第四章长期风险模型

1、第四章 长期风险模型主要内容盈余过程与理赔过程终极破产概率调节系数第一节 盈余过程设U(t)为保险公司在t时刻的盈余；单位时间内收取的保费（或保费率）为 c，则在0, t时间内收取的保费为ct ；S(t)为直到t时刻的总理赔量； U(0)=u为时刻0的初始盈余或称初始准备金。 则( )- ( ), U tuct S t理赔过程设N(t)为0, t时间内的索赔次数,服从Poission过程 ； 为个体索赔变量；则 S(t)是一个复合泊松过程12,XX ( )1( )N tnnS tXN(t)tT1T1+T2T1+T2 T3T1+T2T1T1+T2 T3盈余过程的性质1( ( )( ) ( ( )

2、 E U tE uctS tuctE S tucttp11111 , lim( ( )lim , lim( ( )lim , lim( ( )0tttttif cpE U tucttpif cpE U tucttpif cpE U t ，破产因此，保险公司收取的保费必须大于期望损失，即(1), cp 称为安全附加因子例：设某保单组合的理赔在0t7这个时间段中记录如下表所示：理赔顺序12345发生时刻0.522.7546理赔额2.5107412设保险人的初始准备金u5，保费收入按c4的固定比例收取，试描述其盈余过程。解：由题意，S(t)在0,7上的分布可表示为112123123412345000

3、.52.50.5212.522.75( )19.52.7544623.56735.5tCtCCtS tCCCttCCCCtCCCCC 5400.5542.50.525412.522.75( )54( )5419.52.7545423.5465435.567ttttttU ttS ttttttt 请问：当t为何时，保险公司的盈余为负？破产概率当保险公司盈余U(t)出现负值，我们称为破产 。对盈余过程U(t)，我们考虑以下问题：1. 破产发生的时刻2. 有限时间内的破产概率3. 终极破产概率inf : 0,( )0TttU t且( , )(|(0)u tP Tt Uu( )(|(0)lim( ,

4、)tuP TUuu t 破产概率的简单性质121212(1) ( , )(, )(2) ()()(3) ( , )( , )u tu tuuu tu t离散时间的破产概率( )( ( )0,0,2 ,3 ,)( , )( ( )0,(0, ),2 ,3 ,)hhuP U ttthhhu tP U sst shhh 12121200(1) ( , )(, )(2) ()()(3) ( , )( , )(4) lim( , )( , )(5) lim( )( )hhhhhhhhhhu tu tuuu tu tu tu tuu性质：例设保险人对于某类保单设置的初始准备金为u100000元。估计年内将

5、以5000元的价格出售100张这类保单。假定每张保单是否发生理赔是相互独立的，理赔每张保单的费用占所收保费的20。又假定这类保单每年的总索赔额服从均值为0.7P，标准差为2P的正态分布，其中P表示年保费的总收入。为了在每年末评估保险人的偿付状态，试计算第一年末的破产概率。解：保险人在第一年末的盈余为222( )0.2 100000 100 50000.2 100 5000(1) 500000(1)(1)(0.7 ,4)(0.7 100 5000,100 (2 500) ) (350000,100000 )U tuPPSSSNPPNN由于2( (1)0)( (1)500000)(350000,100000 )500000)50000035000