专题 最有可能考的题高考数学走出题海之黄金题系列

1、2016年高考数学走出题海之黄金30题系列 1设复数满足(为虚数单位)，则复数的实部为 【答案】【解析】试题分析：因为，所以复数的实部为考点：复数概念与运算2已知集合M0，2，4，Nx|x，aM，则集合MN 【答案】【解析】试题分析：因为，所以考点：集合运算3同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 【答案】【解析】试题分析：同时抛掷三枚硬币，共有8种基本事件，其中恰有两枚硬币正面向上包含3种基本事件，三枚硬币正面向上包含1种基本事件，因此所求概率为考点：古典概型概率4如图所示的流程图的运行结果是 【答案】27【解析】由流程图得第一次循环：；第二次循环：；第三

2、次循环：；结束循环输出【命题意图】本题考查流程图，意在考查学生的基本运算能力和逻辑推理能力.5某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么 .【答案】200考点：分层抽样6“”是“函数在上单调递增”的_条件（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【答案】充分不必要条件【解析】试题分析：在上单调递增在上恒成立，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件条件考点：导数应用【思路点睛】导数与函数的单调性（1）函数单调性的判定方法：设函数yf

3、（x）在某个区间内可导，如果f（x）0，则yf（x）在该区间为增函数；如果f（x）0，则yf（x）在该区间为减函数.（2）函数单调性问题包括：求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.7已知双曲线的方程为=1，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 【答案】4故答案为：4考点：双曲线的简单性质8已知，其中，则=_【答案】【解析】试题分析：由题意得，所以考点：两角和余弦公式9在等腰梯形ABCD中，已知AB/DC，ABC=60°，BC=AB=2，动点E和F分别在线段BC和DC上，且= ，=，则·的最小值为

4、【答案】【解析】试题分析：由题意得，当且仅当时取等号，即·的最小值为考点：向量数量积，基本不等式求最值10正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则三棱锥BAEF的体积为是_ABCC1A1B1EFDD1【答案】【解析】试题分析：11已知且，则的最小值为 .【答案】3【解析】试题分析：令，又得，解得即，当且仅当时取“=”考点：基本不等式求最值12已知是等差数列，a515，a1010，记数列的第n项到第n+5项的和为Tn，则取得最小值时的n的值为 【答案】5或6【解析】试题分析：由题意得，因此，而数列的第n项到第n+5项的和为连续6项的和，因此取得最

5、小值时的n的值为第8项前3项或前2项，即n的值为5或6考点：等差数列性质13设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是 【答案】考点：函数性质14已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析： 的零点转化为与图象的交点，因为有四个零点，所以与图象有四个交点，同一坐标系内画出与的图象，如图，平移的图象得图象，使其与有四个交点，即可得到【思路点晴】本意主要考查函数零点与函数图象交点的关系、分段函数图象的画法以及利用函数图象的“对称关系”“平移关系”作出函数图象，属于难题本题作图过程：先分

6、三段画出的图象，然后利用“对称关系”得到的图象，利用“平移关系” 得到的图象，平移的图象得图象考点：1、分段函数的图象；2、函数零点与函数图象交点的关系；3、函数图象的变换15设公差为（为奇数，且）的等差数列的前项和为，若，其中，且，则 【答案】【解析】试题分析：由题意得：，由得因此，而为奇数，且，因此，从而考点：等差数列性质与通项公式16已知x,yR，满足2y4-x,x1,则的最大值为_.【答案】考点：（1）直线的斜率的意义；（2）函数的单调性.17若以曲线上任意一点为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点，以点N为切点作切线l1，且ll1，则称曲线具有“可平行性”下列曲线具有可平行性的编号为

7、_(写出所有满足条件的函数的编号)yx3x yx+ y(x2)2ln x【答案】【解析】试题分析：本题的本质是，当时总能成立时，则称曲线具有“可平行性”.对于，由可得，因，所以，但是当时，得，此方程无解，所以不具有“可平行性”；对于，由，当时可得，只需互为倒数即可，所以具有“可平行性”；对于，由，即，当时可得，任给一个的值，总可得到一个不同于的值，所以具有“可平行性”； 对于，由，当时可得，但是如果，则，此与矛盾，所以不具有“可平行性”，综上故答案填.考点：1、新定义问题；2、导数在函数研究中的应用；3、方程根的问题.【思路点睛】本难题是一个导数在函数研究中的应用以及方程根的综合性问题，属于难

