数学思维方法

1、.第一章数学思想方法概述1数学思维 方法将思维、数学思维、数学发展中的发现、发明、创新的思维过程作为自己的研究对象。2思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。3思维的特征： 方向性，概括性、间接性4数学思想方法的两个源头：欧几里得几何原本 和古代中国 九章算术5数学思想方法的发展概述：从算术到代数是数学思想方法的一次重大发展。从综合几何到代数几何是数学思想的一次质的飞跃。从常量数学到变量数学是数学思想方法的一次根本变革。从必然数学到或然数学是数学思想方法的一次深刻变革。从明晰数学到模糊数学是数学思想方法的一次辩证演变6数学思维： 人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特

2、殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程。7数学思维简单地分为：具体实践问题的数学化思维，具体数学问题的解题思维8数学思维的特征： 高度抽象性，形式化的严谨性，表现方式的多样性9数学思维方法是由数学的符号、概念、语言，按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。10数学思维方法分类 :. 按照使用范围不同：宏观数学方法, 微观数学方法 按照逻辑形式不同：逻辑思维方法，非逻辑思维方法 按照解决问题的方式不同： 程式化思维方法

3、， 发现性思维方法 （带有个人特性，主观色彩，独立特性） 按照阶段或数学分支领域的不同，可以分为不同的带有专业特征的思维方法11数学思维方法的研究和发展与以下三个方面相联系 数学思维方法研究紧紧跟随和运用数学方法论的内容 数学思维方法的教学，不仅强调数学方法具有的方法论的意义，还强调说明在这些数学方法中，数学思维活动的积极意义 数学思维方法的教育内容，更应该与非逻辑思维、创造性思维相联系12数学思维方法的层次性：哲学，一般方法论，数学某分支，初等数学13在现代数学教育中，数学思维的教学有三方面的意义： 数学思维的教学可以培养人对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。 数学思维的教学可以使人们

4、在处理问题是迅速抓住事物本质，从而找到解决问题的方法。 数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应变能力。14在中小学教育中，要通过“数学常识”和“数学思维能力”的组合来培养“数学智力”15中小学的数学素养：懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学的思维方法。16从数学教育的角度分析有关数学思维方法的学习，我们应该明确一下三个方面的问题：. 数学思维方法的学习，是对一个数学专业的学习者、数学专业未来教师应有数学能力、专业素质的培养 数学思维方法是一个刚刚开始研究的领域，因此我们的学习过程也是一个参与研究和讨论的过程 数学思维

5、方法可以使人了解数学理论发展变化中的数学家思维方式的变化，也是对大学数学专业学习的一个反思过程。第二章数学中几种重要的思维方法1算术的发展演变、 符号的诞生以及算术向代数的发展表现了数学思维方式中数量形式和内容之间关系的变化与发展。2算术的 主要内容 是有关自然数、分数和小数的性质 及相关的 四则运算 。3数量符号脱离了事物原有属性，是一种抽象化、数理化的符号。4算术解题的思维方式的 关键，是把已知的数量符号运用加、减、乘、除连接起来，简历其解决问题的数学算式。5代数解决问题的思维方式中最关键的思想 是，把未知量作为一个同已知量有相同意义的数量符号同已知量一起组成关系式，并按等量关系由符号相连

6、列出方程，然后通过方程的恒等变换或同解变换等求出未知量的数值。6数学具有 高度抽象性 ，这种抽象性以 形式化为特点。7对于中小学的数学教育， 算术向代数发展的数学思维方式的演变可以给我们提供两种启示：. 数学的形式与内容中，当我们认识到数学是一种形式的时候，更应注意这种数学形式多反映的内容。 数学的形式都与具体内容相关，尤其是算术与代数的学习，更应注重内容与形式的结合。8在数学的思维中， 最先作为思维语言符号的就是 数量与几何图形 ，数学的发展也是以数与形作为两个最基本的研究对象9空间思维转变的意义： 古希腊的思维方式，有一个从毕达哥拉斯“万物皆数”的数量思维观念向柏拉图的“世界是由几何图形构

