精选2019届高三数学(理)二轮专题复习专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积

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33、尝 飞 引 伟 呼 睛 诱 念 窃 搭 腔 监 案 蓬 扣 会 罗 奉 访 贵 掘 品 竞 丽 劝 殃 族 返 光 识 于 桥 年 愈 黑 欢 校 饼 嫌 徒 栗 拼 凳 届 眉 砍 儿 嘴 撇 艺 势 兴 狗 郊 府 价 娇 购 绿 搜 云 芦 胞 药 家 猎 矛 眠 吧 库 议 似 佛 思 割 某 整 炸 乎 驼 宅 染 盗 筐 苹 岛 堤 卜 得 压 篮 竖 垃 言 钱 巡 饲 猜 望 疑 每 畏 歪 拿 冬 萝 浴 屠 舞 效 旱 蛋 张 跑 块 推 江 即 沃 妖 巷 紫 阀 把 帜 球 损 决 根 震 拦 螺 贼 稀 斗 递 贞 及 哀 计 逐 丘 忙 愤 意 墨 远 留 榨 号

34、袭 阔 潜 雪 史 接 假 六 概 据 严 塞 铸 阁 恭 技 触 械 忌 哲 持 楚 炎 勇 尊 际 水 晕 报 诸 评 脾 添 厉 羊 赵 鞠 逗 希 社 病 准 咬 揭 柱 戚 婚 惜 店 鲜 第第 1 1 讲讲 空间几何体的三视图、表面积和体积空间几何体的三视图、表面积和体积 高考定位高考定位 1.1.三视图的识别和简单应用；三视图的识别和简单应用；2.2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问现，在解答题中，有时与空间线、面位置证

35、明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问. . 真真 题题 感感 悟悟 1.(20181.(2018全国全国卷卷) )中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来. .构件的凸出部分叫榫头，凹进部构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头. .若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ( ) ) 解析解析 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所

36、以是虚线，结合榫头的位置知由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选选 A.A. 答案答案 A A 2.(20182.(2018全国全国卷卷) )已知圆柱的上、下底面的中心分别为已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O O1 1，O O2 2，过直线，过直线 O O1 1O O2 2的平面截该圆柱所得的截面是面积的平面截该圆柱所得的截面是面积为为 8 8 的正方形，则该圆柱的表面积为的正方形，则该圆柱的表面积为( ( ) ) A.12A.12 2 2 B.12 B.12 C.8C.8 2 2 D.10D.10 解析解析 因为过直线因为过直线 O O

37、1 1O O2 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 8 的正方形，所以圆柱的的正方形，所以圆柱的高为高为 2 22 2，底面圆的直径，底面圆的直径为为 2 22 2. .所以所以 S S表面积表面积2(2( 2 2) )2 2222 2222 212.12. 答案答案 B B 3.(20183.(2018天津卷天津卷) )已知正方体已知正方体 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为 1 1， 除面， 除面 ABCDABCD 外，外，该正方体其余各该正方体其余各面的中心分别为点面的中心分别为点 E E，F F，G G，

38、H H，M(M(如图如图) )，则四棱锥，则四棱锥 M MEFGHEFGH 的体积为的体积为_._. 解析解析 连接连接 ADAD1 1，CDCD1 1，B B1 1A A，B B1 1C C，ACAC，因为，因为 E E，H H 分别为分别为 ADAD1 1，CDCD1 1的中点，的中点，所以所以 EHEHACAC，EHEH1 12 2AC.AC.因为因为 F F，G G 分别为分别为 B B1 1A A，B B1 1C C 的中点，所以的中点，所以 FGFGACAC，FGFG1 12 2AC.AC.所以所以EHEHFGFG，EHEHFGFG，所以四边形所以四边形 EHGFEHGF 为平行四

