高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案

1、函数的单调性与最值学习目标：1 .使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。2 .会用单调性求最值。3 .掌握基本函数的单调性及最值。知识重现1、一般地，设函数 f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足：(1) 对于任意的x I ,都有f(x) M;(2)存在 x0 I,使得 f(x 0)=M.那么，我们称 M是函数y=f(x)的最大值(maximum value)2、一般地，设函数 f(x)的定义域为I ,如果存在实数 M满足：(3) 对于任意的x I ,都有f(x) M;(4)存在 x° I,使得 f(x o)=M.那么，我们称 M是函数y=f(x)的

2、最小值(minimum value )理论迁移例1 “菊花” 2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1米)？例2已知函数f(x)= 2(x2,6，求函数的最大值和最小值。x 1归纳基本初等函数的单调性及最值1 .正比例函数：f(x)=kx(k 0),当k 0时,f(x)在定义域 R上为增函数；当 k 0时,f(x)在 定义域R上为减函数，在定义域R上不存在最值，在闭区间a,b上存在最值，当k 0 时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka,当k 0时，最大值为f(a)=ka，函数f(x) 的最小值为f(b尸kb。2 .

3、反比例函数：f(x)= (k 0),在定义域(-,0)(0,+)上无单调性，也不存在x最值。当k 0时，在(-,0),(0,+)为减函数；当k 0时，在(-,0),(0,+)为增函数。在闭区间a,b 上，存在最值，当 k 0时函数f(x)的最小值为f(b)=,b最大值为f(a尸k ,当k 0时，函数f(x)的最小值为f(a尸 k ,最大值为f(b尸 -。 aab3 . 一次函数：f(x)=kx+b(k0),在定义域R上不存在最值，当 k 0时，f(x)为R上的增，当k 0时，f(x)为R上的减函数，在闭区间m,n上，存在最值，当 k 0时函数f(x) 的最小值为f(m尸km+b,最大值为f(n

4、)=kn+b,当k 0时，函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b , 最大值为f(m)=km+b 。4 .二次函数：f(x)=ax 2+bx+c,当a 0时，f(x)在(-，-B)为减函数，在(2ab 4 ac b有取小值 f()=，无取大值。2a 4a当a 0时，f(x)在(-,-)为增函数，在(2ab.曰 f _b b b 4 ac b有取大值 f()=，无取小值。2a 4ab，+2ab一,+2a)为增函数，在定义域 R上)为减函数，在定义域 R上函数单调性的应用例1如果函数f(x)=x 2+bx+c,对任意实数t都有f(2+t尸f(2-t),比较f(1), f(2) , f(4)的大小

5、。例2已知函数y=f(x)在0,+)上是减函数，试比较 f( 3)与f(a 2-a+1)的大小。4例3已知f(x)是定义在R上的单调函数，且 f(x)的图像过点 A(0,2)，和点B(3,0)(1)解方程 f(x)=f(1-x)(2)解不等式 f(2x)f(1+x)(3)求适合f(x) 2或f(x) 0的x的取值范围。5 .利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。例3已知f(x)=x 2-2(1-a)x+2在(-,4)上是减函数，求实数 a的取值范围。例4已知A = 1,b (b 1),对于函数

6、f(x)= - (x-1) 2+1，若f(x)的定义域和值域都为A,2求b的值。练习：已知函数 y=f(x尸-x 2 +ax- a + 1在区间0,1上的最大值为2,求实数a的值。6 2求函数值域(最值)的一般方法1.二次函数求最值，要注意数形结合注意函数的定义域。与二次函数有关的函数，可以用配方法求值域，但要例1:求函数y=4蓝x-2的最大值和最小值。例 2：求 f(x)=x 2 -2ax+x2,x-1,1 ，求 f(x)的最小值 g(a).4 .利用单调性求值域：当函数图像不好作或作不出来时，单调性成为求值域的首选方法。例3:求函数f(x)= x在区间2,5 上的最大值与最小值。x 15

7、.分段函数的最值问题故求分分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者,段函数函数的最大或最小值，应该先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。x2,( ； x 1)例6:已知函数f(x)=2求f(x)的最大最小值。1-,(1 x 2) x教案：§ 1.2.1 函数的概念教材分析 ：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系， 同时还用集合与对应的语言刻画函数， 高中阶段更注重函数模型化的思想教学目的 ： （ 1 ）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型， 在此基础上学习用集合与对应的语言

8、来刻画函数， 体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（ 2 ）了解构成函数的要素；（ 3 ）会求一些简单函数的定义域和值域；（ 4 ）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“ y=f（x） ”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（ 1 ）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（ 2 ）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（ 3） “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间

9、的变化关系问题3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4. 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系二、 新课教学（一）函数的有关概念1函数的概念：设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f: A-B为从集合 A 到集合 B 的一个函数（ function ） 记作：y=f（x） , x e a .其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（ domain） ；与 x 的值 相对应的y值叫做函数值，函数值的

10、集合f（x）| x A 叫做函数的值域（range）.、，、.一、一注意：“y=f（x） ”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g（x） ”； 函数符号"y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.2 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3区间的概念（ 1 ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（ 2 ）无穷区间；（ 3 ）区间的数轴表示4一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1求函数定义域课本P20 例 1解： （略）说明： 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；如

11、果只给出解析式y=f（x）,而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.巩固练习：课本P22 第 1 题2判断两个函数是否为同一函数课本P21 例 2解： （略）说明： 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。巩固练习：课本P22第2题判断下列函数f (x)与g (x)是否表示同一个函数，说明理由?(1) f (x ) = (x 1) 0; g (x ) = 1(2) f ( x ) = x ; g ( x ) = xx(3) 3 ) f ( x ) = x 2; f ( x ) = (x + 1) 2(4 )f ( x ) = | x | ;g ( x ) = Vx2(三)课堂练习求下列函数的定义域x |x|(1) f(x)1(2) f(x)(3