第五章线性系统的频域分析法

1、30/4/200906/ec/C180/黄山学院信息工程学院黄山学院信息工程学院自动控制自动控制第五章 频率分析法第五章 频率分析法 在工程实际中，人们常运用频率特性法来分析和设计控制系统的性能。 频率特性法是一种图解分析法，主要是通过系统的开环频率特性的图形来分析闭环系统的性能，因而可避免繁琐复杂的运算。来分析和设计控制系统的性能。第一节 频率特性 频率分析法的数学模型是频率特性。通过对系统频率特性的分析来分析和设计控制系统的性能。一、频率特性的定义二、频率特性的几何表示法第五章 频率分析法G(S)R(s)C(s) 系统结构图如图系统结构图如图: 一 频率特

2、性的定义设系统传递函数为设系统传递函数为 第一节 频率特性特征方程的根特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ 2r(t)=Asin t=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)As2+ 2=A1s+jBissini=1+A2s-j+拉氏反拉氏反变换得变换得: c(t)=A1 e-j tej t+A2 ni=1esit+Bi 系统的稳态响应为系统的稳态响应为 cs(t)=limc(t) te-j tej t+A2 =A1 求待定系数求待定系数: A1=G(s)(s+js=-jAs2+ 2)=G(-j-2jA)同理同理:

3、-jG(j )G(-j )=|G(j )|e根据根据 -2j-jG(j )A|G(j )|e=2jA|G(j )|ejG(j )G(j2jA)A2= -2jcs(t)=A|G(jejG(j) t+e-jG(j) t+)|G(jt+cs(t)=A|G(j )|sin) 系统正弦信号作用下的稳态输出是与系统正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为值之比为| |G(jG(j)|,)|,稳态输出与输入间的稳态输出与输入间的相位差为相位差为G(jG(j) )。 系统输入输出曲线系统输入输出曲线 r(t)t0c(t)AA G(j )r(t

4、)=Asin tG(jt+cs(t)=A|G(j )|sin)G(j)定义频率特性为定义频率特性为: )G(j jG(j )=|G(j )|e)e j()=A( 幅频特性：幅频特性： )=|G(j )|A( 相频特性：相频特性： G(j ) ( )= 频率频率特性表征了系统输入输出之间的特性表征了系统输入输出之间的关系，故可由频率特性来分析系统性能。关系，故可由频率特性来分析系统性能。第一节 频率特性例 求图所示RC电路的频率特性，并求该 电路正弦信号作用下的稳态输出响应。解解: 传递函数为传递函数为 G(s)=Ts+11T=RC频率特性频率特性 电路的稳态输出电路的稳态输出: +-ucur+

5、-CiRur(t)=Asin tT+11)=G(j j =1+(T)2-j11+( T)2TT)t-tg-1 A sin( cs(t)= 1+( T)2幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性 )=|G(j )|A( =1+( T)21G(j ) ( )=T =-tg-1 第一节 频率特性0-80-60-40-200()12345TTTTTRC电路的频率特性曲线 1A00.2A0.4A0.6A0.8AA()12345TTTTT 频率特性可表示为：频率特性可表示为：)G(j )e j()=A( =P( )+jQ( )=tg-1 (Q(P( )+Q2()=A( P2( )第一节 频率特性0ReIm=0

6、二 频率特性的几何表示法 频域分析法是一种图解分析法，常见的频率特性曲线有以下两种。 1幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线又幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线称奈魁斯特曲线 幅相频率特性曲线 也称极坐标图也称极坐标图第一节 频率特性-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.11100.12对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又称伯德图对数频率特性曲线又称伯德图. 对数幅频特性十倍频程十倍频程纵坐标表示为：横坐标表示为： dB L( )=20lgA( ) lg -101dec 为方便只表示L( )=20lgA()单位为单位为 dB 斜率斜率

7、 对数相频特性对数相频特性) ( 第一节 频率特性第五章 频率分析法第二节 典型环节与系统频率特性 频率特性法是一种图解分析法，它是通频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具它具有一些明显的优点有一些明显的优点.一、典型环节及其频率特性二、控制系统开环频率特性三、传递函数的频域实验确定第二节 典型环节与系统的频率特性一、典型环节及其频率特性1典型环节（1 1）最小相位系统环节）最小相位系统环节(0)KK 1/(1)(0)TsT 1 1）比例环节）比例

8、环节2 2）惯性环节）惯性环节3 3）一阶微分环节）一阶微分环节4 4）振荡环节）振荡环节5 5）二阶微分环节）二阶微分环节6 6）积分环节）积分环节7 7）微分环节）微分环节1 (0)TsT 221/( /2/1)(0,01)nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 1/ss第二节 典型环节与系统的频率特性（2 2）非最小相位系统环节）非最小相位系统环节(0)KK 1/ (1)(0)TsT 1 1）比例环节）比例环节2 2）惯性环节）惯性环节3 3）一阶微分环节）一阶微分环节4 4）振荡环节）振荡环节5 5）二阶微分环节）二阶微分环节1 (0)TsT 221/( /2/1)(0,01)

