2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题九抛物线及其性质专题检测题组_第1页
2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题九抛物线及其性质专题检测题组_第2页
2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题九抛物线及其性质专题检测题组_第3页
2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题九抛物线及其性质专题检测题组_第4页
2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题九抛物线及其性质专题检测题组_第5页
已阅读5页,还剩3页未读 继续免费阅读

2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题九抛物线及其性质专题检测题组.docx 免费下载

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、2023新高考数学第一轮专题练习9.4抛物线及其性质一、选择题1.(2022届河南温县一中月考,12)双曲线C1:x2-y2=1和抛物线C2:y2=2px相交于点M,N,若OMN的外接圆经过点A72,0,则抛物线C2的方程为()A.y2=32xB.y2=xC.y2=xD.y2=4x答案A由题意,易知OA是OMN的外接圆的直径,所以圆的圆心为74,0,半径为74,所以圆的方程为x-742+y2=742,即x2+y2-72x=0.由x2+y2-72x=0,x2-y2=1,x>0,解得x=2,y=3或x=2,y=-3.不妨令M(2,3),N(2,-3),将M或N的坐标代入抛物线的方程得3=4p

2、,p=34,所以抛物线的方程为y2=32x.故选A.2.(2021长春第二次质检,10)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(2,y0),F为焦点,直线FA交抛物线的准线于点M,满足2FA=AM,则抛物线方程为()A.y2=8xB.y2=16xC.y2=24xD.y2=32x答案C由题意知,抛物线的准线方程为x=-p2,过点A作准线的垂线,垂足为B,由抛物线的定义,得|AB|=|AF|=xA+p2=2+p2,设准线与x轴的交点为C,因为2FA=AM,所以|AB|FC|=23,即2+p2p=23,解得p=12,所以抛物线的方程为y2=24x,故选C.一题多解由题意知,抛物线的焦点为Fp

3、2,0,准线方程为x=-p2,由2FA=AM得,A是线段FM上靠近点F的三等分点,所以M-p2,3y0,所以AM=-p2-2,2y0,又FA=2-p2,y0,所以22-p2=-p2-2,解得p=12,所以抛物线的方程为y2=24x,故选C.3.(2022届河南开封月考,5)一种卫星接收天线如图(1)所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点F处,如图(2)所示.已知接收天线的口径AB为4.8 m,深度为1 m.若P为接收天线上一点,则点P与焦点F的最短距离为()图(1)图(2)A.0.72 mB.1.44 mC.2.44 m

4、D.2.88 m答案B在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系,使接收天线的顶点与原点重合,焦点在x轴上,如图所示.设抛物线方程为y2=2px(p>0),由题知,点A(1,2.4)在抛物线上,所以(2.4)2=2p,解得p=2.88.则点P与焦点F的最短距离为p2=1.44 m.故选B.4.(2022届江西景德镇一中月考,9)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C(2p,0),AF与BC相交于点D.若|CF|=|AF|,且ACD的面积为922,则p的值为()A.2B.22C.3D.23答案D如图,由题知Fp2,0,C(2p,0

5、),则|CF|=3p2.ABx轴,|CF|=|AF|=|AB|,四边形ABFC为平行四边形,|CD|=|BD|.由|AB|=xA+p2=3p2,解得xA=p,代入y2=2px可得yA=2p,SACD=12SABC=12×12×3p2×2p=922,解得p=23.故选D.5.(2022届云南玉溪月考,7)已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB中点G的横坐标是()A.32B.43C.34D.1答案C如图,由题意可得抛物线的准线m的方程为x=-14,过点G作GDm于点D,过A,B分别作AA'm于点A',BB

6、'm于点B',则|AA'|+|BB'|=|AB|=2,因为弦AB的中点为G,所以|GD|=12(|AA'|+|BB'|)=12|AB|=1,所以点G的横坐标是1-14=34,故选C.6.(2020贵州4月适应性测试,9)已知抛物线C:y2=2px(p>0),倾斜角为6的直线交C于A,B两点.若线段AB中点的纵坐标为23,则p的值为()A.12B.1C.2D.4答案C根据题意,设直线AB的方程为x=3y+m,由x=3y+m,y2=2px得y2-23py-2pm=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=23p,y1+y22=3p

7、=23,解得p=2,故选C.一题多解设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=43,且y1-y2x1-x2=tan6=33,由y12=2px1,y22=2px2得(y1+y2)(y1-y2)=2p·(x1-x2),由题意知x1x2,(y1+y2)·y1-y2x1-x2=2p,即43×33=2p,解得p=2,故选C.7.(2021豫北六校1月联考,5)已知圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆C的圆心的轨迹为()A.双曲线B.椭圆C.直线D.抛物线答案D由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(

