浅谈逆向思维在数学教学中的应用

1、浅谈逆向思维在数学教学中的应用祁礼斌 （静宁县靳寺职业中学）摘 要： 本文谈论了概念教学、公式教学、反证法教学、反例教学等几个方面中逆向思维的培养与应用。关键词： 逆向思维；概念；反证法。 逆向思维是指背离原来的认识并在相对立的意义上去探索新的发展可能性.由于思维与原来认识相反,在与原来习惯思维相反方向上进行的,我们称它为逆向思维 逆向思维从反面观察问题,打破心理学上的心理定势现象,冲破习惯思维的束缚,在与原来认识方向相反的方向上寻求解决问题的新方法,有时会产生意想不到的良好效果或获得新的发明和创造逆向思维作为数学中的一种重要的思维方法,它是在习惯性的思维方向上做完全相反的探索在社会实践和学习

2、的过程中,人们都有这样一个经验:当你对某一问题冥思苦想而不得其解时,不妨从它的反面去想一想,这样常使人茅塞顿开,获得意外的成功在数学发展的历史长河中,也有很多例证说明了:用逆向思维方法从问题的反面出发来考虑问题不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地例如人们认识数、读数、写数都是从数的高位开始的,而算术则是从低位算起,为什么不能从高位算起呢?正是从这一奇特的逆向思维出发,终于创造出一种前所未有的独特的快速的计算方法毕达哥拉斯学派自以为整数与整数之比已无穷尽世界之数,但希腊数学家海帕修斯关于无理性的发现,就是反证法对数学所建树的不可磨灭的功勋,使人们对数学的认识从有

3、理数域扩大到实数域再比如,欧几里得的几何原本问世后,人们试图证明欧氏的第五公设,大胆地引进一条与欧氏第五公设完全相反的命题:过平面上直线外一点至少可以作两条直线与原直线平行.在此基础上展开了一系列的推理,终于发现了几何学的新天地非欧几何.逆向思维不但在数学的历史发展过程中有重要作用,而且在我们学习数学的过程中也发挥着举足轻重的作用.在学习数学的过程中,经常会遇到这样的情况,当我们对书本上的基本知识和概念初步掌握后,就能够根据基础知识解决书上的一些例题和习题.这时大多数学生就会认为自己已经掌握和了解了全部内容.其实这时对于知识的理解是肤浅的,远没有达到融会贯通的程度,更谈不上有所发展了.这时,教

4、师就应该引导学生从各种不同的途径,用多种方法去思考问题,如用逆向思维方法有重点的讨论问题,这样会收到事半功倍的效果逆向思维的培养也是一个循序渐进的过程.按照思维过程的指向性来划分,一个人的思维可以分为正向思维和逆向思维两种形式一般认为正向思维是沿着人们的习惯性思路的思维方式,虽比较有序、高效,但容易受思维定势的束缚,影响人们的创造性.比如我国古代的司马光,小时侯在与同伴玩耍时见一同伴掉入大水缸中,常规办法是拉人出水,但缸对于孩子来说又高又大,无法实施.在其他孩子一筹莫展的时候,司马光却想到了相反的办法砸缸放水,救出了同伴这就是逆向思维在实际生活当中的成功应用在学习数学的过程中我们会发现,逆向思

5、维也是可以随时利用的,许多数学结论或题目,都可以“反过来想一想”,这样往往有利于理解掌握数学知识,甚至还可以发现一些新的规律正向思维和逆向思维处于矛盾的两个方面,没有逆向思维也就没有正向思维, 没有正向思维也就没有逆向思维,它们相辅相成因此,它们应该具有同等重要的地位然而,在一般的数学教材中,运用逆向思维来处理的内容很少,由此导致学生的逆向思维能力很差他们的思维活动长期处于正向思维活动之中,因此,给出一个数学问题后,他们总想力图通过正向思维来思考去获得问题的解决但是,有很多数学问题利用正向思维很难获得问题的解决如果改变一下思维方式,采用逆向思维去思考,则可以使问题很快得到解决,甚至可以得出一些