9、nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 除了比例环节外，非最小相位环节和与之相除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。置。 由于开环传递函数的分子分母多项式的系数皆为由于开环传递函数的分子分母多项式的系数皆为实数，可以将其分解成若干典型环节的串联形式，实数，可以将其分解成若干典型环节的串联形式， 即即 NiisGsHsG1)()()(第二节 典型环节与系统的频率特性设典型环节的频率特性为设典型环节的频率特性为)()()(ijiieAjG则系统开环频率特性为则系统开环频率特性为 )(11 )()()(N

10、iijNiieAjHjG系统开环对数幅频特性为系统开环对数幅频特性为NiiNiiLAAL11)()(lg20)(lg20)(结论：系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸结论：系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸典型环节频率特性的合成；而系统开环对数频率特典型环节频率特性的合成；而系统开环对数频率特性，则表现为诸典型环节对数频率特性的叠加这一性，则表现为诸典型环节对数频率特性的叠加这一更为简单的形式。更为简单的形式。2. 典型环节的频率特性1)比例环节0KReIm (1) 奈氏图 G(s)=K第二节 典型环节与系统的频率特性=K)G(j K)= A( 0o ( )= (2) 伯德图 对数幅频特

11、性：对数幅频特性：=20lgKL( )=20lgA()20lgK010.1dB L( )对数相频特性：对数相频特性：=0o)=tg-1 (Q(P( )010.1) ( 2)积分环节 (1) 奈氏图奈氏图 ReIm0=0G(s)=1s1j)=G(j 1)= A( -90o ( )= (2) 伯德图伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性： =-20lgL( )=20lgA() 对数相频特性：对数相频特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90o ( )=1L( )=-20lg1=0dB=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB) ( dB L( )020-20第二节 典型环节与系

12、统的频率特性 3)微分环节 (1) 奈氏图奈氏图 G(s)=s)= A( 90o ( )=j)=G(j ReIm0=0 (2) 伯德图伯德图 对数幅频特性对数幅频特性： L( )=20lgA() =20lg 对数相频特性：对数相频特性：10.11010.11020dB/dec90o ( )=1L( )=20lg1 =0dB=0.1 L( )=20lg0.1=-20dB) ( dB L( )020-20090第二节 典型环节与系统的频率特性4)惯性环节G(s)=1Ts+11T+1j)=G(j T)211+( )= A( T -tg-1 ( )=(1) 奈氏图奈氏图 根据根据幅频特性和相频特性幅频

13、特性和相频特性求出特殊求出特殊点，然后将它们平滑连接起来。点，然后将它们平滑连接起来。取特殊点：取特殊点： =0)=1 A( 0o ( )=-90o ( )=-0)= A( 1=T)=0.707 A( -45o ( )=绘制奈氏图近似方法绘制奈氏图近似方法: ReIm0=011=T-450.707可以证明：可以证明： 惯性环节的奈氏惯性环节的奈氏图是以图是以(1/2,jo)(1/2,jo)为圆为圆心，以心，以1/21/2为半径的半为半径的半圆。圆。第二节 典型环节与系统的频率特性(2) 伯德图对数幅频特性：对数幅频特性： 转折频率转折频率-20dB/decT110TdB L( )T)211+(

14、 )=20lgL( 1T( T)21=0dB20lg1 L( ) ( T)2120lg T1L( )=-20lg T 1/T频段，可频段，可用用-20dB/dec渐近渐近线近似代替线近似代替两渐近线相交点的为两渐近线相交点的为转折频率转折频率=1/T。 渐近线渐近线渐近线渐近线渐近线产生的渐近线产生的最最 大误差值为：大误差值为：21L=20lg =-3.03dB 精确曲线为精确曲线为精确曲线精确曲线相频特性曲线：相频特性曲线：T -tg-1 ( )=0-45-90) ( =00o ( )=1=T-90o ( )=-45o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性 5)一阶微分环节G(s)=1

15、+Ts(1) 奈氏图奈氏图 1=0=1)= A( 0o ( )=)= A( 90o ( )=T)21+( )= A( T tg-1 ( )=T+1j)=G(j ReIm0=0第二节 典型环节与系统的频率特性(2) 伯德图伯德图 一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比 , 所以它们的伯德图对称于横轴。20dB/decT110TdB L( )-20020) ( 对数幅频特性：对数幅频特性： T)21+( )=20lg L(渐近线渐近线相频特性曲线：相频特性曲线：T tg-1 ( )= 450 90=00o ( )=1=T45o ( )=90o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性 6)振荡环节

16、 n=(1- 21 )222n )2+( G(s)=nn s2+2 s+n22nn n22)=G(j - 2+j2 )2(nn n22)=A( - 2)2+(2 (1) 奈氏图奈氏图1=01)= A( 0o ( )=ReIm0-90o ( )=21)= A( =n=0)= A( -180o ( )= =0=0 =n 将特殊点平滑连接起来，可得近似幅相频率特性曲线。=0.4 幅相频率特性曲线因值的不同而异。=0.6=0.8n n22 - 2 ( )=-tg-1第二节 典型环节与系统的频率特性(2) 伯德图伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性： )2(nn n22 - 2)2+(2 )=20lg L

