备战高考数学考试万能工具包第二篇考前必看解题技巧专题2.3破解6类解答题

1、专题03破解6类解答题、三角函数问题重在“变”变角、变式与变名三角函数类解答题是高考的热点，其起点低、位置前，但由于其公式多，性质繁，使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”一一变角、变式与变名(1)变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如a=(a+3) - 3=(a - 3 )+ 3 ,2 a =( a + 3 )+( a - 3 ),2 a=(3+a) - ( 3 - a ).(2)变式：根据式子的结构特征进行变形 ，使其更贴近某个公式，方法通常有：“常值代换” “逆用、变形 用公式” “通分约

2、分” “分解与组合” “配方与平方”等(3)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，方法通常有“切化弦” “升次与降次”等-角酒效麟答世金式网而河的和心仍常交粮换元二曲域内饱和 定理的变摸在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=(1)求b和sin A的值;(2)求 sin271+-4加倒t.21解析(1)在AABC中，因为故由2in B=%可得cos B=.由已知及余弦定理,有b5=a+C-Saccos £=13,sm. b=vi3.由正弦定理袅熹,得sin后暇誓.度式)所以.J b的值为VI* Sin 4的值为誓.

3、iqis臼,cos 2A=1-2sin 2A=-L1.(变名)由任)及"q得cos Af邛黑所以 sin 2A=2sin Acos A=a+d故 sin =sin 2Acos变式：利用恒等变换变为sin A=变名：利用二倍角公式实现三角函数名称的变化万一变角：把2A+U的三角函数表示为 2A和破解策略 求解此类题目的策略：既要注重三角知识的基础性，又要注重三角知识的应用性 ，突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要决.在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算.【变式训练】【2

4、018四川省广元市一模】设函数 f x cos 2x 2cos2x .3(1)求f x的最大值，并写出使 f x取最大值时x的集合；3(2)已知 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f Ab c 2 ,求a的最小值.2二、数列问题重在“归”一一化归、归纳等差数列与等比数列是两个基本数列，是一切数列问题的出发点与归宿 .首项与公差(比)称为等差数列(等比数列)的基本量.只要涉及这两个数列的数学问题，我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是等差或等比数列特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的情形出发，从中

5、归纳出一般的规律、性质，这种归纳思想便形成了解 决一般性数列问题的重要方法 ：观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数 ，也可根据题目的特点， 将数列问题化归为函数问题来解决.例2 (2017课标全国出，17,12分)设数列an满足 a1+3a2+(2n-1)a n=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列|10 + 1的前n项和.解析因为aj+3m+厂1)晶=血舌培113=2时,4+3虫+(2口-3)(mi).(归纳)两式相激得(如7)所以自历津党.又由题设可得a尸2,从而an的通项公式为an(n CN ).(2)记的前n项和为$.由(1)知.(化归)则Sn=一 b _-u_1 -

6、 3 - T - I -an满足：(1)(2)1,a：求数列求aa22n 1 anan的通项公式1a3 1 l1a3 1a21 2n 1 an 1n 2 且 n Nanan归纳：通过条件归纳出 ai+3a2+(2n -3)a n-i=2(n- 1)(n >2),进而彳#出an的通项公式化归：把数列的通项分拆，利用裂项相消法求和.破解策略 “算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想 ，利用这种思想可探索一些一般数 列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列 ，高考中通常考查的是非等差、等比数 列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列.【变式训练】【2

7、018江西省师范大学附属中学、九江第一中学联考】已知正项数列三、立体几何问题重在“建”一一建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系 .建模一一将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型；建系一一依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解T平行黑盘J血化校而'值系例3 (2017课标全国出，19,12 分)如图，四面体 ABCD中，4ABC是正三角形，4ACD 是直角三角 形，/ABDW CBD,AB=BD.(1)证明：平面ACDL平面 ABC;(2)过AC的平

8、面交BD于点E,若平面AECt巴四面体ABC防成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.解析由题设可得J AABDACBD,从而AD=DC*又4ID是直角三角形，所以NADC=900.取AC的中点0,连接DO, B0,则风D0二龄.又由于ABC是正三角形一故B01AC.所以405为二面角D-AC-E的平面角.(建模)在 RtAAOB 中,B03+A02=ABV ab二b. 所以 eoqdoJbo斗如Jab故/.所以平面ACDL平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以。为坐标原点，回的方向为x轴正方向,|网|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.(建系

9、)则 A(1,0,0),B(0, 一,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知，四面体ABCE勺体积为四面体 ABCD勺体积的也从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的右艮口 E为皿的中点,得E(几I).故而二(-1,0.1)或二0).? Ze-(1?小空=口,即 n - AE- Oj设区斗外是平面DAE的法向量,一式+工=Op,Va _ 1 n 可取 *x 十一y + w - 0.W d 3：1川1川17 .设是平面的法向量,则同理可取 m=(0,-1, R-l),贝U cos<n,m>=易知二面角D-AE-C为锐二面角所以二面角D-AE-C的余弦值为建*H

