文科经管类微积分第八章ppt课件

1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制造：1,u2,u3,u,nu0.9,0.09,0.009,0.0009,n个0lim0.nnu11Su0.9,212Suu0.99,3123Suuu0.999,121nniniSuuuu 0.99999,n个9lim1.nnSS通俗地说：1231uuu 无限多个数的和可以是一个有限的数.引例1:0.90.090.0091.： “一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭.意思是意思是: 一尺长的棍子一尺长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半,第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,这样永

2、远也取不完这样永远也取不完.引例引例2012141把每日所取陈列起来：,21，221，321， ，n21棰取走的部分总共长：nns2121212211)211 (21n. 1n211此是公比为的等比数列，. 021n21qn nnnuuuuu3211 (常数项常数项)无穷级数无穷级数普通项普通项部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus,21nnuuus v常数项级数的定义 :是一个数列假设nuu1, u2, u3, , un, , 上页下页铃结束返回首页以下各式均为常数项级数; 214121211nnn; 211nn

3、n; ) 1(1111) 1(111nnn1111coscos1 cos2cos3cos41cos .nnnnn 例11( 1)1 1 1 1( 1) ;nnn 上页下页铃结束返回首页v级数举例 1 3121111 nnn 1 3121111 nnn调和级数 ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn 20 nnnaqaqaqaaq 20 nnnaqaqaqaaq几何级数 1 31211 11 pppnpnn 1 31211 11 pppnpnn级数的展开方式备注普通项简写方式等比级数aq

4、n-1p级数 下页1pnn1v级数敛散性定义 如果ns没有极限则称无穷级数1nnu发散 ( 包括极限为 ) ,nSnuuuu32112.nsuuu当当 n时时, ,如如果果级级数数 1nnu的的部部分分和和数数列列 ns有有极极限限s , , 即即 ssnn lim, ,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu收收敛敛, , 这这时时极极限限s叫叫做做级级数数 1nnu的的和和，并并写写成成 上页下页铃结束返回首页v余项 rnssnun1un2 当级数1nnu收敛时级数的和 s 与部分和 s n的差值 叫做级数1nnu的余项 下页1212nnnSuuuuu 12nnSuuu 上页下页铃结束返回首页

5、例2. 证明级数 123 n 是发散的. 此级数的部分和为 证证:2) 1( 321 nnnsn2) 1( 321 nnnsn 显然nnslim因此所给级数是发散的 因此所给级数是发散的 下页上页下页铃结束返回首页 1,0naaaaa 故级数发散.12nnSuuu limlim,nnnSna 例例1 1 讨论级数讨论级数的敛散性.解: 因那么na 222 解解，如如果果1 q12 nnaqaqaqas，qaqaqqann 11)1 (,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim收敛收敛发散发散例例1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数

6、几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20)0( a的收敛性的收敛性. . 当公比当公比 | q | 1 时时, 等比级数发散等比级数发散.，如如果果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim发散发散 综上所述综上所述, , 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn例例1 1讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20)0( a的收敛性的收敛性. . 当公比当公比 | q | 1 时时, 等比级数收敛；等比级数收敛；当公比当公比 | q| 1 时时, 等比级数发散等比级数发散.

7、上页下页铃结束返回首页仅当|q|1 时几何级数nnaq0(a0)收敛其和为qa1 例7收敛吗?解: 由于1111,22nnnn收敛.112nn上页下页铃结束返回首页例8讨论1011123105nn 的收敛性.仅当|q|1 时几何级数nnaq0(a0)收敛其和为qa1 解:因115nn收敛,即115nn是一个有限的数,而从1加到1010也是个有限的数,因此级数1011123105nn 收敛.例例2. 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性: n 1ln1nnn解解:12lnnSnnln) 1ln()3ln4(ln)2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n利用 “拆项 求和23ln34lnnn

8、1ln所以级数发散所以级数发散. . 12nnSuuu 解解: :11nnun111nn) 1(1321211nnsn)111()4131()3121()2111(nn111n. 1, 和为级数收敛, 1n例例2 2讨论无穷级数讨论无穷级数 ) 1(1321211nn的收敛性的收敛性. . .11 nnnnukkunnuuukkukuku 2121二、收敛级数的根本性质sn、sn、tn, 那么 这是因为如果1nnu、1nnv、)(1nnnvu 的部分和分别为 )( )()(limlim2211nnnnnvuvuvu ) () (lim2121nnnvvvuuu ssnnn)(limssnnn)

