数学建模概论-太原理工大学数学系 魏毅强 教授_图文

1、数学建模概论太原理工大学数学系魏毅强教授第一章数学模型概论1.1 数学模型与数学建模1.2 数学建模示例11.3 数学建模示例21.4 数学建模示例31.5 数学模型的特点和分类1.6 数学建模的方法和步骤1.7 怎样撰写数学建模的论文实物模型原型:原型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象模型:模型是为了一定目的,对客观事物的一部分特征、属性,而进行简化、抽象、提炼出来的原型的替代物把原型尺寸按比例缩小或放大供展览或玩耍的实物。它主要追求外观的逼真,例如,玩具飞机、昆虫标本、建筑模型等1.1数学模型与数学建模物理模型符号模型是为测试原型的物理及动力学特性,根据相似性原理对

2、原型构造的模型。它主要追求物理性能的一致,例如,航模飞机、实验模型等是在一些约定或假设下,借助于专门的符号、线条等,按一定形式组合起来对原型的描述。它主要追求框架结构与关系的关联特征,例如,分子结构图,电路图、地图等模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征数学模型:是为了一定的目的,根据原型内在的规律和本质属性,通过必要的简化假设,运用适当的数学工具,而作的抽象、简化的数学结构。数学模型是一种抽象的模拟,它用符号、式子、程序、图形等数学语言刻划客观事物的本质属性与内在联系,是现实世界的简化而又本质的描述。数学模型的三个主要功能是:解释、判断与预测。也就是数学模型能用来解释某些客观现象及发生的

3、原因;数学模型能用来判断原来知识,认识的可靠性;数学模型能用来预测事物未来的发展规律,或为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略,为人们的行为提供指导。数学建模建立数学模型的全过程,包括问题的表述、求解、解释、检验等。数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。Q数学建模其实并不是什么新东西,可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题,就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题,这种刻划的数学表述的就是一个数学模型,其过程就是数学建模的过程。数

4、学模型一经提出,就要用一定的技术手段(计算、证明等来求解并验证,其中大量的计算往往是必不可少的,高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展,掀起一个高潮。Q数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,需要有较好的抽象概括能力、数学语言的翻译能力、善于抓住本质的洞察能力、联想及综合分析能力、掌握和使用当代科技成果的能力等。从而数学建模是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的综合能力与素质的必备手段之一。Q数学建模是一种创造性的思维活动,没有统一模式和固定的方法,在数学建模过程中需要充分发挥想象力,善于联想,新颖而独特地提出问题、解决问题,并由此产生有价值的新思想

5、、新方法、新成果等。从而数学建模也是培养和提高同学们想象力和创新能力的必备手段之一。1.2 数学建模示例1问题:将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上,问是否总能设法使它的四条腿同时着地。椅子能在不平的地面上放稳吗?在下列假设条件下,回答是肯定的。模型假设1 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面;2 地面相对平坦,椅子的腿是足够长的,椅子在任意位置至少有三只脚同时着地;3 四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形;4 以椅子的中心为坐标原点,对角线的初始位置为坐标轴,椅子绕原点旋转,椅子位置用(对角线与x轴的夹角表示。xBADCOD´C ´B ´ A

6、 ´模型构建由假设1由假设2记A,C 两脚与地面距离之和为(f 记B,D 两脚与地面距离之和为(g 是连续函数(,(g f 对任意0(,=g f 现不妨设00(,00(>=g f 数学问题已知:是连续函数;对任意且.证明:存在,使(,(g f 0(=g f 00(,00(>=g f 00(00=g f模型求解将椅子旋转90度时,对角线AC和BD互换。所以令,则为连续函数,且据连续函数的基本性质, 必存在,使即.因为, 所以02(,02(=>g f (g f h =(h 02(,00(><h h 0(0=h (00g f =00(=g f 0(00=g f

7、 评注和思考考察四脚呈长方形的椅子建模的关键是和的确定(,(g f问题(商人们怎样安全过河:三名商人各带一名随从乘船渡河,一只小船只能容纳二人,由他们自己划行。随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货. 但是如何乘船渡河由商人决定,问商人应如何安排才能安全渡河。河小船(至多2人1.3数学建模示例2问题分析这是一类智力游戏问题,可经过一番逻辑推理求解。当然也可视为一个多步决策问题,每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸都要对船上的人员作出决策,在保证安全的前提下(两岸的随从数不比商人多经有限步使全体人员过河由于该问题是虚拟的,已经理想化了,所以不必再作假设。模型构建记第k 次渡

8、河前此岸的商人数为,随从数为,而为过程中的状态。k x k y ,(k k k y x s =安全渡河条件下的状态称为允许状态,全体允许状态构成的集合记为S3,3(,2,3(,1,3(,0,3(2,2(,1,1(,3,0(,2,0(,1,0(,0,0(=S 记第k 次渡船上的商人数为,随从数为,而为过程中的决策。k u k v ,(k k k v u d =多步决策问题模型:安全渡河条件下的决策称为允许决策,全体允许决策构成的集合记为D0,2(,1,1(,0,1(,2,0(,1,0(=D 因为,为奇数时船从此岸驶向彼岸,为偶数时船由彼岸驶回此岸,所以状态转移律为k k kkk k d s s

