2018版高考数学考点11导数与函数的单调性试题解读与变式

1、考点十一：导数与函数的单调性 【考纲要求】 （1 1） 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调 区间（其中多项式函数一般不超过三次） （2 2） 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次） ；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项 式函数一般不超过三次） 【命题规律】 禾U用导数研究函数的单调性是高考的热点问题， 常常会考查利用导数研究含参函数的单 调性，极值 预计 20172017 年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更 加灵活、新颖. 【典型高考试题变式】 （一

2、）原函数与其导函数的图像问题 例 1.1.【20172017 浙江高考】函数 y二f X的导函数y二x的图像如图所示，则函数 y = f x的图像可能是（ ） 【答案】D D 【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函 数图像故选 D.D. 【方法技巧归纳】在（a, b）内可导函数f （x）, f （x）在（a, b）任意子区间内都不恒等于 0.0. f（x）-O= f（x）在（a,b）上为增函数.f（x）乞0= f（x）在（a,b）上为减函数且导函 数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若 f(x)大于 0 0 且递增，则原函数 f(x)图像递增且 下凹；若大于

3、 0 0 且递减，则原函数 f (x)图像递增且上凸. . 【变式 1 1】【改编例题中条件， 通过原函数的性质判断导函数的图像】 【20182018 河北内丘中 学 8 8 月月考(理)】设函数f x的导函数为 X，若f x为偶函数，且在 0,1上存在 极大值，则X的图象可能为( ) 【解析】根据题意，若f( (x) )为偶函数，则其导数f(x) )为奇函数，结合函数图象可以排 除B D,又由函数f( (x) )在(0,1)(0,1)上存在极大值，则其导数图象在(0,1)(0,1)上存在零点，且零点左 侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除 A只有C选项符合题意；本题选择

4、C选项 【变式 2 2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】 【20172017 陕西渭南市二 质检】函数 f i 2 x f x sinx 2014，则 2 fl fl f x的大致图象是 () F I 卜 1 li f f i Ti * D A.A. H TH T 鼻 r r j j k k P Pl l i i / / C.C. 7T 7T 、 除G当x=-时，f - =-f排除D,当无=0时，f何，排赊A,故选B 2 2J 2 （二）用导数求不含参数的单调区间 例 2.2.【20172017 全国 2 2 卷（文）】设函数f X2 ex. . （1）讨论f X的单调性 【

5、答案】f X在区间 ：，：，- -.2.2- -1 1， .2.2- -1 1：是减函数，在区间：厂2 2- -1,.21,.2- -1 1 是 增函数 【解析】（1 1） x - _2xeX 亠1 -X2 ex = 1 -2x -x2 ex， 令 f x =0 =0 得 x x2 2x 2x - -1 1 = 0= 0,解得 xi = - . 2 . 2 -1， X2 = 2-1， 所以f x在区间 - -：，：，- - 2 2 - -1 1， .2.2 - -1,1,； 是减函数，在区间 2 2 - -1,1,.2.2 - -1 1 是增函数 【方法技巧归纳】 利用导数求不含参数的单调性容

6、易出错的地方就是： 求导，求解不等 式，写出单调区间单调性相同的两个区间一般要用和或，连接，不能用或或 【变式 1 1】【改编函数条件，函数中含分式】 【20162016 全国 2 2 卷（理）】（1 1 ）讨论函数 x x - -2 2 f f（x x） = = - - e ex的单调性，并证明当 x x 0 0 时，（x x- -2 2）e eX x x 2 0;2 0; 【答案】B B 2J 2 【答案】f（x ）在（皿，2和（-2,十 ）上单调递增，在（_22上单调递减【解析】(1)证明：由已知得，函数的定义域为由已知得，-2. 因为当兀丘(-co?-2)U( (-2,+cc)g/F(

7、x)0 . -2)0(-2,十)上单调递增，所以兰文0 时匸巨吃一1所決(2溝+卄2 一 (三) 用导数求含参函数的单调区间 例 3.3.【20172017 全国 1 1 卷(理)】已知函数f x二ae2x a - 2 ex - x. . (1 1)讨论f x的单调性； 【答案】见解析 【解析】(1 1)由于 f x =aef x =ae2xa a - -2 e2 ex - - x x， 故 f x =2aef x =2ae2x 亠 ia ia - - 2 e2 ex - -1 1 二 aeaex - -1 2e1 2ex 1 .1 . 当a乞0时，aeaex - -1 1 : :：: : 0