9、(lim 结论结论: : 两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .limlimnnnns性质性质2 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1 nnsu,1 nnv那么级那么级数数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 且有且有. s 111nnnnnnnvuvu 1nnnvu注注: :( (1 1) ) 不不能能由由 1)(nnnvu收收敛敛推推出出 1nnu、 1nnv收收敛敛； ( (2 2) ) 若若 1nnu收收敛敛, ,而而 1nnv发发散散, ,则则 1)(nnnvu发发散散. . 证证(2):(2):而而已已知知 1nnu收收敛敛, , 由定理由定理, ,

10、得得 1nnv收敛收敛, , 矛盾矛盾. .假设假设收敛收敛, , nnnnuvuv 由由上页下页铃结束返回首页二、收敛级数的根本性质 性质3 在级数中去掉、加上或改动有限项, 不会改动级数的收敛性. 比如级数 ) 1(1 431321211 nn是收敛的 级数 ) 1(1 43132121110000 nn也是收敛的 级数 ) 1(1 541431 nn也是收敛的 性质11 如果sunn1则kskunn1 性质22 如果sunn1、1nnv则svunnn)(1 下页上页下页铃结束返回首页二、收敛级数的根本性质 推论 假设加括号后所成的级数发散, 那么原来级数也发散. 性质11 如果sunn1

11、则kskunn1 性质22 如果sunn1、1nnv则svunnn)(1 性质4 假设级数收敛, 那么对这级数的项恣意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 性质3 在级数中去掉、加上或改动有限项, 不会改动级数的收敛性. 下页)()(54321uuuuu12345uuuuu收敛,那么也收敛.上页下页铃结束返回首页加括号仍为收敛级数加括号仍为收敛级数.注注 收敛级数收敛级数是收敛的.1( 1)naaaaa ()()()0.aaaaaa 注注“加括号后所成的级数收敛加括号后所成的级数收敛, , 原级数不一定收敛原级数不一定收敛. .例如级数是发散级数. 但将相邻的两项加括号后所得级数)()(5

12、4321uuuuu12345uuuuu收敛,那么也收敛.上页下页铃结束返回首页仅当|q|1 时几何级数nnaq0(a0)收敛其和为qa1 例7 性质22 如果sunn1、1nnv则svunnn)(1 11423nnn收敛吗?解: 由于111122nnnn和1143nn均收敛,根据性质2,级数收敛.上页下页铃结束返回首页v级数收敛的必要条件 下页假设级数1nnu收敛, 那么必有. 0limnnu定理1,u2,u3,u,nu0.9,0.09,0.009,0.0009,n个0lim0.nnu11nnu上页下页铃结束返回首页v级数收敛的必要条件 证:留意: (1)级数的普通项趋于零并不是级数收敛的充分

13、条件, 不能由于普通项趋于零就断定级数收敛. (2)假设普通项不趋于零, 那么级数必发散. 因此此性质常用于判别级数发散. 设级数1nnu的部分和为 sn且ssnnlim则 0limlim)(limlim110ssssssunnnnnnnnn0limlim)(limlim110ssssssunnnnnnnnn 下页121,nnnSuuuu 1121nnSuuu 1limlimnnnnnuSS假设级数1nnu收敛, 那么必有. 0limnnu定理定理上页下页铃结束返回首页由于1 limlimnnunnn故该级数发散.,0lim nnu解解:例5 . 1 1的敛散性判别级数nnn级数收敛的必要条件

14、级数收敛的必要条件:假设级数1nnu收敛, 那么必有. 0limnnu,1111 limnn上页下页铃结束返回首页是必要不充分条件是必要不充分条件: :若若0lim nnu, ,级级数数却却不不一一定定收收敛敛, ,如如 1)11ln(nn. . 再举一例：再举一例： 调调和和级级数数 11312111nnn , , v级数收敛的必要条件 假设级数1nnu收敛, 那么必有. 0limnnu定理但级数能否收敛但级数能否收敛? ? 例4. 例 4 证明调和级数11nn是发散的 12345670.511.522.53这是由于这是由于 1111111234nnkSknnnnSnlim,) 1ln(li

15、my=1/x发散。级数11nn) 1ln(11111113221ndxxdxxdxxdxxnnn1111lnln1ln11nndxxnx上页下页铃结束返回首页终了！是发散的，但级数01limlim13121111nunnnnnnv级数收敛的必要条件 假设级数1nnu收敛, 那么必有. 0limnnu定理上页下页铃结束返回首页21211111,nn 21111nn 31 111 ,cbcbbcbcaaaaa 22111nn12,nn332nn132 n上页下页铃结束返回首页作业P1261. 2. 3.4. (1)(3)(5)(7)(8)5.(1)高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制造：上

16、页下页结束返回首页铃8.2 正项级数及其审敛法上页下页铃终了前往首页第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 1.1.定义定义: :，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. .2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 正正项项级级数数收收敛敛的的充充分分必必要要条条件件是是它它的的部部分分和和数数列列ns有有上上界界. . 11nn 例如nS极限不存在nS 12nnSuuu且且), 2, 1( nvunn, , 证明证明nnuuus 21 1nnv 设设,nn

