高中数学竞赛讲义(免费)

1、高中数学竞赛资料高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法

2、。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。函数迭代，简单的函数方程* 3. 初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数x，费马小定理，格点及其

3、性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合 A 中，称属xx于 A，记为，否则称不属于 A，记作。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别AxxAx表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正

4、有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，分别表示有理数集和正实数集。0 xx定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是BA ZN B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的

5、真子集。定义 3 交集，.BxAxxBA且定义 4 并集，.BxAxxBA或定义 5 补集，若称为 A 在 I 中的补集。,1AxIxxACIA且则定义 6 差集，。,BxAxxBA且定义 7 集合记作开区间，集合,baRxbxax),(ba记作闭区间，R 记作,baRxbxax,ba).,(定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C，有：（1） （2）；);()()(CABACBA)()()(CABACBA（3） （4）);(111BACBCAC).(111BACBCAC【证明】这里仅证（1） 、 （3） ，其余由读者自己完成。（1）若，则，且或，所以或)(CBAxAxBxCx)(BAx，

6、即；反之，则)(CAx)()(CABAx)()(CABAx或，即且或，即且，即)(BAx)(CAxAxBxCxAx)(CBx).(CBAx（3）若，则或，所以或，所以BCACx11ACx1BCx1AxBx，又，所以，即，反之也有)(BAxIx)(1BACx)(111BACBCAC.)(111BCACBAC定理 2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法n1m中有种不同的方法，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有2mnnm种不同的方法。nmmmN21定理 3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不n1m2m同的方法，第步有种不同的方法

7、，那么完成这件事一共有nnm种不同的方法。nmmmN21二、方法与例题1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例 1 设，求证：,22ZyxyxaaM（1）；)( ,12ZkMk（2）；)( ,24ZkMk（3）若，则 MqMp,.Mpq证明（1）因为，且，所以Zkk1,22) 1(12kkk.12Mk（2）假设，则存在，使，由于和)(24ZkMkZyx,2224yxkyx 有相同的奇偶性，所以是奇数或 4 的倍数，不可能等于yx )(22yxyxyx，假设不成立，所以24 k.24Mk（3）设，则Zbayxbaqyxp,2222)(2222bayxpq22222222aybxbyaaM

8、yaxbybxa22)()(（因为） 。ZyaxbZyaxa,2利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则 A=B。BA AB 例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足，求集合 M（用 A，B 表示） 。BAMBABAMBMA,【解】先证，若，因为，所以MBA)()(BAxBAMA，所以； MxMAx,MBA)(再证，若，则1）若，则)(BAMMx.BAMBAxAx；2）若，则。所以BAMAxBxBAMBx).(BAM综上，.BAM3分类讨论思想的应用。例 3 ，若02,01,023222mxxxCaaxxxBxxxA，求CCAABA,.,ma【解】依题设，再由解得或，2 , 1A0

9、12aaxx1 ax1x因为，所以，所以，所以或 2，所以或 3。ABAAB Aa111a2a因为，所以，若，则，即，CCAAC C082m2222m若，则或，解得CC1C2. 3m综上所述，或；或。2a3a3m2222m4计数原理的应用。例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集， （1）若，IBA求有序集合对（A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。【解】 （1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于IBA,其中一个子集，10 个元素共有 310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有 310个。（2

10、）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1 或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，0 也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有 1022 个。10242105配对方法。例 5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非, 3 , 2 , 1nIkkAAA,21空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。k【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同12n在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，k12nkk若有一对子集未出现，设为

11、C1A 与 A，并设，则，从而可以在1AAACA11个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。kAC112nk12nk6竞赛常用方法与例问题。定理 4 容斥原理；用表示集合 A 的元素个数，则A,BABABA，需要xy 此结论可CBACBCABACBACBA以推广到个集合的情况，即nnikjijinkjijiiniiAAAAAAA111.) 1(11niinA定义 8 集合的划分：若，且，IAAAn21),1 (jinjiAAji则这些子集的全集叫 I 的一个-划分。n定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理 6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1mn)

12、 1( nn个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有1mmn一个抽屉放有无穷多个元素。例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。【解】 记，（2（2,1001,100, 3 , 2 , 1xxxxAI记为整除能被且，由容斥原理，5 ,1001,3 ,1001xxxCxxxB31002100CBAACCBBACBACBA，所以不能被 2，3，5 整除的数有7430100151001010061005100个。26CBAI例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最多含有多少个元素？【解】将

13、任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个数。又因为 2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 个元素，另一方面，当时，恰有，且 S 满足题目条,2004,10, 7 , 4 , 2 , 1,11NkrttkrrS912S件，所以最少含有 912 个元素。例 8求所有自然数，使得存在实数满足：)2( nnnaaa,21.2) 1(, 2 , 11