8、 0，2e2ex 1 1 0 0 从而 f x 0f x 0 恒成立. f xf x 在R上单调递减. . 当 a 0 a 0 时，令 f x =0f x =0，从而 aeaex - -1 = 0 1 = 0 ,得 x = x = - -1 n a 1 n a . x (-DO, In a In a ) ) - -In aIn a (一 1 1 n a n a ,中处) f f (x(x) ) 0 0 + f f( (x x) ) 匚 极小值 综上，当a0时，f(X)(X)在R上单调递减； 当a 0时，f(x)f(x)在 na)na)上单调递减，在( (- -1 1 n a,n a,；)上单调

9、递增. . 【方法技巧归纳】1.1.求函数的单调区间方法一：确定函数 y = f (x)的定义域； 求导数y = f (x)； 解不等式f(x)_0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； 解不等式f (x)岂0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2.2. 求函数的单调区间方法二：确定函数 y二f (x)的定义域； 求导数y = f (x)，令 f f (x) (x) = 0 0,解此方程，求出在定义区间内的一切实根； 把函数f (x)的间断点( (即f(x)的无定义点) )的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数 f (x)的定义区间分成若干个小区间； 因为/

10、(J)= H护护 x+2 1一2 1 4 + 2 + (j+2)1 (JC + 2)1 确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 【变式 1 1】【例题中函数变为求导函数的主导函数为二次函数型】 改编】已知函数f x = ln x ax2 2a 1 x . (1 1)讨论f x的单调性； 【答案】见解析 【解析】仗)丄加+力+1二 5 + , x X 当必0时，fg, /(%)单调递増； 当&CO时，jcel O-L /(力为单调進增, k 【变式 2 2】【例题中函数变为求导函数的主导函数为类二次函数型】 】20162016 全国 1 1 卷(文)改

11、编】已知函数 f (x) =(x -2)ex a(x-1)2. . (i)讨论f (x)的单调性； 【答案】(i)见解析； 【解析】 试题分析：(I)先求得f x = x-1 ex 2a .再根据 1,0,2a1,0,2a 的大小进行分类确定 f x 的单调性； 试题解析：(I) f x = x -1 ex 2a x -1 = x -iex 2a . (I)设 a 一0 ,则当 ,1 时，f x : 0 ;当 x1, :时，f x 0. . 所以 f f (x x)在-：，1单调递减，在 1,= 单调递增 【变式 3 3】【例题中函数变为求导函数的主导函数为指对数型函数】 】20152015

12、天津卷 (理)改编】已知函数 f(x)二nx-xn,xR，其中nN*,n 一2. . (I)讨论f (x)的单调性； 【答案】(I) 当n为奇数时，f (x)在, (1/-)上单调递减，在(-1,1)内 单调递增；当n为偶数时，f(x)在(-匚-1)上单调递增，f(x)在(1,=)上单调递减 【20172017 全国 3 3 卷(文) 【解析】(I)由f(x)二nx -Xn，可得，其中n N *且n _2 , 下面分两种情况讨论： (1 1 )当n为奇数时： 令 f (x) =0，解得 x =1 或 x = 一1， 当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表： x (严-1) (-1,

13、1) (g) f (x) + f(x) r r 所以，f (x)在(-二，-1)，(1,二)上单调递减，在(-1,1)内单调递增 (2 2)当n为偶数时， 当f(x) .0，即x 0g(x)0，即f (x)00. 由此求得 f(x)f(x)的单调区间试题解析：(1 ) S/(x) = xefl-I+fcc,所以/(x)=(l-x)eM+t. p(2) = 2e 十 2 2 + 2b = 2e + 2. (n)由(I)知 f (x)二 xe2 公 ex . . 由 f (x)二e2(1-x ex)及 e0 知，f (x)与 1 -x ex 同号. . 令 g(x) =1 -x - exl，则 g

14、(x) - -1 ex 所以，当x (浮1)时，g (x) : 0 , g(x)在区间(1)上单调递减; 当x (1,：)时，g (x) 0，g(x)在区间(1,：)上单调递增 故g(1) =1是g(x)在区间(-：, ：)上的最小值， 从而 g(x) 0, x 三(- ：,：). . 综上可知，f(x).0，X，(：，：). .故f (x)的单调递增区间为(-二：). . 【数学思想】 分类讨论思想 1.1. 分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略， 它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法， 这种思想在简化研究对象，发展思 维方面起着重要作用，因此