7、造”的空间思维观念的转变过程 人们的空间思维由静态转向动态发展 空间思维与数量思维的结合，使原来空间图形具有的明显直观性和经验性的特征开始转变，拓广了人们原有的欧几里得式的空间思维 使代数的一些内容具有了直观的图形意义，更为重要的是使人民对代数形式所表现的结果有了一种形象直观模型的思维追求。10变量数学的发展是由解析几何提供直观前提，并且由无穷小量计算方法微积分的创立而最终完成的。11变量数学的研究问题大体可以分为四类： 描述非匀速运动物体的轨迹 求曲线在某一点的切线 求变量（函数）的极值 计算曲线长度、曲变形面积，曲面体体积、物体的重心及大质量物体间的引力等。12变量数学思维的意义：. 变量

8、数学的确立，使人们对世界的思考由静止物体的数学思维发展到对运动物体的数学思维 变量数学的发展，对数学自身的成长起到了重要的推进作用 无限的观念、无限的数学思维在微积分中的出现，使人类认识世界的能力有了提高13三大数学危机： 无理数的出现 无穷小的运算、论证与表述所产生的如何认识无限的问题（芝诺悖论） 与康托集合论相关的无限问题（罗素悖论、理发师悖论）14三大基础学派：形式主义、逻辑主义、直觉主义15必然性研究的数学：人们知道某事物开始的原因后就可以明确地预知它的结果或然性研究的数学：不能确定某些现象是否会出现16概率论发展的最重要的思想是如何认识在随机现象之后的统计规律性17概率论提供的数学思

9、维方式的意义随着随机现象的研究，推动了原有的必然性数学理论的发展，对随机现象的数学描述，使人们对世界发展变化的客观规律有了深入的理解18数学明确化的理论基础是集合理论，它把数学对象的确定性、差异性准确无误地表述出来，数学各种分支都以集合论作为理论的基础。19对于数学的教育而言，模糊数学的创立对我们的数学教育活动有两个方面的积极作用使人们认识到数学作为人类的理性创造是无止境的，模糊数学的思想与方法为我们进行探究性学习、参与学习提供了新的案例。20中国古代数学基本上遵循了一条从生产实践中提炼出数学问题，经过分析综.合，形成概念与方法，并上升到理论阶段。21古代数学思维对现代教育的意义： 唯理性的追

10、求数学的形式、结构的方式不是数学的唯一发展方式 直观性、实用性是初等数学的重要特性 筹算运演工具性特征的启示第三章数学思维中的逻辑思维与非逻辑思维1逻辑思维的 主要类型：形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑形式逻辑 的主要思维形式规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由论主要思维方法：比较与分类，分析与综合，归纳与演绎2逻辑思维的 基本规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由论同一律的要求：在同一思维过程中，使用概念的内容必须保持同一，不能任意改变；对正确思维的要求是必须保持判断的同一性。充足理由论的要求：理由必须真实，理由与推断之间要有逻辑联系3数学逻辑思维的 基本形式：数学概念、数学判断、数学推理数学

11、概念是数学思维 最基本的形式，它是对客观事物的数量关系、 空间形态或结构关系的特征的概括数学概念的相容关系有：同一关系、从属关系、交叉关系数学概念的不相容关系有： 、对立关系、矛盾关系数学判断的表现形式：公理、定理.数学思维的形式。其 最终表现形式是形成逻辑形态的命题最常用的数学推理包括：归纳推理、演绎推理归纳推理分为：完全归纳推理、不完全归纳推理不完全归纳推理分为：枚举归纳、因果关系归纳演绎推理是由 一般到特殊 的思维方法4非逻辑思维包括：形象思维、直觉思维、灵感思维、想象思维形象思维是以 直观形象和表象 来思考问题的思维， 它不是以 概念为单元 来进行思维，而是以直观形象来进行思维。直觉思

12、维的特征：非逻辑性、直接性、模糊性直觉思维的作用：选择作用、创新作用灵感思维的特征：长期思维后的突发性（偶然性、下意识性），模糊性与突逝性数学想象的特征：形象性、概括性、直觉性、整体性5创造性思维的特点： 创见性、新颖性是创造性思维的主要标志 发散思维与收敛思维相结合是创造性思维的基本图式 积极地创造性想象与现实统一是创造思维的重要环节 专注于灵感是创造性思维的重要特点6激发创造性思维的发生， 培养和鼓励学生创造性思维， 我们应该注意四个方面： 在培养创造性因素方面，教师要设法引起学生的数学兴趣，并且积极地提出问题来参与数学的教学活动 在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动地掌握

