几种特殊类型函数的积分

1、 第四章第四章 二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理式的积分三、简单无理式的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分第四节第四节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 几种特殊类型几种特殊类型 函数的积分函数的积分定义：定义：两个多项式的商表示的函数称为两个多项式的商表示的函数称为有理函数有理函数. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(此此处处)(xP，)(xQ之之间间没没有有公公因因式式，即即)()(xQxP是是既既约约分分式式。 一、有理函数的积分一、有理函数的积分即即,)1(mn 称此有理函数是称此有

2、理函数是真分式真分式；,)2(mn 称此有理函数是称此有理函数是假分式假分式；机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 利用多项式除法利用多项式除法, , 假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。多项式和一个真分式之和。例例1123 xxx.112 xx 多项式的不定积分是容易求的，因此，多项式的不定积分是容易求的，因此，下面我们只讨论真分式的不定积分。下面我们只讨论真分式的不定积分。说明：说明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设)()(xQxP是是真真分分数数，它它的的不不定定积积分分可可按按下下面面步步骤骤求求： （1）将

3、将)(xQ在实数范围内分解成一次多项式和在实数范围内分解成一次多项式和二次多项式的乘积：二次多项式的乘积：kax)( ，lqpxx)(2 ，其中，其中042 qp，lk ,是正整数；是正整数； （2）按按)(xQ的的分分解解结结果果，将将)()(xQxP拆拆成成若若干干个个部部分分分分式式的的和和（部部分分分分式式是是指指如如下下两两种种类类型型的的分分式式：naxA)( ，nqpxxNMx)(2 ，, 2 , 1 n，042 qp） 。 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后含有下列项，则分解后含有下列项: :kax)( ,

4、)()(121axAaxAaxAkkk 则分解后含有下列项：则分解后含有下列项：（2）分母中若有因式分母中若有因式 , , 其中其中kqpxx)(2 042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iA，iiNM ,都是常数都是常数), 2 , 1(ki ，用待定，用待定系数法确定系数法确定 具体步骤如下：具体步骤如下：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: : CaxA ln)1( nCaxnAn 1)(1 xaxAd. 1 xaxAnd)(. 2 xqxpxNxMd. 32

5、xqxpxNxMnd)(. 42)1,04(2 nqp变分子为变分子为 )2(2pxM 2pMN 再分项积分再分项积分 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA 整理得整理得例例1 1 求积分求积分 .)1)(21(12 dxxx解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxdxx 22115115221

6、154.arctan51)1ln(51|21|ln522Cxxx .1515221542xxx )1)(21(12xx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxdxxxdx 22211511151)2(211522)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C例例2 2：求积分求积分 .)1(12dxxx 解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxx 2)1(1dxx

7、xx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.|1|ln11|lnCxxx .11)1(112 xxx2)1(1 xx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1:11211232324 xxxxxxx)1)(1(1222 xxxxxx112 xxCBxxAx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解得：解得：,35,34,32 CBAdxxxxdxxdxxI 1353411322Cxxx 312arctan32|1|ln322132dxxxxdxxdxxI 123123211322dxxxxxxddxxdxx 43)21(11)1(32

8、1132222机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxdxxxxdxxdxx 1111232113222解解2:2:11211232324 xxxxxxx111332332 xxxxx111332232 xxxxxdxxdxxdxxI 43)21(11132233Cxxx 312arctan32|1|ln322132机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: : dxxxxxI )541441(22dxxdxx 1)2(1)2(122Cxx )2arctan(21说明说明: : 将有

9、理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, ,但不一定简便但不一定简便 , , 因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法. . .d)22(222 xxxx解解: : 原式原式 xxxd)22(22)22(2 xx)22( x 1)1(d2xx 222)22()22d(xxxx)1arctan( x2212 xxC 例例5 5：求积分求积分 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxxdxxxxx22222)22(22)22(22解解: : 原式原式 xxd14)1(2 x)1(2 x21 1

10、d4xx2arctan2211xx 21 221 ln21xx21 xxC xxxxd11121222 xxxxd11121222 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212 Cxxxx 1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁例例6 6：求积分求积分 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2)1(212xx)1d(xx 2)1(212xx)1d(xx 三角函数的有理式的定义：三角函数的有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为成的函数一般记为)cos,(sinxxR2cos2si

