第8次课第4章弹性力学解题方法问题

1、第四章 弹性理论的解题方法 本章任务总结对弹性力学基本方程讨论求解弹性力学问题的方法目目 录录 4.14.1 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 4.24.2 问题的提法问题的提法4.34.3 弹性力学问题的基本解法弹性力学问题的基本解法 4.44.4 圣维南局部影响原理圣维南局部影响原理 4.54.5 叠加原理叠加原理 总结弹性力学基本理论； 讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系基本方程和边界条件。4.1 弹性力学基本方程弹性力学基本方程1.1.平衡方程平衡方程: :弹性体要满足的基本方程弹性体要满足的基本方程000yxxzxxxyyzyyyzzzzfxyzfxyzfxyz,0ij

2、 ijf张量表示：张量表示： 2.2.几何方程：弹性体要满足的基本方程几何方程：弹性体要满足的基本方程111222,()()()xyzxyyzzxuvwxyzvuwvuwxyyzzx,1()2iji jj iuu张量表示：张量表示：3.本构方程：弹性体要满足的基本方程弹性体要满足的基本方程广义胡克定律的应力表示2221(1)1(1)1(1)xxyyzzx yy zz xx yy zz xGGGEEE32ijijmijGE张量表示：张量表示：广义胡克定律的应变表示222222xxxxyxyyyyyzyzzzzzxzxGGGGGG2ijijijG张量表示：张量表示：4.4.变形协调方程变形协调方程

3、位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。0,ljkikiljijklklijzyzxzyyzyxxyzxxzyzzyxyyx222222222222222zxyxzyyxzyxzzyxyzxyzxyzxyzxyxzyzxyzzxxy222222基本方程：基本方程：平衡微分方程平衡微分方程几何方程几何方程本构方程本构方程变形协调方程（应变作为基本未知量）变形协调方程（应变作为基本未知量）若物体表面的位移若物体表面的位移 已知，则已知，则位移边界条件位移边界条件为为 wvu,wwvvuu,niijjTn 物体表面的面力分量为物体表面的面力分量为Tx、Ty和和 Tz 已知已知, ,则则面力边界面

4、力边界 条件条件为：为：xxxyxzyxyyzyzxzyzzTlmnTlmnTlmn5.5.边界条件边界条件若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合混合 边界条件边界条件4.2弹性力学弹性力学问题的提法问题的提法弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，对十弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，对十五个未知量求解十五个基本方程。五个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。基本未知量，可以做必要的简化。为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本为简化求解

5、的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。未知量。在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，在数学上称为偏微分方程的边值问题。，在数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题第一类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。位移边界条件。第二类边值问题第二类边值问题：已知弹性体内的体力和其表：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为面的面力分量为Tx、Ty和和Tz，边界条件为，边界

6、条件为面力边面力边界条件界条件。第三类边值问题第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为的部分为位移边界条件。称为混合边界条件混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。是唯一的。基本解法基本解法（1 1）

7、位移解法：）位移解法：以以位移函数位移函数作为基本未知量作为基本未知量（2 2）应力解法）应力解法以以应力函数应力函数作为基本未知量作为基本未知量 （3 3）混合解法混合解法 以以部分位移部分位移和和部分应力分量部分应力分量作为基本未知量作为基本未知量 4.3 弹性力学问题基本解法弹性力学问题基本解法位移解法位移解法的主要步骤：的主要步骤：利用位移函数利用位移函数 u1, , u2, , u3 表示其他未知量；表示其他未知量；推导由位移函数推导由位移函数 ui 描述的基本方程；描述的基本方程；关键点：关键点：以位移表示的平衡微分方程以位移表示的平衡微分方程。位移解法位移解法的基本方程的基本方程

8、 1. 平衡微分方程平衡微分方程 2. 几何方程几何方程 3. 本构方程本构方程 4. 位移边界条件，力边界条件位移边界条件，力边界条件2(2)ijijijG,2()(1)iji jj ikkk kuuu由由 上式称为上式称为应力位移表达式应力位移表达式。,()iji jj ik kijG uuu将将 (1) 代入代入 (2)此式称为此式称为位移表示的平衡方程（位移表示的平衡方程（LemeLeme方程）方程）将应力位移表达式代入平衡方程将应力位移表达式代入平衡方程,0jij if转换指标转换指标,()0j iji jjk kjijiG uuuf注意到注意到：,j ijj jiijj jik k

