清华大学微积分A笔记(上)

1、精选优质文档-倾情为你奉上多元函数、多元向量值函数f(X) F(X)多元函数的切平面、全微分、偏导有多元函数f(X)，若存在向量A=(a1,a2,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(|X-X0|)，则称g(X)=A(X-X0)是f在X0处的切平面df=AdX=a1dx1+a2dx2+andxn是f的全微分bk=(f)/(xk)是将X的其他分量视为常数时f的导数，称为f的偏微分可以证明若A存在，ak=bk=f/ xkNabla算子=(/x1, /xn)A=Grad(f)=A称为f的梯度， (fg) = gf+fg若有单位向量e=(cos1, cos2, cosn)，则称A.e是f

2、沿e方向的方向导数，A.e=f/l 其中l与e平行若f在X0可微：X0处f各一阶偏导存在X0处f有梯度X0处f连续X0处f的各方向导数均存在若f在X0处各一阶偏导函数连续，则f在X0可微A= f是向量值函数，可以观察，e与A平行时，f的方向导数最大，且大小A.e=|A|，称A是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导F(X)=(f1(X),f2(X),fm(X)，若所有fi在X0处可微，则称F在X0处可微，即F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(|X-X0|)，其中A=(aij)m*n=F/ X=(f1,f2,fm)/ (x1,x2,xn)=J(F(X0)称为F在X0处的Jacobian

3、(F的Jacobian的第i行是F的Fi分量的梯度， aij := Fi / xj)F的全微分dF=AdX当m=n时，F有散度Div(F)和旋度Curl(F)Div(F) = .F=f1/x1 +fm/ xm Curl(F) = ×F复合函数求导一阶偏导：若G=G(X)在X0可微，F=F(U) (U=G(X)在G(X0)可微，则FG在X0处可微，J(FG) = J(F(U) J(G(X)具体地，对于多元函数f(U)=f(u1,um)，其中U=G(X)即ui=g(x1,xn)f/xj = f/U * U/xj= Sumf/ui * ui/xj for each ui in U高阶偏导：

4、不要忘记偏导数还是复合函数例：f(U):=f(u1,u2), U(X):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2)2f/(x1)2 = 数学分析教程P151隐函数、隐向量值函数由F(X,Y)=0确定的函数Y=f(X)称为隐函数隐函数：1. 存在定理：若n+1元函数F(X,y)在零点(X0,y0)处导数连续，且(F)/(y)(X0,y0)<>0，则存在(X0,y0)附近的超圆柱体B=B(X0)*B(y0)，使得B(X0)上的任意一点X可以确定一个y使得F(X,y)=0，即函数F在B内确定了一个隐函数y=f(X)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果(F)/(y)=0，那么在X=X

5、0超平面上，y在X0处取得了极值，那么沿曲面被X=X0截的曲线从X0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数2.偏导公式：在B内的(X,y)处，yxi=-F/xiF/y或者说yX=-F/XF/y不正式的证明：F(X,y)0, 所以F/xi=0,即SumF/xj * xj/xi=0 (把y记做xn+1)由于X的各分量都是自变量，xj/xi=0 (i<>j)所以 F/ xi + F/y * y/ xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若XRn,YRm，m维n+m元向量值函数F(X,Y)=0，在P0=(X0,Y0)点的某个邻域B(P0,r)内是C(1)类函

6、数， F(P0)=0，且F/Y可逆，则存在P0的邻域B(X0)*B(Y0)，使得对于在B(X0)内的任意X，存在唯一YB(Y0)满足F(X,Y)=0，即F在B内确定了一个连续可微隐函数Y=f(X)2.偏导公式：J(f):= (y1,ym)/ (x1,xn) := Y/X = -F/Y-1 * F/X注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置2.如果只求J(f)中的一列，(Y)/(xi)= -(F)/(Y)-1 * (F)/(xi)3.如果只求J(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算F/X时，忽略Y是X的函数，将Y当作自变量计算（从证