11、n2sinxxx 2sec2tan22xx 22122tan12tan2uuxx 二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分2tanxu 令令uxarctan2 （万能置换公式）（万能置换公式）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12tan122 x,12sin2uux ,11cos22uux duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 12cos2cos2 xx,11112222uuu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2tanxu 令令uxarctan2 万能置换公式万能置换公式例例7 7：

12、求积分求积分.cossin1sin dxxxx解：解：,12sin2uux ，2211cosuux ，duudx212 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令2tanxu duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 duuuduu 2211

13、1duu 11例例8 8：求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解1：2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 用万能公式较繁用万能公式较繁 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141机动机动 目录目录

14、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxx2cossin141 dxx2cos141xcos41 xxcotcscln41 .tan41Cx 例例8 8：求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2： dxxxxsin3sinsin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 同解同解1 1 xdxtansin141xtan41 dxxxxxx2sincostan41sintan41xtan41 dxxxxxx2sincostan41sintan41xtan41 dxxxsin141cos141 dxx2cos

15、141xcos41 xxcotcscln41 .tan41Cx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：一般来说，用万能置换的计算量会比较大，一般来说，用万能置换的计算量会比较大， 故在计算三角函数有理式的积分时，通常先故在计算三角函数有理式的积分时，通常先考虑其它方法，不得已再用万能置换。考虑其它方法，不得已再用万能置换。三角函数有理式的主要积分类型及代换三角函数有理式的主要积分类型及代换dxxxR cos)(sin)1(tx sin令令dxxxR sin)(cos)2(tx cos令令dxxxR 2sec)(tan)3(tx tan令令)cos,(sin)c

16、os,(sin)4(xxRxxR 若若tx sin令令)cos,(sin)cos,sin()5(xxRxxR 若若tx cos令令tx 2tan令令)cos,(sin)cos,sin()6(xxRxxR 若若万能代换万能代换)7(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 tx tan令令解解1:)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 满足满足tx tan令令txarctan xxx222tan1tansin 221tt dttdx211 dtttttI22222411)1(1)1(1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxI 44cos

17、sin12211costx dttt 4211例例9 9：求积分求积分dtttt 222111)1(2)1(12ttdtt Ctt 21arctan21Cxx tan21tanarctan21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dtttI 4211解解2：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxI )tan1(cos144xdxxtantan1tan142 Cxx tan21tanarctan21（同解法（同解法1 1）dxxxI 44cossin1例例9 9：求积分求积分xdxxtan)tan1(cos142 解解3：机动机动 目录目录 上

18、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxxxI 22222cossin2)cos(sin1dxx 2sin21112)2(2sin212xdx Cx 22tanarctan21dxxxI 44cossin1例例9 9：求积分求积分)2(2cos112xdx )2()12cos1(2cos122xdxx )2(tan)22tan(12xdx 例例1010：求求解：解：.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln.|11|ln2Cxex ),1ln(2 tx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

19、结束结束 三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分.21d3 xx解：解：令令,23 xu则则,23 uxuuxd3d2 原式原式 u123uuduuud11)1(32 uuud)111(3 (3 221uu u 1lnC )32)2(23 x323 x321ln3 x例例1111：求积分求积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 C 例例1212：求积分求积分.1113 dxxx解：解：令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 机动机动 目录目

20、录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dttt 11163dtttt )111(62例例1313：求积分求积分 dxxxx11解：解：令令txx 1,112 tx ,1222 ttdtdx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxx11dttttt 222)1(2)1( 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 简单无理函数积分小结简单无理函数积分小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 1、当被积函数含有根式，且根式中含有三角函、当被积函数含有根式，且根式中含有三角函 数、指数函数、对数函数时

21、，可先令整个根数、指数函数、对数函数时，可先令整个根 式为式为 t ，去掉根式后再作。，去掉根式后再作。dxbaxxRn ),(.2nbaxt 令令dxbaxbaxbaxxRknnn ),(.321nbaxt 令令的最小公倍数的最小公倍数是是knnnn,21),(.4necxbaxxR necxbaxt 令令dxxxI 111机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1:uxx 1令令22)21(uux duuuuudx)11(21222 duuuuuI3222)1)(1(11 duuuuu 323121Cuuuu 24121|ln2121Cxxxxxx )1ln(21)

22、1(212例例1414：求积分求积分duuuu )1111(2132机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2：dxxxxI 211dxxxdxdxx 1212121xxt1 令令112 txdxxx 1)11(2 td tdtttt 11122dxxxI 111例例1414：求积分求积分Ctttt 11ln2112Cxxxx )1ln()1(CxxxxxxI )1ln(21)1(212故故dxxx 1)11(2 td tdtttt 11122机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxt1 注意：注意：四、内容小结四、内容小结1. 1. 可积函数的

