制作应用数学系概率统计课程组-ppt课件

1、课件制造：运用数学系概率统计课程组概率论与数理统计概率论与数理统计2.2-2.32.2-2.3随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、离散型随机变量的概念一、离散型随机变量的概念二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数三、常见的离散型随机变量的概率分布三、常见的离散型随机变量的概率分布随机变量的分类随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类：随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量延续型随机变量延续型随机变量一切取值可以逐个一切取值可以逐个一一列举一一列举全部能够取值不仅全部能够取值不仅无穷多，而且还不无穷多，而且还不能一一列举，而是能一一列举，而是充溢一个区间充溢一个区间

2、.定义定义: 假设随机变量假设随机变量 X 的能够取值是有限多个或无的能够取值是有限多个或无穷穷 可列多个，那么称可列多个，那么称 X 为离散型随机变量为离散型随机变量.描画离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布描画离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即或分布律，即, 2 , 1,)(kpxXPkk概率分布的性质概率分布的性质一、离散型随机变量的概念一、离散型随机变量的概念q , 2 , 1, 0kpk非负性非负性q 11kkp规范性规范性F( x) F( x) 是分段阶梯函数，在是分段阶梯函数，在 X X 的能够取值的能够取值 xk xk 处处发生延续，延续点为第一类腾跃延续

3、点发生延续，延续点为第一类腾跃延续点. .二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数)()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(OOO)(xXP216131120 x61211)(xF分布函数图分布函数图概率函数图概率函数图留意右延续留意右延续留意留意: :离散型随机变量的概率分布分以下几步来求离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: : (1) (1)确定随机变量的一切能够取值确定随机变量的一切能够取值; ; (2) (2)设法如利用古典概率计算取每个值的概率设法如利用古典概率计算取每个值的概率. . (3) (3)

4、列出随机变量的概率分布表或写出概率函数列出随机变量的概率分布表或写出概率函数. .例例2.2.12.2.1 从从1 11010这这1010个数字中随机取出个数字中随机取出5 5个数字，令个数字，令X X：取出的：取出的5 5个数字中的最大值试求个数字中的最大值试求X X的分布律的分布律 kXP 详细写出，即可得详细写出，即可得 X X 的分布律：的分布律：X 5 6 7 8 9 10 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 解：解：X X 的能够取值为的能够取值为.1065， k5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010 并且并且510C41 kC=求分

5、布率一定要阐求分布率一定要阐明明 k k 的取值范围！的取值范围！例例2.2.2 2.2.2 袋内有袋内有5 5个黑球个黑球3 3个白球个白球, ,每次抽取一个不放每次抽取一个不放回回, ,直到获得黑球为止。记直到获得黑球为止。记X X为取到白球的数目为取到白球的数目,Y,Y为抽为抽取次数，求取次数，求X X、Y Y的概率分布及至少抽取的概率分布及至少抽取3 3次的概率。次的概率。 解解: (1)X: (1)X的能够取值为的能够取值为0,1,2,3, 0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3P(X=1)=(35)/(85)/(87)=15/56,7)

6、=15/56,类似有类似有P(X=2)=(3P(X=2)=(32 25)/(8 5)/(8 7 7 6)=5/56, 6)=5/56, P(X=3)=1/56, P(X=3)=1/56,所以所以,X,X的概率分布为的概率分布为X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y的能够取值为1,2,3,4,P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为：(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=

7、6/56(1) 0 (1) 0 1 1 分布分布X = xk 1 0X = xk 1 0Pk p 1-pPk p 1-p0 p 10 p 11 , 0,)1 ()(1kppkXPkk 注注: :其分布律可写成其分布律可写成三、常见的离散型随机变量的概率分布三、常见的离散型随机变量的概率分布 凡是随机实验只需两个能够的结果，凡是随机实验只需两个能够的结果，运用场所运用场所常用常用0 0 1 1分布描画，如产品能否格、人口性别统分布描画，如产品能否格、人口性别统计、系统能否正常、电力耗费能否超负荷等等计、系统能否正常、电力耗费能否超负荷等等. .(2) (2) 离散型均匀分布离散型均匀分布 X1x

8、2xnxkpn1n1n1如在如在“掷骰子的实验中，用掷骰子的实验中，用 表示事件出现表示事件出现 点，点， 那么随机变量那么随机变量 是均匀分布是均匀分布 iX iXX14kp6123566161616161(3) (3) 二项分布二项分布),(pnB背景：背景：n n 重重Bernoulli Bernoulli 实验中，每次实验感兴实验中，每次实验感兴趣的事件趣的事件A A 在在 n n 次实验中发生的次数次实验中发生的次数 X X是一离散型随机变量是一离散型随机变量假设假设P ( A ) = p , P ( A ) = p , 那么那么nkppCkXPkPknkknn, 1 , 0,)1