17、(nn=0dBL( )20lg1dB L( )n(2L( )20lg) n=-40lgn-20020-40n10 精确曲线与渐近线精确曲线与渐近线之间存在的误差与之间存在的误差与值有关，值有关，较小，幅值出现了峰值。较小，幅值出现了峰值。d=0) dA( 可求得可求得Mr=11- 2 2 r =1-2 2 n谐振频率谐振频率谐振峰值谐振峰值精确曲线精确曲线=0.1=0.3=0.5相频特性曲线：相频特性曲线：0-90-180) ( n n22 - 2 ( )=-tg-1=00o ( )=-90o ( )= n=-180o ( )=不同，相频特性曲线不同，相频特性曲线的形状有所不同：的形状有所不同

18、：=0.1=0.=0.-40dB/dec=0.7第二节 典型环节与系统的频率特性第二节 典型环节与系统的频率特性因为实际对数幅频曲线与阻尼比有关，误差曲线因为实际对数幅频曲线与阻尼比有关，误差曲线(,)L 为一曲线簇，如下图，据此修正渐进曲线而获得准确曲线。为一曲线簇，如下图，据此修正渐进曲线而获得准确曲线。第二节 典型环节与系统的频率特性注意：注意：在实际分析对数幅频渐进特性曲线时，常在实际分析对数幅频渐进特性曲线时，常用的半对数坐标系中的直线方程为：用的半对数坐标系中的直线方程为：2121()()lglgaaLLk其中其中11,()aL22,()aL(/)k dB dec和和为直线上的两点

19、，为直线上的两点，为直线斜率。为直线斜率。7)时滞环节奈氏图是一奈氏图是一 单位圆单位圆(1) 奈氏图奈氏图1=0G(s)=e- sjG(j )=e- ( )=-1)= A( ReIm0=01)= A( 0o ( )=1)= A( - ( )= (2) 伯德图伯德图L( )=20lg1=0dBdB L( )020 ( )=-) ( 0-100-200-300第二节 典型环节与系统的频率特性 8非最小相位环节最小相位环节最小相位环节: 最小相位环节对数幅频特性与对数相频特性之间存在着唯一的对应关系。对非最小相位环节来说，不存在这种关系。 开环传递函数中没有开环传递函数中没有s右半平面上右半平面上

20、的极点和零点。的极点和零点。 开环传递函数中含有开环传递函数中含有s右半平面上右半平面上的极点或零点的极点或零点。非最小相位环节非最小相位环节:第二节 典型环节与系统的频率特性环节环节传递函数传递函数 斜率斜率dB/dec 特殊点特殊点()0o1s1Ts+11s2KL( )=0=1,L( )=20lgKT1=转折转折频率频率转折转折频率频率1 =转折转折频率频率=n-90o-180o0o-90o0o90o0o-180o比例比例积分积分重积分重积分惯性惯性比例微分比例微分振荡振荡常用典型环节伯德图特征表 00, -20-20-400, 200, -40L( )=0=1,s2+2nns+22n1+

21、 s第二节 典型环节与系统的频率特性二、控制系统开环频率特性 频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能 , 这样可以简化分析过程。所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制。第二节 典型环节与系统的频率特性1系统开环幅相频率特性曲线 系统开环传递函数一般是由典型环系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的：节串联而成的： 积分环节积分环节 的个数的个数时间常数时间常数系统的阶次系统的阶次开环增益开环增益nm幅频特性幅频特性: 相频特性相频特性: 近似绘制系统的奈氏图近似绘制系统的奈氏图: :先把特殊点找先把

22、特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。 Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n- 90o+mn-j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 imG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二节 典型环节与系统的频率特性第二节 典型环节与系统的频率特性 绘制绘制概略开环幅相曲线概略开环幅相曲线的方法。反映开环频率的方法。反映开环频率特性的三个重要因素：特性的三个重要因素：（1 1）确定开环幅相曲线的起点）确定开环幅相曲线的起点 0和终点和终点（2 2）确定开环幅相曲线与实轴的交点）确定开环幅相曲线与实

23、轴的交点(,0)xIm()()0 xxG jHj()()();0. 1, 2,xxxG jH jkk 或或x为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为Re()()()()xxxxG jH jG jH j（3 3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。 (1) 0型系统型系统= 0特殊点特殊点: 系统起点和终点系统起点和终点K=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1nmnj =1i =1 ( )= tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0)=K A( 0o

24、( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=0=幅频和相频特性幅频和相频特性: 第二节 典型环节与系统的频率特性(2) 型系统型系统=1系统起点和终点系统起点和终点n-m=2n-m=1n-m=3=Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n-190o+mn-1j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0=幅频和相频特性幅频和相频特性: =1特殊点特殊点: =0)= A( -90o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性(3) II型系统型系统=2n-m=2n-m=1n-m=3系统起点和终点系统起点