15、，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地 位. .所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究， 我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点， 将对象区分为不同种类，然后逐类 进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决， 这一思想方法，我们称之为分 类讨论的思想. 2.2. 分类讨论思想的常见类型 问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 问题中的条件是分类给出的； 解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的依题设, 【处理导数与单调性问题注意点】 数的单调区间不能出现并的

16、错误写法 【典例试题演练】 1 1. 【20182018 河南郑州一中测试题】 如果函数 y = f x在区间I上是增函数，而函数 y二丄 在区间|上是减函数，那么称函数 x y二f x是区间I上缓增函数，区间I叫 【答案】D D x-1 _ 0 故 3 ，解之 1 - 2 兰 0 x 得1乞X乞3，应选答案 D.D. 2 2.【20182018 河南南阳一中上学期第二次考试（文） 】已知函数f x=x2 -5x 2lnx,则 函数f x的单调递增区间是 I答案】0,2 【解析】函数求导可得广= 25 + 2 =空二竺2（“0）,当广（力=2*2*- -乂 + 2 2,即 X X X 解得“2

17、或0 xl,综上所述，结枪是：増区间是（2严）或0 Q 0- 3.3. 20182018 辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】 2 做缓增区间 若函数f x二 x2 X二是区间 2 - 上缓增函数 ，则缓增区间 I A. A. 1, ： B.B. 0,3 C.C. 10,11 D.D. 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域, 否则，写出的单调区间易出错；另外，函 【解析】因f x以-1,丄 x 1 3 . - =(x-1 ) 2 2x 2 2x x 2 -a x 2 -a 已知函数f x x , a乞0 （ e为自然对数的底数） （I ）讨论f x的单调性； 【答案】（I）当a =

18、=0 0 时，f x在-：，：上为减函数；当a ：0时，则f X在 :上为减函数；在 a,o 1 上为增函数； 【解析】（I） f x 二XT，令 f x 二 0= % 二 0,X2 二 a ； e a = 0时，则X - 0 （当且仅当x=0时取等号）=f x在-二，壯辽上为减函数； 当 a : 0 时，则 x 三，a . 0, 二= f x : 0= f x 在-：:,a , 0,牡辽上为减函 数；x三a,0 =x，0= f x在la,0 上为增函数； 4 4.【20172017 陕西省西安市长安区第一中学 4 4 月模考（理）】已知函数f x = lnx , 2 g x = f xi亠a

19、x bx，其中函数y =g x的图象在点1,g 1 i处的切线平行于 x轴. （1 1）确定a与b的关系；若a _0，并试讨论函数g x的单调性； （2 2）设斜率为 k k 的直线与函数y = f（x ）的图象交于两点 A（ %, % ）, B（x2, y2） X2 【答案】（1 1） b=-2a-1 ，单调性见解析；（2 2）证明见解析. . 【解析】试题分析：（1 1）求导，利用导数的几何意义确定 a与b的关系，再利用导函数 的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性； （2 2）先利用直线的斜率公式确定不等关系， 再构造函数，利用导数求函数的最值即可求解 . . 2 2 1 试题解析：（

20、）丁 g x = f x ax bx = Inx ax bx , - g x = - 2ax b, X 由题意得 g 1 = 1 2a b = 0 , b = -2a -1 ； / g x =丄 2ax b =丄 2ax -2a= 2ax 1 x 1 & ), X X X X1 当a =0时， _ x T g x 二 (x 0), X 当x 1时，g x 0,.函数g x在1,亠j j 单调减; 测 VXIU一有0V 匚划剣三|划-C.1LA 划6AXAZX:- 0丄L)uv(x)u 三.,0丄報国M( $-L)fix)6 報国 t?Q5Tl wwrt(L-0)0 x1 _X_ X1

21、即 1 1 ln X2 1 1 由得 k . X2 X1 X2 X1 X1 5 5.【20172017 陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试（理） 】已知函数 （ 4 4 _ X2 f（x）=lk+ lnx+ ，其中常数 k A0. I k丿 x （I）讨论f x在0,2上的单调性； 【答案】（I）见解析； 【解析】试题分析：（1 1）求导数，对k分类讨论，利用导数的正负，即可得到 区间0,2上的单调性; 试题解析：（I）由已知得， f x的定义域为 0,；，且 4 2 4 4 k x I k x 4 xk lx f x 二匕-牛二 一(k 0), XX X X 4 4 当0 ：k ：

