首届中国大学生数学竞赛-非数学类答案

1、2009)首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类,一、填空题（每小题 5分，共20分）(x y)ln(1 -)1.计算 nD J坐标轴所围成三角形区域dxdyD由直线x y 1与两解令x y u,xv,则v, yu v, dxdy detdudvdudv ,(x y)ln(1x ydxdyu In uuln v .dudv,1 u10(*)212t212 (1 2t0解得1 t24t )dtt4)dt2.设f（x）是连续函数,解令A2(3x2 A4A 一。因此33.曲面z,2 .1 u ln u u(u ln u u),1 u2u .du0 .1(*)dudu2tdt2,31,5_ t _

2、 t350且满足f(x) 3x22 f (x)dx,则 f (x)2)dxf(x)解因平面2x8 2(A 2)3x2 W31 2t2 t4 , u(11615f(x)dx 2 ,则u) t2(1 t)(1 t),f(x)3x22,4 2A,2平行平面2x 2y z0的切平面方程是2y z 0的法向量为（2,2, 1）(xo, yo)处的法向量为(zx(xo, yo), zy(xo,yo), 1),故2而曲面z y2 2在2(zx(xo, yo), zy(xo, yo), 1)与(2,2, 1)平行，因此，由 zx x, zy 2y 知 2 zx(x, y)Xo,2 zy(Xo, yo) 2y0

3、,即 Xo 2,y01，又 z(x0,y0)z( 2,1) 1,于是曲面 2x 2y z 0 在(x, y, z(x, y。)u In u u u u dv In vdv)du1 u 01 u 0x 2y2平行平面2 jf具有二阶导数，且处的切平面方程是 2(x 2) 2(y 1) (z 1) 0,即曲面 2x 2y z 0的切平面方程是2x 2y z 5 0。4.设函数y y(x)由方程xef(y)eyln29确定，其中d2ydx2 -解法1方程xeef(y)f (y)ey ln29的两边对x求导，得xf (y) yef(y)ey y ln 29因 ey In 29(y)yxef(y)y e

4、y ln29xef (y)(y)yx(l f (y)d2y dx21 x2(1f(y)f (y)y-2x1 f (y)(y)-2f (y) 1 f (y)解法2方程x21f (y)3x2(1 f (y)x21f (y)3xef(y)eyln29取对数，得f (y)In xy In In 29(1)方程(1)的两边对x求导,得 f (y)y(2)(3)方程(2)的两边对x求导,得 f (y)y(y)(y)2(4)将(3)代入(4),得f (y)y(y)x2(1 f (y)2将左边的第一项移到右边,-2f (y) (1 f(y) 2-2 yx (1 f (y)(1(y)因此f (y) 1 f (y

5、)2、(5分)求极限11m0(x21f (y)x 2x e enx e);,其中n是给定的正整数.1即y 1x(1 f (y)解法1因x 2x e e lim (x 0nx e)x典(1x 2x e enx e e n)Xx 2x e e A limx 0x 2xe eelimx 0nxe n ennxe n因此xelim (x 0解法2因x e lim ln( x 0xelim (x 02x enxx 2xe 2e2x eelimx 0nxexnxne2x enx e e - 一)xnx e e - 一)xc 2x2e27 enx e5elimx 0ln(exnx nenxe三、(15分)设

6、函数f(x)连续，g(x)g (x)并讨论g (x)在x0处的连续性.解由lim因 g(x)因此，当x2x e_ nx e ) In n3 A和函数f(x)连续知,x10 f (xt)dt故 g(0)f (xt)dt ,且 limQ10 f (0)dt0 时,g(x)f (u)du ,故lxm0g(x)x0 f (u)du lim 当x 0时,g (x)0 f (u)duf(x)g(x)xg(0)lxmxx0 f出lim g (x)limx 0x0 f (u)duxf(x)x这表明g (x)在x 0处连续.f(0) lmf(x)x 0limxlimTf(0) 0,f(0) 0x0 fdt2xl