25、和终点=0=mTj )21+( )= A( i )21+( j=12Ki=1n-2180o+mn-2j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 i幅频和相频特性幅频和相频特性: ReIm0=0=2特殊点特殊点: )= A( -180o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性 开环系统奈氏曲线起点和终点的综合情况如图:=1=0=3=2奈氏曲线的起点奈氏曲线的起点 奈氏曲线的终点奈氏曲线的终点n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ReIm0=第二节 典型环节与系统的频率特性 例例1 试绘制系统的奈氏图试绘制系统的奈氏图 系统的奈氏图系统的奈

26、氏图解：解：n-m=2I型系统型系统G(s)=Ks(Ts+1)特殊点特殊点: =0=T)2K1+( )= A( T ( )=-90o-tg-1ReIm0=0=)= A( -90o ( )=-180o ( )=0)= A( 第二节 典型环节与系统的频率特性 例2 已知系统的开环传递函数,试画出该系 统的开环幅相特性曲线。解：解： 1) T=00=K0型型，n=mG(s)=K(1+1+Ts s)T)21+( )= A( )21+( K ( )= tg-1 T tg-1 ReIm00o ( )=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T K T 0o ( )=0= 1) 0=0o ( )

27、=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T 0o ( )=K=0K T =第二节 典型环节与系统的频率特性2系统开环对数频率特性 系统的开环传递函数一般由典型系统的开环传递函数一般由典型环节串联而成：环节串联而成： 开环系统的频率特性：开环系统的频率特性： G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)Gn(s)=Gi(s)ni=1对数幅频特性：对数幅频特性： 对数相频特性：对数相频特性： n)=Gi(ji=1G(j )=Ai(ni=1)e ji()=20lgAi(ni=1L( )=20lgAi(ni=1)=Li(ni=1 )= ( i(ni=1 ) 将各环节的对数频率特性曲线相加，即

28、为开环系统的对数频率特性曲线。第二节 典型环节与系统的频率特性 绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。2）画出各典型环节的对数幅频和对数相 频特性曲线；第二节 典型环节与系统的频率特性 例例 已知开环传递函数，试画出系统的已知开环传递函数，试画出系统的 开环对数频率特性曲线。开环对数频率特性曲线。解：解： G(s)=(s+10)s(2s+1)G(s)=10(0.1s+1)s(2s+1)画出各环节的对画出各环节的对数频率特性曲线数频率特性曲线 G1(s)=10-20dBdec3142L1L3L2L41100.5-2

29、0020400-180 -9090-40dB/decG2(s)=1sG3(s)=0.1s+1G4(s)=2s+11 各环节曲线相加，各环节曲线相加，即为开环系统的对数即为开环系统的对数频率特性曲线。频率特性曲线。dB L( )-20dB/dec) ( 可知：可知： 低频段幅频特低频段幅频特性可近似表示为：性可近似表示为：)A( K)=20lgK-20lgL( 低频段曲线的斜率低频段曲线的斜率-20 dB/dec低频段曲线的高度低频段曲线的高度L(1)=20lgK第二节 典型环节与系统的频率特性 根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。实际的作图过程可简化为：实际

30、的作图过程可简化为：1) 将开环传递函数标准化；2) 在坐标中标出各环节的转折频率；3) 过=1 ，L()=20lgK 这点，作斜 率为-20dB/dec 的低频渐近线；4) 每到某一环节的转折频率处， 根据该环节的特性改变一次渐近线的斜率。5) 画出对数相频特性的近似曲线。第二节 典型环节与系统的频率特性 例例 试画出系统的试画出系统的伯德图伯德图 解：解： G(s)=100(s+2)s(s+1)(s+20)G(s)=10(0.5s+1)s(s+1)(0.05s+1)将式子标准化将式子标准化 各转折频率为：各转折频率为： 1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/dec0-18

31、0 -90-40dB/dec-2002040低频段曲线：低频段曲线：20lgK=20lg10=20dB相频特性曲线：相频特性曲线：=0=dB L( ) ( 1=12=2 3=20-90o ( )=-180o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性三、传递函数的频域实验确定三、传递函数的频域实验确定 频率特性具有明确的物理意义，可用实验的方法来确定它.这对于难以列写其微分方程的元件或系统来说,具有很重要的实际意义。1 1、用实验法确定系统的伯德图、用实验法确定系统的伯德图2 2、根据伯德图确定传递函数、根据伯德图确定传递函数第二节 典型环节与系统的频率特性1、用实验法确定系统的伯德图 给系统加