17、vu , . 1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu第一比较判别法第一比较判别法nvvv 21则则 ( (1 1) ) 若若 1nnv收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛； ( (2 2) ) 若若 1nnu发发散散，则则 1nnv发发散散. . (2)(2)是是(1)(1)的等价命题的等价命题. . 那那么么即即 1nnu的的部部分分和和数数列列有有上上界界， 大收小收, 小发大发.上页下页铃结束返回首页注注：定定理理的的条条件件可可放放宽宽为为： 从从某某项项起起, ,恒恒有有nnkvu , ,)0( k. . 且且), 2, 1( nvunn, , 均为

18、正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu第一比较判别法第一比较判别法则则 ( (1 1) ) 若若 1nnv收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛； ( (2 2) ) 若若 1nnu发发散散，则则 1nnv发发散散. . 讨讨论论p- -级级数数 11npn的的收收敛敛性性( (0 p) ). . 当当1 p时时, , 而而调调和和级级数数 11nn发发散散, , 故故原原级级数数发发散散； 当当1 p时时, ,用用积积分分判判别别法法: : 当当nxn 1时时, ,ppxn11 , , 于于是是有有 nnppnxn1d1 解解例例2 2，nnp11 (1)111pnxnp ，2 n

19、, , 而而 111)1(111211 pnnpnpp, ,收收敛敛, , 重要参考级数重要参考级数: p-: p-级数级数, , 调和级数，几何级数调和级数，几何级数讨讨论论p- -级级数数 11npn的的收收敛敛性性( (0 p) ). . 例例2 2提示:111111111111111112233445ppppppp nnppnxn1d1 nnpxx1d ，1)1(11111 ppnnp221111nnn而而 21nn发发散散, , 所所以以原原级级数数发发散散. . （但（但 211nn如何？）如何？） 解解:例例3 3 211nn而而 221nn收收敛敛, , 所所以以原原级级数数收

20、收敛敛. . （但但 2211nn如如何何？） 例例4 4 1211nn解解:要运用比较判别法来判别给定级数的收敛性,就必需给定级数的普通项与某一知级数的普通项之间的不等式,但有时直接建立这样的不等式相当困难,为运用方便,我们给出比较判别法的极限方式.定理定理8 (8 (第一比较判别法的极限方式第一比较判别法的极限方式) )11nnnnuv及及lim,nnnulv 假设两个正项级数满足: (1)当0l+时, 级数11nnnnuv 和和同时敛散;v第二比较判别法 简要阐明：简要阐明：，比如3limnnnvu,很大时则当 n, 3nnvu,3nnvu 即,3nnvu因此这样两级数有一样的敛散性.定

21、理定理8 (8 (第一比较判别法的极限方式第一比较判别法的极限方式) )11nnnnuv及及lim,nnnulv 假设两个正项级数满足: (1)当0l+时, 级数11nnnnuv 和和同时敛散;(2)当l= 0且级数1nnv 也收敛;1nnu 收敛时, 级数v第二比较判别法 简要阐明简要阐明(2)：，因为0limnnnvu,很大时则当 n, 10 nnvu,nnvu因此,nnvu 即得证.定理定理8 (8 (第一比较判别法的极限方式第一比较判别法的极限方式) )11nnnnuv及及lim,nnnulv 假设两个正项级数满足: (1)当0l1nnnuv 因为，, ,设设 1nnu与与 1nnv都

22、是正项级数都是正项级数 假设假设,limlvunnn , ,当当时时; ;那么那么(1) (1) 两级数有一样的敛散性两级数有一样的敛散性 l0 (3) (3) 当当时时, , 假设假设 1nnv发散发散, , 那么那么 1nnu发散发散; ; l (2) (2) 当当时，假设时，假设收敛收敛, ,那么那么收敛收敛; ;0 l 1nnv 1nnu第一比较判别法的极限方式第一比较判别法的极限方式: :v第二比较判别法 上页下页铃结束返回首页而而 21nn发发散散, , 所所以以原原级级数数发发散散. . 例例5 5 211nnnnn111lim，1v第二比较判别法 则级数1nnu和级数1nnv同

23、时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l) 解解:上页下页铃结束返回首页例例6 6 2211nn，1111lim22 nnnv第二比较判别法 则级数1nnu和级数1nnv同时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l) 解解:上页下页铃结束返回首页v第二比较判别法 则级数1nnu和级数1nnv同时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l) 3 判别级数11sinnn的收敛性 例例3. 因为111sinlim nnn而级数 解解:111sinlim nnn而级数11nn发散 根据第二比较判