7、imfx 0 xl x 0 2x.1 一、， lim 2 f (u)dux x四、(15分)已知平面区域 D (x, y)|0 x,0 y , L为D的正向边界,试证：(1)xesinydy ye sinxdxL；xesinydy ye sinydx L证因被积函数的偏导数连续在sin ysinxo xe dy ye dx;L5 2 .2D上连续，故由格林公式知sin(1) xeLydy yesin x dxsin ysin x、一 (xe ) ( ye ) dxdyD x(esinyDy_ sinx、e )dxdysin y ,xe dyLsin x ye dx(xeD x(esinyDsi

8、n y)sin xye)dxdy而D关于x和y是对称的, (esinyD因此(2)sin x e由xesinydyL知：xesinydyye2(1sin xsin x、e )dxdy即知_ sinx、e )dxdysin xeLydyye2!q4!sin ydxsin yye dxsin2 x(esiny(esinyD(eDsin y_sinx、e )dxdysin xdxxeL2(1 t2)1 cos2x2sinx、)dxdysin x e)dxdysin ysin x .dy ye dx5 cos2x(esin ysin ex)dxdy(esin ysin x、! )dxdy(esinyD

9、sin y .e )dxdy(esinxsin x e)dxdysin x(eesinx)dxD5 cos2x , dx/ sin x(eDsin x、e )dxdy口 xesin ydyLsin y , ye dx五、110 分)已知 yixex e2x, y xex ex, y xex e2x e x 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程解设y1xex e2x, y2 xex e x, y3 xex e2x e x是二阶常系数线性非齐次微分方程y by cy f (x)的三个解，则y2yle x以和y3 y1e x都是二阶常系数线性齐次微分方程y by cy 0的解，因

10、此y by cy 0的特征多项式是(2)(1) 0,而y by cy 0的特征多项式是2 b c 0因此二阶常系数线性齐次微分方程为y y 2y 0,由y1 y1 2ylf(x)和x x 2xx x 2xy1e xe2e, y12exe4ex x 2x . x x 2xx2x.知，f(x) yiyi2yixe2e4e(xe e 2e ) 2(xee )(1 2x)ex二阶常系数线性非齐次微分方程为 xxy y 2y e 2xe六、(10分)设抛物线y2ax bx 2 In c 0 x1时，y 0,又已知该抛物线与 x轴1. 及直线x 1所围图形的面积为 一.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转

11、一周而成的旋转体的 3体积最小.解因抛物线y ax2 bx 2lnc过原点，故c 1,于是112.、.o(ax bx)dtb 2 a bx 203 2即b 2(1 a)3而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为V(a)1220(ax bx) dt1220(ax 3(132a)x) dt2 1 441 342 1 2a x dt a(1 a) x dt (1 a) x dt0309012142-a -a(1 a) (1 a) 532712142V (a) a a(1 a) (1 a) 5327218V (a)-a-(12a)(1a) 0,532754 a 45 90a 40 40a4a 5 0

12、因此a:,b32 ,c1.七、(15 分)已知 un(x)满足 un(x) un(x)xn1ex(n 1,2,),且 un(1)e一,求函 n数项级数Un(x)之和.n 1解Un(x)Un(x) xn 1ex ,即n 1 xy y x e由一阶线性非齐次微分方程公式知y ex(Cxn1dx)即ny ex(C -) n因此n.、 x 一 x 、Un(x) e (C ) n0,由 e Un(1) e(C 1)知，C nn于是 n x/、 x eUn(x)n下面求级数的和：令S(x)S(x)S(x)Un(x) n 1/ n 1 x(x en 1x e S(x)1 xn x)S(x) nn 1 xx