10、:构建二面角的平面角模型建系：以两两垂直的直线为坐标轴破解策略 立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定，因此，复习备考时往往有“纲”可循，有“题”可依.在平时的学习中，要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练，切勿顾此失彼；要重视 识图训练，能正确确定关键点或线的位置 ，将局部空间问题转化为平面问题 ；能依托于题中的垂直条件 ，建立 适当的空间直角坐标系，将几何问题化归为代数问题 .【变式训练】【湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测】 如图，在几彳S体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形 ABCD为梯形，AB/CD ,平面CBE与平面BDE垂直，且CB BE.(1)求证

11、：ED 平面ABCD;(2)若AB AD,AB AD 1,且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为逅，求AF的长.6四、概率问题重在“辨”一一辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型，只要模型一找到，问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，同时，还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别，合理划分复杂事件必然事件|T事件-”不可能事件L何乃砧跣年胡春坦曲事件例4 (2016课标n ,18,12分)某险种的基本保费为士用空件号可能小件时，事件a(单位:元)继续购买该险种的投保

12、人称为续保人续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下上年度出险次数01234>5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下1年内出险次01234>5数概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%勺概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值解析(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,(辨析1)故 P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05

13、=0.55.( 辨型 1)(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,(辨析2)故 P(B)=0.1+0.05=0.15.又 P(AB尸P(B),故P(B|A尸p(AinL 15J sJ 55则.(辨型2)因此所求概率为因此续保人本年度的平均保叠与基本保费的比值为L 23.错折1：判断事件A发生,在一年内出险次数为2, 3, 4或手5.辨型1：该问题为求随机事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解辨析2:判断事件B发生，在一年内出险次数为4或5.辨型2:该问题为条件概率，可利用公式求解.破解策略 概率与统计知识的复习应抓住基本概念

14、、基本公式,不需要做难题、偏题、怪题 .在审题时，一般按以下程序操作:(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等；(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等；(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等；(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点(1)为了响

15、应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了 “是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下:调查人数(x)io20304050607080愿意整体搬迁人数(y)817253139475566请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量 y关于变量X的线性回归方程 y bx a (b保留小数点后两位有效数字)；若该校共有教职员工 2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数;8位院长中随机选取(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整

16、体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：b?n_ _i 9 n x y an 2_2 ,a.xin xi 1 i8y b? X,Xi yii 18一2 一16310, Xi 20400.i 1五、解析几何问题重在“设”设点、设线解析几何试题知识点多,运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现是考生“未考先怕”的题型,不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设一一列解”程序化解题的基础上 ，应突出解析几何“设”的重要性 ，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈R线设而能求*林洪方钳股方也例5 (2

17、017课标全国I ,20,12分)设A,B为曲线C:y=HJ上两点，A与B的横坐标之和为4.求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线 AB平行,且AML BM求直线AB的方程.解析 设 A(xi,y i),B(x 2,y 2),=1.2)国一 2 '=y 得由设M(x3,y 3),由题设知 团=1,解得解耳于是 1值总设直线AB的用呈为y=xtr (设线)故线段AB的中点为口2F)/ |二| m+11.将产工代入K2_4x4m=0.当=16 U+1) >0,即 m>-l 时，皿;=2 ± 2标于I.从而 I AS | 二立 I sL-X21

18、 =42 (m + 1).由题设知1间二2ML即 4l2(m+l =2(m+l),解得 m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.设点：设出A,B两点坐标，并得出xi Wx2,x i+x2=4.设线：由(1)知直线斜率，再设直线方程为y=x+m,利用条件可求出 m的值.破解策略 解析几何的试题常要根据题目特征，恰当地设点、设线，以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等 ，常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y=kx+b、x=my+n及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等 【变式训练】【2018黑龙江省大庆市一模】已知椭圆2 x C：-a2 y b21

19、a b 0 ,其焦距为2,离心率(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆的右焦点为FK为x轴上一点，满足umv uuvOK 2OF ,过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P,Q两点，求 FPQ面积s的最大值.六、函数与导数问题重在“分”一一分离、分解，多涉及含参数的函数的单调性、极值以函数为载体，以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题或最值的探索与讨论，复杂函数的零点的讨论，不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题，一般先求导，再变形或分解出基本函数，再根据题意处理.曲&、导&斛答围道辨分解|分解过程分解生才换元二四造场教-作

20、整面例 6 (2017 课标全国 n ,21,12 分)已知函数 f(x)=ax 2-ax-xln x,且 f(x) >0.(1)求 a;(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点xo,且e2< f(x o)<2 -2.解析(1)£8)的定义域为9,").i殳g(x)=ax-arlji附则f=(分葡门£)多0等价于屋,)匕。.因为固1)=0口故口故4Oj而屋=得 a=l-当 0<x<1 时,g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>1时,g'(x)>0,g(x) 单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点，故