24、别法知.1sin1发散nn0sinlim1xxx上页下页铃结束返回首页3 判别级数11sinnn的收敛性 例例3. 因为111sinlim nnn而级数 解解:111sinlim nnn而级数11nn发散 下页根据第二比较判别法知.1sin1发散nnnu1pn实践是实践是 与与 同阶无穷小同阶无穷小 之间的比较之间的比较.则级数1nnu和级数1nnv同时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l) 0sinlim1xxx上页下页铃结束返回首页例例15 15 断定级数的敛散性断定级数的敛散性: :311nnn (1)解解因因3231lim1,1nnnn 由比较判

25、别法的极限方式知收敛.311nnn 33333311limlimlim1nnnnnnnnnnnn 32311limlim1,11nnnnnn 则级数1nnu和级数1nnv同时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l) 上页下页铃结束返回首页例设正项级数1nnu收敛, 能否推出12nnu收敛 ?提示提示:2limnnnuulimnnu0,由第二比较判别法可知12nnu收敛 .v第二比较判别法 (2) (2) 当当时，假设时，假设收敛收敛, ,那么那么收敛收敛; ;0 l 1nnv 1nnu, ,设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数 假设假设,l

26、imlvunnn 上页下页铃结束返回首页注注7 7 运用第一和第二比较判别法运用第一和第二比较判别法, ,需记住一些知其收敛需记住一些知其收敛性的级数性的级数, ,而且建立不等式关系也比较繁. 而现实上,一个正项级数的收敛性有其本身内在的本质,可以利用级数本身的特点,来断定级数的收敛性. 3211 nnnuuuuu v第二比较判别法 则级数1nnu和级数1nnv同时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l) 上页下页铃结束返回首页除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被严厉确定的无穷级数.阿贝尔(Abel,Niels Henrik,1802-1829)

27、20nnnaqaaqaqaq11,nnnnuaqquaq当公比当公比 | q | 1 时时, 等比级数收敛；等比级数收敛；当公比当公比 | q| 1 时时, 等比级数发散等比级数发散.qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn 111 121.1naqq.1aSq(1) 1 ( 包括 = ) 时, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.,11发发散散级级数数 nn,112收收敛敛级级数数 nn(1)设设 1nnu是是正正项项级级数数, , 若若 nnnuu1lim, ,则则 比值判别法(达朗贝尔判别法)： ,很大时当n,1nnuu!1)!1(11nnuunn 11 n, 1

28、0 n例例1111 1! 1nn收敛收敛. .解解:)!1(!nn 1223cosnnnn 解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnnnvvnnnnnnnnn221lim221limlim111 nnn21lim , 121 ,21收收敛敛 nnn根据第一比较判别法，根据第一比较判别法，原级数收敛原级数收敛例7 判别的敛散性.比值判别法与比较判别法的综合运用比值判别法与比较判别法的综合运用由比值判别法，由比值判别法， 1!nnnn!)!1()1(limlim11nnnnuunnnnnn nnnn 1lim.!1发发散散由由比比值值判判别别法法， nnnn1lim(1)1nne

29、n例8 判别的敛散性.解解,!nnunn 令令上页下页铃结束返回首页 , 2 ,2 1而为正项级数则级数令nnnnnnu例7判别12nnn的敛散性.解解:v比值判别法(达朗贝尔判别法)若正项级数1nnu满足nnnuu1lim则当1(或nnnuu1lim)时级数发散 121 n, nnnnuunnnnnn221221111nn21 收敛收敛. .例例1313 1)12)(12(1nnn解解:)12)(12(1)32)(12(11 nnnnuunn, 1 n所以用比值法无法判别所以用比值法无法判别. .用第二比较判别法用第二比较判别法, ,，411)12)(12(1lim2 nnnn收敛收敛. .

30、上页下页铃结束返回首页例8假设0,判别1npnn的收敛性.v比值判别法若正项级数1nnu满足nnnuu1lim则当1(或nnnuu1lim)时级数发散 解:,nnpun111limlimnpnnnnnpnuunlim,1pnnn那么(1)假设 ,那么级数收敛.1(2)假设 ,那么级数发散.1(3)假设 ,此时比值判别法失效,111,pnn时,那么级数收敛,1p 时,那么级数发散.1p 但此时原级数为上页下页铃结束返回首页除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被严厉确定的无穷级数.阿贝尔(Abel,Niels Henrik,1802-1829)21nnnqqqq,nnnnuqq当公比当公比

