概率统计课件35两个随机变量的函数的分布

1、第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布的分布的分布 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 小结小结 ZXY2022-4-13一般，先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其一般，先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其 推广到多个随机变量的情形。推广到多个随机变量的情形。 在在多维随机变量多维随机变量中需讨论：已知随机变中需讨论：已知随机变 量量X1, X2, ,Xn 及其联合分布，如何求及其联合分布，如何求 出它们的函数：出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, ,Xn ), i = 1, 2, m 的联合分布。的联合分布。 研究的问题

2、研究的问题在在一维随机变量一维随机变量中讨论了：已知随机中讨论了：已知随机变量变量 X 及它的分布，如何求其函数及它的分布，如何求其函数)(XgY 的分布。的分布。2022-4-13一一. Z=X+Y 的分布的分布(和的分布和的分布)设设 ( X, Y )的概率密度为的概率密度为 f( x, y). 则则 Z= X + Y 的分布函数为的分布函数为:( )()( , )Zxy zFzP Zzf x y dxdy ( , )zxdxf x y dy ( ,)zdxf x ux du固定固定 z 和和 x , 对内层积分对内层积分作变量替换作变量替换 y= u x( ,)zf x ux dx du

3、累累次次积积分分是直线是直线x+y =z 左下方左下方的半平的半平面面xyz交换交换积分积分次序次序2022-4-13,)(求导求导对对zFZ得得 Z=X+Y 的概率密度为的概率密度为:( )( ,)Zfzf x zx dx ( )(, )Zfzf zy y dy 注注: 当当 X, Y 相互独立相互独立时，则由时，则由( , )( )( )XYf x yfxfy( )( )()ZXYfzfxfzx dx ( )()( )ZXYfzfzyfy dy 或或称为称为卷积公式卷积公式记为：记为：XYff ()( )( )()XYXYXYfffzy fy dyfx fzx dx由由 X 和和 Y 的对

4、称性，的对称性， fZ (z)又可写为：又可写为： 有有:( )( )()ZXYfzfx fzx dx 22122212()()221211() ()22xzxeedx 22122212()()221212xzxedx 2022-4-13例例1. 设设 X 和和 Y相互独立的随机变量，且相互独立的随机变量，且211(,)XN 222(,)YN 求求：Z = X + Y 的概率密度的概率密度解解: 利用利用卷积公式卷积公式：2022-4-132122212()2()221212ze 222221221121221212()ztx 令令: :221212dtd x dxeezxz 22221212

5、21122222122212221221)(2)(2)(2121 2022-4-13 结论结论:推广推广到到 n 个相互独立正态随机变量之和，即：个相互独立正态随机变量之和，即： 若随机变量若随机变量 X 和和 Y 相互独立，且相互独立，且211(,)XN 222(,)YN 221212(,)ZXYN 则它们的则它们的和和仍服从正态分布，仍服从正态分布，即：即：2(,)1,2,3,iiiXNin 且它们相互独且它们相互独立，则它们的立，则它们的和和仍服从正态分布。即有：仍服从正态分布。即有： 更更一般一般的有：有限个相互独立的正态随机变量的的有：有限个相互独立的正态随机变量的的的线性组合线性组

6、合仍然服从正态分布。仍然服从正态分布。),(222212121nnnNXXX 2022-4-13例例2.,21分布分布的的且服从参数为且服从参数为相互独立相互独立设设 YX且且 X, Y 的概率密度分别为的概率密度分别为: )(xfX11110()00 xxexx 1(0,0)求求: Z = X + Y 的分布的分布( )Yfy 2(0,0)21120()00yyeyy 2022-4-13解解:( )( )()ZXYfzfxfzx dx 121211()012() ()()()zxzxxexedx 121211012()()()zzexzxdx ( )0Zfz 0z 当当 时，时，0z 当当

