高等代数线性方程组

1、线性方程组 第三章 线性方程组线性方程组主要内容： 消元法 n 维向量空间 线性相关性 矩阵的秩 线性方程组有解的判断定理 线性方程组有解的结构线性方程组1 消元法1 1 消消 元元 法法考虑一般的线性方程组snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111l 当s=n时，若D0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。l 当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。l 当sn时，没有求解线性方程组的有效方法。线性方程组1 消元法 线性方程组的矩阵表示法snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxa

2、xa22112222212111212111bAx 其中snssnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxx21sbbbb21系数矩阵未知向量右端向量线性方程组1 消元法 用一个非零的数乘以某一个方程； 线性方程组的初等变换 把某一个方程的倍数加到另一个方程； 互换两个方程的位置； 用一个非零的数乘以矩阵的某一行； 矩阵的初等行变换 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行； 交换矩阵中某两行的位置；方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。方程组的初等变换是否会改变线性方程组的解？定理：方程组的初等变换将一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。线性方程组1 消元法 增广

3、矩阵由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵ssnssnnbaaabaaabaaa21222221111211称为该线性方程组的增广矩阵。AbA线性方程组与增广矩阵是一一对应的定理：对线性方程组的增广矩阵 进行初等行变换化为 ，则以 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。ABB一个线性方程组的增广矩阵可通过初等行变换化为怎样的简单形式？线性方程组1 消元法定理：任何一个sn阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换化为一个阶梯形矩阵。定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。)0(000001222222111212111iirrnrnrrrnnrrnnrrcddxcxcdxcxcxcdxc

4、xcxcxc线性方程组1 消元法l 当 时，该线性方程组无解。01rdl 当 时，该方程组有解，并分两种情况：01rd(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为)0(2222211212111iinnnnnnnncdxcdxcxcdxcxcxc方程组有唯一解。线性方程组1 消元法(ii) 若 r n，则阶梯形方程组为)0(11,2211, 222221111, 11212111iirnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc可改写为)0(11,211, 222222111, 111212111iinrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrr

5、cxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc方程组有无穷多解。自由未知量线性方程组例题：例1、 解线性方程组例2、 解线性方程组1424524132321321321xxxxxxxxx1 消元法05631242725432143214321xxxxxxxxxxxx线性方程组1 消元法000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理：在齐次线性方程组中，如果 s s , 则向量组t,21必定线性相关。若个数多的向量组能由个数少的向量组线性表出，则个数多的向量组必定线性相关。推论3：n + 1个 n 维向量必定线性相关。线性方程组3

6、线性相关性 极大线性无关组 定义：如果向量组s,21的一个部分组riii,21是线性无关的，而且向量组s,21中的任一向量都可由它线性表出，则称riii,21是向量组s,21的一个极大线性无关组。例5 求向量组) 3 , 2 , 1, 2(),4 , 5 , 2, 4(),1 , 3 , 1, 2(321的一个极大线性无关组。向量组的极大线性无关组不是唯一的定理 一个向量组的任何极大线性无关组都含有相同个数的向量。线性方程组3 线性相关性定义 一个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩 (rank)。例7 求下面向量组的秩) 3 , 6, 2 , 0(),1, 3, 0 ,

7、1 (),3, 1, 1 , 2(),0 , 1 , 4 , 1 (4321例8 设B是矩阵A经过初等行变换得到的矩阵，则矩阵A、B的列向量具有完全相同的线性关系。例9 一个向量组中的任何一个线性无关组，都可以扩充为该向量组的一个极大线性无关组。确定极大线性无关组的初等变换方法线性方程组4 矩阵的秩4 4 矩阵的秩矩阵的秩定义 矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩；列秩就是矩阵的列向量组的秩。例1 求矩阵2100420023202121A的行秩和列秩。是否任意矩阵的行秩和列秩都相同？线性方程组4 矩阵的秩引理 如果齐次线性方程组snssnnaaaaaaaaaA212222111211的系数矩阵00

8、0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的行秩 r n，那么该齐次线性方程组有非零解。线性方程组4 矩阵的秩定理 矩阵的行秩与列秩相等。定义 矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩。矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数例2 求下面矩阵的秩10030116030242201211A例3 设A是一个秩为r的mn阶矩阵，从A中任划去 m - s 行与 n - t 列后，其余元素按原来的位置排成一个 st 阶矩阵C，证明：秩Cr+s+t-m-n线性方程组4 矩阵的秩定理 nn 阶矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211的行列式为零的充分必要条