31、 | q | 1 时时, 等比级数收敛；等比级数收敛；当公比当公比 | q| 1 时时, 等比级数发散等比级数发散.12248 16nn 上页下页铃结束返回首页定理定理5. 根值判别法根值判别法 ( Cauchy判别法判别法)设 1nnu为正项级,limnnnu那么;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 数, 且简要阐明：简要阐明：,很大时当n,nnu,nnu即.nnulim,nnnu因,1nnu上页下页铃结束返回首页时 , 级数能够收敛也能够发散 .1阐明阐明 :定理定理5. 根值判别法根值判别法 ( Cauchy判别判别法法)设 为正项级,limnnnu那么;,1) 1(级数

32、收敛时当 .,1)2(级数发散时当 数, 且1nnu上页下页铃结束返回首页定理定理5. 根值判别法根值判别法 ( Cauchy判别判别法法)设 为正项级,limnnnu那么;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 数, 且1nnu根值判别法适宜 中含有某表达式的 次幂.nun例例1515解解:12limlim nnunnnn21 112nnnn，1 所以级数收敛所以级数收敛. . 例例1616 11213nnnn解解:nnnnnnnnu1213limlim 91 ，1 所以级数收敛所以级数收敛. . 上页下页铃结束返回首页必要条件lim0nnu不满足满足比值判别法 limn1nun

33、u根值判别法limnnnu1收敛1不能 用它1比较判别法级数发散判别内容小结：正项级数的审敛法1nnulimnnnulvun vn1nnu洛必达法那么： limfxg x00复杂的型,上页下页铃结束返回首页例6判别级数111lnnnnn的收敛性. limfxg x00复杂的型,解: 令 2ln 100 ,fxxxxg xx 由于20ln 1limxxxx000111111limlimlim,222 12xxxxxxxxx从而211ln 11lim,12nnnn211nn是 级数,p2,p 其中收敛.从而 收敛.111lnnnnn洛必达法那么：上页下页铃结束返回首页作业P1. 2. (2)(4)

34、(5)(8)3.(2)(4)(6)高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制造：上页下页铃结束返回首页必要条件lim0nnu不满足满足比值判别法 limn1nunu根值判别法limnnnu1收敛1不能 用它1比较判别法级数发散判别内容小结：正项级数的审敛法1nnulimnnnulvun vn1nnu洛必达法那么： limfxg x00复杂的型,11131.nnnnu例,131nun是发散的，而11nn也发散。故由比较法1131nn 6. 正项级数比较判别法的基此题型和运用实例正项级数比较判别法的基此题型和运用实例 (1) 利用比较法不等式方式直接判敛题型利用比较法不等式方式直接判敛题型:,1

35、31131,313nnnn111.nnnnnnu例nnnnnnnnnnnu1lim11lim1limxxxxxxxxeexlnlimln111lim11lim1lim11xxe 洛 必 达发散，而)1(11pnn亦发散。故11nnnn (2) 利用比较法极限方式直接判敛题型利用比较法极限方式直接判敛题型:上页下页铃结束返回首页例例15 15 断定级数的敛散性断定级数的敛散性: :311nnn (1)解解因因331lim1,1nnnn 由比较判别法的极限方式知收敛.311nnn 33333311limlimlim1nnnnnnnnnnnn 32311limlim1,11nnnnnn 则级数1nn

36、u和级数1nnv同时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l1 时收敛当 p1 时发散 而而 21nn发发散散, , 所所以以原原级级数数发发散散. . 发发散散. . 收收敛敛. . 例例5 5 211nn，1111lim nnn例例6 6 2211nnn，1111lim2 nnnn例例7 7 2211lnnn，1111lnlim22 nnn (3) 带有参数的正项级数的讨论判敛题型带有参数的正项级数的讨论判敛题型: 敛散性常数讨论例),0()3(1.121nnnnnu1211nnnnv解：取221)3(1limlimnnnvunnnn0)31()3(li

37、m22nnnn同时敛散，与故12121)3(1nnnnn收敛，时，当但)12(121)(12nni发散，时，当)120(1210)(12nnii1221)3(1nnn时收敛，当时发散当210上页下页铃结束返回首页例例9 9 断定以下级数的敛散性断定以下级数的敛散性11(1)sin;(2)arctan() ;4nnnnne sin4 (1)lim1,4nnnnn 解解由由于于14nnn 而而1sin4nnn 收敛, 收敛. 故v第二比较判别法 则级数1nnu和级数1nnv同时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l) 0sinlim1xxxsin4lim14n

38、nn上页下页铃结束返回首页例例9 9 断定以下级数的敛散断定以下级数的敛散性性11(1)sin;(2)arctan() ;4nnnnne arctan()(2)lim1,()nnnee 解解: :由由于于收敛, 1()nnie 而而1arctan()nne 收敛. 故v第二比较判别法 则级数1nnu和级数1nnv同时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l) 0lim1xarctgxxnnnnnnu)322(.22例323332)3231(lim)322(limnnnnnnnnn，0)3231(lim23323lim332ennnnnn发散。，知由级数收敛的