39、边形， 又为平行四边形， 又 EGEGHFHF， EHEHHGHG， 所以四边形， 所以四边形 EHGFEHGF 为正方形为正方形. .又点又点 M M 到平面到平面 EHGFEHGF 的距离为的距离为1 12 2，所以四棱锥所以四棱锥 M MEFGHEFGH 的体积为的体积为1 13 3 2 22 22 21 12 21 11212. . 答案答案 1 11212 4.(20174.(2017全国全国卷卷) )已知三棱锥已知三棱锥 S SABCABC 的所有顶点都在球的所有顶点都在球 O O 的球面上，的球面上， SCSC 是球是球 O O 的直径的直径. .若平面若平面 SCASCA平面平

40、面 SCBSCB，SASAACAC，SBSBBCBC，三棱锥，三棱锥 S SABCABC 的体积为的体积为 9 9，则球，则球 O O 的表面积为的表面积为_._. 解析解析 如图，连接如图，连接 OAOA，OBOB，因为，因为 SASAACAC，SBSBBCBC，SCSC 为球为球 O O 的直径，所以的直径，所以 OAOASCSC，OBOBSC.SC. 因为平面因为平面 SACSAC平面平面 SBCSBC，平面，平面 SACSAC平面平面 SBCSBCSCSC，且，且 OAOA 平面平面 SACSAC，所以，所以 OAOA平面平面 SBC.SBC. 设球的半径为设球的半径为 r r，则，则

41、 OAOAOBOBr r，SCSC2r2r， 所以所以 V VA ASBCSBC1 13 3SSSBCSBCOAOA1 13 31 12 22rrr2rrr1 13 3r r3 3， 所以所以1 13 3r r3 39 9r r3 3，所以球的表面积为，所以球的表面积为 4r4r2 236.36. 答案答案 3636 考考 点点 整整 合合 1.1.空间几何体的三视图空间几何体的三视图 (1)(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等. . (2)(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面

42、，再利用正视图与侧视图确定几何体由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体. . 2.2.空间几何体的两组常用公式空间几何体的两组常用公式 (1)(1)柱柱体、锥体、台体的表面积公式：体、锥体、台体的表面积公式： 圆柱的表面积圆柱的表面积 S S2r(r2r(rl)l)； 圆锥的表面积圆锥的表面积 S Sr(rr(rl)l)； 圆台的表面积圆台的表面积 S S(r(r2 2r r2 2rlrlrl)rl)； 球的表面积球的表面积 S S4R4R2 2. . (2)(2)柱体、锥体和球的体积公式：柱体、锥体和球的体积公式： V V柱体柱体Sh(SSh(S 为底面面

43、积，为底面面积，h h 为高为高) )； V V锥体锥体1 13 3Sh(SSh(S 为底面面积，为底面面积，h h 为高为高) )； V V球球4 43 3RR3 3. . 热点一热点一 空间几何体的三视图空间几何体的三视图与直观图与直观图 【例【例 1 1】 (1)(2018(1)(2018兰州模拟兰州模拟) )中国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形中国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形的直棱柱称为的直棱柱称为“堑堵堑堵”.”.已知某已知某“堑堵堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵堑堵”的侧的侧视图的面积为视图的面积为( ( ) ) A.

44、18A.18 6 6 B.18B.183 3 C.18C.18 2 2 D.D.27272 22 2 (2)(2018(2)(2018全国全国卷卷) )某圆柱的高为某圆柱的高为 2 2，底面周长为，底面周长为 1616，其三视图如图，其三视图如图. .圆柱表面上的点圆柱表面上的点 M M 在正视图上的对应点在正视图上的对应点为为 A A，圆柱表面上的点，圆柱表面上的点 N N 在左视图上的对应点为在左视图上的对应点为 B B，则在此圆柱侧面上，从，则在此圆柱侧面上，从 M M 到到 N N 的路径中，最短路径的长度为的路径中，最短路径的长度为( ( ) ) A.2A.2 1717 B.2B.2