14、nnnjiaaji【解】 当时，；当时，；当时， 2n1, 021aa3n3, 1, 0321aaa4n。下证当时，不存在满足条件。1, 5, 2, 04321aaaa5nnaaa,21令，则naaa210.2) 1( nnan所以必存在某两个下标，使得，所以或ji 1njiaaa1111nnnaaaa，即，所以或，21aaann12a1,2) 1(1nnnaanna2) 1( nnan。12a（）若，考虑，有或，1,2) 1(1nnnaanna2na22nnaa22aaann即，设，则，导致矛盾，故只有22a22nnaa121nnnnaaaa. 22a考虑，有或，即，设，则3na23nnaa

15、33aaann33a23nnaa，推出矛盾，设，则，又推出矛02212aaaann33a2311aaaann盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。4,22naan5n（）若，考虑，有或，即1,2) 1(2annan2na12nnaa32aaann，这时，推出矛盾，故。考虑，有23a1223aaaa21nnaa3na或，即=3，于是，矛盾。因此23nnaannaa33a3a123nnaaaa，所以，这又矛盾，所以只有，所以32nnaa12211aaaann22aan。故当时，不存在满足条件的实数。4n5n例 9 设 A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在 A 中取三个数，B 中取两

16、个数组成五个元素的集合，求的最小值。iA.201 , 2,20, 2 , 1jiAAijin【解】 .16minn设 B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（iAk4kmk） ，则在出现的所有中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是4k.123 kmiA1，就有集合1，其中，121,bmaa, 1, 1365243bmaabmaa61 ,iAai为满足题意的集合。必各不相同，但只能是 2，3，4，5，6 这 5 个数，这不可能，所以ia. 4k20 个中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以。当时，如iA16n16n下 20 个集合满足要求：

17、1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。例 10 集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，n,zyxzyx3求满足条件的最小正整数. n【解

18、】 设其中第 个三元集为则 1+2+i, 2 , 1,nizyxiiniizn1,43所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有niiznn142) 13(3nn388nn，所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，138n5n5n9，12，7，10，14，8满足条件，所以的最小值为 5。n第二章 二次函数与命题一、基础知识1二次函数：当0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴a为直线 x=-，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=-，下同。ab2ab22二次函数的性质：当 a0 时，f(x)的

19、图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量 x 增大函数值减小（简称递减） ，在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别是x|xx2和x|x1xx2，二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）当=0 时，方程有两个相等的实根 x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分别ab2是x|x和空集，f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。ab23

20、）当0 时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是 R 和.f(x)图象与 x 轴无公共点。当 a0，当 x=x0时，f(x)取最小值 f(x0)=,若 a0)，当 x0m, n时，f(x)在m, n上的最小值为 f(x0); 当 x0n 时，f(x)在m, n上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出） 。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合

21、命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则q；逆否命题：若非 q 则非 p。注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 pq.在命题“若 p 则 q”中，如果已知 pq,则 p 是 q 的充分条件；如果 qp，则称 p 是 q 的必要条件；如果 pq但 q 不p，则称 p 是 q 的充

22、分非必要条件；如果 p 不q 但 pq，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件。二、方法与例题1待定系数法。例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1 的二次函数 f(x).【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a0),则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（-）（+）a+b+1=0，因为方程 x2-x+1=0 中0，所以 ，所以(+)a+b+1=0.又 +=1,所以 a+b+1=0.又因为 f(1)=a+b+c=1，所以 c-1=1，所以 c=2.又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+

23、1)x+2.再由 f()= 得 a2-(a+1)+2=,所以 a2-a+2=+=1，所以 a2-a+1=0.即 a(2-+1)+1-a=0,即 1-a=0，所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范围。【解】 因为-4f(1)=a-c-1,所以 1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),3835所以(-1)+f(3)5+4,38353835所以-1f(3)20.3利用二次函数的性质。例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,

24、cR, a0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 f(f(x)=x 也无实根。【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。4利用二次函数表达式解题。例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2满足 0 x1x2,a1（）当 x(0, x1)时，求证：xf(x)x1；（）设函数 f(x)的

25、图象关于 x=x0对称，求证：x0.21x【证明】 因为 x1, x2是方程 f(x)-x=0 的两根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）当 x(0, x1)时，x-x10, x-x20，所以 f(x)x.其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以 f(x)x1.a1综上，xf(x)1，求证：方程的正根比 1 小，负根比-1 大。【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0.构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f