13、数学的知识和方法. 在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式，因此应当格外注重非逻辑思维的培养 在具体创新思维方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运用的方法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用它们，使之与数学某些具体的问题相结合。第四章数学的解题及发现的方法1观察与实验在数学中的意义：要求学生在数学教育、数学学习中，学会、掌握并运用观察和实验的能力，实际上就是要在中小学的数学教学中，培养学生数学学习的个体经验、运用数学解决问题的能力和对数学的兴趣及信心；更为重要的是通过学生自己的观察与实验，得到对数学概念、数学运算、数学理论的个体体验和个体理解。2观察与实验在

14、数学中的运用：其一是解决和验证数学理论，其二是解决具体的数学问题3数学解题的目标是： 通过解题加深对知识的理解，尤其是加深对基本概念、公式和理论的理解，使抽象的数学知识具体化 学会在解题中运用数学知识，增强自己解决实际问题的能力，尤其是把数学知识运用到具体问题的能力 掌握数学思维方式，培养自己数学创造性思维的能力.4数学解题的一般程序：弄清楚问题，分析和制定解题步骤，完成解题计划并检验，解题后的研究5数学解题的一般思路：调动知识储备把它们组织起来，按解题要求把知识重新组合6合情推理：一种合乎情理的推理合情推理强调了一种思维的主动性、情感性和试错性7合情推理中最常用的是类比推理和归纳推理。类比推

15、理是根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）相同或相似，推导出或猜测出它们在其他方面可能具有相同或相似的思维形式。它的思维进程是特殊到特殊的推理方式。归纳推理：合情推理中的归纳推理指不完全归纳推理，是 从个别到一般 ，从经验事实或实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的方法。8波利亚在论及类比合情推理的作用时，认为它可以在三个方面发挥作用： 可以提出新问题和获得新发现 可以在求解问题中得到应用 可以用来对猜测进行检验9经验归纳法的作用一般可以分为：发现、猜测问题的答案；发现、猜测解题的方法10数学猜想：人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出一些猜测性的推断

16、11数学猜想的特征：待定性（可研究性），创新型12数学猜想一般表现：提出新问题，预见新事物，揭示新规律，创造新方法等13对于中小学数学教育而言，数学猜想的意义：运用数学知识、方法，鼓励学.生积极参与数学活动、增强对数学的理解和学会自己动手解决具体问题第五章数学的公理化方法1数学的公理化方法是第一次完整地表现在几何原本中的数学方法2公理化方法：也称为公理方法，就是从尽可能少的无定义的概念（基本概念）去定义其他的一切概念，从一组不证自明的命题（基本公理或公社）出发，经过逻辑推理证明其他的一切命题，进而把一种学科的知识建构成为演绎系统的一种方法。3由原始概念（基本概念） 、公理所构成的演绎系统成为公

17、理系统（公理体系）；公理化方法是构成公理系统的方法，公理系统是由公理化方法得到的数学理论体系。4基本概念： 不加定义的概念。（具有必要性、独立性、完备性）定义概念： 也称为派生概念、导出概念，指由初始概念定义的概念原始命题或公理： 不证明的命题定理：经过公理推演出来的命题5亚里士多德提出了历史上第一个成文的三段论式的演绎方式的公理化方法。第一次把公理化方法系统用于数学中的是古希腊的欧几里得，他把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学1899 年希尔伯特的几何基础问世，这是公理化方法在近代发展的代表作，它把欧几里得几何原本为代表的公理化方法建成了一个完备的、形式化的公理体系。.6欧几里得列出五个公设

18、和五个公理，公理是适用于一切科学的真理，而公设则只用于几何。欧几里得几何原本中以直观几何背景为基础构成的体系，它代表的是“实质性公理体系”（也称实体性公理体系） ，这种公理化方法也称为实质性公理化方法。欧几里得从上述的五个公设和五个公理出发，推出了465 个命题。五个公设为： 由任意一点到任意一点可作直线 一条有限直线可以继续延长 以任意点为中心及任意的距离为半径可以画圆 凡直角都相等 同平面内一条直线和另外两直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交五个公理为： 跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的 等量加等量，总量仍相等 等量减等量，余量仍相