9、件是 A 的秩小于 n。n 阶方阵 A 的行列式 |A|0 的充要条件是 A 的秩等于 n。推论 齐次线性方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式等于0。线性方程组4 矩阵的秩定义 在一个 sn 阶矩阵 A 中任意选定k行和k列，1kmin s, n，位于这些选定的行和列的交点上的 k2 个元素按原来的顺序组成一个 k 阶方阵，定理 矩阵 A 的秩为 r 的充分必要条件是矩阵中有一个 r 阶子式不为零，而这个方阵称为 A 的一个 k 阶子阵，其行列式称为 A 的一个 k 阶子式。所有的 r

10、+1 阶子式全为零。例4 求下面矩阵的秩810062535973701045031A线性方程组5 线性方程组有解的判别定理5 5 线性方程组有解的判别定理线性方程组有解的判别定理定理：线性方程组snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩与其增广矩阵A有相同的秩。线性方程组5 线性方程组有解的判别定理定理：线性方程组snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111的系数矩阵 A 与其增广矩阵A有相同的秩 r，则(1) 当 r = n 时，方程组有

11、唯一解；(2) 当 r n 时，方程组有无穷多个解。线性方程组4 矩阵的秩例1 设线性方程组175997343322213224321432143214321321xxxxxxxxxxxxxxaxxxxx例2 当 a，b 取何值时，线性方程组bxxxxxaxxxxxaxxxxxxxxxx543215432154321543213345122234323695543无解？有解？有解时求其一般解。线性方程组4 矩阵的秩例3 解线性方程组有解，且系数矩阵 A 的秩为 r1，而方程组无解，且系数矩阵 B 的秩为 r2，证明矩阵)1(22112222212111212111mnmnmmnnnndxaxa

12、xadxaxaxadxaxaxa)2(22112222212111212111msmsmmsssscxbxbxbcxbxbxbcxbxbxbmmmsmmnmmsnsncdbbaaacdbbaaacdbbaaaG12122221222211111111211的秩r1+ r2 +1。线性方程组6 线性方程组解的结构6 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构设齐次线性方程组000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 齐次线性方程组解的结构的解有如下两个重要性质：性质1：齐次线性方程组的两个解的和仍是该方程组的解。性质2：齐次线性方程组的任一解的

13、倍数仍是该方程组的解。齐次线性方程组的任意线性组合仍是该方程组的解齐次线性方程组的任意线性组合仍是该方程组的解线性方程组5 线性方程组有解的判别定理(1) 定义：齐次线性方程组的一组解t,21称为它的基础解系，如果线性无关；t,21(2) 该齐次方程组的任一解都能表示为的线性组合。t,21定理：齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，而且基础解系所含向量的个数等于 n-r，其中 n 为未知量的个数，r 为系数矩阵 A 的秩。基础解系不唯一，任何一个线性无关且与基础解系基础解系不唯一，任何一个线性无关且与基础解系等价的向量组都是该齐次线性方程组的基础解系等价的向量组都是该齐次线性方程组的基

14、础解系例1 求齐次线性方程组01117840246303542432143214321xxxxxxxxxxxx的一个基础解系。线性方程组5 线性方程组有解的判别定理例2 证明：齐次线性方程组000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的解全是方程02211nnxbxbxb的解的充要条件是向量),(21nbbb可由向量组siaaainiii, 2, 1),(21线性表出。线性方程组6 线性方程组解的结构定义：把一般线性方程组 一般线性方程组解的结构的右端项换为0所得的齐次线性方程组称为该方程组的导出组。性质1：一般线性方程组的两个解的差是其导出组的解。性质2：一般线性方程组的一个解与其导出组的一个解之和仍是该 线性方程组的解。snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111一般线性方程组与其导出组的解的关系：线性方程组6 线性方程组解的结构定理：如果 0是线性方程组的一个特解，那么方程组的任一解 可表示为其中 是其导出组的一个解，当 取遍它导出组的全部解时， 就给出该推论 在线性方程组有解的条件下，其解唯一的充要条件是它的导出组只有零解。0线性方程组的全部解。线性