《分类讨论思想在中学数学中的应用》论文

1、安阳师范学院本科学生毕业论文分类讨论思想在中学数学中的应用作 者 相思雨 院 (系) 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2008级 学 号 000000000 指导老师 相思雨 论文成绩 日 期 2012年05月14日学生诚信承诺书本人郑重承诺:所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意签名: 日期: 论文使用授权说明本人完全了解

2、安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即:学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文签名: 导师签名: 日期: 分类讨论思想在中学数学中的应用相思雨（安阳师范学院 数学与统计学院， 河南 安阳 455002）摘 要：在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答分类讨论的思想在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问

3、题在总体上得到解决关键词：正确分类；应用；分类讨论思想；标准1 简述分类讨论思想由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置2 分类讨论的要求、原则及其意义分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类

4、科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则: 同一性原则分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集，是的子集并以此分类，且，则称这种分类符合同一性原则 互斥性原则分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项即对于研究对象，是的子集，且作为分类的标准，若，则称这种分类符合互斥性原则 相称性原则分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等

5、 层次性原则 分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止分类讨论的意义：在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答3 分类讨论思想在中学数学中的应用3.1 分类讨论思想在集合中的应用 在集合运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些含参数的集合问题，常需要进行分类讨论求解 例1 设且，求实数

6、的取值范围分析 当时的范围与实数取值的正负号，与2的大小均有关系，因此必须对分情况讨论，从而得到集合，再根据，求出的取值范围解 ， 当时，因为，所以，解得，与矛盾 当时，因为，所以，解得，故 当时，因为，所以，解得，故综上可得3.2 分类讨论思想在函数中的应用3.2.1 分段函数中的分类讨论例2 已知函数，作函数的图像分析 是分段函数，没有统一的表达式，所以按其零点分区间讨论解 当时，； 当时，； 当时， ；即故的函数图像为如图（1）所示:图（1）3.2.2 函数中含参数的分类讨论例3 已知函数在区间上有最小值，记作，求的函数表达式解 原式配方得，其对称轴方程为， 当时，即时，在上递增，在时，

7、； 当时，即时，在处有最小值，； 当即时，在上单调递减，在时，；综上所述可得3.3 分类讨论思想在不等式中的应用3.3.1 涉及运算要求的分类讨论我们在解题过程中，往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的，如解不等式当两边同时乘（除）以一个代数式时，要考虑代数式的值是否为负；解无理不等式时，去掉根号要考虑两边是否都大于等等例4 解不等式分析 解此不等式需要去掉根号，而去掉根号时，需要考虑两边是否同为正，才能同时平方而不改变不等号方向，因此根据运算要求进行分类讨论解 原不等式等价于，或；解得，或原不等式解集为3.3.2 含参数不等式的分类讨论例5 解关于的

8、不等式分析 原不等式是关于的一元二次不等式，可化为由于与无法确定，此不等式无法解下去，因此对进行讨论，讨论的着眼点应该在与的大小上解 当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当或时，不等式解集为3.4 分类讨论思想在排列组合中的应用分类讨论思想在排列组合中也常见，尤其是解含有约束条件的排列组合问题时，运用分类讨论的方法可以把复杂的问题化为简单的问题例6 在正方体的个顶点中，条棱的中点，个面的中心及正方体的中心共个点中，共线的三点组的个数是多少？解 依题意，共线的三点组可以分为三类: 两端点皆为顶点的共线三点组，共有（个）； 两端点皆为面的中心的共线三点组，共有（个）

9、； 两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有（个）；所以总共有（个）例7 甲、乙、丙位志愿者安排在周一至周五的天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一个人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排共有多少方法？解 本题考查排列组合，按甲参加的日期分类: 甲周一参加，乙和丙在剩下的天中选两天参加，共有种； 甲周二参加，同理可知有种； 甲周三参加，有种；根据加法原理可知，总共有种3.5 分类讨论思想在数列中的应用在有些数列问题中存在不确定的因素，如等比数列的公比是否为；数列的项的个数为偶数还是奇数等等，就那样的数列问题，我们要进行分类讨论例8 已知数列求它的前项和分析 本题未指明数列为等

10、比数列，所以分类讨论时还要考虑这一情况解 设， 当时，； 当时，； 当且时，由，得，两式相减:，综上所述例9 已知数列的前和为，满足关系式，且，若，求数列的前项的和解 当时，由，得； 当时，由，得，即是首项为，公差为的等差数列，从而， 当，即偶数时，； 当，即奇数时，综上所述3.6 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用例10 如图（2）所示，给定点和直线上的动点，的角平分线交于点，求点的轨迹方程，并说什么曲线（ 图2）分析 由于动点因点在直线上的位置的变动而变化，故设出点的坐标，由题意知点应为的表达式，消去参数，即得点的轨迹方程本体的关键是如何求点的坐标，方法有多种，如利用角平分线的定义，性质可得解