7、明中可以看出原因，因为y/x的成分被移到了等式左侧J(f)里面)，而不用偏导公式，采取对F(X,Y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，Y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数Y=f(X)将Rn映射至Rm，如果J(f)= f/X可逆，那么存在f的反函数X=f-1(Y)，且J(f-1)=J(f)-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置2.|J(f-1)|=|J(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数F(x,y,z)=0确定了一个曲面

8、。如果F在点P处满足(1) F在P处连续可微(2) F在P处不为0则称P是曲面上的正则点如果曲面在正则点P0(x0,y0,z0)处有法向量n(nx,ny,nz)，A=(x-x0,y-y0,z-z0)，则S在P点的切平面方程为n.A=0,法线方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz (约定分母为0时分子也为0)过P0(x0,y0,z0)与n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直线有标准方程：(X-X0).n1=(X-X0).n2=0，具体地:x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=

9、0I. 曲面的显式表示法z=f(x,y)是曲面S的显式表示正则点P0(x0,y0,z0)处，S的法向量n=(f/x, f/y, -1)II. 曲面的隐式表示法F(x,y,z)=0是曲面的隐式表示法正则点P0处，n=(z/x, z/y, -1) =(-(F/x) / (F/z) , -(F/y) /(F/z) , -1) =(F/x , F/y , F/z)III. 曲线的参数表示法L=x=x(t),y=y(t),z=z(t)是曲线的参数方程正则点P处，t=(x,y,z)是L在P处的切向量，以t为法线的平面称为L在P处的切平面IV. 曲面的参数表示法S=x=x(u,v),y=y(u,v),z=z

10、(u,v)是曲面的参数表示法取通过正则点P的v-曲线Su=u0和u-曲线Sv=v0，在正则点处取切向量，t1=(xu,yu,zu)，t2=(xv,yv,zv)，正则点处的法向量必与t1、t2垂直，可以取n= t1×t2P点处的切平面T可以直接用u、v的参数表示T: X-X0 = J(X).(u-u0,v-v0)，具体就是x-x0 = xu(u-u0)+xv(v-v0)y-y0 = yu(u-u0)+yv(v-v0)z-z0 = zu(u-u0)+zv(v-v0)V.曲线的标准表示法两个曲面F(x,y,z)=0与G(x,y,z)=0的公共解可以确定它们的交线L。正则点P处，L的切向量应

11、该与F的法向量n1、G的法向量n2都垂直，可以取t=n1×n2Taylor公式、函数的极值与最值、Lagrange乘子法定义函数f(X)在X0点的Hessian：H(f)|X0:=H(f(X0):=H(X0)=(2f/xixj)n*nTaylor定理：f(X0+X)=f(X0) + f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0+X) . (X) (0<=<=1)f(X0+X)=f(X0) + f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0) . (X) + o(|X|2)Sketch of proof: f在B(X0)内二阶可微，在B(X0)内任取X= X0+X，令g(t)

12、=f(X0+X)，g(t)= f(X0).X，g(t)= (X)T.H(X0+X) . (X)，直接应用一元Taylor公式即可。极值若X0处有f(X0)=0，则称X0是f的一个驻点在驻点X0处，如果有H(X0)正定，则X0是f的极小值；如果H(X0)负定，X0是f的极大值，否则X0是f的鞍点Sketch of proof: X0附近，f(X0+X) - f(X0)= f(X0).X + 1/2(X)T.H(X0) . (X) + o(|X|2)，而由驻点条件f(X0).X=0，o(|X|2)是无穷小，在足够小的区域内(X)T.H(X0) . (X)决定了函数值变化的符号，如果它恒正，那么H(

13、X0)是正定矩阵；恒负，H(X0)是负定矩阵。说明：(1) 由线性代数的知识，如果A的所有特征值均为正，A正定；A的特征值均为负，A负定，而且设A的最小、最大特征值为、，那么X.X<=XTAX<=X.X(2) 特殊地，如果H(X0)是二阶方阵，那么|H|>0时H可定，其中2f/x1x1>0时H正定，2f/x1x1<0时H负定，2f/x1x1=0，H不定Lagrange乘子法若f在内连续可微，则f的最值点一定在驻点或者处取得。单独的点处f的值易求，连续边集内f的最值可由下述Lagrange乘子法求得：对于函数z=f(X)在限制条件(X):=(1(X), m(X)=0

