Microsoft Word - 高等数学公式_费了好大的劲_

1、高等数学公式导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +=+-=+=,ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1(log ln (csc (csc sec (sec csc (sec (22=-=-=222211(11(11(arccos 11(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-=+=-=-=+=+=+=+=+-=+=+-=+=Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca

2、 a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xxln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-+-=-+=+-=+=+=+-=arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln

3、22222222+-=-+-+-=-+=+-=-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22ln(221cos sin 2222222222222222222222p p一些初等函数: 两个重要极限:三角函数公式: 诱导公式: 和差角公式: 和差化积公式:2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos 2sin2sin sin ba b a b a ba b a b a

4、ba b a b a ba b a b a -+=-+=+-+=-+=+ab b a b a b a ba b a ba b a b a b a b a b a ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg =1(1(sin sin cos cos cos(sin cos cos sin sin(m m m xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+=+=+-=+=-=-11ln211ln(1ln(:2:2:22双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457

5、182818284.211(lim 1sin lim0=+=e xxxx x x倍角公式:半角公式:aa a a a a a a a a a a a a a a a a cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+=+=-=+-=+=-=ctg tg正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin = 余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin pp 高阶

6、导数公式莱布尼兹(Leibniz公式:(2(1(0(!1(1(!21(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +-+-+=-=-L L L中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =-=-(F (x x x曲率:aa a a a a a a a a 23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg -=-=-=aaa

7、a a a a a a a a aa a 222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-=.1;0.1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =+=D D =D D D D =+=D 的圆:半径为直线:点的曲率:弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:其中弧微分公式:aa a aa定积分的近似计算:-+-+-+-ban n n ban n ba n y y y y y y y y na

8、b x f y y y y n a b x f y y y nab x f (4(2(3(21(1312420110110L L L L 抛物线法:梯形法:矩形法:定积分应用相关公式:-=bab a dt t f a b dxx f a b y k rm m kF Ap F s F W (1(1,2221均方根:函数的平均值:为引力系数引力:水压力:功: 空间解析几何和向量代数: 。代表平行六面体的体积为锐角时,向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影:点的距离:空间a a q q q j j ,cos (.sin ,cos ,cos Pr Pr (

9、Pr ,cos Pr (2222222212121*c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyxz y xz y xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u vv v vv v v v v v v v v v v v vv vv v v v v v v =+=+=+=+=-+-+-=(马鞍面

10、双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面:同号(、抛物面:、椭球面:二次曲面:参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程:113,22211;,1302,(,0(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=+=+=+=-=-=-+=+=+=-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb

11、y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A v v多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u d

12、x x u du dy y z dx x z dz -=-=-=-=+=+=+=+=D +D =D +=+=,隐函数+,隐函数隐函数的求导公式:时,当:多元复合函数的求导法全微分的近似计算:全微分:0,(0,(,(,(,(,(,(,(,(22,(,(1,(,(1,(,(1,(,(1,(,(0,(0,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u -=-=-=-=隐函数方程组:微分法在几何上的应用:,(,(,(30(,(

13、,(,(2,(,(,(1,(0,(,0,(0,(0(,(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z

14、 y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-=-+-+-=-=-=、过此点的法线方程:、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点处的切线方程:在点空间曲线vv w y j w y j w y j 方向导数与梯度:上的投影。在是单位向量。方向上的,为,其中:它与方向导数的关系是的梯度:在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为:沿任一方向在一点函数l y x f l fl j i e e y x f lf j yf i x f y x f y x p y x f z l x y fx f l

15、 f l y x p y x f z ,(grad sin cos ,(grad ,(grad ,(,(sin cos ,(,(+=+=+=v v vv v v j j j jj 多元函数的极值及其求法:=-=不确定时值时,无极为极小值为极大值时,则:,令:设,00,(,0,(,00,(,(,(0,(,(22000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x重积分及其应用:+-=+=+=+=Dz Dy Dx z y x Dy Dx DDy DxDD Da y x x

16、d y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y MM y d y x d y x x MM x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 23222232222322222D22(,(,(,(,0(,0,0(,(,(,(,(,(,(1,(sin ,cos (,(sr sr sr s r s r sr sr sr sr qq q ,其中:的引力:轴上质点平面对平面薄片(位于轴对于轴对于平面薄片