32、不同频率的给系统加不同频率的正弦信号，测量出系正弦信号，测量出系统的对数幅频特性和统的对数幅频特性和相频特性曲线。相频特性曲线。2. 用标准斜率的直线用标准斜率的直线近似被测对数幅频特近似被测对数幅频特性曲线，得曲线的渐性曲线，得曲线的渐近线。近线。-20020400-180 -90-270 dB L( ) ( 2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec第二节 典型环节与系统的频率特性2、根据伯德图确定传递函数系统传递函数的一般表达式为：系统传递函数的一般表达式为： 根据伯得图确定传递函数主要是确定增根据伯得图确定传递函数主要是确定增益益 K ，转折频率及相应的时间常数等参数

33、则转折频率及相应的时间常数等参数则可从图上直接确定。可从图上直接确定。mG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二节 典型环节与系统的频率特性1. =0低频渐近线为低频渐近线为系统的伯德图：系统的伯德图：20lgK-40dB/dec0-20dB/dec=20lgK=K=1020即即dB L( )cL( )=20lgA( )A( )=K12第二节 典型环节与系统的频率特性0dB L( )1-20dB/dec-40dB/dec低频段的曲线与横轴低频段的曲线与横轴相交点相交点的频率为的频率为: 2. =120lgK=1系统的伯德图系统的伯德图：因为因为故故1cL( )=20lgK

34、0lg20lgK=200-lg120lgK=20lg 0K=0第二节 典型环节与系统的频率特性 -20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec13. =2系统的伯德图：系统的伯德图：=120lgK低频段的曲线与横低频段的曲线与横轴相交点轴相交点的频率为的频率为:因为因为故故dB L( )01c2L( )=20lgK0lg20lgK=400-lg120lgK=40lg 02K=0第二节 典型环节与系统的频率特性r =1-2 2 n例例 由实测数据作出系统的伯德图如图由实测数据作出系统的伯德图如图 所示，试求系统的传递函数。所示，试求系统的传递函数。0.5-20dB/dec-40dB/de

35、c-60dB/dec24020-2003dB0-180 -90-270 解解: 由图可得：由图可得：20lgMr=3dBMr=1.41得：得：根据根据00.707得得dB L( ) ( =11- 2 2 01=0.922=0.38=0.38由频率曲线得由频率曲线得s210G(s)=(0.25s2+0.38s+1)(2s+1)=3.162=1002K=2n2T =0.381)2 T2=(=0.25n第二节 典型环节与系统的频率特性例 已知采用积分控制液位系统的结构和对 数频率特性曲线,试求系统的传递函数。K1sTs+1-hr(t)h(t)解解:将测得的对数曲线近似成渐近线:1-20dB/dec4

36、-40dB/dec(s)=1(s+1)(0.25s+1)=10.25s2+1.25s+1-2000-180 -90dB L( ) ( 第二节 典型环节与系统的频率特性第三节 频率域稳定判据第五章 线性系统的频域分析法 19321932年，乃奎斯特年，乃奎斯特(Nyquist)(Nyquist)提出了另一种判提出了另一种判定闭环系统稳定性的方法，称为定闭环系统稳定性的方法，称为乃奎斯特稳定判乃奎斯特稳定判据据，简称，简称乃氏判据乃氏判据。这个判据的主要特点是利用。这个判据的主要特点是利用开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，乃开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，乃氏稳定判据还能够指出稳定的

37、程度，揭示改善系氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系统稳定性的方法。因此，乃氏稳定判据在频率域统稳定性的方法。因此，乃氏稳定判据在频率域控制理论中有着重要的地位。控制理论中有着重要的地位。 第三节 频率域稳定判据一、一、 奈氏判据的数学基础奈氏判据的数学基础1 1、辐角原理、辐角原理 设有一复变函数为设有一复变函数为 )()()()()(2121nmpspspszszszsKsF式中，式中，s s+j+j为复变量，为复变量，F F( (s s) )为复变函数为复变函数, , 记记F F( (s s)=)=U U+j+jV V。 如果在如果在s s平面画一条封闭曲线平面画一条封闭曲线, ,

38、 并使其不通过并使其不通过F F( (s s) )的任一的任一零、极点零、极点, , 则在则在F F( (s s) )平面上必有一条对应的映射曲线平面上必有一条对应的映射曲线, , 如图如图所示。所示。js1s2s30s平 面F(s)平 面jVF1(s)F2(s)F3(s)0U图：图：s s平面与平面与F F( (s s) )平面的映射关系平面的映射关系第三节 频率域稳定判据第三节 频率域稳定判据 若在若在s s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的, , 则则在在F F( (s s) )平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的平面上的映射曲线的运动方向可

39、能是顺时针的, , 也也可能是逆时针的可能是逆时针的, , 这取决于这取决于F F( (s s) )函数的特性。函数的特性。 我们感兴趣的不是映射曲线的形状我们感兴趣的不是映射曲线的形状, , 而是它包围坐标而是它包围坐标原点的次数和运动方向原点的次数和运动方向, , 因为这两者与系统的稳定性密切因为这两者与系统的稳定性密切相关。相关。 根据式根据式(1)(1)，复变函数，复变函数F F( (s s) )的相角可表示为的相角可表示为 njjmiipszssF11)()()(第三节 频率域稳定判据js平面q2p2j1z1q1p10j2z2sjVF(s)0UF(s)平面图：封闭曲线包围图：封闭曲线