21、g(x) >g(1)=0.综上,a=1.(2)由(1)知 f(x)=x 2-x-xln x, f'(x)=2x-2-ln x.设 h(x)=2x-2-ln x,( 分解)贝U h'(x)=2- 一RI当 xC k 时,h(x)<0；当 x C 匕 + 81时,h'(x)>0,所以h(x)在调递减，在回二)单调递增.一又=5所以3由在(叫；揖唯一零点如在b +8)有唯一零点二且当K E Xfl)时1 11(芯)；当 k E1)时, h&) S;当二 E (lj 时,h(x) X).因为f ' G)二h&L所以"却是f &

22、amp;)的唯一极大侑点.由 f ' QuJF 得 1口 /=2 国1),故 £ (k()=Kg 11-而).由黜 £ 33 1)得 F &i) <7-因为求士是内力在1)的最大值点.由鼠E6f(C得二二所以尸彳区乂虫分离：把函数f(x)分离为x与g(x)的积.分解：构造 h(x)=2x-2-ln x.破解策略函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大 .可以参变量分离，把复杂函数分离为基本函数；可把题目分解成几个小题；也可把解题步骤分解为几个小步，注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分.【变式训练】已知函数f x 1 ax ln

23、x(1)若不等式f x 0恒成立，则实数a的取值范围;(2)在(1)中，a取最小值时，设函数g x x 1 f x122 .右函数g x在区间 j，8上恰有两个零点，求实数 k的取值范围;2).n2 2n 1(3)证明不等式：21n 2 3 4 L n 答案精解精析、三角函数问题重在“变”变角、变式与变名【变式训练】【解析】(1)由题意得1 cos2x23in2x21 cos2x1 cos2x23n2x2cos2xcos2xcos 2x12, 3x的最大值为2.此时2x 32k所以X的集含为j= £ Z)(2)由题意得/(d) =CD5| 24 十二+1=r.,.cos 2J-k-l

24、 3 J2A1在 ABC 中，b c 2, cosA , 2由余弦定理得a2,2222,b c 2bccosA b c bcbc又bc1,22 a b c bc 4 1 3,当且仅当b c 1时取等号,a的最小值为73.、数列问题重在“归”一一化归、归纳【变式训练】【解析】 因为 an22n 1 an = an； 2n 1 an 1,anan 1anan 1 = 2n 1anan 1所以 an 0,所以 an an 1 2n 1 n 2又因为an= anan 1an 1an 2a2 al a1= 2n 12n 3 L 3 1=n2.(2) a = an 1 2 1 -=1 -2=1 2an 1

25、an 1an 1 n 1 n 1 n 1所以原式=11111,111 - - - - - L 3 2 4 3 5 n 1 n 1三、立体几何问题重在“建”一一建模、建系【变式训练】【解析】（1）证明：因为平面CBE与平面BDE垂直CB±BE,平面CSE与平面BDE的交线为BE所以a_1面R0g,又即仁面ADE所从CB±ED在矩形皿即用，ED±AD又四边形疑CD为梯形，如“ 所以3与相交故ED 平面ABCD(2)由(1)知， ED垂直DA , ED垂直DC ,又AD垂直AB , AB平行CD ,所以DC垂直DA ,如图，以D为坐标原点，DA、DC、DE分别为x, y

26、,z轴建立空间坐标系AD AB 1,AB AD,BD 2又 CB BD, CDB 45 ,所以 DC 2 ,设DE a则 B 1,1,0 ,C 0,2,0 ,E 0,0,aBE 1, 1,a ,BC 1,1,0设平面BEC的法向量为h =(x: y=z)-x-y+ziz 0r+y=0:令丸=1贝if = L =所以平面B£C的法向量为元=易知：平面即的法向量为击因为平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为v v cosn,m巫，解得a 1 ,即AF DE 16四、概率问题重在“辨”辨析、辨型【变式训练】【解析】(1)由已知有x 45, y 36,b?n_ _i 1为 yin x

27、 y16310a 36 0.8045 0 ,故变量n 2 i iX2 x8 45 360.8 ，20400 8 45 45y关于变量的线性回归方程为y 0.8x ,所以当 x 2500时,y 2500 0.80 2000.(2)由题意可知X的可能取值有2,3,4.1 c5 c；C84ApxC52 C；C8437'C52 C3C847,”C541C 14X1234p1331147714所以X的分布列为13EX 1 2 -14五、解析几何问题重在“设”,154 142设点、设线【变式训练】【解析】 ,c2,0-（1）因为椭圆焦距为2,即2c 2,所以c 1, _ 一，所以a J2,从而b a c 1 ,所以椭圆的a 22方程为y21 .2椭圆右焦点尸（L。）,由0K=2。尸可知女（工0）.直线r过点设直线1的方程为了二行（工一2）,心/将直线方程与椭圆方程联立得（1十*-g*，+8"一2=心