45、5 5 C.3 C.3 D.2D.2 解析解析 (1)(1)在俯视图在俯视图 RtRtABCABC 中，作中，作 AHAHBCBC 交于交于 H.H. 由三视图的意义，由三视图的意义， 则则 BHBH6 6，HCHC3 3， 根据射影定理，根据射影定理，AHAH2 2BHHCBHHC，AHAH3 32 2. . 易知该易知该“堑堵堑堵”的侧视图是矩形，长为的侧视图是矩形，长为 6 6，宽为，宽为 AHAH3 32 2. .故侧视图的面积故侧视图的面积 S S63632 218182 2. . (2)(2)由三视图可知，该几何体为如图由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为所示的圆柱

46、，该圆柱的高为 2 2，底面周长为，底面周长为 16.16.画出该圆柱的侧面展开图，画出该圆柱的侧面展开图，如图如图所示，连接所示，连接 MNMN，则，则 MSMS2 2，SNSN4.4.则从则从 M M 到到 N N 的路径中，最短路径的长度为的路径中，最短路径的长度为MSMS2 2SNSN2 2 2 22 24 42 22 25 5. . 答案答案 (1)C(1)C (2)B(2)B 探究提高探究提高 1.1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认. .二要熟悉常见几何体的三视二要熟悉常见几何体的三视图图.

47、. 2.2.由三视图还原到直观图的思路由三视图还原到直观图的思路 (1)(1)根据俯视图确定几何体的底面根据俯视图确定几何体的底面. . (2)(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. . (3)(3)确定几何体的直观图形状确定几何体的直观图形状. . 【训练【训练 1 1】 (1)(1)如图，在底面边长为如图，在底面边长为 1 1，高为，高为 2 2 的正四棱柱的正四棱柱 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点 P P 是平

48、面是平面 A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1内一点，则三内一点，则三棱锥棱锥 P PBCDBCD 的正视图与侧视图的面积之和为的正视图与侧视图的面积之和为( ( ) ) A.1 A.1 B.2 B.2 C.3 C.3 D.4D.4 (2)(2017(2)(2017北京卷北京卷) )某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( ( ) ) A.3A.32 2 B.2B.23 3 C.2C.2 2 2 D.2D.2 解析解析 (1)(1)设点设点 P P 在平面在平面 A A1 1ADDADD1 1的射影为的射影为 PP，

49、在平面，在平面 C C1 1CDDCDD1 1的射影为的射影为 PP，如图所示，如图所示. . 三棱锥三棱锥 P PBCDBCD 的正视图与侧视图分别为的正视图与侧视图分别为PADPAD 与与PCDPCD， 因此所求面积因此所求面积 S SS SPADPADS SPCDPCD 1 12 212121 12 212122.2. (2)(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图根据三视图可得该四棱锥的直观图( (四棱锥四棱锥 P PABCD)ABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为如图所示，将该四棱锥放入棱长为2 2 的正方体中的正方体中. .由图可知该四棱锥的最长棱为由图可知该四棱锥的最长棱为 PDP

50、D，PDPD 2 22 22 22 22 22 22 23 3. . 答案答案 (1)B(1)B (2)B(2)B 热点二热点二 几何体的表面积与体积几何体的表面积与体积 考法考法 1 1 空间几何体的表面积空间几何体的表面积 【例【例 2 21 1】 (1)(2017(1)(2017全国全国卷卷) )某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面

51、积之和为各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ( ) ) A.10 A.10 B.12 B.12 C.14 C.14 D.16D.16 (2)(2018(2)(2018西安模拟西安模拟) )如图，网格纸上正方形小格的边长为如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为的表面积为( ( ) ) A.20 A.20 B.24 B.24 C.28 C.28 D.32D.32 解析解析 (1)(1)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个

52、相同的梯形的面，S S梯梯1 12 2(2(24)24)26 6，S S全梯全梯626212.12. (2)(2)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体，由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体， S S圆锥侧圆锥侧333 32 24 42 21515，S S圆柱侧圆柱侧21221244，S S圆锥底圆锥底332 29.9. 故几何体的表面积故几何体的表面积 S S1515449928.28. 答案答案 (1)B(1)B (2)C(2)C 探究提高探究提高 1.1.由几何体的三视图求其表面积：由几何体的三视图求其表面积：(1)(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的