17、的转动惯量:平面薄片的重心:的面积曲面柱面坐标和球面坐标:WWWWWWWWWW W +=+=+=dvy x I dv z x I dv z y I dvx M dv z Mz dv y My dv x Mx drrr F d d d drd rr F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f zz r y r x z y x r r r r r r r r j q j jq q j j q j qj j q j j j q j q j q q q q q

18、q q pp q j (1,1,1sin ,(sin ,(,(sin sin cos sin sin cos sin ,sin ,cos (,(,(,(,sin cos 22222220,(0222,转动惯量:,其中重心:,球面坐标:其中:柱面坐标:曲线积分:=+=(,(,(,(,(,(22t y tx dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f Lj b a y j y j b a y j ba特殊情况:则:的参数方程为:上连续,在设长的曲线积分:第一类曲线积分(对弧。,通常设的全微分,其中:才是二元函数时,=在:二元函数的全微分求积注意方向相反!减去

19、对此奇点的积分,应。注意奇点,如=,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;、无关的条件:平面上曲线积分与路径的面积:时,得到,即:当格林公式:格林公式:的方向角。上积分起止点处切向量分别为和,其中系:两类曲线积分之间的关,则:的参数方程为设标的曲线积分:第二类曲线积分(对坐0,(,(,(,(0,0(,(,(21212,(cos cos (,(,(,(,(00,(,(00=+=+-=-=-=+=-+=-+=+=+=y xdy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx yPx Q yPx Q G y x Q y x P G ydxxdy dxdy A D y P

20、 x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D LD LDL LLLb a b a y y j j y j y j ba曲面积分:+=+=+=dsR Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y

21、x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zxyzxyxyD D D D y x cos cos cos (,(,(,(,(,(,(,(,(,(,(,(1,(,(22g b a 系:两类曲面积分之间的关号。,取曲面的右侧时取正号;,取曲面的前侧时取正号;,取曲面的上侧时取正,其中:对坐标的曲面积分:对面积的曲面积分:高斯公式:WW=+=+-+-+-+-n n n nn n n n u r r u s u u u u u u u u u u u L L 绝对收敛与条件收敛:-+时收敛1时发散p 级数

22、:收敛;级数:收敛;发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其中1111(11(1(2(1(2(2(1(232121p n p n n n u u u u u u u u p nn n n LL L L 幂级数:0103(lim3(1111111221032=+=+=+-+R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n nn n n n n 时,时,时,的系数,则是,其中求收敛半径的方法:设称为收敛半径。,其中时不定时发散时收敛,使在数轴上都收敛,

23、则必存收敛,也不是在全,如果它不是仅在原点对于级数时,发散时,收敛于r r rr r L L L L 函数展开成幂级数:LL LL +=-+=+-+-+-=+nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !0(!20(0(0(00lim (,(!1(!(!2(20101(00(20000时即为麦克劳林公式:充要条件是:可以展开成泰勒级数的余项:函数展开成泰勒级数:x 一些函数展开成幂级数:(!12(1(!5!3sin 11(!1(1(!21(11(121532+-+-+-

24、+-=-+-+-+=+-x n xx x x x x x n n m m m x m m mx x n n nm L L L L L 欧拉公式:-=+=+=-2sin 2cos sin cos ixix ixix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数:。上的积分=在任意两个不同项的乘积正交性:。,其中,0,cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin sin cos (2sin(001010p p w j j j w -=+=+=L L nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A

25、t f n n n n n n n n n n n n傅立叶级数:是偶函数,余弦级数:是奇函数,正弦级数:(相减(相加其中,周期+=+-+-=+=+=+=+=-=nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n n n n n n n n cos 2(2,1,0cos (20sin (3,2,1n sin (2012413121164131211246141218513113,2,1(sin (12,1,0(cos (12sin cos (2(00022222222222222210L L L L L L L L pppp pp p p p p p p p p p周期为l 2的周期函数的傅立叶级数:=+=-=ll n l l n n n n n dx l x n x f l b n dx l xn x f l a llx n b l x n a a x f 3,2,1(sin (12,1,0(cos(12sin cos (2(10L L 其中,周期p p p