40、包围z z1 1时的映射情况时的映射情况 同理：若同理：若s s平面上的封闭曲线包围了平面上的封闭曲线包围了F F( (s s) )的的P P个极点个极点, , 则当则当s s沿着沿着s s平面上的封闭曲线顺时针移动一周时平面上的封闭曲线顺时针移动一周时, , 在在F F( (s s) )平面平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋转上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋转P P周。周。幅角原理幅角原理 设设s s平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封闭曲线包围了复变函数F F( (s s) )的的P P个极点和个极点和Z Z个零点个零点, , 并且此曲线不经过并且此曲线不经过F F( (

41、s s) )的任一的任一零点和极点零点和极点, , 则当复变量则当复变量s s 沿封闭曲线顺时针方向沿封闭曲线顺时针方向移动一周时移动一周时, , 在在F(sF(s) )平面上的映射曲线按逆时针方平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点向包围坐标原点( (P-Z P-Z ) )周。周。第三节 频率域稳定判据第三节 频率域稳定判据2 2、复变函数、复变函数F(s)F(s)的选择的选择设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 1212()()()( )( )( )()()()KmnK szszszGsG s H sspspspmn 则系统的特征方程为则系统的特征方程为 121212121212

42、12()()()1( )( )( )1()()()()()()()()()()()()()()()()()()mnnmnnnK szszszG s H sF sspspspspspspK szszszspspspssssssspspsp 11()( )( )( )( )()niiniiszA sB sF sA ssp结论结论：*（1 1）辅助函数的零点是闭环传递函数的极点）辅助函数的零点是闭环传递函数的极点 辅助函数的极点是开环传递函数的极点辅助函数的极点是开环传递函数的极点 （2 2）辅助函数的零、极点个数相同）辅助函数的零、极点个数相同 （3 3）F(s)F(s)与与G(s)H(s)G(s

43、)H(s)在复平面上的几何关系在复平面上的几何关系1ImjRe)0()0(1jHjG)0()0(jHjG第三节 频率域稳定判据 为了判断闭环系统的稳定性为了判断闭环系统的稳定性, , 需要检验需要检验F(s)是否有位于是否有位于s平平面右半部的零点。为此可以选面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个择一条包围整个s平面右半部平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲的按顺时针方向运动的封闭曲线线, , 通常称为通常称为奈奎斯特回线奈奎斯特回线, , 简称简称奈奈氏回线氏回线, , 如图如图所示。所示。 3 3、s s平面闭合曲线的选择平面闭合曲线的选择 图 奈氏回线 js j j0C1RC2s平面第

44、三节 频率域稳定判据 可取下图所示的两种形式可取下图所示的两种形式图：图：G(s)H(s)G(s)H(s)无虚轴上的极点无虚轴上的极点 图：图：G(s)H(s)G(s)H(s)无虚轴上的极点无虚轴上的极点 第三节 频率域稳定判据4 4、G(s)H(s)G(s)H(s)闭合曲线的绘制闭合曲线的绘制第三节 频率域稳定判据5)5)、闭合曲线、闭合曲线 包围原点圈数包围原点圈数R R的计算的计算F根据半闭合曲线根据半闭合曲线可获得可获得包围原点的圈数包围原点的圈数R R。设。设N N为为GHFGH穿越穿越( 1, 0)j点左侧负实轴的次数，点左侧负实轴的次数，N表示正穿表示正穿越的次数和（从上向下穿越

45、），越的次数和（从上向下穿越），N表示负穿越的次数和（从表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则下向上穿越），则22()RNNN第三节 频率域稳定判据（图（图a a）1,0,22NNRN （图（图b b）0,0NNR（图（图c c）（图（图d d）（图（图e）1,0NNR11,12NNR 3,0,32NNR二、二、 奈氏判据奈氏判据第三节 频率域稳定判据 如果在如果在s s平面上平面上, , s s沿着奈氏回线顺时针方向移动一周时沿着奈氏回线顺时针方向移动一周时, , 在在F F( (s s) )平面上的映射曲线平面上的映射曲线F F围绕坐标原点按逆时针方向旋转围绕坐标原点按逆时针方向旋转圈数圈

46、数R=R=P-ZP-Z=0=0周（周（P P为开环传函位于为开环传函位于s s平面右半部极点的个数，平面右半部极点的个数，Z Z为闭环极点个数）时为闭环极点个数）时, , 则系统是稳定的。则系统是稳定的。根据系统闭环特征方程：根据系统闭环特征方程：G G( (s s) )H H( (s s)=)=F F( (s s)-1)-1F F( (s s) )的映射曲线的映射曲线F F围绕原点运动的情况围绕原点运动的情况, , 相当于系统开环相当于系统开环传函传函G G( (s s) )H H( (s s) )的封闭曲线的封闭曲线GHGH围绕着围绕着( (1, j0)1, j0)点的运动情点的运动情况况

