初中数学竞赛辅导讲义：第8讲-由常量数学到变量数学(含习题解答)

1、(流量一定)，注满烧杯后，h与注水时间t之间的ZTZ/1A第八讲由常量数学到变量数学数学漫长的开展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期； 以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期.函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性.函数的根本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法.在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数与“形相互转换的最根本形式.点的坐标是解决函数问题的根底，函数

2、解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题.【例题求解】【例1】 在平面直角坐标系内，点A(2 , 2), B(2 , -3)，点P在y轴上，且 APB为直 角三角形，那么点 P的个数为.思路点拨 先在直角坐标平面内描出 A、B两点，连结AB，因题设中未指明 APB的哪个 角是直角，故应分别就/ A、/ B、/ C为直角来讨论，设点 P(0, x),运用几何知识建立 x 的方程.注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的根本方法有:(1) 利用几何计算求；(2) 通过解析式求；(3) 解由解析式联立的方程组求.【例2】 如图，向放在水槽底部的烧杯注水

3、 继续注水，直至注满水槽水槽中水面上升高度 函数关系，大致是以下图象中的 ()思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高h=0 .如心电图、，股市 位置、开展变化趋势注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来, 行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、 等有关信息中获得启示.【例3】 南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：运输工具途中速度千米/时途中费用兀/千米装卸费用元装卸时间小时飞机2001610002火车100420004汽车5081000

4、2假设这批水果在运输包括装卸过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x 千米.如果用Wi、W2、W3分别表示使用飞机、 火车、汽车运输时的总支出费用包括损耗, 求出Wi、W2、W3与小x间的函数关系式.2应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小？思路点拨 每种运输工具总支出费用=途中所需费用含装卸费用+损消耗用；总支出费用随距离变化而变化，由 W| W2= 0 , W2 一 W3=0 ,先确定自变量的特定值，通过讨论选择 最正确运输方式.【例4】 在菱形 ABCD中，/ BAD = 60°,把它放在直角坐标系中，使 AD边在y轴 上，点C的坐标为2 . 3 , 8.

5、1画出符 合题目条件的菱形与直角坐标系；2写出A、B两点的坐标；设菱形ABCD的对角线交点为 P.问：在y轴上是否存在一点 F,使得点P与点F 关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点 F的坐标；如果不存在，请 说明理由.思路点拨 1关键是探求点 A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点， 只须判断/ COy 与/ CAD的大小；2利用解直角三角形求 A , B两点坐标；3设轴上存在点F0, y，贝U P 与F只可能关于直线 DC对称.注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型.【例5】 如图，在 Rt ABC中，/ B =

6、 90°, BC = 4cm, AB = 8cm, D、E、F分别为 AB、AC、BC边上的中点，假设 P为AB边上的一个动点， PQ/ BC,且交 AC于点Q,以 PQ为一边，在点 A的右侧作正方形 PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共局部的面积为y-当ap = 3cm时，求的值；设AP=cm时，求y与x的函数关系式；(3)当y=2cm2,试确定点P的位置.(2001年天津市中考题)思路点拨 对于，由于点P的位置不同，y与x之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求 乂值.注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，

7、 再代入相应的等量关系式，需要注意的是：(1) 当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；(2) 确定自变量 的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法.学力训练1. 如图，在直角坐标系中，点 A(4 , 0)、B(4 , 4)，/ OAB = 90°,有直角三角形与RtA ABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 .2. 在直角坐标系中有两点A(4 , 0), B(0 , 2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为 时，使得由点B、0、C组成的三角形与厶AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).3根据指令S, A(S

8、> 0, 0° <A<180 ° )，机器人在平面上能完成以下动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离S.现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴的正方向，(1)假设给机器人下了一个指令4 , 60° ，那么机器人应移动到点 (2)请你给机器人下一个指令 ，使其移动到点(一 5, 5).4.如图，在平面直角坐标系中， 直线AB与x轴的夹角为60°,且点A的坐标为(一 2, 0), 点B在x轴上方，设AB = a，那么点B的横坐标为()(第$题、5天，小军和爸爸去登山，山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，

9、爸爸才开始出发.图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程米与登山所用的时间分钟的关系从爸爸开始登山时计时，根据图象，以下说法错误的选项是A 爸爸登山时，小军已走了50米B 爸爸走了 5分钟，小军仍在爸爸的前面C 小军比爸爸晚到山顶D .爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快6. 假设函数y= '的自变量x的取值范围为一切实数，那么m的取值范围是x2 +2x +mA. m<l B . m=1 C. m>l D. m< 17. 如图，在直角坐标系中，点 A4 , 0、点B0, 3，假设有一个直角三角形与 Rt ABO 全等，且它们有一条公

10、共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标不必写出计算过程 &如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察以下图形并解答有关问题：1设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与nn表示第n个图形的函数关系式；2按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；3假设黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题2中，共需花多少元钱购置瓷砖？4是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形？请通过计算说明为什么？9. 如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A10 , 0, B 0 , 10,个整点即纵横坐标C一 10, 0, D0 , 都是整数的点.A、B两

11、点在第一象限内,OA10. 如图，边长为 I的正方形OABC在直角坐标系中,与x轴的夹角为30°,那么点B的坐标是.11. 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到1 , 0,而后它接着按图所示在与 x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动 1 个单位长度，那么在 1989分钟后这个粒子所处位置为 .12. 在直角坐标系中，A1 , 1，在x轴上确定点 卩，使厶AOP为等腰三角形，那么符合条件的点P共有A . 1个B . 2个 C .3个D . 4个13 .点P的坐标是2 al, 、2 b,这里a、b是有理数，PA、PB分别是点P到x轴和y轴的垂线段，且矩形 OA

12、PB的面积为，贝U P点可能出现的象限有(A . 1个B. 2个C. 3个D . 4个14.甲、乙二人同时从 A地出发，沿同一条道路去 B地，途中都使用两种不同的速度 Vi与 V2(Vi<V2)，甲用一半的路程使用速度 Vi、另一半的路程使用速度 V?;关于甲乙二人从 A 地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析. 其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，其中正确的图示分析为 ()A .图(1)B .图或图(2)C.图(3)D .图(4)15依法纳税是每个公民应尽的义务.?中华人民共和国个人所得税法?规定，公民每月工资、薪金收入不超过 800元，不需交税；超过 800

13、元的局部为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过局部的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表：级别全月应纳税所得额税率(%)1不超过500兀局部52超过500兀至2000兀局部103超过2000兀至5000兀局部15(1)某公民2002年10月的总收人为1350元，问他应交税款多少元 ？设表示每月收入(单位：元)，y表示应交税款(单位：元)，当1300<x<2800时，请写出y 关于x的函数关系式；某企业高级职员2002年11月应交税款55元，问该月他的总收入是多少元？16. 如图，在 ABC中，/ C= 90°, AC = 3, BC = 4,点D是AB上任意一点(A、

14、B两点 除外)，过D作AB垂线与 ABC的直角边相交于 E,设AD= x , ADE的面积为y，当点D在AB上移动时，求y关于x之间的函数关系式.AB(.第 1617. 现方案把甲种货物 1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共 40节，使用A型车厢每节费用6000元，使用月型车厢每节 费用为8000元.(1)设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；(2) 如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节月型 B车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排 A、B两种车厢的节数，那么共有 哪几种安排车厢的方案 ？(3) 在上述方案中，哪个方案运费最高？最少运费为多少元？18. 如图，梯形 OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)，(14, 3), (4, 3).点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点 P沿OA向终点A运动， 速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点到达