39、必要条件nnnn)322(2 6. 正项级数比较判别法的基此题型和运用实例正项级数比较判别法的基此题型和运用实例 (1) 利用比较法不等式方式直接判敛题型利用比较法不等式方式直接判敛题型:1型例6判别11nnna的敛散性. (其中 ,正常数).0a .解:(2)当 时,1a 1im1lnnnnaa而此时,11nna收敛,11nnna收敛.因此(1)当 时,01a1lim1nnnan而11nn为调和级数,发散,11nnna发散.因此要找出 中起主要作用的项.nulnlimlimlimln1nxxnxxnxxaaaaanaxaalnlnlim1.lnlnxxxaaaaaa1,1limlimliml

40、n1nxxnxxnxanaxaa1, (4) 证明正项级数收敛或发散的题型证明正项级数收敛或发散的题型: 均亦收敛与求证：收敛，已知正项级数1211312nnnnnnnuuuu;0lim1nnnnuu收敛证：, 212lim12limnnnnnnuuuu收敛收敛1112nnnnnuuu23limlim 30,nnnnnuuu 收敛收敛1213nnnnuuv第二比较判别法 则级数1nnu和级数1nnv同时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l) (4) 证明正项级数收敛或发散的题型证明正项级数收敛或发散的题型 . 发散。试证：若1,)0(0limnnnnnu

41、urun,0lim1limrunnunnnn证：发散。1nnu发散11nnv第二比较判别法 则级数1nnu和级数1nnv同时收敛或同时发散 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0l) 1)!1(.nnn例)!1()!2(1limlim1nnnnuunnnn10)2(1limnnnn收敛。由比值法，1)!1(nnn 8. 正项级数比值判别法正项级数比值判别法 ( DAlembert 法法 的运用实例的运用实例 1)2(12.nnn例)211212(lim)2(12)2(12limlim11nnnnuunnnnnnn121收敛。由比值法，1)2(12nnn 8. 正项级数比值判

42、别法正项级数比值判别法 ( DAlembert 法法 的运用实例的运用实例 8. 正项级数比值判别法正项级数比值判别法 ( DAlembert 法法 的运用实例的运用实例 2222)1(1.nnnnnu例nnnnnnnnuu2)1(12)1)1(1limlim21211212)1)1(1lim22nnn收敛。由比值法，222)1(1nnn110021.nnn例nnnnnnnnuu2121)1(limlim10011001)1(21)1(lim100100nnn121收敛。由比值法，11002nnn 8. 正项级数比值判别法正项级数比值判别法 ( DAlembert 法法 的运用实例的运用实例

43、1!.nnnn例!)!1()1(limlim11nnnnuunnnnnnnnnn)1(lim发散。由比值法，1!nnnn 8. 正项级数比值判别法正项级数比值判别法 ( DAlembert 法法 的运用实例的运用实例 1lim(1)1nnen1!2.nnnnn例nnnnnnnnnnnnuu!2)1()!1(2limlim11112)11(lim2)1(lim2ennnnnnn收敛。由比值法，1!2nnnnn 8. 正项级数比值判别法正项级数比值判别法 ( DAlembert 法法 的运用实例的运用实例 上页下页铃结束返回首页必要条件lim0nnu不满足满足比值判别法 limn1nunu根值判别

44、法limnnnu1收敛1不能 用它1比较判别法级数发散判别内容小结：正项级数的审敛法1nnulimnnnulvun vn1nnu洛必达法那么： limfxg x00复杂的型,上页下页铃结束返回首页作业P8.13. (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)6.10.11.高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：教案制造：上页下页结束返回首页铃一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛8.3 8.3 恣意项级数的审敛法恣意项级数的审敛法上页下页铃终了前往首页上页下页铃结束返回首页 本节讨论普通的常数项级数,即各项符号不尽一样的变号级数(恣意项级数).如级数1111( 1)sinnnnnn

45、及及 下面讨论恣意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中的一种各项正负相间的特殊情形 交错级数.上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数v 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为11) 1(nnnu其中0nu 下页112342121( 1) nnkknuuuuuuu 11111111( 1)1 23456nnn 这是交错级数这是交错级数. . 上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数v 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为11) 1(nnnu其中0nu 下页12342121( 1) nnkknuuuuuuu

46、 或或 (0,1,2,) nun112342121( 1) nnkknuuuuuuu (0,1,2,) nun上页下页铃结束返回首页v莱布尼茨定理 那么级数收敛, 且其和su1.(n123) (2)0limnnu 如果交错级数11) 1(nnnu满足条件 简要证明简要证明:下页设级数的前n项部分和为sn.及2nuu2u3u4u5u2n2u2nu2n设2nn 那么也有2n2nu2nn所以sns(n). 因此级数是收敛的且级数的和u可见数列s2n单调添加且有界(s2nu1), 所以数列2n收敛s2n可写成 12311,nnuuuuu 212,Suu 41234,Suuuu, 21234212,nn