8、题.解决本题的基本思路是，根据题意首先把曲线具有“可平行性”的问题转化为，当时总能成立的问题，接着再对各个函数逐一进行验证当时是否总能够成立，能成立的就具有曲线具有“可平行性”，否则曲线不具有“可平行性”.18现定义一种运算“”；对任意实数，设，若函数的图象与轴恰有二个公共点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由题意得出函数，作出函数的图象如图所示，若函数的图象与轴恰有二个公共点，则方程即恰有二个不同实根，则或或，所以的取值范围是，故答案应填.考点：1、分段函数；2、函数的零点.【思路点睛】本题是一个新定义下的分段函数以及函数零点方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首

9、先根据题意得到函数的表达式，即，并作出函数的图象，然后再作出直线的图象，这时只需二图象恰有两个公共点即可，从而可求出实数的取值范围，问题得到解决.19已知函数，（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别为，且，若向量与向量共线，求的值【答案】（1）最小值为，最小正周期为；（2）【解析】试题分析：（1）先根据两角和与差的正弦公式化简为的形式，结合正弦函数的最值可确定函数的最小值，再由可求出其最小正周期；（2）将代入到函数中，令根据的范围取出的值，再由与共线得到关系式，从而根据正弦定理得到的关系，结合余弦定理，即可求出的值考点：三角函数的最值、三角函数的周期性及其求法；正弦定理与余

10、弦定理20如图，多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形为等腰梯形，平面平面.（1）证明：平面；（2）若，求多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由平面平面，结合面面垂直性质，可得平面；（2）利用分割法将多面体分割为四棱锥及，由为正方形，可得，设对角线、交点为，由（1）知为四棱锥的高，进而求出体积.又因为所以 考点：1、面面垂直性质；2、多面体体积计算.21某型汽车的刹车距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系为，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某

11、人在高速行驶途中发现前方大约10米处有一辆汽车突然抛锚停止，若此时k=8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围【答案】（1）有两车相撞的危险，应紧急避让.（2）.【解析】（1）当时，这时汽车的瞬时速度为V=， 令，解得（舍）或， 当时，故有两车相撞的危险，应紧急避让. （2）汽车的瞬时速度为，所以，汽车静止时，故问题转化为在内有解 又，因，当且仅当时取等号，而 记，单调递增， ，即， 故的取值范围为.【命题意图】本题考查导数意义及导数在研究函数性质中的应用，考查方程根的分布情形，意在考查数学建模能力及应用意识.22

12、已知两点，直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为（1）求点的轨迹方程；（2）记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为1，直线、与圆相切于点、，又、与曲线的另一交点分别为，求的面积的最大值（其中点为坐标原点）【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：对于问题（1），设出点的坐标后直接根据题中条件即可求得点的轨迹方程；对于问题（2）可先求出直线的斜率，并联立直线与曲线，结合韦达定理得到弦长，再求出点到直线的距离，进而表示出的面积，最后由基本不等式即可求得的面积的最大值.试题解析：（1）设点，所以 化简可得点的轨迹方程是 （2）容易求得，设过点的直线方程为，联立可求得直线与曲线的另一交点的

13、横坐标为 同理 考点：1、椭圆；2、三角形的面积；3、基本不等式.23已知数列满足，为数列的前n项和（1）求；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）探究是否存在正整数s，t（1<s<t）使得，成等比数列，求出所有s，t的值【答案】（1）；（2） ；（3）当，时，成等比数列，理由见解析.【解析】试题分析：对于问题（1）根据通项公式，并结合裂项相消法即可求出；对于问题（2）要使不等式恒成立，首先将实数分离出来，其次要对分奇数与偶数两种情况进行讨论，使两种情况下的极端不等式都恒成立，即可求得结果；对于问题（3）先假设存在这样的正整数使得，成等比数列，再结合题目条件即可得

14、出所需的结论.试题解析：（1） 所以.（2）当为偶数时，要使不等式恒成立，则需不等式恒成立.因为，等号在时取得.所以此时需满足当为奇数时，要使不等式恒成立，则需不等式恒成立.因为是随的增大而增大，所以时取得最小值.所以此时需满足.综合、可得的取值范围是.（3）假设存在正整数使得，成等比数列，则，可得，由分子为正.解得. 由，得，此时当且仅当，时，成等比数列. 考点：1、等比数列；2、数列的和；3、裂项相消法.24已知函数（，是自然对数的底数），其导函数为 （1）设，若函数在上是单调减函数，求的取值范围；（2）设，若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围；（3） 设，且，点（，）是曲线上的一个定