7、时，时，2211211111102()(1)ztetztd 令：令：xz t 从从x0z2022-4-131212112()()zez 1212121212() ()()()()zez 1212()112()zze 12(,)B Beta 函数定义：函数定义： B(m,n) =且且 B 函数与函数与 函数之间有关系式：函数之间有关系式：dxxxnm1101)1( ,0,0mn)()()(),(nmnmnmB 2022-4-1312121120( )()00zZzezfzz 12(,0,0) 结论结论:,21相互独立相互独立若若nXXX服从服从且且iX,分布分布的的参数为参数为 i从而得：从而得

8、：12, 12, 布，则它们的布，则它们的和和仍服从参数为仍服从参数为 ,X Y若若 相互独立，且服从参数为相互独立，且服从参数为的的 分分的的 分布分布 推广推广：12nXXX服从参数为服从参数为.,1分布分布的的 nii则其和则其和2022-4-132212102()( )200nnxXxexnfxx 此时则此时则称称 X 服从自由度为服从自由度为 n 的的开平方分布开平方分布，记，记为：为：)(2nX 分布分布服从服从)(222221nYYYXn 1211,22n特别特别当当 时，时，12nXXXX的密度函数为：的密度函数为：(0,1)N1,nYY若若 相互独立，并均服从相互独立，并均服

9、从, 则则正态分布的和仍服从正态分布；而正态分布的平方和和却服从正态分布的和仍服从正态分布；而正态分布的平方和和却服从 分布分布2 2022-4-13 例例3.求求: Z = X + Y 的分布的分布解解:(服从泊松分布服从泊松分布)，且且 X, Y 相互独立。相互独立。12(),()XY 设设0, 1, 2,XY与与 的取值均为：的取值均为：kZ的取值也为非负的整数的取值也为非负的整数()()P ZkP XYk(0,)(1,1)(,0)P XYkP XYkP Xk Y(0) ()(1) (1)() (0)P XP YkP XP YkP Xk P Y因为因为 X与与Y 相相互独立互独立2022

10、-4-1322121112121!1!(1)!kkkeeeeeekkk 12()121211!1!kkkkek 12()121()!kek12()12()!kek 结论结论:服从参数为服从参数为 的泊松分布，且的泊松分布，且若若,X Y12, 12()Z X, Y 相互独立。则它们的和服从参数为相互独立。则它们的和服从参数为 泊松分布，即：泊松分布，即：12() 2022-4-13例例4. 若若X 和和 Y 相互相互独立独立，具有具有相相同的概率密度同的概率密度：求：求：Z = X +Y 的概率密度的概率密度 101( )0 xf x 其其它它为确定积分限，先找出使被积函数不为为确定积分限，先

11、找出使被积函数不为 0 的区域的区域 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx 由卷积公式：由卷积公式：0101xzx 也即也即011xzxz 解解:由已知：由已知：2022-4-1301101( )2120zZzdxzzfzdxzz 其其它它 于是得：于是得：如图示如图示:011xzxz 区域区域2022-4-13例例1 例例3说明说明：不论是连续型随机变量还是离：不论是连续型随机变量还是离散型随机变量，如果它们服从正态分布散型随机变量，如果它们服从正态分布, 分布分布或泊松分布，那么它们的和也仍然服从正态或泊松分布，那么它们的和也仍然服从正态, 分布或泊松分布，并且参数是单个参数之相加

12、分布或泊松分布，并且参数是单个参数之相加,具有这种性质的随机变量也具有这种性质的随机变量也称称其为满足或具有其为满足或具有可加性可加性的随机变量。的随机变量。 归纳归纳 求解例求解例1 例例3过程中知：过程中知： 在求随机向量在求随机向量( X, Y ) 的函数的函数 Z = g( X, Y ) 的分布时，的分布时，关键是关键是设法将其设法将其 转化为转化为( X, Y )在一定范围内取值的形式，从而利在一定范围内取值的形式，从而利 用已知的分布求出用已知的分布求出 Z = g( X, Y ) 的分布。的分布。2022-4-13 二二. 的分布的分布 (商的分布商的分布) XZY 设设 ( X