13、e S(x) n 1由一阶线性非齐次微分方程公式知cx _1S(x) ex(C dx)1 x令 x 0,得 0 S(0)un (x)的和S(x) exln(1x)八、（10分）求x21时，与 xn等价的无穷大量.n 0t2解令Mt)xt ,则因当0 x 1, t (1,）时，f(t)2txt2t2 f(t) xtt2ln1e x在(0,）上严格单调减。因此f(t)dtf(t)dtf (n)n 0f(0)nnn1f(t)dtf(t)dtf(t)dtf (n)n 10 f(t)dtf (n)2nx ,0所以，当xlimx 11 lnx1 xlimf (t)dtxt dtt2ln-e xdtln1x

14、e t dt0ln1 x1时，与n2xn等价的无穷大量是0首届国珍松竹文化节知识竞赛试题C 老子道德经）C.荀子大略）A 李白赠韦侍御黄裳B 庄子让王C.司马迁史记、单选题1 在中华民族传统文化中，被誉为 岁寒三友 的是（ ）A.松竹梅B.松竹兰C.松兰梅 2 “岁寒，然后知松柏之后凋也。 ”出自（ ）A 李商隐高松 B 孔子论语3 “岁不寒，无以知松柏。事不难，无以知君子。A 石延年古松 B 朱元璋山松4 “大寒既至，霜雪既降，吾是以知松柏之茂也。5 “要学那泰山顶上一棵松，挺然屹立傲苍穹。”出自（ ）A.京剧沙家浜B.评剧芦荡火种C.话剧日出6 “对干燥无所畏惧的生命力最强的花粉，是带有气

15、囊的松花粉。 ”的作者是（ ）A.哥白尼B.达尔文C.牛顿7 “宁可食无肉，不可居无竹。无肉令人瘦，无竹令人俗。人瘦尚可肥，士俗不可医。 ”的作者是（ ）A 王安石B 王维C 苏东坡8 “长生不老有新方，可惜今人却渺茫，细将松黄经曲捣，朝朝服食保康祥。 ”出自（ ）A.汪元亨归隐B.王士雄长寿诗C.白居易枕上行9 “一斤松花不可少，八两蒲黄切莫炒，槐花杏花各五钱，两斤白蜜一起捣，吃也好，浴也好，红白容颜直到老。 ”出自（ ）A.苏东坡花粉歌 B.王象晋群芳谱C.林洪山家清供 10在我国营养学专著中记载补中益气和壮筋骨的“松黄汤”及制作方法出自（A 食物本草 B 饮膳正要 C 调疾饮食辩11 “

16、未出土时便有节，及凌云处尚虚心。 ”指的是（ ）A 菊花B 松树C 竹子12郑板桥所作： “咬定青山不放松，立根原在破岩中；千磨万击还坚劲，任尔东西南北风。 ”比喻的是哪种植物（ ）A 松树B 竹子C 柏树13 “客从岳顶来，贻我松花粉。为言服之久，身轻欲飞翔。 ”的作者是（ ）A .金张健B .唐姚合C .元练鲁14 “天寿山守备太监，辖十二陵掌印等官，凡每年春季进贡松花粉。 ”出自（ ）A 张可久山中书事 B 刘若愚明宫史C 施闰章山行15世界上第一部国家颁布的药典记载的药食兼用花粉是（）A.油菜花粉B.槐花粉C.松花粉16 “松花即松黄，拂取正似蒲黄，久服令轻身，疗病胜似皮、叶及脂也。

17、”出自（ ）A.食疗本草B.新修本草C.神农本草经17世界竹文化的发祥地是（）A 中国B 印度C 埃及18我国第一部有关竹子的专著是晋代戴凯之的（ ）A 易经 B 竹谱 C 周礼19在自然环境中，竹子与其他植物相比能多释放氧气的比例是（ ）A 55%B 45% C 35%20在我国森林资源中，松科植物占资源总量的（ ）A 30% B 60% C 70%21我国马尾松和油松分布在多少个省区（ ）A 23 个 B 17 个 C 7 个22竹子的药用历史始于1500 年前的（ ）A 滇南本草 B 名医别录 C 食物本草23竹叶黄酮的原料是淡竹的叶，主要产自（ ）A.四川绵阳B.江西吉安C.浙江安吉2

