2019年高考数学一轮复习：二项式定理

1、2019年高考数学一轮复习：二项式定理二项式定理1二项式定理(ab)n_(nN*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理(ab)n的二项展开式共有_项，其中各项的系数_(k0，1，2，n)叫做二项式系数，式中的_叫做二项展开式的通项，用Tk1表示，即_通项为展开式的第_项2二项式系数的性质(1)对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC，CC，CC，_，CC.(2)增减性与最大值二项式系数C，当_时，二项式系数是递增的；当_时，二项式系数是递减的当n是偶数时，中间的一项_取得最大值当n是奇数时，中间的两项_和_相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数的和(ab)n的展

2、开式的各个二项式系数的和等于_，即CCCCC_.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC_.自查自纠1CanCan1bCankbkCbnn1CCankbkTk1Cankbkk12(1)CC(2)kkCnCn Cn(3)2n2n2n1 (2016·四川)设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A15x4 B15x4 C20ix4 D20ix4解：由题可知，含x4的项为Cx4i215x4.故选A. (2017·全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为()A15 B20 C30 D35解：(1x)6展开式的通项Tr1Cxr，所以(

3、1x)6的展开式中x2的系数为1×C1×C30，故选C. (2017·全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40 C40 D80解：原题即求(2xy)5中x2y3与x3y2系数的和，即为C·22·(1)3C·23·(1)240.故选C. (2016·全国卷)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)解：展开式的通项为Tr125rCx，令53，得r4，故所求系数为2C10.故填10. (2016·天津)的展开式中x7的系数为_(用数字作答)解：二项式展开式通项为Tr

4、1C(x2)8r(1)rCx163r，令163r7，r3，所以x7的系数为(1)3C56.故填56.类型一求特定项(1)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为()A40 B20 C20 D40解：令x1，可得a12，a1，的展开式中项的系数为C22(1)3，x项的系数为C23，所以(2x)5的展开式中常数项为C22(1)C2340.故选D.【点拨】令x1可得所有项的系数和；在求出a的值后，再分析常数项的构成，便可解得常数项(2)(2015·安徽)的展开式中x5的系数是_(用数字填写答案)解：由题意，二项式展开的通项为Tr1C(x3)7rCx214r，令214r5，得r4，

5、则x5的系数是C35.故填35.(3)(2017·浙江)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a4_，a5_解：a4为含x的项的系数，根据二项式定理，a4C×12×C×22C×13×C×216，a5是常数项，a5C×13×C×224.故填16；4.【点拨】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可(2)已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出

6、r值，最后求出其系数(1)已知在的展开式中，第6项为常数项，则含x2项的系数为_解：通项Tr1CxxCx，因为第6项为常数项，所以r5时，有0，得n10.令2，得r2，所以含x2项的系数为C.故填.(2)(2016·北京)在(12x)6的展开式中，x2的系数为_(用数字填写答案)解：展开式的通项Tr1C·16r·(2x)rC(2x)r.令r2得T3C·4x260x2，即x2的系数为60.故填60.(3)(2015·全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60解：在(x2xy)5的5个因式中，2个取x2，剩

7、余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为CCC30，故选C.类型二展开式的系数和问题在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和解：设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项

8、式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29，偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，所以奇数项系数和为；得2(a1a3a9)1510，所以偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.【点拨】“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式各项系数之和，只需

9、令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.(1)(2017浙江温州模拟)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为()A15 B45 C135 D405解：由题意64，n6，Tr1Cx6r3rCx，令63，得r2，则x3的系数为32C135.故选C.(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_解：令x2，得

10、a0a1a2a9(4m)9，令x0，得a0a1a2a3a9(m2)9，所以有(4m)9(m2)939，即m26m50，解得m1或5.故填1或5.(3)设a0a1xa2x2a2nx2n，则(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2_.解：设f(x)，则(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)f(1)·f(1)·.故填.类型三系数最大项问题已知(x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992.(1)求的二项式系数最大的项；(2)求的展开式系数最大的

11、项解：由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，所以2n32(负值舍去)，解得n5.(1)由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，即C252.所以T6C(2x)5C258 064.(2)设第r1项的系数最大，因为Tr1C(2x)10rC210rx102r，所以得 即解得r，因为rN，所以r3.故系数最大的项是第4项，第4项为T4C27x415 360x4.【点拨】(1)求二项式系数最大项：如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项(第项与第1项)的二项式系数相等并最大(2)求展开式系数最大项：如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的