13、, Y ) 的概率密度为的概率密度为 f( x, y )则则 的分布函数为的分布函数为: XZY 21)()(GGZzZPzF10( , )( , )yzGf x y dxdydyf x y dx 0(, )zdyy f yu y du xzy xy01G2G1:G对于对于固定固定 z, y 令令:yxu )0( y0(, )zy f yu ydydu 2022-4-13:2G对对(0)xuyy令令同样有同样有:2( , )Gf x y dxdy 0(, )zy f yu y dydu 故有故有:12( )zGGF z 00(, )(, )zy f yu y dyy f yu y dy du(

14、 )ZFzXZY 对对 求导得求导得 概率密度函数为概率密度函数为: ( )Zfz 00(, )(, )y f yz y dyy f yz y dy (, )y f yz y dy 2022-4-13注注: 当当 X, Y 相互独立时相互独立时, 则有则有:( )()( )ZXYfzyfyzfy dy 的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于关于关于为为YXYXyfxfYX,),()(),(例例5. 设设 X, Y 的概率密度分别为的概率密度分别为:0( ),0 xexf x 其其它它220( )0yeyf y 其其它它并且并且 X, Y 相互独立。相互独立。XZY 求求： 的概率密度函数的概率密

15、度函数 2022-4-13解解: 因为因为 X, Y 的取值范围分为大于零与小于等于零的取值范围分为大于零与小于等于零两段，所以两段，所以 Z 的取值范围也分为：的取值范围也分为：00zz与与( )()( )0ZXYfzy fyz fy dy ( )()( )ZXYfzy fyz fy dy 0z 当当 时时： 0z 当当 时时： 202yzyy eedy 0() 0ydy 22(2) z 0)2(2dyyezy2022-4-13220(2)( )00Zzzfzz 三、三、M = max ( X, Y ) 及及 N = min( X, Y ) 的分布的分布最大值最大值和最小和最小值分布值分布

16、设设X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布是两个相互独立的随机变量，它们的分布 函数分别为函数分别为FX ( x ) 和和FY ( y ) 所以得：所以得：求：求：M = max ( X, Y ) 及及 N = min ( X, Y ) 的分布函数的分布函数.1. M = max ( X, Y ) 的分布的分布解：解：max(,)X YmXmYm和和因为：因为：2022-4-13max()()FmP Mm)()(mYPmXP )()(mFmFYX max()()()XYFmFmFm2. N = min ( X, Y ) 分布分布min( )()1()FnP NnP Nn1(,)P Xn

17、Yn所以：所以：(,)P Xm Ym 从而得：从而得：因为：因为：由独立性由独立性)(1 )(1 1nYPnXP )(1 )(1 1nFnFYX 2022-4-13min( )11( ) 1( )XYFnFnFn注注:(),iXiFx1,2,in 所以得：所以得：min( )Fnmax()Fm与与由由通过对其求导得相应的通过对其求导得相应的maxmin()( ).fmfn与与概率密度函数概率密度函数 推广推广：12,nXXXn是是 个相互独立的随机变个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：量，它们的分布函数分别为：则：则：1212max(,)min(,)nnMXXXNXXX与与的分布函数分

18、别为的分布函数分别为:12max()()()()nXXXFmFmFmFm12min( )11( ) 1( )1( )nXXXFnFnFnFn2022-4-13max()( ) ,nFmF x min( )1 1( )nFnF n12,nXXX特别特别，当，当相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的分布函数分布函数 F(X) 时（即独立同分布），则有：时（即独立同分布），则有：设随机变量设随机变量X1, X2相互独立，并且有相同的几相互独立，并且有相同的几何分布，即何分布，即 P( Xi = k ) = p( 1 p ) k -1 , k=1, 2, ( i =1, 2) 例例6.求求： 的分布的分布12max(,)YXX 解解： 解法一解法一因为：因为：P( Y = n ) = P( max( X1, X2) = n )2022-4-13= P( X1= n, X2n ) + P( X2 = n, X1 0 时时 , 000 xtXFxdtedt 1xe 当当 x 0 时时 , 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 故故 类似地类似地 , 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy 可求得可求得 Y 的分布函数为的分布函数为于是于是 的分布函数为的分布函数为 min,ZX Y = 1-1-FX(z)1-FY(z) minFz()1,0 ,0 ,0