9、()()(称称 X X 服从参数为服从参数为n, p n, p 的二项分布的二项分布( (也叫也叫BernolliBernolli分布分布).).记作记作),(pnBX0 0 1 1 分布是分布是 n = 1 n = 1 的二项分布的二项分布. .二项分布的图形 例例3.1.1 3.1.1 一大批产品的次品率为一大批产品的次品率为0.10.1，现从中取，现从中取 出出1515件试求以下事件的概率：件试求以下事件的概率： B = B = 取出的取出的1515件产品中恰有件产品中恰有2 2件次品件次品 C = C = 取出的取出的1515件产品中至少有件产品中至少有2 2件次品件次品 ,取取出出一

10、一件件产产品品为为次次品品 A . 1 . 0 AP则则 由于从一大批产品中取由于从一大批产品中取1515件产品，故可近似件产品，故可近似 看作是一看作是一1515重重BernoulliBernoulli实验实验解：解：所以，所以， 1322159 . 01 . 0 CBP CPCP 1141151500159 . 01 . 09 . 01 . 01 CC例例3.1.2 3.1.2 一个完全不懂英语的人去参与英语考试一个完全不懂英语的人去参与英语考试. .假设此考试有假设此考试有5 5个选择题，每题有个选择题，每题有n n重选择，其中只重选择，其中只有一个答案正确有一个答案正确. .试求：他通

11、畅能答对试求：他通畅能答对3 3题以上而及题以上而及格的概率格的概率. . 解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他能否正确回答各题 也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli实验 .)5 , 1 , 0(,)1()( kppknkmPpknkk:,4,1此此人人及及格格的的概概率率是是时时于于是是当当其其中中 nnp10. 041554341454341355423543 ppp)/1 , 5(nBm这这个个随随机机变变量量他他答答对对题题数数(4) Poisson (4) Poisson 分布分布)(或或)(P或或假设假设, 2 ,

12、1 , 0,!)(kkekXPk其中其中0是常数，那么称是常数，那么称 X X 服从参数为服从参数为的的Poisson Poisson 分布，记作分布，记作)()(P在一定时间间隔内：在一定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；一匹布上的疵点个数； 大卖场的顾客数；大卖场的顾客数；运用场所运用场所: :总机接到的次数；总机接到的次数；一个容器中的细菌数；一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地域发生的交通事故的次数某一地域发生的交通事故的次数;市级医院急诊病人数；市级医院急诊病人数；等等等等.例例3.1.3 3

13、.1.3 设随机变量设随机变量X X 服从参数为服从参数为的的PoissonPoisson分布，分布，且知且知 21 XPXP解：随机变量解：随机变量 X X 的分布律为的分布律为 试试求求4 XP ，210! kekkXPk 由知由知 21 XPXP假设随机变量假设随机变量X 的分布律为的分布律为 ., 2 , 1! kkckXPk 为为常常数数其其中中0 试确定未知常数试确定未知常数c .例例3.1.4, 1!11 kkkkkckc 由分布率的性质有由分布率的性质有解：解： 1!kkk 而而1 e.11 ec所所以以1!0 kkk (5) (5) 几何分布几何分布 设用机枪射击一次击落飞机

14、的概率为设用机枪射击一次击落飞机的概率为 , ,无限次地射击，无限次地射击，那么初次击落飞机时所需射击的次数那么初次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为服从参数为 的几的几何分布，记何分布，记 . .即即 pXp)(pGX,)1 ()(1ppkXPk, 2 , 1k 容易验证，假设在前容易验证，假设在前 m m 次射击中未击落飞机，那么次射击中未击落飞机，那么, ,在在 此条件下，为了等到击落时辰所需求等待时间也服此条件下，为了等到击落时辰所需求等待时间也服 从同一几何分布，该分布与从同一几何分布，该分布与 m m 无关，这就是所谓的无关，这就是所谓的 无记忆性无记忆性. . (6) (6)

15、超几何分布超几何分布 设有产品设有产品 件，其中正品件，其中正品 件，次品件，次品 件件 ，从中随机地不放回抽取，从中随机地不放回抽取 件，件， ，记，记X X为抽到的为抽到的的正品件数，求的正品件数，求X X 的分布律的分布律. .此时抽到此时抽到 件正品的概率为件正品的概率为 sNMNMsnNn k k=0 k=0，1 1， ， nsknMkNkXP)(n称称X X 服从超几何分布服从超几何分布. .记记 ),(nNMHX可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实践运用中，当在实践运用中，当 都很大时，超几何分布都很大时，超几何分布可用

16、下面式子近似可用下面式子近似 NMs, nsknMkNkXP)(,)()(knksMsNkn (7) (7) 负二项分布负二项分布PascalPascal分布分布) () (自学自学) ) (8) (8) 截塔截塔ZipfZipf分布分布 ( (自学自学) ) 课堂练习课堂练习1. 将一枚均匀骰子抛掷将一枚均匀骰子抛掷3次，令次，令X 表示表示3次次中中出现出现“4点的次数点的次数求求X的概率函数的概率函数3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkk提示：提示：. . 设生男孩的概率为设生男孩的概率为p,p,生女孩的概率为生女孩的概率为q=1-pq=1-p，令，令X X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿中个婴儿中“男孩的个数男孩的个数. .求求X X的概率分布的概率分布. .4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 (44kppCkXPkkkX的概率函数是：的概率函数是：男男 女女解解:X :X 表示随机抽