8、0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是抛物线,故选D.8.(2021九师联盟第三次联考,10)已知点M(-4,-2),抛物线x2=4y,F为抛物线的焦点,l为抛物线的准线,P为抛物线上一点,过P作PQl,点Q为垂足,过P作抛物线的切线l1,l1与l交于点R,则|QR|+|MR|的最小值为()A.1+25B.25C.17D.5答案D由题意知F(0,1),直线l的方程为y=-1,由x2=4y,得y=x24,则y'=x2.设Px1,x124(x10),则过P的切线l1的斜率k=x12,连接FQ,因为PQl,所以Q(x1,-1),所以kFQ=-2x1,所以k

9、FQ·k=-1,所以FQl1,连接PF,RF,MF,由抛物线的定义知,|PF|=|PQ|,所以直线l1是线段FQ的垂直平分线,所以|RF|=|RQ|,所以|QR|+|MR|=|RF|+|MR|MF|=(-4-0)2+(-2-1)2=5,当且仅当M,R,F三点共线时等号成立,故选D.9.(2021长春第一次质检,10)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),且AB=4FB,则直线l的倾斜角为()A.6B.4C.3D.23答案C解法一:由题意知,抛物线的焦点为Fp2,0,设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2

10、<0),则AB=(x2-x1,y2-y1),FB=x2-p2,y2,因为AB=4FB,所以x2-x1=4x2-p2,y2-y1=4y2,即x1=2p-3x2,y1=-3y2,结合y12=2px1,y22=2px2,解得y1=3p,y2=-33p,所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2py1+y2=3,所以直线l的倾斜角为3,故选C.解法二:设抛物线的准线为l',如图,过A,B分别作AMl',BNl',垂足分别为M,N,过点B作BCAM于C,则由抛物线的定义知|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.因为AB=4FB,所以|AF|=34|AB|,|FB|=14|

11、AB|,所以|AC|=|AM|-|BN|=|AF|-|FB|=12|AB|,所以在RtABC中,ABC=6,BAC=3,因为AMx轴,所以AFx=BAC=3,所以直线l的倾斜角为3,故选C.解法三:因为AB=4FB,所以AF=3FB,所以|AF|>|FB|,又点A在第一象限,所以直线AB的倾斜角为锐角,由焦点弦的性质知|AF|=p1-cos,|BF|=p1+cos,p1-cos=3p1+cos,解得cos =12.=3.二、填空题10.(2022届湘豫名校联盟11月联考,13)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P(4,4)在C上,则|PF|=. 答案5解析

12、将点P(4,4)代入抛物线C:x2=2py,解得p=2,即抛物线方程为x2=4y.所以|PF|=4+p2=5.11.(2022届河南平顶山月考,16)抛物线C:x=2py2(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与C交于A,B两点,C的准线与x轴的交点为M,若MAB的面积为32,则|AF|BF|=. 答案2或12解析抛物线C:x=2py2(p>0)化为标准形式为y2=12px(p>0).抛物线的焦点F到准线的距离为2,14p=2,即p=18,抛物线方程为y2=4x,焦点F(1,0).过点F的直线与C交于A,B两点,设直线AB的方程为x=my+1,与抛物线方程

13、联立得,y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设A点在x轴上方,B点在x轴下方.则y1+y2=4m,y1y2=-4,|AB|=1+m2·(y1+y2)2-4y1y2=1+m216m2+16=4·(1+m2).设点M到直线AB的距离为d,则d=|-1-1|m2+1=2m2+1.SMAB=12|AB|·d=12×4(1+m2)·2m2+1=4m2+1=32,解得m2=18,m=±24.当m=24时,y1+y2=2,y1y2=-4,解得y1=22,y2=-2,此时x1=2,x2=12,|AF|=x1+1=3,|BF

14、|=x2+1=32,|AF|BF|=2.当m=-24时,y1+y2=-2,y1y2=-4,解得y1=2,y2=-22,此时x1=12,x2=2,|AF|=x1+1=32,|BF|=x2+1=3,|AF|BF|=12.三、解答题12.(2022届广西开学考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M为抛物线C上一点,|MF|=8,且OFM=23(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,求AOB面积的最小值.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,过点M作准线的垂线,垂足为N,过点

15、M作x轴的垂线,垂足为D,如图,由题意得|MF|=|MN|=p+|MF|·cos 60°,即8=p+4,解得p=4,故抛物线C的方程为y2=8x.(2)焦点F(2,0),由题意知直线l斜率不为0,设直线l方程为x=ty+2,由x=ty+2,y2=8x,消去x得y2-8ty-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8t,y1y2=-16,|AB|=1+t2|y1-y2|,又坐标原点到直线l的距离d=21+t2,所以SAOB=12·d|AB|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=64t2+648,当且仅当t=0时取“=”,所以AOB面