26、(0)=1-a20，所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。6定义在区间上的二次函数的最值。例 6 当 x 取何值时，函数 y=取最小值？求出这个最小值。2224) 1(5xxx【解】 y=1-,令u,则 0u1。222) 1(511xx112xy=5u2-u+1=5,201920191012u且当即 x=3 时，ymin=.101u2019例 7 设变量 x 满足 x2+bx-x(b-1)，并且 x2+bx 的最小值是，求 b 的值。21【解】 由 x2+bx-x(b-(b+1)，即 b-2 时，x2+bx 在0，-(b+1)上是减函数

27、，2b所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-,b=-.2123综上，b=-.237.一元二次不等式问题的解法。例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。12022axaaxx【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a,若 a0，则 x1x2.的解集为 ax1-2a.因为 1-2a1-a，所以 a0,所以不等式组无解。若 a0，）当 0a时，x1x2,的解集为 ax1-a.21因为 0ax1-a时，a1-a，由得 x1-2a，21所以不等式组的解集为 1-ax1 且 a-(1-a)3，所以 1a2，并且当 1a2 时，不等式组恰有两

28、个整数解 0，1。综上，a 的取值范围是 10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20 恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有 B0，C0，所以必要性成立。再证充分性，若 A0，B0，C0 且 A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若 A=0，则由 B2+C22BC 得(B-C)20，所以 B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若 A0，则由知0，所以成立，所以成立。综上，充分性得证。9常用结论。定理 1 若 a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.【证明】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|

29、b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若 m0，则-mxm 等价于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.综上定理 1 得证。定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR+,则 x+y.2 xy(证略)注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。第三章 函数一、基础知识定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。定义 2 单射，若 f: AB 是一个映射且对任意 x, yA, x

30、y, 都有 f(x)f(y)则称之为单射。定义 3 满射，若 f: AB 是映射且对任意 yB，都有一个 xA 使得 f(x)=y，则称 f: AB是 A 到 B 上的满射。定义 4 一一映射，若 f: AB 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1构成的映射，记作 f-1: AB。定义 5 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由

31、解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3-1 的定义域为x|x0,xR.x 定义 6 反函数，若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 y=的反函数是 y=1-(x0).x11x1定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）

32、函数。定义 7 函数的性质。（1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1 x2，总有 f(x1)f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。（3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数时，

33、f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。定义 8 如果实数 ab，则数集x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b） ，集合x|axb,xR记作闭区间a,b，集合x|axb记作半开半闭区间（a,b，集合x|axa记作开区间（a, +） ，集合x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义 9 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平

34、移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y=, u=2-x 在x21（-,2）上是减函数，y=在（0，+）上是减函数，所以 y=在（-,2）上是增函u1x21数。注：复合函数单调性的判

35、断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。二、方法与例题1数形结合法。例 1 求方程|x-1|=的正根的个数.x1【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=的图象，由图象可知两者有x1唯一交点，所以方程有一个正根。例 2 求函数 f(x)=的最113632424xxxxx大值。【解】 f(x)=，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ，222222)0() 1()3()2(xxxxB（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2的交点10) 12(322时等号成立。所以 f(x)m

36、ax=.102.函数性质的应用。xyx11x例 3 设 x, yR，且满足，求 x+y.1) 1(1997) 1(1) 1(1997) 1(32yyxx【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2.例 4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，求 a 的取值范围。【解】 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设 f(1-a)f(a2-1)。又 f(x)在定义域（-1，1）

37、上递减，所以-11-aa2-11，解得 0a1。例 5 设 f(x)是定义在（-，+）上以 2 为周期的函数，对 kZ, 用 Ik表示区间(2k-1, 2k+1，已知当 xI0时，f(x)=x2，求 f(x)在 Ik上的解析式。【解】 设 xIk，则 2k-10，则由得 n0，设 f(t)=t(+1),则 f(t)在（0，+）上是增函数。又 f(m)42t=f(-n)，所以 m=-n，所以 3x-1+2x-3=0，所以 x=.54)若 m0。同理有 m+n=0,x=,但与 m0 矛盾。54综上，方程有唯一实数解 x=.543.配方法。例 7 求函数 y=x+的值域。12 x【解】 y=x+=2

38、x+1+2+1-112 x2112 x=(+1)-1-1=-.2112 x2121当 x=-时，y 取最小值-，所以函数值域是-，+） 。2121214换元法。例 8 求函数 y=(+2)(+1),x0,1的值域。x1x121x【解】令+=u，因为 x0,1，所以 2u2=2+24,所以u2,x1x121x2所以2，12，所以 y=,u2+2，8。222 22u22u22u2所以该函数值域为2+，8。25判别式法。例 9 求函数 y=的值域。434322xxxx【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当 y1 时，式是关于 x 的方程有实根。所以=9(y+1)2-1