15、点，是否存在实数（），使得成立？证明你的结论【答案】（1）（2）或（3）不存在【解析】试题分析：（1）先利用导数转化函数单调性：对恒成立，再利用变量分离、利试题解析：解：（1）当时，由题意对恒成立由，得，令，则，令，得当时，单调递增，当时，单调递减，从而当时，有最大值，所以（2）当时，由题意只有一解由，得，令，则，令，得或当时，单调递减，的取值范围为，当时，单调递增，的取值范围为，当时，单调递减，的取值范围为，由题意，得或，从而或，所以当或时，函数只有一个零点（3），假设存在，则有，即，（*），不妨设，则两边同除以，得，即，令，则，令，则，在上单调递增，又，对恒成立，即对恒成立，在上单调递增，

16、又，对恒成立，即（*）式不成立， 不存在实数（），使得成立考点：利用导数研究函数性质25 如图，四棱锥中，平面平面，侧面是等腰直角三角形，底面是直角梯形，且，（1）求证：；（2）求三棱锥的体积；（3）若点是线段上一点，当/ 平面时，求的长.【答案】（1）证明略；（2）；（3）；为直角梯形，所以四边形为正方形，所以所以平面所以 （2）由，面面易得 所以， （3）解：连接交于点M，面面. 因为/ 平面，所以/在梯形中，有与相似，可得 所以， 考点：线面垂直；三棱锥的体积；26已知函数=（sin2xcos2x+）sin2（x），xR（1）求函数的单调递增区间；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别

17、为，且，求ABC的面积的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将函数=（sin2xcos2x+）sin2（x），xR利用三角函数的基本公式进行变形，得到，由正弦型函数的性质即可得到的单调递增区间；（2）将代入，可解得；由余弦定理得，代入三角形的面积公式得，则ABC的面积的最大值为试题解析：解：（1）=（sin2xcos2x+）sin2（x），xR =（cos2x）1cos（2x）=sin2xcos2x=，令+2k2x+2k，kZ，得到kxk+，kZ则函数f（x）的单调递增区间，kZ（2）由f（B）=1，得到sin（2B）=1，2B=，即，由余弦定理得：，即，即，则ABC的面积的

18、最大值为考点：三角函数的基本公式；正弦型函数的性质；余弦定理；三角形的面积；均值不等式.27已知椭圆()的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为 （）求椭圆的方程；（）四边形的顶点在椭圆上，且对角线均过坐标原点，若（1） 求的取值范围；（2） 证明：四边形的面积为定值【答案】（）（）（1） （2）详见解析于是 所以椭圆的方程为 （II）当直线AB的斜率不存在时，. 当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为，设联立，得 （） = ，且的最大值为2 因此， (ii)设原点到直线AB的距离为d，则 为定值 考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆相交的综合问题28（本小题满分14分）2014年8月以“分

19、享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴元（为常数，），设每枚徽章的售价为元（35）.根据市场调查，日销售量与（为自然对数的底数）成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚.（1）求该商店的日利润与每枚徽章的售价的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润最大？并求出的最大值.【答案】（1）（2）当时，每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润最大,;当时，每枚徽章的售价为（）元时，该商店的日利润最大， .所以，则日销售量为枚. 每枚徽章的售价为元时，每枚徽章的利

20、润为元，则日利润.（2）. 当时，而，所以在上单调递减，则当时，取得最大值为. 当时，令，得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.所以当时，取得最大值为. 综上，当时，每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润最大,;当时，每枚徽章的售价为（）元时，该商店的日利润最大， . 考点：函数实际应用，利用导数求最值29设数列的各项均为正数，的前项和，（1）求证：数列为等差数列；（2）等比数列的各项均为正数，且存在整数，使得（i）求数列公比的最小值（用表示）；（ii）当时，求数列的通项公式【答案】（1）详见解析（2）（i）（ii）【解析】试题分析：（1）证明数列为等差数列，一般方法为定义，因此先从条件求项之间关系式：因为，所以，两式想减得，即（2）（i）先求出，化简条件得，再代入条件得，即，然后取对数变量分离得，最后利用导数研究函数最值（ii）实质研究正整数解的问题：先确定公比范围：，从而，再依次讨论，确定正整数解.试题解析：证明：（1）因为，由得，即当时，恒成立当时，两边取自然对数，整理得，记，则记，则，故为上增函数，所以，从而，故为上减函数，从而的最大值为中，解得 当时，同理有，所以公比的最小值为（整数）（