14、下的极值，若/X满秩，定义Lagrange乘子函数L(X, ) := L(X,1, m) = f(X) + . (X) = f(X) + ii(X) (i=1,m)，f的极值点一定取在L的驻点处。注意：1.限制条件是(X)=0，如果右侧不是零向量，不要忘记移项2.如果限制条件(X)=0构成了“流形”（有界无边），那么f的最值点一定取在L的驻点处含参积分多元函数的连续性：对于上的函数f，>0,X0, =(,X0)>0 s.t. |f(X)-f(X0)|< XB(,X0)若与X0无关，则称f在上一致连续多元函数的一致连续性：>0, =()>0 s.t. X,X, 若|

15、X-X|<则|f(X)-f(X)|<说明：1.与一元微积分相似，若是有界闭集且f在上连续，则f在上一致连续2.连续性条件中的与X无关，或者说对于X都有同一个，则f一致连续设f(x,y)在Q=a,b×c,d上有定义，则称<c,d> f(x,y)dy为含参积分，x是参变量，y是积分变量定义三维几何体=(x,y,z)|(x,y)Q,z<=f(x,y)，的体积V=a,bSdx,S(x)=<c,d>f(x,y)dy,那么V=<a,b>(dx<c,d>f(x,y)dy)是积分的几何意义常用含参积分：(x) = <0,+>

16、;e-t tx-1 dt(x,y) = <0,1>tx-1(1-t)y-1dt广义含参积分：含参积分的性质：以森林为例，木材、药品、休闲娱乐、植物基因、教育、人类住区等都是森林的直接使用价值。令I(x)=<c,d>f(x,y)dy，xa,b，D=a,b×c,d1.建设项目环境影响评价分类管理的原则规定1.若f(x,y)在D上连续，则I(x)在D上连续2.若f(x,y)和f/x在D上都连续，则I(x)在a,b上可微，且I(x) = <c,d> (f/x) dy2.(推广形式)若f(x,y)和f/x在D上都连续，则 = <(x), (x)>

17、f(x,y)dy可微，且(x) = f(x, (x) (x) f(x, (x) (x) + <(x), (x)> (f(x,y)/x) dy（2）疾病成本法与人力资本法3. <a,b>(dx<c,d>f(x,y)dy) = <c,d> (dy<a,b>f(x,y)dx)常用广义含参积分：第二节安全预评价Poisson积分<0,+>e-x2dx = sqrt()/21）直接使用价值。直接使用价值（DUV）是由环境资源对目前的生产或消费的直接贡献来决定的。Dirichlet积分<0,+>(sinx/x)dx = /

18、2一元广义积分收敛性1.<1,+>xpdx收敛p<-1发散p>=-11）规划实施对环境可能造成影响的分析、预测和评估。主要包括资源环境承载能力分析、不良环境影响的分析和预测以及与相关规划的环境协调性分析。2. 1+sintxxpdx安全预评价方法可分为定性评价方法和定量评价方法。绝对收敛p>1条件收敛0<p<=1发散p<=0广义积分的收敛性1.(Cauchy)若>0, A=A()>0, A,A>A, yc,d, |A->A f(x,y)dx|<, 则无界区间上的广义积分<a, +> f(x,y)关于y一致收敛1.环境的概念2.(Dirichlet)若对足够大的A，有一致有界积分<a,A>f(x,y)dx和对x单调的g有limx->+g(x,y)=0关于yc,d一致成立，则广义积分<a,+ >f(x,y)g(x,y)dx一致收敛(有界的广义积分×无穷处的0)3.(Abel)对于yc,d有一致收敛的广义积分f(x,y)dx和对y一致有界、对x单调的g(x,y)，则广义积分&