47、, ,结论结论：闭环系统稳定的充要条件是：闭环系统稳定的充要条件是Z=P-R=0Z=P-R=0，即，即R=PR=P。即：即：GHGH逆时针包围（逆时针包围（-1,j0-1,j0）点的圈数）点的圈数= =右半右半s s平面开平面开环极点数。环极点数。第三节 频率域稳定判据例例5 58 8 已知单位反馈系统开环幅相曲线已知单位反馈系统开环幅相曲线如图所示，试确定系统闭环稳定时如图所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围。值的范围。 解解: : 如图所示，开环幅相如图所示，开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为交点处穿越频率分别为 ， (10,0,1)KP123

48、, 第三节 频率域稳定判据系统开环传函系统开环传函1( )( )KG sG ss由题设条件由题设条件101,lim( )1sG s知，和知，和1()();1,2,3iiiKG jGjij当取当取10K 时时123()2,()1.5,()0.5G jG jG j 若令若令()1iG j ，可得对应的，可得对应的K K值值1231111205,20123()10iKKKGjj对应地，分别取对应地，分别取 和和时，开环幅相曲线分别如图所示，图中按时，开环幅相曲线分别如图所示，图中按 补作虚圆补作虚圆弧得半闭合曲线弧得半闭合曲线 。 0 3KKG第三节 频率域稳定判据根据曲线根据曲线 计算包围次数，并

49、判断系统闭环稳定性：计算包围次数，并判断系统闭环稳定性： 闭环系统稳定；闭环系统稳定； 闭环系统不稳定；闭环系统不稳定； 闭环系统稳定；闭环系统稳定； 闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。 综上可得综上可得, ,系统闭环稳定时的系统闭环稳定时的K值范围为值范围为 和和 。当当K等于等于 和和20时，时， 穿过临界点穿过临界点 ，且在这，且在这三个值的邻域，系统闭环稳定或不稳定，因此系统闭环临三个值的邻域，系统闭环稳定或不稳定，因此系统闭环临界稳定。界稳定。 G0,0,0,KK RZ,2,2,KRZ 23,1,0,0KKKNNRz3,1,2,2,2KKNNRz (0,5)20/3,205,20/3(

50、 1, 0)jG第三节 频率域稳定判据第三节 频率域稳定判据三、对数频率稳定判据三、对数频率稳定判据可以推广运用奈氏判据，其关键问题是需要根据半对数可以推广运用奈氏判据，其关键问题是需要根据半对数坐标下的坐标下的GH曲线确定穿越次数曲线确定穿越次数NNN或或和和开环幅相曲线和开环系统存在积分环节和等幅振荡环节时开环幅相曲线和开环系统存在积分环节和等幅振荡环节时所补作的半径为无穷大的虚圆弧。所补作的半径为无穷大的虚圆弧。N的确定取决于的确定取决于( )1A穿越负实轴的次数，建立如下对应关系：穿越负实轴的次数，建立如下对应关系：时时GH（1 1）穿越点确定）穿越点确定设设时时c()()()1()2

51、0lg()0cccccAG jH jLA为截止频率为截止频率。 称称c第三节 频率域稳定判据对于复平面的负实轴和开环对数相频特性，当取频率为对于复平面的负实轴和开环对数相频特性，当取频率为穿越频率穿越频率x时时()(21) ;0, 1,xkk 第三节 频率域稳定判据对应地，需从对数相频特性曲线对应地，需从对数相频特性曲线()n 点起向上补作点起向上补作1180的虚直线至的虚直线至()n 处，处，( ) 曲线和补作的虚直线曲线和补作的虚直线构成构成（3 3）穿越次数计算）穿越次数计算正穿越正穿越负穿越负穿越半次正穿越半次正穿越半次负穿越半次负穿越第三节 频率域稳定判据对数频率稳定判据对数频率稳定

52、判据 设设P P为开环系统正实部的极点数，为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是反馈控制系统稳定的充分必要条件是()(21) ;0,1,2,ckk 和和 时，时， 曲线穿越曲线穿越 线的次数线的次数( )0L(21)kNNN 满足满足20ZPN对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在于前者在于前者在 的频率范围内依的频率范围内依 曲线确定穿曲线确定穿( )0L越次数越次数N N。第三节 频率域稳定判据 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 试用对数判据判别闭环稳定性。试用对数判据判别闭环稳定性。) 11 . 0 (10

53、)()(sssHsG第三节 频率域稳定判据解：绘制系统开环对数频率特性如图。解：绘制系统开环对数频率特性如图。 由开环传递函数可知P=0。所以闭环稳定所以闭环稳定002NNNP第三节 频率域稳定判据 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 试用对数判据判别闭环稳定性试用对数判据判别闭环稳定性。)1002(300)()(2ssssHsG第三节 频率域稳定判据解：绘制系统开环对数频率特性如图解：绘制系统开环对数频率特性如图 在 处振荡环节的对数幅频值为n120lg20lg2 0.1 142dB闭环不稳定。闭环不稳定。202( 1)2ZPN闭环特征方程的正根数为闭环特征方程的正根数为第三节 频率域