9、jk kiuuuuu则则,()0i jjj jiiGuG uf,()0i jij iik kiijjG uuuf即即,()0i jj ik kijjiG uuuf得得2222,222123( )()( )( )jjxxx 注意注意,(),j jij jiiuu2(),0iiiGuGf有有给定位移边界条件就可由给定位移边界条件就可由LemeLeme方程方程解出解出u ui i= =（u,v,wu,v,w） 或或u ui i= =（u u1 1, , u u2 2, , u u3 3 ）。u ui i= = u ui i（x，y, z）其位移边界条件为：其位移边界条件为：对于用面力表示的边界条件对

10、于用面力表示的边界条件 T Ti i = =ijij nj j此式称为此式称为力位移边界条件力位移边界条件。 注意：注意：,123123niiiii jjuuuuunnnnxxx则则,niij ijiuTGG unn将将应力位移表达式代入面力边界条件应力位移表达式代入面力边界条件: : ,()ii jj iijjTG uun 有有为二为二阶线性偏微分方程组，其解为阶线性偏微分方程组，其解为齐次解齐次解+ +特解。特解。对于对于LemeLeme方程方程2(),0iiiGuGf齐次方程齐次方程2(),0iiGuG对对 求导求导ix2,(),0i iiiGuG22,()()i ii ii iiiii

11、uuu 因因(2),0iiG则则或或即即,0ii20因因3K所以有所以有20 即体积应力即体积应力 满足调和方程。满足调和方程。2222222Laplacexyz 其中：为调和算子或算子结论结论20即体积应变即体积应变 满足满足调和方程调和方程。对对LemeLeme方程方程 进行进行（调和算子调和算子）运算：运算：2(),0iiGuG有有222(),0iiGuG（）（）2220,0ii（）（） 2240iiGuGu（）所以所以即即40iu这说明应力与应变满足双调和方程。这说明应力与应变满足双调和方程。444,1() 2ijijjiuu ）有有即即40ij由由2ijijijG4442()()ij

12、ijijG 有有及及2040ij即即由由,1()2iji jj iuu结论：结论： 对于对于LemeLeme方程方程2(),0iiiGuGf2(),0iiiGuG其齐次方程其齐次方程有有222444000000miijiju 即位移分量求解后，可通过几何方程求出应变位移分量求解后，可通过几何方程求出应变 和通过本构方程求出应力和通过本构方程求出应力 。 ijij总之，位移解法以位移为总之，位移解法以位移为3 3个基本未知函数个基本未知函数（u1 1, ,u2 2, ,u3 3），归结为在给定的边界条件下），归结为在给定的边界条件下求解位移表示的求解位移表示的3 3个平衡微分方程，即三个个平衡微

13、分方程，即三个拉梅方程拉梅方程。对于位移边界条件，位移解法是十分合适的对于位移边界条件，位移解法是十分合适的。 至此，我们讨论了弹性力学位移解法的基本至此，我们讨论了弹性力学位移解法的基本方程。除无限大域外，位移解法也适用于全部边方程。除无限大域外，位移解法也适用于全部边界条件为位移边界的情况。然而，对于力边界条界条件为位移边界的情况。然而，对于力边界条件问题，位移解法就显得不够简便。一种变通的件问题，位移解法就显得不够简便。一种变通的方法就是选择应力为求解的场变量。应力需要满方法就是选择应力为求解的场变量。应力需要满足六个平衡方程和三个独立的协调方程，通过这足六个平衡方程和三个独立的协调方程

14、，通过这六个方程可以求解出六个应力分量。六个方程可以求解出六个应力分量。 例例 设有半空间体，单位体积的设有半空间体，单位体积的质量为质量为 ，在水平边界面上受均，在水平边界面上受均布压力布压力 的作用，试用位移法求的作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，并假设在各位移分量和应力分量，并假设在 处处 方向的位移方向的位移受均布压力作用的半空间体半空间体解：可以假设解：可以假设 zwwvu, 0, 0因此体积应变因此体积应变uvwwdwxyzzdzq抖抖=+=抖抖qhz z0w按位移解题例题按位移解题例题对于对于LemeLeme方程方程2(),0iiiGuGf( , ,)( )iuu v ww z2222222222( )id wuw zwxyzdz 22,()iidwd wdzdzq=或或gGGgdzwd1221222积分上式积分上式BAzgzGw214210222gdzwdG有有将将22222,iid wd wudzdz2(),0iiiGuGf代入拉梅方程：代入拉梅方程：在边界上在边界上，1230,1,0,lmnTTTq= -=得得qdzdwGdzdwz02qGA1221结合结合 的表达式可得的表达式可得w3wwwTGnGnnzzzl骣骣骣抖鼢珑=+鼢珑鼢珑桫桫桫抖