16、积的最小值为8.13.(2022届山西长治月考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且点F与圆M:(x+4)2+y2=1上点的距离的最小值为4.(1)求C的方程;(2)设点T(1,1),过点T且斜率存在的两条直线分别交曲线C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.解析(1)由题意知,圆心为M(-4,0),半径为1,Fp2,0,p2+4-1=4,p=2,故抛物线方程为y2=4x.(2)由题意设直线AB的方程为y=k1(x-1)+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=k

17、1(x-1)+1得k12x2-(2k12-2k1+4)x+(k1-1)2=0,x1+x2=2k12-2k1+4k12,x1x2=(k1-1)2k12,所以|TA|TB|=1+k12|x1-1|·1+k12|x2-1|=(1+k12)·|x1x2-(x1+x2)+1|=(1+k12)·(k1-1)2k12-2k12-2k1+4k12+1=3(1+k12)k12.设直线PQ的方程为y=k2(x-1)+1(k2k1),同理可得|TP|TQ|=3(1+k22)k22,由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得3(1+k12)k12=3(1+k12)k

18、22,又k2k1,所以k2=-k1,所以k1+k2=0.14.(2022届贵州部分重点中学联考,21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上的点P(x0,1)到其焦点F的距离为2.(1)求抛物线C的方程及点F的坐标;(2)过抛物线C上一点Q作圆M:x2+(y-3)2=4的两条斜率都存在的切线,分别与抛物线C交于异于点Q的A,B两点.证明:直线AB与圆M相切.解析(1)由题意,可得|PF|=1+p2=2,解得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y,焦点为F(0,1).(2)证明:由圆M:x2+(y-3)2=4,可得圆心M(0,3),半径r=2,设Qx1,x124,Ax2,x224,Bx3,

19、x324(x1x2x3),所以直线QA的方程为y-x224=x224-x124x2-x1(x-x2),即(x1+x2)x-4y-x1x2=0.因为直线QA与圆M相切,所以|x1x2+12|(x1+x2)2+16=2,整理得(x12-4)x22+16x1x2+80-4x12=0.同理可得(x12-4)x32+16x1x3+80-4x12=0,所以x2,x3是方程(x12-4)x2+16x1x+80-4x12=0的两根,所以x2+x3=-16x1x12-4,x2x3=80-4x12x12-4.又因为直线AB的方程为(x2+x3)x-4y-x2x3=0,所以圆心M(0,3)到直线AB的距离d=|x2

20、x3+12|(x2+x3)2+16=80-4x12x12-4+12-16x1x12-42+16=8x12+32x12-44(x12+4)x12-4=2=r,所以直线AB与圆M相切.15.(2021河南安阳二模,20)已知抛物线C:y2=2px(x>0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与C交于A,B两点,AOB(点O为坐标原点)的面积为2.(1)求抛物线C的方程;(2)若过点E(0,a)(a>0)的两直线l1,l2的倾斜角互补,直线l1与抛物线C交于M,N两点,直线l2与抛物线C交于P,Q两点,FMN与FPQ的面积相等,求实数a的取值范围.解析(1)因为焦点Fp2,0,所以点A,

21、B的坐标分别为p2,p,p2,-p.所以SAOB=12·2p·p2=2,故p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.(2)由题意可知直线l1,l2的斜率存在,且不为0,设直线l1:x=t(y-a),M(x1,y1),N(x2,y2).联立方程可得y2=4x,x=t(y-a),消去x,可得y2-4ty+4at=0.则1=16t2-16at>0.因为y1+y2=4t,y1y2=4at,所以|MN|=1+t2|y1-y2|=1+t216(t2-at)=41+t2t2-at,焦点F到直线l1的距离d=|1+ta|1+t2,所以SFMN=12×41+t2t2-at

22、5;|1+ta|1+t2=2t2-at|1+ta|.设直线l2:x=-t(y-a),与抛物线方程联立可得y2=4x,x=-t(y-a),消去x可得y2+4ty-4ta=0,则2=16t2+16at>0,将t用-t替换,可得SFPQ=2t2+at|ta-1|.由SFMN=SFPQ可得2t2-at|1+ta|=2t2+at|ta-1|,即t+at-a=ta+1ta-1,两边平方并化简可得t2=12-a2,所以2-a2>0,解得0<a<2.又由1>0且2>0得t<-a或t>a,可知t2>a2,所以12-a2>a2,即(a2-1)2>0,所以a1,所以实数a的取值范围是(0,1)(1,2).16.(2022届云南玉溪月考,20)已知抛物线E:y2=2px(p>0),过点P(3,0)的直线l交抛物线E于A,B,且OA·OB=-3(O为坐标原点).(1)求抛物线E的方程;(2)过P作与直线l垂直的直线m交抛物线E于C,D,求四边形ACBD面积的最小值.解析(1)设直线l的方程为x=ty+3,代入E:y2=2px整理得y2-2pty-6p=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=2pt,y1y2=-6p,所以x

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论