23、特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2. 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, ,但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法 , ,简便计算简便计算 . .简便简便 , , 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业习题习题4-4 (P280) 2 (双双)；3 (双双)；4 (双双)；机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动

24、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: : dtttI 422)1(则则令令,1 xtdtttt)321(432 Cttt )111(32Cxxx )1(1)1(111(32备用题备用题2 2、求积分求积分 xxxd)4)(1(22)4()1(22 xx.d4555222423 xxxxxxI xxxxxId4552243 xxxxd4552242 45)45d(212424xxxx45ln2124 xx2arctan21x Cx arctan解解: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3 3、求积分求积分.sin14 dxx解解1,2tanx

25、u ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2 2修改万能置换公式修改万能置换公式, , 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xutan 3 3、求积分求积分.sin14 dxx解解3可以不用万能置换公式可以不用万能置

26、换公式. . dxx4sin1xdxx22csc)cot1( )cot()cot1(2xdx)cot(xd .cot31cot3Cxx 说明：说明：比较以上三种解法便知，万能置换不一比较以上三种解法便知，万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法, , 故三角有理式的计算中先故三角有理式的计算中先考虑其它手段考虑其它手段, , 不得已才用万能置换不得已才用万能置换. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3 3、求积分求积分.sin14 dxx.)0(cossind2222 baxbxax解解: : 原式原式xxdcos12222tanbxa 222)(tantand1abx

27、xa)tanarctan(1xbaba C 说明说明: : 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及及的积分时的积分时, ,xttan 往往更方便往往更方便 . .的有理式的有理式用代换用代换4 4、求积分求积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xbxacossin解法解法1 1 cos,sin2222 babbaa令令22baxbabxbaacossin2222sincos原式原式 )(cosd1222 xxbaCxba )tan(122 Cbaxba )arctantan(122baarctan 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

28、束结束 . )0(d)cossin(12 baxxbxa5 5、求积分求积分解法解法2 2 原式原式 dx2)tan(bxa x2cos 2)tan(tandbtaxCbxaa )tan(16 6、求积分求积分dxxI 2sin21解解1)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 满足满足tx tan令令txarctan xxx222tan1tansin 221tt dttdx211 dttttI22211121 dtt 221Ct 2arctan21Cx 2tanarctan21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6 6、求积分求积分解解2机动机动 目录目录 上

29、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxI 2cos11dxxx )cos11(cos122xdxtan)tan2(12 Cx 2tanarctan21dxxI 2sin21解解3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxI 2cos11dxxxxx )sincossin1(sin12222xdxcot)cot21(12 Cx )cot2arctan(216 6、求积分求积分dxxI 2sin21解解1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxI 44cossin1tx tan令令txarctan xxx222tan1tansin 221t

30、t dttdx211 2211costx dtttttI22222411)1(1)1(1 dttt 432)1(dtttt )331(224Ctttt 3333133Cxxxx 3tantan3tan3tan31337 7、求积分求积分解解2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xdxI22sin184 )2(cot)2cot1(82xdx Cxx )2cot312(cot83dxxxI 44cossin17 7、求积分求积分解解3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxxxI 4422cossincossindxxxdxxx 2442coss

31、in1cossin1dxxxxxdxxxxx 24224222cossincossincossincossindxxdxxxdxx 4224sin1cossin12cos1xdxxdxxdxcot)cot1(22sin14tan)tan1(222 Cxxxx 3tancot2cot43tantan323dxxxI 44cossin17 7、求积分求积分dxxI sin11解解1tx 2tan令令212sinttx dttdx212 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dtttI 2212dtt 2)1(2Ct 12Cx 2tan128 8、求积分求积分解解2机动机动 目

32、录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Cx 2tan12dxxxI 2)2cos2(sin1)2()2tan1(2cos1222xdxx )2(tan)2tan1(122xdx dxxI sin118 8、求积分求积分解解3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxxxI 2cossin1dxxxdxx 22cossincos1Cxx cos1tandxxI sin118 8、求积分求积分解解tx 2tan令令2211costtx dttdx212 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dttttI2221211531 dxxI cos531dtt 241Ctt |22|ln41Cxx 2tan22tan2ln419 9、求积分求积分dxxxI 241解解1txsin2 令令tdtdxcos2 )22( ttdtttIcos2sin44sin212 dtt sin