数学与思维能力的培养

1、数学与思维能力的培养数学是一门语言精确、抽象性、逻辑思维性强的学科。数学的学科特性决定了数学是培养学生思维严密性、抽象性的最好途径。数学学科在基础教育中所处的地位也决定了必须充分发挥数学在学生思维能力发展中的作用。（一）数学：数量关系和空间形式的科学恩格斯给数学下过一个经典性的定义，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。恩格斯指出，数学的目的是以纯粹的形式研究量的关系和空间形式，所以，数学从它的实际内容中被抽象了出来。对于数学而言，球是用什么材料造成的无关紧要，重要的是球形几何体本身；同样，对于数学而言，函数是由哪种自然过程的变化形成的也无关紧要，重要的是函数本身。“为了能够从纯粹的

2、状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关紧要的东西放在一边；这样，我们就得到没有长宽高的点、没有厚度和宽度的线、a和b与x和y，即常数和复数”。所以，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。数学中的任何一种数，自然数、整数、正数、负数、有理数、无理数、实数，这些数中的任何一个数字，自身并没有什么特定的含义，只是作为一个符号，反映着现实世界中事物之间的数量关系。比如一个自然数9，在数学中，它可以代表世界上任何一个数目为9的东西，而不管这个东西具有什么样的属性。9个苹果、9本书、9个人、9个城市、9个国家，9的含义都是一样的。“形”也是如此。一个正方体，可以代表一

3、个房子的空间大小，也可以代表一个容器中液体的量的多少。一个数学公式，如X=YxZ，可以表示路程、速度和时间之间的关系，也可以表示长方形的面积与长和宽之间的关系，还可以表示其他一切具备这种乘积性质的事物之间的关系。数学就是用数和形，反映着现实世界中事物之间的关系。作为一门以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的科学，需要一种在“纯粹的状态中”研究的能力，即撇开研究对象的一切其他特性而只着眼于数量关系和空间形式的能力。这种能力，正是在数学学科的学习过程中，培养和发展起来的一种数学抽象思维能力。（二）数学思维的特性：抽象性爱因斯坦说过，为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝

4、对可靠和无可争辩的数学之所以获得高于其他学科的声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密的自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，那些学科是达不到那么高的可靠性的。在数学中，哪怕最微小的误差也不能被忽略，因为最微小的误差也有可能出现结果的“谬之千里”。正是数学语言和命题的高度可靠、精确的特性，使得数学成为训练学生思维抽象性的最好途径。也就是加里宁说的，数学可以使人的思想“纪律化”，能教会人们合理地去思维。即数学是锻炼思维的“体操”。体操能够使人的身体健康，动作灵敏，数学能够使人的思维正确敏捷。在数学中，关注的主要是把现实世界的数量关系和空间形式抽取出来，事物的其他属性则不在考虑的范围内，这就是数学

5、抽象的过程。数学的抽象形成了数学中的概念、关系、定理、方法、符号等思维结果。抽象性是数学本身的特点，抽象思维是数学学习中的主要思维形式。我们用下面两个例题来说明数学思维的抽象性。例l.猜帽子星期天，贝贝的爸爸给贝贝和她的两个好朋友苏苏和莉莉做猜帽子的游戏。他拿出五顶帽子，两顶红的，三顶白的。然后叫贝贝、苏苏、莉莉排成一列纵队，贝贝在前，苏苏居中，莉莉排在最后。先叫她们都闭上眼睛，并分别给他们各戴上一顶帽子，然后把其余两顶藏了起来。再叫她们睁开眼睛，但规定只准朝前看。这样，莉莉可看到苏苏和贝贝戴的帽子，苏苏可看到贝贝戴的帽子，而贝贝却谁的帽子都看不见。爸爸先问苏苏：“你头上戴的帽子是什么颜色？”

6、苏苏想了很久，答不出来。爸爸又要莉莉说出头上所戴帽子的颜色，莉莉也答不出来。最后爸爸问贝贝，贝贝想了一下，马上就说：“我头上戴的帽子是白色的！”爸爸说：“好，贝贝答对了！”你能说出贝贝的思考过程吗？根据题意，苏苏和贝贝所戴帽子的颜色，组合起来只有下表所示的四种可能。如果是第一种情况，那么莉莉应立即知道自己头上戴的帽子是白色的，因为只有两顶红帽子。如果是第二种情况，那么苏苏也应当立即根据莉莉的不能回答自己头上帽子的颜色而排除了第一种情况，从而可判断出自己头上的帽子是白色的。现在苏苏也不能回答，这样又排除了第二种情况。因此，贝贝就可以根据苏苏、莉莉的态度，排除了自己头上的帽子是红色的情况，所以肯定

