数学奥林匹克高中训练题125

1、年第期熬孥象游蜃窘鑫吩锄锨迢（）中图分类号：文献标识码：文章编号：（）第一试一、填空题（每小题分，共分）设点在的外部，且一曰一则脚：伽十张卡片显示数字（如图）将相邻两张卡片的位置互换一次称为一次操作（如第一次操作后数字从原始的变成）则将原始数字换成一个可被整除的数至少需要次操作团回团曰日曰曰曰困田图已知两个非零复数戈、的立方和为剐（刍）一（南）一的锄一如图，在长方体中，二面角。一的度数为，：则数字钟分别用两个数字显示小时、分、秒图（如：）在同一天的：（按小时计算）之间，钟面上的六个数字都不相同的概率是数列口。满足。÷，及对于自然数，口川口。则蚤的整数部分是已知四次多项式（）的四个实根

2、构成公差为的等差数列则，）的所有根中最大根与最小根之差是如图，已知、分别是单位正方形的边、上的点，么，千点。于点，上膨于点，于点鼠则四边形的面积为圉二、解答题（共分）（分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点已知（，）、（，），是椭圆南等内的整点若删，求符合条件的整点的个数（分）已知、是的三边长，且满足丢古÷寻（丢古），其中，“”分别表示循环和、循环积试判定的形状（分）设，口”，均为实数，是关于聋的实系数方程戈的复数根，且口。口口求证：”加试一、（分）已知黝、船是的切线，、为切点，是劣弧上一点，万方数据中等数学的延长线分别交、于点、，是的中点，平分么交于点，求证：，是的

3、内心二、（分）四位数和凡互为反序的正整数，且，（），、，分别有个、个正因数（包括和本身），的质因数也是的质因数，但的质因数比的质因数少个求的所有可能值三、（分）求所有的函数，使得对于所有的正数，恒有夥（厂（菇）以）三（菇）（“茗），）四、（分）是否存在个集合口，口，。（，可一，巧一，巧，）满足下列三个条件：（）尻川（，约定嘲）；（）当歹时，；召；（）当时，最毋？参考答案第一试、。如图，设、分别是边、的中点，联结则葫葫：一，蔬砣：蔬一×得斗伽一凹一：砀一蔬天？图则面：一因此，与蔬共线，且面蔬于是，朋应故穗手幺注石，垒注意到×于是，原始数字不管经过几次操作均能被整除又（）一（）

4、，（）÷，因为（）（），所以，与、与交换后，所得数字能被整除或一设菇则解得加一或一当彬一时，原式（南）（击）咖当彬一时，原式（一埘，（）。（等）一（三）一爿咖搿咖（加）埘）（一）（一）酗一船扩一厢点，联结由对称性可知图上，所以，么是二面角，的平面角，即么设口则，于是，在，毛脚。¨层筹每在中，由余弦定理得么栅气警萨一一一一一一够面曰射球眠熵壤毗醮傩交乱埋曩又，山哪图点泉姗鲰舭舭礁田舳生肛万方数据年第期故么（叱么）一咖么专号。：万而：学切仅：丝业：后丘旦。为了满足题中的条件，设钟面显示应为：（，）当，时，和应在小于中的另外四个数中选择因而，。有四种选择方式，。有三种选择方式由于

5、已选择了四个数字，：和：就只能从剩余的六个数字中选择，它们分别有六种、五种的选择方式在：之间，这种情形共有时间总数是×××当。、中只有一个小于时，类似可求在：之间，这种情形共有时间总数是×因此，钟面上的六个数字都不相同的次数是，概率为兰至一旦×注意到一口。（口。）口。口。考一：土一上口“口则羹者去一赤一忐因为口：。，：，所以，所求整数部分为店设四次多项式（戈）的四个实根分别为、贝（）（茗一口）（石一口）（髫一口）（髫一口一）（）令一于是，八戈）（）（）（一）（）七（，一）（）则（）（）（）因而，（）的三个根为一亨、万于是，（茗）的三个根为一，、

6、口、口歹故（口歹）一（一互）亨÷设么，么卢。，么则出扣口争瓤丢同理，出甜虿故四边形删铘一÷卢（。“）÷卢（）专血。一上一二、联结似易知椭圆内整点在菇轴上有两个肘。（，）、（，）满足题意分别过点。、鸩作平行于直线伽的两条直线。、：根据三角形等底同高面积相等可知，符合条件的整点膨均在直线。、：上易知后故直线。、：的解析式分别为，丢（茹），÷（菇一）万方数据中等数学已知是椭圆丽等内的整点，有面等分别解上笠，号（髫），得一菇一面，西菇由是整点，且在直线，、上，知戈为偶数所以，在一石一西及西茗中，名分别有个偶数故符合条件的整点的个数为设，贝以、已、为边长可构成一个