9、1(1+=+求使并按转移律由到达D d k S s k 3,3(1=s 0,0(1=+n s模型求解穷举法k kk k d s s 1(1+=+Dd k S s k 3,3(1=s 0,0(1=+n s 从通过且使得得到例如3,3(1=s 112d s s =可能的通过且D d 1得到2,2(,1,3(,2,3(2=s 2,3(2=s 如果则3,3(3=s 还原,故2,3(2s 2,2(2=s 如果则如果2,3(3=s 1,3(,2,2(2=s 2,3(3=s 1,3(2=s 也有故且2,3(3=s 穷举法适宜编程上机运算图解法状态s =(x,y 为16个格点允许决策为移动1或2格;k为奇数时

10、,向左、下移;k为偶数时,向右、上移.d 1, ,d 11给出安全渡河方案允许状态为10个点xy3322110s 1s n +1d 1d 11评注和思考考虑4名商人各带一随从的情况1.4数学建模示例3例(万有引力定律的发现十五世纪中期,哥白尼提出了震惊世界的日心说。丹麦著名的实验天文学家第谷花了二十多年时间,观察纪录下了当时已发现的五大行星的运动情况。第谷的学生和助手开普勒对这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著名的Kepler三定律。牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律,利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律开普勒三大定律 1.行星轨道是一个椭圆,太阳位于此椭圆的一个焦点上。2.行星

11、在单位时间内扫过的面积不变。3.行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方,比例系数不随行星而改变(绝对常数行星r 太阳这其中必定是某一力学规律的反映,哼哼,我要找出它。如图,有椭圆方程:cos 1e p r =d r dA 221=矢径所扫过的面积A 的微分为:由开普勒第二定律:=w r dt dA 221常数立即得出:+=w r w r r w r dtd 222(0即:02=+w r w r 简单推导如下:椭圆面积wT r dt dt dA ab T2021=由此得出=Tab w r 22常数我们还需算出行星的加速度,为此需要建立两种不同的坐标架。第一个是固定的,以太阳为坐标原点,沿长轴

12、方向的单位向量记为i ,沿短轴方向的单位向量记为j ,于是:jr i r sin cos r +=进而有加速度·cos sin (2(sin (cos (sin r (dt d cos r (dt d 22222j i j i j i r a +=+=w r w r rw r 以行星为坐标原点建立活动架标,其两个正交的单位向量分别是j i e j i e cos sin sin cos +=+=r , 因此得出rrw r e a (2=再将椭圆方程cos 1(e r p =两边微分两次,得0(1(2232=+w r r r p rw r中国工业工程管理咨询网收集整理 WWW.IEMC

13、C.CN 将前面得到的结果 2 3 4 a 2 r rw = T2 1 2 r 2 ab r w = T 2 代入，得 b 2 a 和焦参数 p = 4 2 a 3 1 2 er a= 2 T r 也就是说行星的加速度为 a3 由开普勒第三定律知 T 2 2 为常数。若记 于是引力 4 a G= MT 2 Mm er F = am = G 2 r 3 这就是著名的万有引力定律 中国工业工程管理咨询网收集整理 WWW.IEMCC.CN 1.5 数学模型的分类 分类标准 对实际问题了 解的深入程度 模型中变量的 特征 建模中所用的 数学方法 研究课题的实 际范畴 具体类别 白箱模型、灰箱模型、黑箱

14、模 型 连续型模型、离散型模型或确 定性模型、随机型模型等 初等模型、微分方程模型、差 分方程模型、优化模型等 人口模型、生态模型 、交通 模型、经济模型、 基因模型 中国工业工程管理咨询网收集整理 WWW.IEMCC.CN 1.6 数学建模的方法和步骤 数学建模的基本方法 建立数学模型的方法和步骤并没有一定的 模式，但一个理想的模型应能反映系统的重要 特征; 同时在数学上易于处理，数学模型应具 有好的可靠性和较强的使用性。 机理分析法 根据对现实对象特性的认识，分 析其因果关系，找出反映内部机 理的规律，所建立的数学模型常 具有明确的物理或现实意义。 中国工业工程管理咨询网收集整理 WWW.

15、IEMCC.CN 测试分析法 将研究对象视为一个“黑箱”系 统，内部机理无法直接寻求，通 过测量系统的输入输出数据，并 以此为基础运用统计分析方法， 按照事先确定的准则在某一类模 型中选出一个数据拟合得最好的 模型。 测试分析法也叫做系统辩 识法。 二者结合 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数 中国工业工程管理咨询网收集整理 WWW.IEMCC.CN 数学建模的一般步骤 模型准备 模型假设 模型构建 模型求解 模型应用 模型检验 模型分析 模型准备 了解实际背景，明确建模目的，搜 集有关信息，掌握对象特征，形成 一个比较清晰的问题 模型假设在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素,经必要的精炼简化,在合理与简化之间作出折中,提出若干符合客观实际的假设。模型构建在所作假设的基础上,利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,用数学的语言、符号描述问题,建立相应的数学结构即建立数学模型。尽量采用简单的数学工具模型求解对所建数学模型,利用适当的数学方法、软件和计算机技术进行求解。模型分析对计算结果进行必要的误差分析、统计分析、以及模型对数据的稳定性分析.模型检验与实际现象、数据比较,检验模型的合理性、适用