47、nSuuuuuu称莱布尼茨称莱布尼茨型级数型级数 上页下页铃结束返回首页9 证明级数 1) 1(11nnn收敛并估计和及余项 例例9.这是一个交错级数. 由于此级数满足 证证:是莱布尼茨型级数, 故收敛.(1)1111nnunnu(n1, 2,) (2)(n1, 2,) (2)01limlimnunnn v莱布尼茨定理 那么级数收敛, 且其和su1.(n123) (2)0limnnu 如果交错级数11) 1(nnnu满足条件 首页 12311,nnuuuuu . 上页下页铃结束返回首页9 证明级数 1) 1(11nnn收敛并估计和及余项 例例9.这是一个交错级数. 由于此级数满足 证证:(1)

48、1111nnunnu(n1, 2,) (2)(n1, 2,) (2)01limlimnunnn 首页 . 例 验证: 不论 大于 还是不大于 ,只需p110,p 111npnn均收敛. 111 1,1,2,1nnppuunnn 解解: : 因因(n123) (2)0limnnu 是莱布尼茨型级数, 故收敛.是莱布尼茨型级数, 故收敛.三、恣意项级数的绝对收敛与条件收敛三、恣意项级数的绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项恣意出现的级数称为恣意项级数正项和负项恣意出现的级数称为恣意项级数. .例例如如, , 1211)1(nnn绝绝对对收收敛敛, , 而而 111)1(nnn条件收敛条件收

49、敛. . 定定义义 若若 1nnu收收敛敛, ,则则称称 1nnu绝绝对对收收敛敛； 若若 1nnu收收敛敛, ,但但 1nnu发发散散, ,则则称称 1nnu条条件件收收敛敛. . 1nnu 由于恣意常数项级数各项的符号不一定同号,因此正项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们可借助于正项级数的敛散性的判别法来研讨它了.它的每一项取绝对值后组成的级数正项级数,便调查1|nnu1nnu三、恣意项级数的绝对收敛与条件收敛三、恣意项级数的绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项恣意出现的级数称为恣意项级数正项和负项恣意出现的级数称为恣意项级数. .上页下页铃结束返回首页证证 un |

50、 un |2|0nnnuuu, | 1收敛已知nnu, )| ( 1收敛故nnnuu从而. |)| ( 11收敛nnnnnnuuuu . , | 11必收敛则级数收敛若nnnnuu因因为为 132nn收收敛敛, , 故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛. . 因为因为221sinnnn , , 而而 121nn收敛收敛, , 故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛. . 例例1818 132)1(nnn例例1919 12sinnnn 定理的作用：定理的作用：恣意项级数恣意项级数正项级数正项级数( (1 1) ) 定定理理不不可可逆逆, , 如如 111) 1(nnn收收敛敛, , 但但 11nn发发散散

51、; ; ( (2 2) ) 若若 1nnu发发散散, , 不能推出不能推出 1nnu发散发散, , 如如上上例例； 但但如如果果是是用用比比值值审审敛敛法法判判定定 1nnu发发散散, , 则则 1nnu必必发发散散. . 这这是是因因为为它它们们的的依依据据是是一一般般项项 nu不不趋趋向向于于零零, , 从从而而 nu也也不不趋趋向向于于零零. . 阐明阐明: : . , | 11必收敛则级数收敛若nnnnuu1lim31nnnuu (1) 1 (包括 = ) 时, 原级数发散.(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.(恣意项级数的达朗贝尔比值判别法)则存在若设有级数 , |lim

52、 , 11nnnnnuuu1|nnu,12nnnenunnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛,绝对收敛.12) 1(nnnen例例11 11 断定级数断定级数 的敛散性的敛散性. .解解: :由达朗贝尔比值判别法，由达朗贝尔比值判别法，例例11 11 断定级数断定级数 的敛散性的敛散性. .1nnxn 由达朗贝尔比值判别法，由达朗贝尔比值判别法，故当 时， 该级数收敛. ) 1 , 1x解解: :若若1 , ,则原级数发散；则原级数发散； 若若1 , ,原级数为原级数为 1)1(npnn, , 因因此

53、此当当1 p时时绝绝对对收收敛敛； 当当10 p时时条条件件收收敛敛. . 设设0, 0 p, ,讨论讨论 1)(npnn 的收敛性的收敛性. . , 若若1 , ,则则原原级级数数绝绝对对收收敛敛； 例例2121解解: :nnnuu1limnnnuu1lim上页下页铃结束返回首页总结：v绝对收敛与条件收敛 若级数1|nnu收敛则称级数1nnu绝对收敛若级数1nnu 收敛而级数1|nnu发散则称级1nnu条件收敛 绝对收敛条件收敛收敛发散1nnu级数1211) 1(nnn是绝对收敛的 而级数111) 1(nnn是条件收敛的 上页下页铃结束返回首页注注1 1 一切正项级数的收敛都是绝对收敛一切正

