例谈提高竞赛数学趣味性的教学策略

1、例谈提高竞赛数学趣味性的教学策略商丘市第一高级中学翟永恒例谈提高竞赛数学趣味性的教学策略翟永恒（商丘市一高 河南 商丘476000）摘要：竞赛数学是我国数学教育的一个强项，但目前相关教师普遍采用“超前学习，机械训练”的方式进行教学，学生无法到感受学习的乐趣这就不可避免的引发了诸多弊端, 因此非常有必要从教的角度对如何提高竞赛数学数的趣味性进行研究 关键词：竞赛数学；兴趣；数学史；数学实验1 问题的提出国际数学奥林匹克竞赛（简称IMO，俗称奥数）的教育价值毋庸置疑1，但是，近年来受功利主义的驱动，“奥数”出现了泛化的趋势，许多小学数学竞赛都被冠以“奥数”的头衔，出现了“全民奥数”的不正常现象，引

2、起许多人对奥数的批判和反思国家的政策导向也因此采取了适当调整，比如很多省区都取消了高考奥数加分政策，从而使中学奥数更加健康的发展 从世界范围看，许多现代数学家都有参加数学竞赛的经历但有人对我国获得IMO奖牌的选手进行了追踪调查，发现“这些公认的数学尖子基本上没有在数学研究上做出突出成就的，甚至鲜有喜欢数学的” 是什么原因导致这种现象呢？丘成桐先生一针见血的指出：“国外奥数考得好的学生，往往能够成才，而我们的学生不一定能成才，因为国内是机械性的学数学，不是出于兴趣” 目前，我们的奥数教学存在很多问题，应试教育和功利主义的色彩非常明显教师大多采用“题海战术”进行教学，根本不注意教学的趣味性，使许多

3、本来对数学非常感兴趣的同学对奥数乃至数学产生了厌恶和恐惧 因此，我们非常有必要从教的角度深入探讨如何提高奥数的趣味性，使学生由纯粹因为“好胜”转变为由于“好奇”而学习奥数 此外，为了与已被泛化的“奥数”一词相区别，下文将在相应的地方使用“竞赛数学”，同时将其限定在中学，尤其是高中范围内进行讨论 2 竞赛数学的基本特点数学竞赛是关于解题活动的比赛，相应的，解题就成了竞赛数学的核心就内容而言，竞赛数学涉及代数、几何、初等数论、组合、图论等多个领域，在广度和深度上都对中学数学进行了大幅度加深 相对常规数学，竞赛数学的问题大多离实际生活背景较远（与大学基础数学专业的研究有很多相似之处），数学的抽象、严

4、谨等基本特点表现的尤为突出此外，数学竞赛侧重对选手数学创新能力的考察，因此竞赛数学的灵活性极强，具有非模式化的特点，且大多具有一定的高等数学背景，依靠“题海战术”的方法在数学竞赛中是不可能取得好成绩的从教学的角度看，竞赛数学的学习是非强制性的，学生主要利用课余时间进行学习，教学时间紧、任务重，多数教师都是单纯的采用讲授法进行教学 虽然这样提高了教学效率，但不利于提高学生的学生学习兴趣此外，竞赛数学的教学对象一般具有基础扎实、数学直觉敏锐、抽象思维和逻辑推理能力较强的特点3 提高竞赛数学趣味性的教学策略理论与实践都已表明：在常规数学教学中，引入数学史和数学实验，加强与实际应用的联系可以提高学生的

5、学习兴趣，明显改善教学效果鉴于此，我们尝试将上述三种方法引入到竞赛数学教学中，具体分类如下： 31 融入数学史数学竞赛，尤其是IMO的试题大多具有深厚的数学史背景，甚至直接来自某些著名的定理或历史名题例如第一届数学奥林匹克国家集训队就提供了这样一道训练题：试题1 设为实多项式，且对任何，（即是正定的）求证：存在多项式，使2 说明：本题其实有着深厚的历史背景在1900年，德国数学家希尔伯特（Hilbert）在巴黎国际数学家大会上提出了23个数学问题，即著名的Hilbert问题，引导了整个20世纪世界数学研究的潮流此题就来源于其中的第17个问题：关于的实系数正定有理函数是否一定可表成有限个关于的实

