223向量数乘运算及其几何意义

1、2.2.3向量的数乘运算向量的数乘运算 及其几何意义及其几何意义aOaaaABC3aPQaMaNa3a,)(),aaaaaaa 已知非零向量作出和（- ） （你能说出它们的几思考：何意义吗？ 显然，显然，3a的方向与的方向与a的方向相同，的方向相同，3a 的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|3a | = 3 |a |.显然，显然，-3a的方向与的方向与a的方向相反，的方向相反，-3a的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|-3a | =3 | a | 。| | | |;aa（1 1） 一）一）向量的数乘的定义：向量的数乘的定义：规定实数规定实数与向量与向量 的积是一个向

2、量，这种运算的积是一个向量，这种运算叫做叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向规，它的长度和方向规定如下定如下：aa（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特别的，当特别的，当 时，时，00.a a 是一个向量；是一个向量； a 的长度等于的长度等于 的的绝对值与向量绝对值与向量a的长度的长度的乘积。的乘积。52CABACABBCAB 教材90页：AC2，点 在线段上，且，则，CB练习ABACAB ACACAB 已知直线上三点A,B,C,用向量表示时，实数 的求法：（1）先根据

3、向量，的方向确定 的值的符号，同向为正，反向为负；（2）再求 的明：绝对值说。A AB BC C5727设设 为实数，那么为实数，那么, (1) ()() ;(2)();(3) ().aaaaaabab 特别的，我们有特别的，我们有()()(),(). aaaabab 第一分配律：第一分配律：第二分配律：第二分配律：二）向量数乘的运算律：结合律：结合律：a a 、 b b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算.对于任意向量对于任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有恒有1 12 2 、 、 1111.abab （）=例例1.计算：计算：(

4、3) 43() 2()(23) (32).aa ba baab cab c (1)(2)(3)12a5b52abcbababaab（1）向量 与非零向量 共线，则有且只有一个实数 ，使三）向量共线定理：得；（2）若存在唯一实数 ，使，则 与 共线。baba向量 与非零向量 共线存在唯一实数 ，使即2200000000000ababababa ba k bk11定理中，（1） 是非零向量但 可以为，这时，存在唯一实数；若，则 为非 常数；（2）若，则 不存在；（3）若，则 不唯一。（4）若 ， 不共线,有k，则k说明：baba向量共线定理：向量 与非零向量 共线存在唯一实数 ，使ABBCABBC

5、ABBCABCDAB CD （1）证明向量共线；（2）证明A,B,C三点共线:又A,B,C三点共线(3)证明直线AB C共线定理的应用：与有公共点BAB与CD没有公共又点D:AB CD例例2.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作a b 、2 ,3 .OBab OCab ,OAab 你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO2()ABOBOAababb 解：3()2ACOCOAababb 2ACAB , ,A B C三点共线。ACAB 又与有公共点ACAB abkabakbk练习1：向量 ， 不共线若与共线

6、，则kabakb解：与共线kabakb=（）1kk1k 2,236234, ,abABab BCabCDakbA B Dk 两非零向量 ， 不共线，若，且三点共线，则BDBCCD 解：10ab（23+k）, ,A B D三点共线2310ABBDabab 即（23+k）1023（23+k）1,85k 18ABDCMab例例3.3.如图，如图， 的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M,M,且且 ，你能用，你能用 、 来表示来表示ABCDADbabMA MB MCMD 、 、和和,ABa ABa12MDMBab （）平行四边形的两条对角线互相平分，1122MAACab （）1122MBDBab （）1122MCACab （）解：解：例例4:如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，M是是AB的的中点，点中点，点N是是BD上的一点，上的一点， ，求证求证M、N、C三点共线三点共线.BDBN31 AMBCDN 所以所以M.N.C三点共线三点共线,BAa BCb 解：设MNMBBN 1123BABD 11()23aBAAD 11()23aab 1163ab MCBCBM 12ba13MNMC 12BCBA MNMCMNMC ，