18、4松花粉按采集方式属于（ ）A.虫媒花粉B.风媒花粉C.虫媒和风媒花粉25松花粉是裸子植物松科中哪种树的花粉（ ）A.马尾松和油松B.柏松和油松C.马尾松和柏松26松花粉的最佳采摘期为（ ）A.立春前后B.清明前后C.立夏前后27服用松花粉最适宜的水温是（ ）A.开水B.高于摄氏40度的温开水或凉白开水C.低于摄氏40度的温开水或凉白开水28联合国卫生组织对健康的定义是（ ）A.无病即健康B 健康不仅是躯体没有疾病，还要具备心理健康、社会适应力良好和道德健康。C.心理健康29世界卫生组织提出的“四大健康基石”是指（ ）A.合理膳食，适量运动，戒烟限酒，心理平衡B 合理膳食，大量运动，戒烟限酒，

19、心理平衡C.素食主义，适量运动，戒烟限酒，心理平衡30世界卫生组织报告指出，健康与长寿取决于多种因素，下面哪个因素所占比例最高（ ）A.遗传因素B.自我保健C.社会因素31通常所说的合理膳食指的是（ ）A.只吃荤不吃素B.只吃素不吃荤C.荤素搭配膳食平衡32.“圣人不治已病治未病，病已成而后药之不亦晚乎！”出自（）A 白氏内经 B 黄帝内经 C 白氏外经33人体所需的必需氨基酸有几种（ ）A 8种 B 5种 C 3种34针对身体健康状况常说的“三高症”指的是（ ）A.高血脂、高血糖和高胆固醇B.高血脂、高血压和高血糖C.高血脂、高血压和高胆固醇35不良饮食习惯中的“三高”指的是（ ）A.高脂、

20、高糖、高纤维B.高脂、高盐、高纤维C.高脂、高盐、高糖36心脑血管病的两个基础指标是（）A.血压升高和心律不齐B.血压升高和动脉粥样硬化C.心律不齐和动脉粥样硬化37高血压的临床诊断标准是（记录两次以上）（ ）A.高压R 140mmHG 彳氐压 90 mmHGB.高压R 120mmHG 彳氐压 90 mmHGC.高压R 120mmHG 低压 100 mmHG38运动加补钙被认为是防治骨质疏松症的最好方法，如果从食物中不能获得足够的钙，专家建议每天钙的摄入量应维持在（ ）A. 30005000毫克 B. 8001000毫克 C.越多越好39健康的生活方式，包括每天运动的时间应（）A.不少于10分

21、钟 B.不少于20分钟 C,不少于30分钟40高密度脂蛋白胆固醇和低密度脂蛋白胆固醇，哪种对人体有益（）A .低密度脂蛋白胆固醇B.高密度脂蛋白胆固醇C.两种都有益41 “潜在饥饿”指的是（ ）A 因微量营养素的缺乏所造成的饥饿B 因铁缺乏所造成的饥饿C.因锌缺乏所造成的饥饿42亚健康是介于健康和疾病之间的第三种状态，表现为（）A 自己感到不舒服，检测指标也不正常；B 自己感到不舒服，但检测指标正常；C.自己感觉良好，但检测指标不正常；D 自己感觉良好，检测指标也正常。、多选题A 百木之长B 十八公44唐代“美人井”的传说出自（A 张沁妆楼记C.李时珍本草纲目45下面哪些称呼指的是松花粉（A 益寿粉 B 蒲黄46竹叶黄酮对胆固醇的作用为（A 升高高密度脂蛋白胆固醇C.升高低密度脂蛋白胆固醇 47松花粉中含有哪些营养成分（43在植物界松树有王者之尊被称为（）C.木公 D.灵木）B 刘恂岭表录异D.圣祖敕广群芳谱）C 松黄D 松茸）B 降低高密度脂蛋白