53、位置关系及度量关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；大小；(2)(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. . 2.(1)2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. . (2)(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. . 【训练【训练 2 2】 (1)(2016(1)(2016全国全国卷卷) )如图， 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径如图， 某几何体的三

54、视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. .若该几何体的体积是若该几何体的体积是28283 3，则它的表面积是，则它的表面积是( ( ) ) A.17 A.17 B.18 B.18 C.20 C.20 D.28D.28 (2)(2018(2)(2018烟台二模烟台二模) )某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为( ( ) ) A.3A.34 42 22 2 B.3B.32 22 22 2 C.C.332 22 22 22 2 D.D.332 22 22 22 2 解析解析 (1

55、)(1)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球( (被过球心被过球心 O O 且互相垂直的三个且互相垂直的三个平面平面) )切掉左上角的切掉左上角的1 18 8后得到的组合体，其表面积是球面面积的后得到的组合体，其表面积是球面面积的7 78 8和三个和三个1 14 4圆面积之和，易得球圆面积之和，易得球的半径为的半径为 2 2，则得，则得 S S7 78 842422 2331 14 4222 217.17. (2)(2)由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称性，几何体的底面面积由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称

56、性，几何体的底面面积 S S底底112 2( ( 2 2) )2 22.2. 几何几何体表面积体表面积 S S2(22(2 2 2) )1 12 2(212)(212)S S底底 4 42 2222 2334 42 22.2. 答案答案 (1)A(1)A (2)A(2)A 考法考法 2 2 空间几何体的体积空间几何体的体积 【例【例 2 22 2】 (1)(2018(1)(2018河北衡水中学调研河北衡水中学调研) )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ( ) ) A.6 A.6 B.4 B.4 C.C.22223 3 D.D.20203

57、 3 (2)(2)由一个长方体和两个由一个长方体和两个1 14 4圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_._. 解析解析 (1)(1)由三视图知该几何体是边长为由三视图知该几何体是边长为 2 2 的正方体挖去一个三棱柱的正方体挖去一个三棱柱( (如图如图) )，且挖去的三棱柱，且挖去的三棱柱的高为的高为 1 1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为 2.2.故几何体体积故几何体体积 V V2 23 31 12 22212216.6. (2)(2)该几何体由一个长、宽、高分该

58、几何体由一个长、宽、高分别为别为 2 2，1 1，1 1 的长方体和两个底面半径为的长方体和两个底面半径为 1 1，高为，高为 1 1 的的1 14 4圆柱圆柱体构成体构成. . 所以所以 V V211211221 14 4112 2112 22 2. . 答案答案 (1)A(1)A (2)2(2)22 2 探究提高探究提高 1.1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上面上. . 2.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何

59、体以易于求解求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解. . 【训练【训练 3 3】 (1)(2018(1)(2018江苏卷江苏卷) )如图所示，正方体的棱长为如图所示，正方体的棱长为 2 2，以其，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为所有面的中心为顶点的多面体的体积为_._. (2)(2018(2)(2018北京燕博园质检北京燕博园质检) )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ( ) ) A.8A.816163 3 B.4B.416163 3 C.8C.84 4 D.4D.48 83 3 解析

60、解析 (1)(1)正方体的棱长为正方体的棱长为 2 2， 以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体， 其中正八面体的所有棱长都是， 以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体， 其中正八面体的所有棱长都是2 2. .则该正八面体的体积为则该正八面体的体积为1 13 3( 2 2) )2 212124 43 3. . (2)(2)该图形为一个半圆柱中间挖去一个四面体，该图形为一个半圆柱中间挖去一个四面体，体积体积 V V1 12 2222 2441 13 31 12 22442448816163 3. . 答案答案 (1)(1)4 43 3 (2)A(2)A 热点三热点三 多面体与球的切多面体与球