6、系数有理函数的平方和3在教学中，将数学问题的这种背景展示给学生，可以很好的激发学生的学习热情，使他们以研究的角度看待竞赛数学学习，而不是单纯的为了应试而学 32 加强与实际应用的联系从表面上看，竞赛数学研究的对象大多远离实际应用，以至于许多人把数学竞赛看作是纯粹的智力挑战 其实与实际应用没有任何关联的数学是不存在的，即使以往被认为“最纯洁”的数论，今天也已经被广泛运用在信息安全等领域 再者，人毕竟不能“不食人间烟火”，学生还是希望能学到“有用”的数学,因此将竞赛数学与实际应用联系起来能够极大的激发学生的学习兴趣 虽然这类竞赛试题出现的相对较少，但是也有不少成功的尝试 例如，1978年北京市数学

7、竞赛就以著名的Butchart-Moster定理的一个推论（定理1）为基础，设计了一个与实际应用密切相关的竞赛题 定理1 设，则函数存在唯一的极小值试题2：图一是一个化工厂的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，七个工厂分布在公路两侧，由一些小路（细线）与公路相连 现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到个工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，问：（1） 这个车站设在什么地方最好？（2） 证明你所做的结论；（3） 如果在P的地方又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？分析:与P到距离之和是定值，记为 可将公路拉直，则B、C、D、E、F的位置关系不变，且它们

8、的距离之和不变，即这个拉直变换既保序又保距，可以将该直线视为数轴设长途汽车站设在处，则问题变为求，其中分别表示B、C、D、E、F到原点的距离（第三问与之类似），这样就转化成了定理1的形式，进而可以求的最小值点2 33 引入数学实验 数学学习是一个由直观到抽象，由简单到复杂的认知过程 借助数学实验，可以丰富学生的直观经验，为下一步的抽象、概括打下必要的基础 由于竞赛数学的问题复杂且抽象，因此，与常规教学中一般采用活动、操作的实验方法不同，竞赛数学中的实验往往要借助编程和专业数学软件才能完成，更类似于专业数学研究者的数学实验方法 一般来说，我们可以将竞赛数学中的数学实验分为两大类：基于算法思想的验

9、证归纳模式和基于图形变化的模拟演示模式，下面进行简要介绍 231验证归纳模式竞赛数学的问题很多都涉及“无限”或大数字（如涉及数论的问题），通过手工计算进行验证、归纳的难度较大使用计算机可以将学生从繁琐的机械计算中解放出来，将精力集中在算法的设计和寻找证明的思路等更富创造性的活动上 本类型数学实验的关键是设计与题设相应的算法，并使用高级程序设计语言实现之试题3(2002年IMO)：设为大于1的整数，全部正因数为，且满足，记（a） 求证：（b）确定所有，使得D能整除 3 分析：使用程序设计语言分别实现求的所有因数和D的函数，如将函数分别命名为myfactor()和D()，并搜索某一范围内满足（b）

10、的所有由于相关算法比较简单，故不再给出具体代码，仅给出部分运行结果：如令，调用myfactor(32)结果为1, 2, 4, 8 , 6, 32，调用D(32)结果为682 从特例不仅可以验证(a)成立，还容易发现：若是的正因数，则也是的正因数，进而发现，并最终解决问题（证明略） 若限定，搜索出使D能整除的所有为：2，3，5，7，11，13，7，19，23，29，31，37，41，43，47 则容易得出猜想：当且仅当是质数时满足题意 进而用反证法进行证明猜想即可，证明略 232 模拟演示模式本类型的数学实验主要是借助几何画板、Matlab等专业软件，直观演示相关量的运动变化过程， 揭示其规律，

11、进而解决问题 试题4(2005年IMO)：给定凸四边形ABCD，BC=AD，且BC不平行于AD设点F和E分别在边BC和AD内部，满足BF=DE直线AC和BD相交于P，直线BD和EF相交于Q，直线EF和AC相交于R求证：当E、F变动时，的外接圆除经过P外还过另一个定点 3 分析：在动态软件geogebra中根据题设构建相应模型，如图二所示，为动态参数，其值等于BF、DE长度，则点F、E会分别在 BC和AD上移动在此过程中，观察的外接圆，可以发现它除一定过P外，还总过内一点，由此大胆猜想：该定点为完全四边形（也称为完全四线形）APBGDC的米格尔（Miqueil）点3在geogebra中构造该点，即作，的外接圆交点H，调整的值，发现H总在外接圆上，所以猜想成立，证明略3结束语 笔者坚信，作为数学基础教育的一个分支，竞赛数学必须要遵循数学教学的一般规律在目前教学改革的背景下，竞赛数学教学也应当与时俱进的进行教学方法的改革，决不能再使用那种“超前学习，题海训练” 的填鸭式教学方法 当然，凡事过犹不及首先，竞赛数学的一个重要教学目标是培养学生更强的（相对非奥数学习者）抽象思维能力和空间想象能力，过度强调增加数学史、数学实验等丰富学生直观体验的内容