22、2时， k0，且 2 , k k 所以 0,k 时，f x 0； k,2 时，x 0. . 所以，函数f x在0,k上是减函数，在 k,2上是增函数； 4 . 当k=2时， k=2 , f x ： 0在区间0,2内恒成立, k 所以f x在0,2上是减函数； 当 k 2 时，0 ： 4 2,k 4 , k， ; k 所以 x；- 10,4 时， f x 0时，.丫 E|I *0时，/I）单调递减；当X 6（0+00 ）时， f（x） a J 递减; 【解析】试题分析：求出，讨论两种情况分别令rx o可得增区间， 当0时，rwo,广何单调递增，又r（o）=o, 所以当xj-丄时,f（x） 0;心

23、）单调递减; 当a 001, rw ）时，/V） o,衣）单调递増; 当耳丘卜士时fr（x） o, /G）单调递减. 7 7 【20182018 河北省石家庄二中八月高三模拟数学（文科）】已知函数 2 f x 二 ax 1-2a xlnx a R （I）若a 0，讨论f x的单调性； 1 1 【答案】（I）当a 时，f x的减区间是 0,r ，无增区间，当 a +冷？ 3 时阿T莎旷 时， I I :单调 2 1 2ax +(1 2a )x 1 f x = 2ax 亠 i 1 - 2a - x ( 小 2a x + 2ax 1 x -1_ 2a x （i ）若- =b即时fx）0恒成立，/（刃

24、在亦）上是减函数; la 2 *01）时，/（x）0,才（乂）是减函数, 亍i+xj时 /（刃是减函数; 2a J 1 间是一存 ，减区间是10| U 2a丿 ,1,二. 【解析】（ ） f x的定义域为 当a ： 0X 时是増函数, 1 1 期若a 1，即 x E，1 x 0,2 ，f x ：0， f X是减函数， x 1,：时，f x ：0， f X是减函数; ，减区间是 0,1 , ,: I 2a 丿 1 当a ： ： ： 飞，1，减区间是煜 ,1,: 综上可得，当时，f x的减区间是 0：，无增区间, 1 f 当一2 : a ： 0时，f x的增区间是M, 8 8 .【20172017

25、 湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数 1 Inx+x，其中常数m0. . xf (x)=：m+ 丄 I m J （1）当m =2时，求f x的极大值; （2 2）试讨论f x在区间0,1上的单调性. . 5 3 【答案】（1） f 2 =In22 ； （2 2）当0 ： m ： 1时，f x在0,m上单调递减, 在m,1上单调递增； 当m=1时，f （x ）在（0,1）上单调递减；当 m 1时，f（x ）在 匕,丄i上单调递减，在 m丿 m，1上单调递增 【解析】试题分析：（1 1）借助题设条件将m = 2代入函数解析式可得 5 1 f x Inx -x，进而求导，运用导数与函数的

26、单调性之间的关系求解； （2 2）先对函 2 x 数f x二m 丄Inx 求导，再借助分类整合思想及导数与函数的单调性之间的关 I mJ x 系进行分类求其单调区间： 解：（I当胡=2日寸，= 丄_瓦，才0 =二一4一1 = 一 2 x 2x x 2x 当0 x2fl寸，(x) 0 2 当丄 时，, 2 5 3 -/（X）的极大值为/（2）=詐2F 当0 ：m ：1时，f x在0,m上单调递减，在 m,1上单调递增; 当m =1时，f x在0,1上单调递减;-/（X）在（巧J和（2畑）上单调递减，在（护 上单调逼増, (2) f x=m m_12_1 = _ x 1 (x _m ) x -一

27、1 m丿 2 x 0,m 0 ， f x 0, 当x -1,=时，f x 0 , f x单调递增,当m .1时， 9 9 f x =2x （I）讨论 【答案】 f （x 在匕丄 上单调递减，在|丄i i上单调递增. . m丿 E 丿 【20172017 湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数 1 -a x -alnx . . f x的单调性； 【解析】试题分析： 判断导函数的符号 试题解析：（I） a f x = x 1-a - （I）见解析； （I）求出f x的定义域为 0,牡兀;，求导数，若a_0,若a . 0 , ，然后推出函数的单调性； f x的定义域为 0, ，求导数，得 x 1 x - a . .若a乞0，则f x 0 ,此时 x 则由 f x = 0 ,得 x = =a.a.当 0 ： x ： a 时， x2 1 -a x -a x x f x在上单调递增，若a 0, 1 若.-： -0，即卩a =2，贝V g x _0，仅当x=2时，等号成立， f x _0 , f x单调递增. . -a- data - 2 则g x有两个零点x2 : a +Ja(a 2)