39、6(y-1)20，解得y1.71又当 y=1 时，存在 x=0 使解析式成立，所以函数值域为，7。716关于反函数。例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若 f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函数。【证明】设 x1x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则 x1=f(y1), x2=f(y2)，若 y1y2，则因为 f(x)在(-,+ )上递增，所以 x1x2与假设矛盾，所以 y1y2。即 y=f-1(x)在(-,+ )递增。例 11 设函数 f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).42314xx【解】

40、首先 f(x)定义域为（-，-）-，+） ；其次，设 x1, x2是定义域内变量，3241且 x1x20,32231422xx231411xx)23)(23()(51212xxxx所以 f(x)在（-，-）上递增，同理 f(x)在-，+）上递增。3241在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以x,y-，+）.41若 xy，设 xy，则 f(x)=yy 也可得出矛盾。所以 x=y.即 f(x)=x，化简得 3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为 x0，所

41、以 3x4+5x3+5x2+5x+10，所以 x=1.第四章 几个初等函数的性质一、基础知识1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为（0，+） ，当 0a1 时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1） 。2分数指数幂：。nmnmnnnmnmnnaaaaaaaa1,1,13对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 0a1 时，y=logax 为增函数。4对数的性质（M0, N0） ；1）ax=Mx=logaM(a0, a1)；2）loga(MN

42、)= loga M+ loga N；3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，NM5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1).nMn1abccloglog5. 函数 y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为xaa,a和。 （请读者自己用定义证明）0 ,aa, 06连续函数的性质：若 ab, f(x)在a, b上连续，且 f(a)f(b)0.【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则 f(x)是关于 x 的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证 f

43、(-1)0 且 f(1)0（因为-1a0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.例 2 （柯西不等式）若 a1, a2,an是不全为 0 的实数，b1, b2,bnR，则（）（）()2，等号当且仅当存在R，使 ai=, i=1, 2, , nniia12niib12niiiba1ib时成立。【证明】 令 f(x)= （）x2-2()x+=,niia12niiiba1niib12niiibxa12)(因为0，且对任意 xR, f(x)0，niia12所以=4()-4（）()0.niiiba1niia12niib12展开得（）()()2。

44、niia12niib12niiiba1等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在，使 ai=, i=1, 2, , n。ib例 3 设 x, yR+, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u=的最小值。yyxx11【解】u=xy+xy+2yyxx11xyxyyx1xy1xyyx=xy+2.xy1令 xy=t，则 0t=xy,设 f(t)=t+,0t44)(22cyxt1.42c因为 0c2，所以 00，所以=pqpq.251例 5 对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且，wzyx1111求证：a+b=c.【证明】 由 ax

45、=by=cz=70w取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，w1x1w1y1w1z1相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，w1zyx111wzyx1111所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70.所以 abc=70=257.若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a1.又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7.所以 a+b=c.例 6 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+log

46、cx=2logbx，求证 c2=(ac)logab.【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得，bxcxxaaaaaloglog2logloglog因为 ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例 7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化为=1。设 f(x)= , 则 f(x)在(-xxx65322

47、1xxx653221,+)上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3.例 8 解方程组：（其中 x, yR+）.312xyyxyxyx【解】 两边取对数，则原方程组可化为 .3lg)(lg12lg)(glxyyxyxyx把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0.由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6，代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0.又 y0，所以 y=2, x=4.所以方程组的解为 .24;112211yxyx例 9 已知 a0, a1，试求使方程 loga(x-ak)=

48、loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足.00)(22222axakxaxakx若、同时成立，则必成立，故只需解. 0)(222akxaxakx由可得 2kx=a(1+k2)， 当 k=0 时，无解；当 k0 时，的解是 x=，代入得k.kka2)1 (2kk212若 k1，所以 k0，则 k21，所以 0k1 时，an=Sn-Sn-1.定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n，都有 an+1-an=d（常数） ，则an称为等差数列，d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列，即 2b=a+c，则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若

49、公差为 d, 则 a=b-d, c=b+d.定理 2 等差数列的性质：1）通项公式 an=a1+(n-1)d；2）前 n 项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中 n, m 为正整数；4）若dnnnaaann2) 1(2)(11n+m=p+q，则 an+am=ap+aq；5）对任意正整数 p, q，恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若 A，B 至少有一个不为零，则an是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n，都有，则an称为等比数列，q 叫做公qaann1比。定理 3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前 n 项和

