中小学数学建模

1、中小学数学建模资 料 汇 编全国数学建模工作委员会2010年11月6日前 言数学建模是一个世界性的研究课题，它起源于上世纪七十年代末的英国剑桥大学。1983 年开始在美国每两周年举行一次数学建模与用模国际会议，与会国家逐步发展到了欧美、日本、澳大利亚、中国等近百个国家和地区。1985年美国率先举办全美大学生数学建模联赛，使大学生数学建模竞赛活动逐渐成为世界大学生活动的一大潮流。我国的大学生数学建模竞赛活动起步于1992年，虽然起步较晚，但近年来已成燎原之势。 纵观世界数学建模活动，各国均侧重于大学，中小学系统开展的还属凤毛麟角。尽管我国的九年义务教育数学课程标准非常重视数学的建模问题在前沿的第

2、一页就3次提到了建模问题，3次提到了数学的用模（工具性）问题，但由于种种原因，中小学数学建模问题仍然没有得到应有的重视，在中小学界进行数学建模教育的更是少之又少。不会建模的就不会科研，不会用模的就不会生活。为了更好地推广数学建模思想、提高中小学教师的数学建模意识、发展中小学生的数学建模能力，本刊从本期开始将陆续刊发一些有关小学数学建模的文章，以供大家参考，也欢迎广大读者踊跃参与。注：本汇编均采自山东教育杂志2010年10 12期刊发文章，全国各省市在关杂志将陆续刊发数学建模文章，望各界人士积极投稿。目 录关于数学建模的几个问题 秦荃田 刘景军（1） 浅谈小学数学课堂教学中数学模型的构建张绪昌（

3、7） 立足生活情境 构建数学模型谈整数四则混合运算的教学李 红（10）小学数学建模教学中的思考 马世广 （15）“交换律”建模设计 王希 （17）立体图形的体积研究 邵瀛婧 （22）在小学数学建模教学中如何构建数学模型 贾海娟 （26）小学数学建模教学模式及其应用 牛玉兴 （29）浅谈长方形正方形周长计算公式的建模 刘淑芹（31）在小学数学教学中渗透数学建模思想 刘永文 （34） 对数学建模的几点认识郭淑英 （37）常见的中学数学建模问题分析 周文博 （39） 影响初中数学建模教学的原因分析 马红梅 （42） 关于数学建模的几个问题秦荃田 刘景军一、 问题的提出 数学是在人们对现实生活与生产实

4、际应用的需求中产生的，要解决生活及生产实际中的问题就必需建立数学模型。如：数的扩大，产生了二进制、五进制、十进制、是二进制、六十进制等进位制模型；土地测量的需要，产生了各种几何图形的模型等。从此意义上讲，数学建模和数学学科一样有古老历史，且是数学学科发展的重要支柱。今天，数学以空前的广度和深度向其他科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在正迅速走向定量化、数量化、和数字化，数学在许多高新技术领域起着十分关键的作用。因此，数学建模被时代赋予更为重要的意义。数学课程标准的第一页就3次强调了数学的“建模与用模”问题：1. 第一段最后一行：“有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，题，直接为

5、 社会服务。”2. 第二段倒数第三行：“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”3. 第一页倒数第三行：“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。”新课标的第一页也是3次强调了数学的工具性：1.第一段倒数第一行：“进而解决问题，直接为社会创造价值。”2.第一段倒数第二行：“数学作为一种普通使用的技术。”3.第一页倒数第一行：“数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”值得注意的是，数学的工具性正是体现在数学的用模上。新课程强调过程与活动，但这里的过程与活动均是建模与用模的活动，新课标着重强调的是数学建模的过程和用模

6、的活动。上述几点充分说明一点，新课标最重视的是数学的建模与用模问题，其他一切，生活化也好、实际问题解决也好、过程与方法也好、活动与思考也好，等等的一切都是为数学的建模与用模服务的。既然如此，新课程改革开始近十年了，我国的中小学数学教育界为什么对此很少涉及而只强调过程、活动、合作学习和方法多样化呢？原因固然是多方面的，但数学的建模与用模问题毕竟揭露了数学的本质，与现代科技的发展息息相关，也是世界数学教育发展的主流，因此，重视数学建模与用模教育的研究是我国中小学数学甚至大学数学教育不可忽视的一个重大问题。二、数学建模的内涵 1.什么是模型 模型是一种科技生产的手段，是随着产品的批量生产而产生的，它

7、代表了科技的发展。自古以来，人们制造瓷器、陶器、铜器、金器、银器、等等，都要首先制作各种“模子”。现代的工厂制造工业零部件，也需要事先制作“模子”。这种模子，就是模型。说文解字上写道：“模，法也。”中国古代的人们，以材料的不同而区分不同的“模”。“以木曰模，以金曰镕，以土曰型，以竹曰范，皆法也。”即是说“模”“镕”“型”“范”都是用不同的实物材料做的“模子”。模型尽管可以变化，如，方形的可以变化，发展为长方形的、椭圆形的、菱形的、组合图形的等，同一形状的可以变为厚的、薄的等，但一种形状的模子一旦固定下来，就是有其专有用途的，是为制造某一类物品服务的，是实物的，是刚性的，是不可改变的，是可以用一

8、定的数学公式或定义描述的。2.什么是模式模式是模型概念的一种推广。辞源上写道：“模”的意义有三：模型、规范；模范、楷式；模仿、效法。“模型”这一组合词的本义，即是一种用实物做模的方法。但是，在这里，这个词的意义已经有所拓展已有模范、模仿的意义。再到后来，“模型”一词，从原来狭义地指实物模型，已发展为包括非实物的形式模型。最先普遍拓展使用的是“数学模型”。把一类实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题，即称为数学模型。再后来就发展、变化为在非实物的形式模型中，除了“数学模型”之外，还有用文字语言描述的“模型”，通常，人们又不用“模型”而用“模式”。例如，“文化模式”、“教育模式”、“经济模式”、“