6、创新的解法 由此可见,在数学学习过程中,教师应注意学生逆向思维的培养,这样就会使得学生能够更加灵活地去解决数学问题同时,在大力倡导素质教育的今天, 逆向思维能力的培养对于提高学生的思维能力,培养高素质人才也有着十分重要的意义那么,在数学中应如何培养学生的逆向思维能力呢?一、 在概念的教学中培养逆向思维能力我们知道概念是客观事物的本质属性在人们头脑里的反映.由于数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学数学中的一切概念都是现实世界形式或数量关系这类本质属性在人们头脑里的反映.有不少教师在讲解概念时,总是直接把内容写在黑板上,然后让学生理解去记忆.这种形式有时需要,有时却很不好,不利于学生思维能力

7、的培养. 那么,就不妨从“逆向”的角度去认识概念,去挖掘一下概念所包含的一切性质及隐含条件,这样能够加深对概念的理解. 如我们学习“映射”的概念之后,教师可以引导学生做这样的思考:设：AB是集合A到集合B的映射.那么集合A、B中的元素对应情况将如何?通过老师的引导,学生可以得出结论,即:集合A中的元素不会有剩余了,而且每一个元素在B中都有唯一一个象；集合B中的元素可能有剩余.也就是说B中的元素有的可能没有原象；对应的形式可能是“一对一”,也可能是“多对一”,“一对多”的是不可能的等等.如在我们学习完“等比数列”的概念之后,我们还要反过来想一想,如果一个数列是等比数列,据定义,可知这个等比数列的

8、首项及其后项都不能是零.再比如,平面几何中直线与直线垂直的定义：“当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直.”讲清这个定义后,应启发学生从不同角度理解这个定义,并考虑这个定义在什么情况想应用,怎样应用.使学生明确它既可以作为直线与直线垂直的判定,也可以作为直线与直线垂直的性质.这样,既注意了由此及彼,也注意到了由彼及此,使学生对概念辨析更清楚,理解得更透彻,使学生养成双向考虑问题的习惯.二、 在公式的教学中培养逆向思维能力数学中的公式很多,熟练掌握公式并能灵活地应用,是解决数学问题所必须的,其中灵活地逆用公式是不可缺的. 首先,记忆公式时不但要“正记”,而且要不断

9、地进行“逆记”和“逆写”训练,这是我们能灵活地逆用公式的基础.记忆公式时一定要理解地去记忆.要善于找出公式由左向右的特点及功能,同时也要相应找出公式由右向左的特点及功能.如三角公式由左向右,余弦变正弦、倍角变单角、升幂等；由由向左,正弦变余弦、单角变倍角、降幂等.只有了解这些特点及功能,运用起来才能得心应手. 另外,在公式的应用中,不但要做一些公式的正用练习,也要作一些公式的逆用练习. 举几个简单的例子: 化简 逆用公式不难得到,原式=.求值 逆用两角和的正切公式=.同时，教师在讲授公式时，应将公式适当变形，公式的逆用范例紧接着原来公式后出现，这样可以加深学生的理解，给学生以完整的印象.如 ，

10、讲完这个公式后,适当变形得,这样学生就能认清与和的关系,就会顺利解答下面类型的习题.已知 ，求下列各式的值 对于一个公式从左至右的使用比较熟练,运用自如.但反过来从右至左的使用或变形使用,往往比较生疏、困难.这是许多学生都存在的问题,这也从反面说明了培养学生逆向思维的重要性.三、 加强反证法的教学反证法是通过推证“结论的反面是错误的”引出矛盾,从而肯定“结论本身是正确的”.反证法的特点是先提出与待证的结论相反的假设,然后推倒与公理、定义、已证的定理或题设相矛盾的结果.这样,就证明了与待证的结论相反的假设不成立,从而肯定了原来求证的结论成立.因此它是逆向思维的重要方法.许多教师在教学中除在立体几

11、何及不等式中谈及反证法之外,在其它章节的教学中很少涉及反证法,导致学生在思考问题时很少想到应用反证法解题.因此在教学中,教师应有意识地编制一些应用反证法思考的问题,把它渗透到数学教学中去,对培养学生的逆向思维很有必要. 下面举几个例子来说明:例1 如何证明正弦函数的最小正周期是?分析 是正弦函数的一个周期,要证明是正弦函数的最小正周期,只需证明任何小于的正数都不是它的周期.这可用反证法证明如下：设存在某一个小于的正数T是正弦函数的周期,根据周期函数的定义,当x取定义域内某一个值时,都有,取,得,即.另外,根据余弦函数的定义,当时等式成立,无论k取任何整数,都有,这与矛盾,这个矛盾是由于假设存在