7、说自己头上戴的是白色帽子。例2.哥尼斯堡桥问题德国的哥尼斯堡城，位于布雷格耳河的河岸以及这两条河中的两个岛上。城区由七座桥联结起来，大体上如下图所示，周围景色宜人，旅游的人很多。有人提出是否可由某地出发，经过每座桥一次而不重复，又能回到原基地。这个寻求最理想的游览路线问题，当时没有人能够解决，成为一个难题。后来消息传到瑞士大数学家尤拉那里，他证明了这样的游览路线是根本不可能存在的，这一问题才算得以解决。尤拉是怎么证明这样的游览路线是不存在的呢？如何添加桥才能找到理想的游览路线？问题是这样解决的：尤拉把七桥问题抽象成为了一个“一笔画”问题。如在下图中，七桥问题实际上就是从A、B、C、D 四点中某

8、一点出发，不重复地经过每条边一次，最后正好返回出发点。设城区的四个部分以A、B、C、D来表示，我们所关心的只是过桥问题，所以不妨就以这四个点来代表城区，如下图所示，图中两点间所联结的线就来代表桥，这样就得到一个网络图，问题就转化为这个网络图是否能用一笔就把它画出来。人们一般把网络联结线的交点分成两类：一类是有偶数条线和它相连的点，把它叫做偶点；一类是有奇数条线与之相连的点，就叫做奇点。显然，对于偶点来说，有一条线进必有一条线出，而对于奇点，则必有一条线只进不出或只出不进，这种奇点最多只能作为始点或终点。一个网络图中，如果奇点数只有两个或没有奇点时，就可一笔画成，如奇点数有三个或三个以上时，则一

9、定有某些奇点不能“通过”。我们由上图可以看到，A、B、C、D四点都是奇点，因此人们寻找的理想游览路线是根本不存在的。如果要想找到这种理想的游览路线，那么还需“架桥”。例如上图中在B、D和A、C间多架一桥如虚线所示，则四点都变成偶点，这样的理想游览路线就可找到了。这两个例子都是把实际问题抽象成了纯数学的问题，从而找到了解决的办法。从中我们可以看出，没有抽象思维能力，很多数学问题根本就无法解决。当然，抽象并不是数学所独有的特点，凡是科学基本上都有抽象，比如物理学，研究物体的匀速直线运动，经由抽象得到三个物理量之间的关系S=V·T。但物理学中的抽象不同之处在于不能脱离具体的物理量，而数学则

10、是进一步撇开具体的量而得出更为抽象的量的关系，如x=a·b。这个x=a·b就不只可以用来表示匀速直线运动S=V·T的关系。所以，数学的抽象是“撇开对象的其他一切特性”、“完全脱离自己的内容”的“极度抽象”，抽象性成为数学、数学思维的最为突出的特征。这道题，看上去很复杂，靠猜测是找不到答案的。正确的思考方法是，把数量关系抽象出来，用数学中排列组合的最基本知识，很快就可以解决了。（三）数学课对学生思维能力的培养：以问题解决为核心数学作为一门科学，它的产生是从生活当中的实际问题开始的。古人结绳计数为的是要知道生产与生活用品的数量。几何学在埃及萌芽是为了解决尼罗河流域的土

11、地测量问题。我国秦汉时期的数学著作周髀算经和九章算术，都是当时的数学家解决生产和生活中的数学应用问题的成果汇集。因此，数学的核心就是问题。数学因问题而生，数学的目的则是解决问题。数学成为学科之后，仍然有着突出的以问题为核心的特征。在这样的一门学科中，学生思维能力的发展，最令人信服的就是问题解决能力的提高。所以，数学课对学生的思维能力进行培养，不但要通过解决问题来实现，而且最终以问题的解决为目的。这是数学同其他学科相比，在思维能力培养方面一个最为明显的特征。所以，重视问题解决能力成为各国数学教学大纲的一个显著特点，也是国际数学教育改革的一个热点问题。数学课究竟应该如何培养学生的问题解决能力？从学