54、稳定判据第五章 线性系统的频域分析法 第四节、稳定裕度 衡量闭环系统稳定程度的指标。一、相角裕度一、相角裕度系统开环频率特性上幅值为系统开环频率特性上幅值为1 1时所对应的角频率称时所对应的角频率称幅值穿越频率或截止频率，记幅值穿越频率或截止频率，记为为c1)()()(cccjHjGA，即，即定义定义相位裕度相位裕度为为)()(1800ccjHjG相角裕度相角裕度 的含义是，的含义是，对于闭环稳定系统，如果系对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后统开环相频特性再滞后 度，则系统将处于临界稳度，则系统将处于临界稳定状态。定状态。第四节 稳定裕度二、幅值裕度二、幅值裕度系统开环频率特性上相位

55、等于系统开环频率特性上相位等于-180-1800 0时所对应的角时所对应的角频率称为相位穿越频率，记为频率称为相位穿越频率，记为x，即，即0()()180 xxG jHj 定义定义幅值裕度幅值裕度为为1()()xxhG jH j幅值裕度的含义是，幅值裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大开环幅频特性再增大h h倍则系统将处于临界稳定状态。倍则系统将处于临界稳定状态。对数坐标下，幅值裕度按下式定义：对数坐标下，幅值裕度按下式定义： 20lg()() ()xxhG jH jdB 第四节 稳定裕度第四节 稳定裕度例例5 512 12 已知单位反馈系统已知

56、单位反馈系统设设K分别为分别为4和和10时，试确定系统的稳定裕度。时，试确定系统的稳定裕度。解：解： 可得可得K=4时时 3( )(1)KG ss2232322(13)(3)()3(1)(1)KjKG jarctg3x13()0.5,21611.233,()152.9 ,27.1xccG jhG j 第四节 稳定裕度K=10 时时分别作出分别作出K=4和和K=10 的开环幅相曲线即闭合曲线的开环幅相曲线即闭合曲线 ，如图，如图所示。所示。由奈氏判据知：由奈氏判据知： K=4 时，系统闭环稳定，时，系统闭环稳定， ； K=10 时，系统闭环不稳定，时，系统闭环不稳定， 。 ()1.25,0.81

57、.908,()187.0 ,7.0 xccG jhG j G1,0h1,0h第四节 稳定裕度例例5 51414 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 试确定系统开环增益试确定系统开环增益K5和和K20时的相位裕度和幅值裕度。时的相位裕度和幅值裕度。 解：解：由系统开环传递函数知，转折频率为由系统开环传递函数知，转折频率为 ， 。按分段区间描述方法，写出对数幅频渐近特性曲线的表达式为按分段区间描述方法，写出对数幅频渐近特性曲线的表达式为 1110210,1 . 0lg20101 ,lg201,lg20)(KKKL) 11 . 0)(1()(sssKsG第四节 稳定裕度本例本例

58、的伯的伯德图德图如左。如左。-20dB/decdBL/)(09001800270)/()(00.11100.11100002040-20-40-60dB/dec-40dB/decK=4K=16121h2h第五节 频率特性与系统性能的关系一、开环频率特性与系统性能的关系二、闭环频率特性与时域指标的关系第五章 频率特性法 常将开环频率特性分成低、中、高三个频段。一 、开环频率特性与系统性能的关系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低频段低频段高频段高频段中频段中频段0第五节 频率特性与系统性能的关系dB L( )c12 三个频段分别与系统性能有对应关系，下面具体讨论。1低频段低频

59、段由积分环节和比例环节构成：低频段由积分环节和比例环节构成： G(s)=sK对数幅频特性为：对数幅频特性为：0KKK=0=1=2-20KG(j )= )(jL( )=20lgA( )K=20lg=20lgK-v20lg 根据分析可得如根据分析可得如图所示的结果：图所示的结果： 可知：可知： 曲线位置越高，K值越大；低频段斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。dB L( )第五节 频率特性与系统性能的关系 2. 中频段 穿越穿越频率频率c附近的区段为中频段。附近的区段为中频段。它它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。反映了系统动态响应的平稳性和快速性。 (1) 穿越频率穿越频率c与动态性能

60、的关系与动态性能的关系 可近似认为整个曲线是一条可近似认为整个曲线是一条斜率为斜率为 -20dB/dec的直线。的直线。设系统如图设系统如图:-20dB/dec0+20-20开环传递开环传递 函数：函数：G(s) sK闭环传递函数为：闭环传递函数为： ts3T穿越频率穿越频率c 反映了系统响应的快速性。反映了系统响应的快速性。s= css1+c(s)=c1s+11= c=3cdB L( )c第五节 频率特性与系统性能的关系(2) 中频段的斜率与动态性能的关系设系统如图设系统如图:-40dB/dec0+20-20开环传递开环传递 函数：函数：G(s) s2K闭环传递闭环传递 函数为：函数为： 处