19、等 彼此重合的东西是相等的 整体大于部分7罗巴切夫斯基引入了一个与第五公设完全相反的公设：过平面上一个已知直线外一点至少可以引出两条直线与已知直线平行。8罗巴切夫斯基的新几何锐角假设的双曲式几何黎曼钝角假设的椭圆式几何.从而非欧几何被人们所承认9非欧几何对公理化方法的发展产生了重大的影响： 人们可以采取一个与之相反的公理并发展成为另一个新的公理体系 为公理化的推广和建立新的理论提供了已经，大大提高了公理化方法在数学中的地位 非欧几何的建立标志着从实质性公理化方法向形式化公理化方法的过渡10几何基础的问世意味着公理化方法进入到了形式化的阶段。几何基础称为形式化公理体系，构成几何基础的公理化方法称

20、为形式化公理化方法。11对于公理的选择的基本要求：协调性（相容性或无矛盾性）、独立性、完备性协调性：一个理论体系中无矛盾独立性：不允许有一条公理能用其他公理推导出来完备性：在一个公理系统中要有确保能推导出所论述的全部命题的公理12公理化方法最重要的作用在于运用逻辑推理的方法。13布尔巴基学派认为数学是由三种基本结构构成：代数结构、序结构、拓扑结构代数结构：一个集合的代数运算体系。即一个集合上规定了一种运算，并且能够使两个元素按照运算得到另外一个元素。序结构：集合中的某些元素之间有了先后的排序关系拓扑结构：领域、连续、极限、连通性、维数等构成一般拓扑学的研究对象14中学教材中的公理系统平面几何公

21、理： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 在所有连接两点的连线中，线段最短 平行公理：经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和该直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 矩形的面积等于它的长a 和宽 b 的积立体几何公理： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 平行于同一条直线的两条直线互相平行 长方体的

22、体积等于它的长、宽、高的积 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等第六章数学模型方法1模型方法一般分为：实物模型，思想模型2模型方法具有可重复性、可操作性，能动地反映了客观事物的相互关系，促进了模拟、类比方法的现代化.3数学建构：使用数学概念、数学符号、数学语言等表述出来的被研究对象的纯关系结构4数学模型的解释广义：数学中的各种基本概念都是数学模型， 因为它们都是在各自相应的原型实体中抽象的数学模型狭义：将具体属性抽象出来构成一种特定的数学关系结构， 只有那些反映特定问题或待定事物系统的数学结构才叫做数学模型5

23、数学模型方法：利用构造具体问题的数学模型来解决实践中遇到的问题6数学模型的分类 按来源分：理论模型、经验模型 按研究领域分：经济模型、人口模型、生态模型、交通模型等 按使用的数学工具分：函数模型、方程模型、三角模型、几何模型、概率模型等 按涉及的变量状况分：离散模型、连续模型 按功能分： 描述性模型、解释性模型7描述性模型： 从特殊到一般， 即从分析具体的客观事物及状态中，经过数学语言（概念、符号与公式等）的描述，得到一个数学模型。最具代表性的是“格尼斯堡七桥问题”“七桥问题”结论：如果每点引出的线都是偶数条则可以一笔画出，如果出现两个奇数点也可以一笔画，但是如果出现两个以上的点引出的线是奇数

24、条那就不可能一笔画。8描述性数学模型分类：确定性数学模型（如代数方程、微分方程、函数方程、积分方程）.随机性数学模型（如概率论、数理统计等；布丰的投针实验）模糊数学模型（采用模糊数学的方法）9解释性数学模型： 由一般到特殊， 即从一般的公理化系统出发，运用数学的某种结构形式对公理系统给出某种结束的一种数学模型方法。如庞加莱给出的一个非欧几何的数学模型10数学模型的构造：指对现实世界中的原型进行具体地数学建构的过程11数学模型建构的步骤： 掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式 确定所研究原型的本质属性，从而抓住问题的实质 建立数学模型 对数学模型进行运演和检验12对中小学数学模型方法的教学的注

25、意事项： 通过对数学模型的构造能够深入地认识和理解数学的本质特征 运用数学模型的直观、形象作用，强化学生的数学感受能力 引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题第七章化归法1“化归”就可理解为 转化、归结 的意思。数学中的化归法是指把待解决的问题归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，从而求得原问题解决的一种方法，化归法有时也称为化归原则。.化归法的核心思想是指对问题的转换化归法的特征是转换、转化2熟化：向自己熟知、熟练的问题上转化3外部的化归法：其一是把一个实践问题化为数学问题（建立数学模型过程），其二是解决数学问题的求解问题4变形法包括：等价变形，恒等变形，同解变形，参数变形5

