高中数学有关分式型最值问题的探讨人教版

1、2关于求y - bX c型最值问题的方法初讨dx2 ex f株洲市第四中学欧晓东对于y - bX c型的最值类问题一直是学生的难点，主要的原 dx2 ex f因是学生对这类问题缺乏归纳总结。笔者通过不断观察、分析，特对这类问题的方法探讨总结得出其大致可分为三类指分子分母的最高次数：分子的次数比分母的次数高；分子的次数比分母的次数低；分子的次数等于分母的次数；具体解决方法如下：1、 分子的次数比分母的次数高对于这类问题常可转化成利用均值不等式的形式，具体方案是造分母。例1、当x 1时，求函数y (x 5)(x 2)的最小值。 x 1_22解: . y (x 5)(x 2)=x 7x 10 (x

2、1)5(x 1) 4x 1x 1x 14(x 1) ； 5 x 1,，,、4，: x>-1x+1>0(x 1) >4x 1y >9当且仅当x+1='即x=1时取等号x 12、 分子的次数比分母的次数低我们在解方程时往往是化多元为二元、化二元为一元，采取的是划归的思想。鉴于此，这类问题常可化归成第一类问题来解决。例2、求y 2 920x-(x 0)的最大值。x 3x 16002方案一：: xW01 -3x 1600 这样一来问题就划归成y 920x920-1600 x3x了分子的次数比分母的次数高类的问题了具体过程略方案二：: XW0920xy -x 3x 160

3、0所以问题"$化成求y x - 3的最值问题了。x观察发现此类问题都是转化分子分母的关系从而化归。于是此类题也可提炼出自己的规律，方法类似。具体方案是造分子。例3、求y5詈需(50 x 80)的最大值专业.分析： xw50 .v 105(x 50)105(x 50)(x 40)2 (x 50)2 20(x 50) 100105100(x 50)20三、x 50分子的次数等于分母的次数如果分子的次数等于分母的次数，这类问题较为复杂：分如下几种情况：1、自变量的范围是全体实数，常采用判别式法;2自变量的范围不是全体实数，那么常结合根的分布来讨论 或分离常数变量。2例4、假设对x R恒有

4、IT n(n N)，试求n的值方案一判别式法：: x2 x 1 0(3 n)x2(2 n)x 2 n 0对x R恒成立3 n 02(2 n)2 4(3 n)(2 n) 0n N.二 n=1c 2方案二分离常数：: n 3x2 2x 2 32x 1x x 1 x x 1.令y 2x 1那么只要求y的最大值即可，转化成分x x 1子的次数比分母的次数低另外，读者可以观察到上几题都有具体的范围，当然，假设改变条件那么此类题相应可化归结 y x -(x 0)这类问题的解答x如例1改为：当x 1时，求函数y (x 5)(x 2)的最值 x 1解:， 一、， 一、 2_ 一(x 5)(x 2) _x 7x 10x 1x 12(x 1)5(x 1) 4x 14(x 1)5x 1t 0时，求令t=x+1t 0，那么y t 4 5.问题转化为当 t4 一一一y t 4 5的最值。t由图知当t=2即x=1时，有最小值9当t=-2即x=-3时，有最大值1知识间是相互联系的，不存在相互独立的、孤立的知识点。 只要我们发现、挖掘它们间的内在联系，运