概率统计：第三章 二维随机变量(第五节)

1、第五节 相互独立的随机变量若事件满足,则称与相互独立.一. 随机变量相互独立的定义定义7 设为两个随机变量,若对任意实数有 ,则称与相互独立,简称独立. 独立判别定理:设,分别是,的分布函数,则与相互独立, 任意, 任意.二.离散型随机变量相互独立判别定理:定理一 设二维离散型随机变量的分布律为则与相互独立的充要条件是: .三. 连续型随机变量相互独立判别定理:定理二 设二维连续型随机变量的概率密度为.分别是关于和的边沿概率密度, 则与相互独立的充要条件是:,(几乎处处).证明 , , ,与相互独立 ,(几乎处处)四.有限多个或可列个随机变量的相互独立性定义 设为个随机变量,对任意实数，元函数

2、称为个随机变量的联合分布函数. .定义8 设为个随机变量,对任意实数，成立 则称个随机变量相互独立. 定理 个随机变量相互独立对任意实数，成立 . 定理三 设是维连续型随机变量,概率密度为,的概率密度为,则相互独立 .定义9 设为可列无穷多个随机随机变量,若对任意的正整数，及任意互不相同的正整数，都相互独立，则称可列无穷多个随机随机变量相互独立. 例1 设二维随机变量的分布函数为 , (1)求边沿分布函数 ;(2) 求的概率密度, 边沿概率密度;(3)验证随机变量与相互独立.解 (1) ; ; (2) ; ; ;(3)显然,对任意实数,恒有 ,所以与相互独立.(或显然,对任意实数,成立 ,所以

3、与相互独立) 例2 设二维离散型随机变量的分布律为YX 012-10.10.20.120.20.10.3 (1)求关于和关于的边沿分布律; (2)验证与是否独立？解 (1) 关于和关于的边沿分布律如表YX 012-10.10.20.10.420.20.10.30.60.30.30.4(2) , ,显然 ,由定理一知, 与不独立. 例3设,(1)求 ,(2)试证: 与相互独立的充要条件是.解 由题设条件知, 的概率密度为 , ,(1)由第四节例2知 , ;(2) 充分性 (即由与独立) 若 则 , ,因此, 与独立. 必要性 若与独立,则对任意实数,成立 ,特别地对有,即,从而 .证毕. 例4

4、某型号钻头的寿命(以钻进深度m为单位)服从参数的指数分布.欲打一口深为500m的井,求恰好需用两只钻头的概率. 解 设第一只钻头的寿命为,第二只钻头的寿命为,则与独立且有相同的指数分布.由题意知 , ,故的概率密度为 , 由题意知“恰好需用两只钻头”, .例5 设随机变量与独立且同服从分布.求:(1) 的概率密度;(2)的二次方程有实根的概率;(3) 随机变量的分布函数、概率密度.解 由题设条件知 ,(1)因为与独立,由定理二得的概率密度 , ,显然有对称性;(2)令的二次方程有实根 ,又 ,所以 ;(3),(A)当时,(B)当时, (C)当时, ,于是 , .例6 接连不断地掷一颗匀称的骰子,直到出现点数大于2为止, 以表示掷骰子的次数.以表示最后一次掷出的点数.(1) 求二维随机变量的分布律;(2)求关于,的边沿分布律;(3)证明与相互独立.解 依题意知, 的可能取值为;的可能取值为3,4,5,6 设第次掷时出1点或2点,第次掷时出点,则,“掷骰子次,最后一次掷出点,前次掷出1点或2点” ,(各次掷骰子出现的点数相互独立)于是的分布律为 , ,.(例如 )(2) , ; , ;(或由题意知 , “掷骰子次,最后一次掷