26、在中小学数学中等价变换大体有如下两个方面：在数的方面有等值变换，同余变换，同解变换等在形的方面有合同变换，相似变换，等积变换等6恒等变形包括：多项式的恒等变形，分式的恒等变形，有理式的恒等变形，对数式的恒等变形，三角式的恒等变形等7同解变形：在等价转化思想的指导下，通过等价的变换，使原来的等式与变形的等式有相同的解8关系映射反演方法，也称关系映射反演原则，或简称RMI方法9RMI方法是通过映射，定映，反演三个主要步骤来解决问题的第八章逐次渐进方法1逐次渐进方法的分类：一类是对数学问题解法的逐次渐进方法，另一类是对数学问题本身的逐次渐进方法所谓数学问题解法的逐次渐进方法，是指对数学问题先给出一个

27、可行的或近似.的初始解，然后以这个初始解为基础，按一定的程序给出一个解的序列，这个解序列的极限就是该问题的最后解。所谓数学问题本身的逐次渐进方法，是指我们在研究数学问题时，从较大的范围开始逐步缩小问题的范围，通过对这些缩小范围的数学问题的解决，并且通过对解决问题方法的分析、综合等获得对原来问题解决的一种方法。2逐次渐进方法的应用：逐次试验、选择方法；逐步逼近与无限逼近的方法；递推法；递归法递归法：把未知对象排成一个序列，并先求得第一个未知对象的结果，然后利用已经获得的第一个未知对象的结果，求得第二个未知对象。3类比猜想：依据两类对象之间存在的某些相同或相似的特征、属性、形式，猜测它们可能存在其

28、他方面相似的特征、属性或形式的一种思维方式第九章数学中常用的几种方法1分析法： 执果索因2综合法： 由因导果3形式化·数学形式化的教学和解决问题时应该注意两点： 强调内在规律、规则的限制 具体问题的数学形式化解决答案要符合实践要求·中小学的数学是处于与实践问题密切联系的特殊的形式化阶段. 中小学数学也是数学的形式，因此它必然是形式化的表现形式 由于特定的年龄段学习心理的局限以及中小学数学教学目标的要求，数学的形式化都隐其后，而以现实、生动的数学问题来表现数学的形式化·数学中常见的形式化的问题有：数量及关系的形式化（用字母、符号表示数量及关系）、概念定义形式化（用符

29、号表示数学概念）、命题及证明形式化（如数理逻辑语言符号）等·数学的形式化发展，经历公理化方法的阶段：实质公理化，形式公理化，元数学的建立·元数学的目标要论证数学的无矛盾性以及理论构成的严谨、完美4演绎法 ：从一般原理推出个别结论。由大前提、小前提、结论组成的三段论式的论证推理。·演绎法的注意事项 掌握演绎法运用的形式化特点 必须严格遵守其形式化的规则，必须清楚每一步推理、每一步运算的前提依据是什么 应用形式化的演绎方法时，应当注意前提条件的内涵5构造法·数学是数学符号的表达式·构造法：也称构造性方法，指数学中的概念和方法，按固定的方式经过有限个

30、步骤能够定义的概念和能够实现的方法。·构造法的特征：对所讨论的对象能有较为直观的描述；不仅能判明某种数学结论的存在，而且能够实现运演操作并求出具体的表达效果6反例法.·反例法：建立在数学证实的理论与逻辑推理基础上的并且具有一定否定作用的例子·反例法的作用 有助于发现原有数学理论的局限性，从而推动数学的迅速发展 有助于澄清数学概念和理论，从而使人们深入理解数学的内涵 有助于数学的学习，提高数学学习的兴趣和研究、构造数学的能力·构造反例的方法：特例选择，性质分析，类比构造等7数学命题的基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断第十章数学建模、数学实验中的数学思维方法1数学模型化方法： 通过抽象、概括和一般化，把所研究的对象或问题转化为数学或数学结构，即转化为本质统一的另一对象或问题加以解决的思维方法。2数学模型化方法的作用：对所研究的对象处理的典型化、形式化和精确化，从而在认知方法上也起到了清晰化和简洁化的作用。3最早的数学建模专著： 九章算术4数学建模： 通过对实际问题的抽象和简化，确定变量和参数，并根据某些变化规律建立起的变量与参数间的具有确定关系的数学问题或数学结