n n 1 n 2n 1 , nn2n 2则数列 1bn212n 1 ,则 1 bn的前10项和为2 .22222S 3175 L 19172 4 12 20 28 36200.故答案为200.【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题18.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在数列 an中,a11, an 1 2019an1,、EC N*)'则.19的值为 一

27、一一1 ，一【解析】因为an 1 an ,(n N )n(n 1)111所以 an 1 an-一 -,n(n 1) n n 1a2 a1 1 1,21 1a3 a2 一 一，2 311a2019 a20182018 2019各式相加，可得a2019a1a201920192019 '所以，a20191 ,故答案为1.【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解19.12

28、019北京市通州区三模数学试题】设an是等比数列，且a2“a5,a427 ,则an的通项公式为.【答案】an 3n 1, n N .【解析】设等比数列an的公比为q ,因为 a2a4 a5, a4 27 ,2a5 23 一一a.27所以a4a?qqq 27,解得q 3,所以S11 ,a4q 27因此，an 3n 1, n N .故答案为an 3n 1, n N .【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.20.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn .若&b,

29、3,a4b?, S4T212.（I）求数列 an与bn的通项公式;（II）求数列an bn的前n项和.【答案】（I） an2n 1h3n；(|)n(n2)3 3n 128【解析】（I）由4 b1, a4 b2,则 S4T2(aa2a。 (n b2) a2 a312 ,设等差数列an的公差为d ,则a2 a3 2为3d6 3d 12 ,所以 d 2.所以 an 3 2(n 1) 2n 1.设等比数列bn的公比为q ,由题b2a49 ,即b?Dq 3q 9 ,所以q 3.所以bn3n ；(II) an bn (2n 1) 3n,所以&bn的前n项和为(a1a2 Lan)(。b2Lbn)(3 5 L 2n 1) (3 32 L 3n)(3 2n 1)n 3(1 3n)n(n2) 3(3n 1)/2n项和公式即可，属于常考题型21 .【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列an的公差是1,且a1，a3,a9【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前成等比数列.(I)求数列an