50、 Sn，当 q1 时，Sn=；qqan1)1 (1当 q=1 时，Sn=na1；3）如果 a, b, c 成等比数列，即 b2=ac(b0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项；4）若 m+n=p+q，则 aman=apaq。定义 4 极限，给定数列an和实数 A，若对任意的0，存在 M，对任意的 nM(nN),都有|an-A|，则称 A 为 n+时数列an的极限，记作.limAann定义 5 无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比 q 满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前 n 项和 Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得） 。qa11定理 3 第一数学归纳法：给定命题 p(

51、n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当 p(n)时 n=k 成立时能推出 p(n)对 n=k+1 成立，则由（1） ， （2）可得命题 p(n)对一切自然数 nn0成立。竞赛常用定理定理 4 第二数学归纳法：给定命题 p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当 p(n)对一切 nk的自然数 n 都成立时（kn0）可推出 p(k+1)成立，则由（1） ， （2）可得命题 p(n)对一切自然数 nn0成立。定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为,:(1)若 ，则 xn=c1an-1+c2n-1，其中 c1, c2由初始条件

52、x1, x2的值确定；(2)若=，则 xn=(c1n+c2) n-1，其中 c1, c2的值由 x1, x2的值确定。二、方法与例题1不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊猜想数学归纳法证明。例 1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明） ；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，。【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例 2 已知数列an满足 a1=,a1+a2+an=n2an, n1，求通项 an.21【解】 因

53、为 a1=,又 a1+a2=22a2,21所以 a2=，a3=,猜想(n1).2314311322aa) 1(1nnan证明；1）当 n=1 时，a1=，猜想正确。2）假设当 nk 时猜想成立。121当 n=k+1 时，由归纳假设及题设，a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,，所以=k(k+2)ak+1, ) 1(1231121kk即=k(k+2)ak+1,1113121211kk所以=k(k+2)ak+1,所以 ak+1=1kk.)2)(1(1kk由数学归纳法可得猜想成立，所以.) 1(1nnan例 3 设 0a1.na1【证明】 证明更强的结论：1an1+a.1)当 n=1 时，

54、1a1=1+a，式成立；2)假设 n=k 时，式成立，即 1an.又由 an+1=5an+移项、平方得1242na . 01102121nnnnaaaa当 n2 时，把式中的 n 换成 n-1 得，即01102112nnnnaaaa . 01102121nnnnaaaa因为 an-1an+1，所以式和式说明 an-1, an+1是方程 x2-10anx+-1=0 的两个不等根。由韦2na达定理得 an+1+ an-1=10an(n2).再由 a1=0, a2=1 及式可知，当 nN+时，an都是整数。3数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例 6 已知 an=(n=1

55、, 2, )，求 S99=a1+a2+a99.100241n【解】 因为 an+a100-n=+=，100241n100100241n10010010010010010021)44(2244422nnnn所以 S99=.29929921)(21101100991100nnnaa例 7 求和：+43213211nS.)2)(1(1nnn【解】 一般地，)2)(1(22)2)(1(1kkkkkkkk，)2)(1(1) 1(121kkkk所以 Sn=nkkkk1)2)(1(1)2)(1(1) 1(143132132121121nnnn)2)(1(12121nn.)2)(1(2141nn例 8 已知数

56、列an满足 a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列的前 n 项和，求证：Sn2。nna2【证明】 由递推公式可知，数列an前几项为 1，1，2，3，5，8，13。因为， nnnaS228252322212165432所以。 1543222523222121nnnaS由-得，12222222121212121nnnnnaaS所以。122412121nnnnaSS又因为 Sn-20,12nna所以Sn, 所以，412121nS2141nS所以 Sn0，2211xx由可知对任意 nN+，0 且,22nnxx22lg222lg11nnnnxxxx所以是首项为，公比为 2 的等比数列。2

57、2lgnnxx2222lg所以，所以，1222lgnnnxx2222lg22nnxx122222n解得。2nx11112222)22()22()22()22(nnnn注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。第六章 三角函数一、基础知识定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|=,其中 r 是圆的半径。r

58、L定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y） ，到原点的距离为 r,则正弦函数 sin=,余弦函数 cos=,正切函数 tan=，余切函数 cot=，正割函ryrxxyyx数 sec=,余割函数 csc=xr.yr定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=,sin=，cos=cot1csc1；商数关系：tan=；乘积关系：sec1sincoscot,cossintancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2

59、+1=csc2.定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, 2cos=sin, tan=cot（奇变偶不变，符号看象限） 。22定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周22 ,22kk232 ,22kk期

60、为 2. 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-时, 22y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值2域为-1，1。这里 kZ.定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当0 ,2kx=2k 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ.定理 5 正切函数的性质