12、生的认识过程和思维过程看，对于一个问题的解决，一般要经过这样几个阶段：第一，对问题的理解，即“审题”阶段；第二，产生一个解决问题的假设，即“明确思路”阶段；第三，将假设付诸实施，即动手“解题”阶段；第四，对解题思路、方法和结果进行检验，即“反思”阶段。要成功的解决问题，这四个阶段都是非常关键的。第一阶段的审题即对问题的理解，是解决问题的整个思维活动的开端。能不能正确的理解题意，弄清题目所提出的条件、问题以及条件和问题之间的关系是问题能否得以解决的先决条件。在这一阶段，学生的思维活动应该循着这样一条路线：问的是什么？已经知道了什么？要解决问题，必须具备什么样的条件和数据？题目已经提供的条件和数据

13、是不是够用？如果不够，还需要哪些条件？要让学生养成细心审题的习惯。为了更明确理解题意，可以通过画图、运用符号和线条等直观的方式将条件和问题表示出来，以帮助分析和思考。第二阶段的明确思路是解决问题的过程中思维活动最为紧张、最为活跃的阶段。主要是要在已知和未知之间建立起联系，并建构一个解决问题的整体计划。在这一阶段，学生清楚了题意之后，要能够迅速将问题同已有的知识关联起来，明确这一问题的解决需要用到的是哪个方面、哪一部分的知识，并能够准确回忆相关知识。对于这个阶段的思维活动，G波利亚曾经在他设计的一个“怎样解题”表中有过一段详尽的描述。你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道

14、与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据

15、导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？波利亚的这段话，用一连串问题和一系列建议，讲出了理清解题思路应该采取的思维程序。从中可以看出，解题的过程，就是想方设法将问题进行简化和转化，最终归结到先前熟悉的问题或知识那里，借助于已有的知识和经验，使问题获得解决的过程。第三个阶段动手解题阶段，就是将已经形成的解题设想用语言或文字等外化的形式表示出来。第四个阶段对整个解题过程进行验证和反思。看结论是否可以逆推

16、，是不是可以用另一种方法得到同样的结果。对整个审题、解题思路和解题过程再次进行梳理。提高学生解决数学问题的能力，学生在以上解题的四个阶段中的能力缺一不可。数学教学应该以“审题”、“明确思路”、“解题”、“反思”这四个方面的思维能力为重心，将这四种能力的提高渗透到数学教学的整个过程当中去。以这四种能力的提高为基础，提高学生的问题解决能力和数学思维能力。四）数学教学改革设想应试教育对我国的数学教学也产生了深刻的影响。它以考试为目的，以分数作为评价学习的尺度，教学内容受到考试的牵制，不考的就不教；只重视解题，不注意理论联系实际；忽视基本的数学方法、数学思维和数学精神的培养；教学大搞题海战术，死套题型

17、，猜题压题；致使学生负担过重，学习枯燥无味，不利于培养学生的创造力，不利于学生生动活泼地学习，严重影响了数学教学质量的提高，也束缚了数学教学改革的步伐。早在20世纪70年代，苏联在制定国家数学教学目的时就提出，“第一，发展学生的数学思维；第二，使学生获得继续受高等教育和参加实际活动所必需的深刻而巩固的数学科学初等基础理论知识，以及把这些理论知识应用到各种具体情况的技能和技巧；第三，使学生理解现代技术和现代生产的科学基础。”从中我们可以看出，在数学教学目的中，学生的思维能力的发展是被列在首位的。而且，相比高等学校的数学来说，中学数学对于这个目的的实现更是起着举足轻重的作用。这个数学教学目的对我们

18、国家今天的数学教学改革是有启示意义的。我们的数学教学改革正是应该把学生思维能力的发展放在第一位。传统数学教学的本质缺点之一，在于没有教给学生科学的数学方法。只是把书本上的定理、法则让学生背会、记牢，将课本上的例题、练习题让学生熟练掌握。为了应付考试，还有的甚至不管学生理解与否，或者根本不要求学生必须理解，只是通过反复多遍练习的方法让学生背记题目、解题过程和答案。因而学过数学之后，学生只是学到了各种题目的具体解法，并没有掌握数学方法和数学思维，因而解决问题的水平并没有得到提高。表现之一就是，如果考学生曾经做过的题目，则可以正确解答，因为答案就在记忆中；而如果问题稍作变换，就不知如何下手了。而之所以会出现数学教学没有教给学生科学的数学方法，原因之一正在于数学教学法本身的不科学。所以，为了教会学生思维，数学教学改革的突破口应该定位在探索科学的教学方法上。在指导思想上，数学教学应该把数学结果的教学变为数学过程的教学。应该明确，数学问题的解决并非数学教学的全部目的，数学教学不是要专门地、孤立地解决数学问题，而是在于，