11、 依题意，记，则直线和的方程分别为和设点，则有，由点到直线的距离公式得 点在直线上，故，由得 将代入得 若，则； 若，则，点的坐标为，满足上式综上得点的轨迹方程为 此轨迹方程里含有参数，因参数的值的不同而导致曲线的形状不同，从而需要对参数分情况讨论 当时，方程化为 此时，方程表示为抛物线弧段； 当时，轨迹方程为 所以，当时，方程表示椭圆弧段，当时，方程表示双曲线支的弧段3.7 分类讨论思想在立体几何中的应用点，线，面是组成几何图形的三个要素，有些立体几何题中，这三者的位置关系是不确定的，因此要对每种情况进行分类讨论求解，这样防止漏解下面一题是涉及点与线的位置关系不确定的分类讨论例11 线段与平

12、面平行，平面的斜线与平面所称的角分别且，求与平面的距离分析 作，垂足为，则即为所求距离作，垂足为，由已知可证面，同理可证面，面面，由面面平行的性质定理可知考虑到在的同侧或异侧，所以分两种情况讨论解 如图（3），在的同侧时，过点作，垂足为，由已知，设，则可用表示，在中，利用勾股定理列方程，解得 图(3) 图(4) 如图（4），在异侧时，在平面内作，交其延长线于，同理可得3.8 分类讨论思想在实际问题中的应用近几年来，考试命题从知识转向能力测试，出现了大量有鲜活背景的实际应用题，这种应用题，往往需要有分类讨论的思想才能顺利解决其解题思路是：用数学的语言加以表达和交流，敏捷的接受试题所提供的信息，并

13、和所学的有关知识相结合，确定适当的分类标准，把一个复杂的应用题分解成几个较简单的问题，从而使问题获解例12 有一批货物，如在本月初出售，可获利10万元，然后将本利都存入银行，每月利率为，如在下月出售，可获利万元，但要付万元货物保管费，试问这批货物在本月初出售合算还是下月初出售合算?解 设这批货物的成本万元 若这批货物在本月初出售，将本利存入银行，到下月初货主有金额； 若这批货物在下月初出售，货主有金额为； ，当成本时，应该本月初出售合算；当成本时，在本月初出售或下月初出售都一样；当成本时，在下月初出售合算4 如何简化分类讨论分类讨论是一种重要的解题策略，但他不是万能的，不是唯一的，对于分类讨论

14、的问题，在熟悉和掌握分类讨论的同时，要注意克服盲目讨论的思维定势，要认真审查题目的特点，充分挖掘题中潜在的特殊性和简单性，尽可能避免分类讨论，简化分类讨论过程，从而提高分类讨论的效果下面对于避免和简化分类讨论简单举个例子： 例13 关于的方程至少有1个负实数根，求实数的取值范围分析 本题若正面考虑，则必须分为下列3种情况加以讨论: 有个负实数根； 有个正实数根和个负实数根； 有个负实数根和个零根 显然，这样解题过程繁琐冗长，又容易产生错误我们可以从命题的反面入手，即先从方程没有负实数根时探求实数的范围，再求出至少有个负实数根时的范围（为的补集） 解 设全集，设方程没有负实数根，即只有正实数根或

15、零根时的范围为集合由，得所以，即所以集合的补集是故实数的取值范围是5 总结通过探讨分类讨论思想在中学数学中集合，函数，不等式，排列组合等中的应用，我们应用正确的分类讨论思想，对不同情况进行分类研究，使问题化整为零，各个击破，再积零为整，从而使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答分类讨论的思想方法在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，不可一概而论，难以用统一的形式或同一种方法进行处理，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决参考文献1刘文武.中学数学中重要的数学思想

16、分类讨论思想M，科学出版社，2003.11.4.2曹军.数学开放题及其教学研究M，南京师范大学出版社，2001.3陈光立.最新高中数学应用开放题大全M，第一版，吉林教育出版社，2004.5.4吕凤祥.中学数学解题方法M，哈尔滨工业大学出版社，2003.5张绍春.名师视点（高中数学不等式）M，东北师范大学出版社，2007.3.1.6北京天利考试信息网.高考真题随时练-数学（天利38套），西藏人民出社,2009.7.1.The Application of Categorized Discussion in Secondary School Mathematics Xiang Si-yu (Sch

17、ool of Mathematics and Statistics，Anyang Normal University，Anyang，Henan 455002)Abstract：In the process of solving mathematics problems，through the proper classification，apply the categorized discussion method，can make the complex question get clear，complete and strict answerWhen meet certain mathematics problems，the process of it including a variety of circumstancesWe should according to the difference of the existing research object，put the original problem into a few different kinds on