曲面及其方程、二次曲面

1、第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：（1 1） 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念2 2以下给出几例常

2、见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 3 3例例 2 2 求求与与原原点点O及及)4 , 3 , 2(0M的的距距离离之之比比为为2:1的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程.解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程

3、为所求方程为4 4设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解5 5zxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，

4、下封底解解c6 6以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程7 78 8二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线分这条曲线和定直线分别称为旋转曲面的别称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。

5、9 9二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1010二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。11 11二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平

6、面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1212二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1313二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋

7、转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1414二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1515二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一

8、这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1616二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1717二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋

9、转轴旋转轴。1818二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。1919二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。2020二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平

10、面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。2121例例5 5 证明以证明以oz轴为旋转轴，轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线( , )0C:0f y zx 为母线所产生的旋转曲面为母线所产生的旋转曲面S的方程为：的方程为：22(, )0fxyz xozy证明：证明：旋转曲面如图旋转曲面如图设设M(x, y, z)为旋转曲面为旋转曲面S上任意一点，上任意一点，显然，显然，M一定是由母线一定是由母线C上某点

11、上某点M1(0, y1, z1)旋转得到，旋转得到，1(1),zz 221(2)|yxy(0, 0, z)代入母线方程即得证明。代入母线方程即得证明。( , , )M x y z),0(111zyM即即( , )00f y zx 222222( ,)0f yxz 注意：注意：( , )0C:0f y zx 1. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oz轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面22(, )0fxyz ( , )0C:0f y zx 2. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oy轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面( , )0C:0f x yz 3. xoy平面上的母线平面上的母线 绕绕ox轴

12、旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面22( ,)0f xyz 例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx2323这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面. .绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面2424特点：特点：曲面方程曲面方程 中若除一个变量外，另外两个变中若除一个变量外，另外两个变量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面

13、量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面( , , )0F x y z 例：例： 2221499xyz222214901490 xyxzxzxy 由由椭椭圆圆曲曲线线绕绕轴轴旋旋转转所所得得的的椭椭球球面面或或由由椭椭圆圆曲曲线线绕绕轴轴旋旋转转所所得得的的椭椭球球面面2221xyz呢呢？2525xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 26262727播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所

14、形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。2828定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:2929定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面

15、的形成过程形成过程:3030定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3131定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3232定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线

16、L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3333定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3434定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，

17、动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3535定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3636定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3737定义定义

18、三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3838定义定义三、柱面三、柱面沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:3939柱面举例柱面举例xozyxozy220yxz 抛物柱面抛物柱面0yxz 平面平面4040( , )0C:

19、0f x yz 母线平行于母线平行于 z 轴的轴的柱面方程为：柱面方程为：( , )0f x y 一般地，已知准线方程一般地，已知准线方程( , )0f x y 注意注意：方程中缺方程中缺z，表示，表示z可以任意取值，所以方程可以任意取值，所以方程 表示母线平行于表示母线平行于z轴的柱面。轴的柱面。( ,)0f x y 一般地，在空间直角坐标下一般地，在空间直角坐标下( , )0f x y （缺（缺z），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。( , )0f x z （缺（缺y），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。( , )0f y z （缺（

20、缺x），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。4141问：问：12222 czby（1） 表示什么曲面？表示什么曲面？22221xzac（2） 表示什么曲面？表示什么曲面？回顾回顾1. 三元方程三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面表示空间的一张曲面S。2. 表示一张球面。表示一张球面。2220AxAyAzBxCyDzEAxByCzD03. 表示空间的一张平面。表示空间的一张平面。( , )0C:0f y zx 4. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oz轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面4242四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为三元二次方程

21、所表示的曲面称为二次曲面二次曲面。目的：目的：利用利用截痕法截痕法讨论二次曲面的形状。讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。22(, )0fxyz 5. xoy平面上的准线方程平面上的准线方程 母线平行于母线平行于 z 轴的轴的( , )0C:0f x yz 柱面方程为：柱面方程为：( , )0f x y 其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面4343（一）椭

22、球面（一）椭球面1222222 czbyax椭球面与三个椭球面与三个坐标面的交线：坐标面的交线：22221,0 xyabz 椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax同理与平面同理与平面x=x1和和y=y1 的交线也的交线也是椭圆是椭圆22221,0 xzacy 22221,0yzbcx 4444椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 222221xyzac 旋转椭球面旋转椭球面222210 xzacy 由椭圆由椭圆 或或 绕绕z轴旋转而成。轴旋转而成。222210yzbcx ,)2(cba 1222

23、222 azayax球面球面2222xyza方程可写为方程可写为4545（二）抛物面（二）抛物面zqypx 2222（p与与q同号）同号）（1）椭圆抛物面）椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 xoy (z=0) 去截；去截；设设p与与q都大于零。都大于零。（2）用平面）用平面 去截；去截；11(0)zz z（3）用坐标面）用坐标面 xoz 或或 yoz 去截；去截；（4）用平面）用平面 去截；去截；11xxyy或或yoxz4646zxyo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qpxyzo0, 0 qp特殊地：当特殊地：当p=q时，方程变为时，方程变为zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面4747（2）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）zqypx 2222( p与与q同号同号 )用截痕法讨论：用截痕法讨论： 设设0, 0 qpxzyo4848（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax xyoz（1）zoxy.by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆椭圆.时时, 截痕为截痕为22122221byczax( (实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面