12、小于的正数T,能够成为正弦函数的周期造成的,所以任何小于的正数都不是正弦函数的周期,即正弦函数的最小正周期是.例2 已知且,求证中至少有一个小于2.分析 结论若是“都是”,“都不是”, “至少”, “至多”形式的不等式或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题,宜考虑用反证法.证明 假设都不小于2,则.因为所以由不等式的性质有,所以,即,这与已知条件矛盾,故假设不成立. 反证法在数学中的例子很多,但是提醒每一位学生应该注意的是:反证法是由逆向思维导致的一种有效的证明方法.在学习的过程中,一定要加以灵活应用.四、 注重反例的逆用反例在数学发展中和证明一样占着同样重要的地位,这是因为在数学问题的探

13、中,猜想的结论未必正确,正确的要求给予严格证明,谬误的则靠反例来否定.重要的反例往往会成为数学殿堂的基石,微积分刚建立的时候,数学界曾长期错误的认为:连续函数除了个别点处总是处处不可导的.但是,1872年德国数学家继尔斯特拉斯构造出了一个“处处连续但不可导的函数”.这个反例震惊了数学界,促成了影响深远的“分析基础严密化”的数学运动. 从上面的例子可以看出, 反例不仅在培养逆向思维的能力中占重要地位,同时在纠正错误结论、澄清概念、开拓数学领域中也起到了非常重要的作用.因此,可以得到这样一个启示:证明一个命题为真,固然要经过严格而周密的证明,然而要推翻一个命题却只需举出一个反例就可达到目的. 例

14、命题“若、为无理数，则也为无理数”是否成立？ 答 不成立,可构造反例如下：当=，此时=2为有理数.有时候为了搞清楚一个似是而非的数学命题,构造反例是常用的一种有效的推理方法.例 一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形吗?为什么?解 不一定是平行四边形,可构造反例如下: ABC是等腰三角形,AB=AC,点E在BC上,BEEC,当AED=EAC,DE=AC时,ADE ECA.这时,在四边形ABED中,AB=DE, D=B,而四边形ABED不是平行四边形. 此外,当我们做完一个数学题目后,也可想到有时可举一个数字简单的例子再验证一下思路是否正确,如果出现了矛盾,就表明思路有毛病.五、 在分析

15、和解决问题中培养逆向思维能力 我们在分析和解决问题的时候,无论是探索思路还是寻找解题方法,大量的需要用常规的直接的方法去考虑解决问题,但也常常需要采取一些非常规的间接的方法去解决问题.反中求正例 设全集为R,集合,那么集合等于(A) ；(B)；(C) ；(D)直接求的集合比较麻烦,可先考虑的集合,即满足且的x的集合,恰是.即= =,所以答案为(D). 有的同学可能会问,此题中给出的正弦、余弦是不是多余的条件?其实不是.我们知道正弦函数和余弦函数的定义域都是R(这是题目中的隐含条件),而全集为R,才有=,否则不一定成立. 间接思路例 方程的解是( )(A)2或-1；(B) -2或1；(C)1；(

16、D)2.解 注意到x-1时无对数,立即排除(A)、(B),将1代替x计算方程的左边得,因而选(C). 此题在选定(C)之后已不必在验证(D)给出的答案是错的,这是由条件决定的,本题如用直接方法求解需解一个二次方程,要复杂得多. 避重就轻例 已知且,求的最大值.分析 由知,欲求的最大值,可先求的最小值.解 由已知可得,又,所以,故,所以.当,即时, 最大为,此时.以上提到的几种思维方法是数学学习中经常用到的,其实逆向思维在数学教材中可谓无处不在.通过以上的例证可以看出, 逆向思维在数学教学中是非常重要的.学生逆向思维的培养并非一朝一夕之事.发展学生的逆向思维要以扎实而丰富的基础知识为依据,只有这样才能从事物的各个方面去考虑问题.教师在教学中要鼓励学生大胆提出问题、解决问题,对学生打破常规的提问,争论要支持.只有这样才能发展学生的逆向思维,常此下去可提高教学质