7、于是，吼虿百吾历一一腿鹰后磊磊鲫丁厂磊一瓦叹可在中，恒有譬导虿虿，虿虿虿虿，当且仅当么詈时，式等号成立故吾上式两边同乘以丢“万得÷仁巧甜记巧由式及题设不等式得÷腮钏记巧此即为式中等号成立所以，么么么，要祀沪口口口为等边三角形因颓是方程算的根，所以，哦膏（）哦膏毒”（哦一），其中，¨（，）为非负数又考“（，）考（口一吼一）口（口一口）口。口。“口一由式得“加试一、如图，过点作于点，联结、则由切割线定理及射影定理得尸图所以，、四点共圆故么肿么么肋从而，么么，即平分十：斋垆万方数据年第期么因为即÷仰朋，所以，么么么又么么么，则脚毒篙篙篙故么从而，么因为么么，所

8、以，么么，即口是么的平分线因此。，是的内心二、设，则凡由，凡（），贝（，）故（）（口），（），（）于是，由为奇数，知与乃一奇一偶若，为偶数，即尼，则，为偶数矛盾因此，为偶数，死为奇数记分解质因数后，的个数为，的个数为贝，仅由因数个数定理得（仪）（）于是，（），。所以，或，或故至多有三个质因数于是，至多含有两个质因数，是的一个质因数若凡只有一个质因数，则这个质因数为从而，与，是四位数相矛盾因此，凡含有两个质因数设的另一个质因数为因为，所以，几或或（）故，扎口。叼（、）又（）（）（），贝，即，由，知此时，的值大于当时，。而，不互为反序数，于是，此时，因此，凡于是，詈等瑚一扎，（口）（口），故口因为

9、孢为奇数，所以，为奇数故由式得婴酱尊掣击百广盯一私面因为为偶数，所以，为偶数于是，或当时，由式得因为（一），所以，得，÷于是，或当时，；当时，于是，或因为，所以，又×拜×符合题意因此，三、将菇代人式得（）（），即认）八（）（）若存在石。搿：，使得八筇。）八名：），则将万方数据中等数学 茗，菇代人式得 （曰。，），（。，），（，），（曰，）， （曰。，） 就是一个（，）集合圈（这里第二个分量 交替取，）； （）当为偶数时， （。，），（：，），（，），（。，）， （，），（曰一，），（一，）， 毛恐以毛）坝恐）（茗。）（，）吻） 石一（菇）（髫菇蝴鼻）菇）， 即 由

10、以石。）钒菇：）及式得 髫，髫）（石茗）茗一（茹） 又戈，八茹），贝 茗茗，即 髫，这与相矛盾 故对任意的菇。菇：有 八髫。）以算：） （晚，），（日¨，），（一，）， （，），（日。，），（，），（：，） 是一个（，一）集合圈，其中，表示不 将代人式得八）尺八） 由式得八） 将代入式得 ，（以，）（，九尺） 所以，尺，）弘 大于的偶数，并且除了。、玩对应的第二 分量取值为外，其余所对应的第二个分量 都交替地取， 显然，有（，）集合圈 根据上面构造新集合圈的方法，可依次 得到集合圈： （，），（，），（，），（，）， （，），（，），（，），（，）， （， ），（， ），（， ） 故

11、存在个集合。，：，和 个集合日。，：，。嗍构成的集合圈 （谢文晓湖北省黄冈中学，） 经检验，八茗）菇满足题目要求 四、用（，）表示有个集合。，：， ，和个集合，：，曰；符合题设条件的 一个集合圈，用（曰；，）表示的所有元素与 中的第个元素组成的一个集合 若曰，：，曰，满足题设条件，则 （）当为奇数时， （。，），（启，），（，），（。，）， 走进教育数学丛书介绍 书 目 作者 林群 张景中 张景中 沈文选 朱华伟 朱华伟 李尚志 谈祥柏 彭翕成 张景中 单价 本丛书为“教育数学”量身打造。灌输 微积分快餐 几何新方法和薪体系 一线串通的初等数学 走进教育数学 数学解题策略 从数学竞赛到竞赛数学 数学的神韵 数学不了情 绕来绕去的向量法 直来直去的微积分 “教育数学”理念：改造数学使之更适宜于教 学和学习，是教育数学为自