54、项级数的收敛都是绝对收敛. . 注2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来断定 能否收敛. . , | 11必收敛则级数收敛若nnnnuu 1| nnu故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛. . 例例2020 121131)1(nnnnn解解nnnnu)11(31 e31 n，1 . , | 11必收敛则级数收敛若nnnnuu例例15 15 断定级数断定级数 的敛散性的敛散性: :由比较判别法的极限方式知故级数 绝对收敛.收敛，121cosnnn,111cos22nnn因解：. 11lim111lim2222nnnnnn而1211nn121cosnnn讨讨论论级级数数) 1( 111 xxnn

55、的的收收敛敛范范围围. . 若若1 x, , 所所以以级级数数发发散散； 若若1 x, , 故原级数绝对收敛；故原级数绝对收敛； 所所以以级级数数的的收收敛敛范范围围为为1 x. . 例例2424解解: :x1 ，1 xxxnn 111上页下页铃结束返回首页级数1111)1(nnn能否收敛?1111) 1(1nnn解解由调和级数的发散性可知, 111发散nn故1111)1(nnn发散.11n例16故级数不是绝对收敛的.上页下页铃结束返回首页原级数是一个交错级数, 且满足：,1)1(121111nnunnnu所以级数是收敛的.由莱布尼兹判别法可知, 该交错级数收敛., 0limnnu级数1111

56、)1(nnn能否收敛?例16解解是条件收敛.上页下页铃结束返回首页1nnu1nnu必要条件lim0nnu不满足满足比值判别法 limn1nunu根值判别法limnnnu1绝对收敛1不能 用它1莱布尼茨定理交错级数比较判别法原级数发散发散至多条件收敛判别1nnu收敛内容小结：恣意项级数的审敛法1nnu1nnu上页下页铃结束返回首页作业P4. (1)(2)(3) 5. (1)(3)7.14.17.13.(9)(10)9.12.高等院校非数学类本科数学课程脚本编写、教案制造：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 上页下页结束返回首页铃8.4 幂级数上页下页铃终了前往首页一一. 函数项级数函数项级数

57、二二. 幂级数及其敛散性幂级数及其敛散性三三. 幂级数的运算幂级数的运算上页下页铃结束返回首页1. 函数项级数的定义设有一函数序列 , )( , , )( , )(21xuxuxun , ), 2 , 1( )( , 则称上有定义在区间其中RIixui)()()( )(211xuxuxuxuinn为定义在区间 I 上的函数项级数.一、函数项级数,31211321 xxxxnnn例例如如级级数数上页下页铃结束返回首页 )(10就是一个常数项级数nnxu)()()( )(211xuxuxuxuinn函数项级数 I 0 x 可以利用常数项级数的知识来处置函数项级数上页下页铃结束返回首页2. 函数项级

58、数的敛散性 , 0时若Ix , )(10收敛nnxu10)( nnxux 为则称的收敛点 . , 0时若Ix , )(10发散nnxu10)( nnxux 为则称的发散点 . . , )( 1Ixxunn设有所所有有发发散散点点的的全全体体称称为为发发散散域域. . 函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, , 记为记为D.D.)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域内在收敛域内)0)(lim xrnn留意留意 函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,

59、本质上本质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数: : )()()()(21xuxuxuxsn在在收收敛敛域域上上, ,函函数数项项级级数数的的和和是是x的的函函数数s(x), , 称称s(x)为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数. . (定义域是定义域是?),(xsn上页下页铃结束返回首页 )(10就是一个常数项级数nnxu)()()( )(211xuxuxuxuinn函数项级数 I 0 x 可以利用常数项级数的知识来处置函数项级数例例11 11 求级数求级数 的收敛域的收敛域. .1nnxn 解:).1 , 1故级数的收敛域为由达朗贝尔比值判别法，由达朗贝尔比

60、值判别法，上页下页铃结束返回首页nnnnnxaxaxaaxa22100 形如的级数称为幂级数, 其中, ) , 2 , 1 , 0( nan常数称为幂级数的系数.1. 幂级数的定义幂级数的定义 在函数项级数中, 有一类非常特殊的级数, 它的每一项都是 x 的幂函数, 即 . ()nnnua xnN例如:20 (1)123(1)nnnnxxxnx 其中1 .nan定定理理 1 1 ( (Abel 定定理理) ) ( (1 1) ) 如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, , 则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ; ( (2