12、项，一般是采用待定系数法，列出不等式组从而解出r，即得展开式系数最大的项已知的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解：(1)易知n5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项所以T3C·(3x2)290x6，T4C·(3x2)3270x.(2)设展开式中第r1项的系数最大Tr1C·(x)5r·(3x2)rC·3r·x，故有即解得r.因为rN，所以r4，即展开式中第5项的系数最大T5C·x·(3x2)4405x.类型四整除问题与求近似值

13、问题(1)已知2n2·3n5na能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值(精确到小数点后三位)解：(1)原式4·6n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028(10.02)8CC·0.02C·0.022C·0.0231.172.【点拨】(1)利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除因此，一般将被除式化为含有相

14、关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”结合整除的有关知识来处理注意：0余数<除数(2)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项(1)设aZ，且0a<13，若512 016a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12解：512 016a(521)2 016a522 016C×522 015×(1)C×52×(1)2 015(1)2 016a能被13整除，只需(1)2 016a1a能被13整除即可因为0a<13，所以a12.故选D.(2)

15、设nN*，n1，求证33n26n1能被676整除证明：33n26n127n26n1(261)n26n126nC26n1C26n2C262C26C26n1262676而26n2C26n3C26n4C为整数故33n26n1能被676整除类型五特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式求展开式中的常数项解法一：原式， 所以 (1|x|)6的展开式中|x|3的系数C(1)320就是原式展开式中的常数项解法二：将原式化为，利用二项式定理求解解法三：将原式看成三个|x|2相乘，常数项只可能由|x|··(2)和(2)3构成，可利用计数原理分成两类再求和故所求为C·C·(2

16、)C·(2)320.【点拨】三项式的展开式问题，通常可用解法二化为二项式问题，或者用解法三化为计数问题(2015·江西模拟)若(x2ax1)6(a>0)的展开式中x2的系数是66，则sinxdx的值为_解：由题意可得(x2ax1)6的展开式中x2的系数为CCa2，故CCa266，所以a2或a2(舍去)故sinxdx(cosx)|1cos2.故填1cos2.1二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)Cankbk是第k1项，而不是第k项(2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k，再求所需的某项(有时需先求n)计算时

17、要注意n，k的取值范围及它们的大小关系(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离2要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别在(ab)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定3对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性4二项式定理的应用方法(1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基

18、本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法(2)“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法(3)整除问题要关注的是展开式的最后几项，求近似值问题关注的是展开式的前几项(4)有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理(5)要注意二项式定理的逆用，它常用于有关化简和求值问题1在的展开式中，常数项为()A32 B32 C24 D24解：通项Tr1Cx4r(2)r·xC(2)rx4，令40r3.故所求为32.故选A.2(2015·南昌质检)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A7 B7 C28 D28解：由题意可知n

19、8，Tr1C(1)rC·x8.令8r0，得r6，×(1)6C7.故选B.3(2017·广西联考)若二项式的展开式中的常数项为m，则(x22x)dx()A. B C D.解：因为二项展开式的通项公式为Tr1CCx123r，令123r0，得r4，所以mC3，所以(x22x)dx(x22x)dx|，故选D.4(2016·贵州模拟)在二项式(x2x1)(x1)5的展开式中，含x4项的系数是()A25 B5 C5 D25解：因为(x2x1)(x1)x31，所以原式可化为(x31)(x1)4.故展开式中，含x4项的系数为C(1)3C415.故选B.5从的展开式中任取

20、一项，则取到有理项的概率为()A. B. C. D.解：的展开式的通项公式为Tk1C()20kCx5k，其中k0，1，2，20.而当k0，4，8，12，16，20时，5k为整数，对应的项为有理项，所以从的展开式中任取一项，取到有理项的概率为P.故选B.6若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则log2(a1a3a5a11)等于()A27 B28 C7 D8解：令x1得a0a1a2a1228，；令x3得a0a1a2a3a120，.得2(a1a3a11)28，所以a1a3a1127，所以log2(a1a3a11)7.故选C.7(2016·上海)在的二项式中，所

21、有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_解：因为所有项的二项式系数之和为2n，所以2n256，所以n8，二项展开式的通项为Tr1C()8r·(2)rCxr，令r0，得r2，所以T3112.故填112.8(2016·山东)若的展开式中x5的系数是80，则实数a_解：因为Tr1C(ax2)5rCa5rx10r，所以由10r5r2，因此Ca5280a2.故填2.9求证：32n28n9能被64整除(nN*)证明：因为32n28n932·32n8n99·9n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C·8C·1)8n99(8nC8n1C82)9·8n98n99×82(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n所以32n28n9能被64整除10已知二项式.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，