9、社会模式”等等。模式是文字叙述的，是描述性的，是不精确与不科学的，只能描述性状而不能揭示其本质。3.什么是数学模型通俗地讲，数学模型就是为了解决现实生活与生产劳动实际、科技发展与社会发展等一系列问题而建立的一系列数学概念、公式、定义、定理、法则、体系等等。它可以有变式，如，ab+ac=d,可以写成a（b+c）=d，可以根据情景的变化，添加条件，如ab+ac=d，变为ab+ac+e=kd，但他们都是为了解决某类问题服务的，一旦确定，就不可更改。4.什么是模型论在数学领域里，还有在更为狭义的范围内的“模型”，即是在数理罗技研究领域中的“模型论”。模型论，是研究形式语言与其揭示（模型）之间关系的理论

10、，一个形式语言L的解释U称为此语言的一个模型货结构。这是一种从数学到数学的研究，是对数学模型的数学解释。5什么是数学建模“数学建模不是做题，而是干活。”中国科技大学李尚志教授的这句名言一针见血地指出了数学建模的本质特点。准确地说，数学建模就是用数学语言来描述现实现象的过程。这里的现实现象既包括自然现象（如行星运动），也包括社会现象(如商业运作)，而描述也不仅仅包括在外形、内在机制的描述，还包括预测、实验和解释实际现象等内容。也就是，实际问题数学化。它是一个过程，是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择过程。它重视、强调了探

11、究的过程。在这一过程中，许多细想、方法、技能、与技巧都相对伴生。值得注意的是，数学建模过程，尤其是现代数学建模过程，一般不是一个人完成的，而是群体智慧的结晶，它强调了合作性。比如，现在的大学生数学建模一般都是三人一组完成的。同时，在建模过程中需要尝试各种方法，需要建模策略的多样探试、比较、综合与最优化。6什么是数学用模简单地说就是用数学模型来解决实际问题，而不在于应用了多少数学知识于方法。它最核心的部分就是围绕一类问题建立一个数学模型来模拟实际问题，然后通过研究这个数学模型来解决这个实际问题。这里的数学模型是指用数学语言描述的实际事物和现象，是实际事物的数学简化。因为人们普遍相信大自然是严格地

12、演化着，所以为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性与可重复性，人们就用数学模型来模拟实际现象。建模与用模是一个数学过程，即是生活问题数学化与数学问题生活化的问题。值得注意的是，用模时可以不必了解建模的过程或建模的意义。就想农民用拖拉机耕地一样，他可以不必会制造拖拉机，也不必知道制造拖拉机的原理，会使用、使用好就可以了。也就是说，建模是数学家或科学家们的事，大多数实际工作者会用、用好数学建模就不错了。7问题解决与数学建模问题解决提起与上世纪五十年代的美国，流行于七十年代的美国、西欧和日本等国家和地区。我国则引进于八十年代末，流行于就是年代中期。问题解决包含了亮部分，一是问题，二十解决。“问题是数学

13、的心脏。”爱因斯坦曾经说过“提出问题比解决问题更重要。”作为问题解决的核心问题，有着各种各样的分类方法，但大体上可以分成两类：（1）为了学习、探索数学知识、复习巩固所学内容而主要由教师或教材编写者构作的数学问题，如教科书、复习参考书中的练习题和复习题等。（2）出现于非数学领域，但需要数学工具来解决的问题。如来自日常生活中的经济、理化生医等学科中的应用数学问题。（1）类中的问题，往往是以完成数学抽象和加工的“成品”问题。其指向性单一、条件狭窄、开放性较差；（2）类中的问题，往往还是“原坯”形的问题，怎样将他抽象、转化成一个相应数学问题，这本身还是一个问题。当然，两类问题是可能有“交集”他们彼此的

14、边界也是模糊的，如可列方程（组）求解的文字应用题的一部分就在这个“交集”中。在问题解决的过程中，上述两类问题的解决思路上是较肤浅的、方法是较单一的。需要说明的是（2）中的问题已有数学模型的雏型，但在中小学教科书中，这类问题涉及的还不多。数学建模问题的条件更开放、更凌乱、目的性、指向性和策略性更多样。模型的猜想性、可塑性、验证性更强，学生的探索性、合作性更强，用模的多样性更强，它的作用对象更侧重于非数学领域中的问题。较之问题解决，数学建模更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程，数学工具、方法和模型的选择、分析过程，模型的求解、验证、在分析、修改假设、在求解的迭代过程，它更完整地表

15、现了学数学和用数学的关系。它给学生再现了一种“微型的科研过程”。例如：“我们班内最美的同学是谁？”这个问题。要解决这个问题，首先要找到它的条件：这就是“我们班内”，而“最美的同学”必须有标准。我们知道，人体美学受到种族、社会、个人等方面的影响，牵扯到体型与精神、局部与整体的辩证统一。只有整体和谐、比例协调，才能称得上是一种完整的美。人体的美主要由两类：对称美和比例美。而比例美中最重要的是黄金分割美。从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于接近黄金矩形而变化最小。人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美哉几十万年的历史沉淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体

16、美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是，黄金分割律作为一种重要的形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！今年来，在研究黄金分割律与人体关系时，人们发现了人体结构中有14个“黄金点”，12个“黄金矩形”和两个“黄金指数”（两物件间的比例关系为0.618），这就是“最美的同学”的标准。有了这个条件和标准，我们就可以将人体结构中的“黄金分割点”与自身相对照，通过实际测量每个同学身上的具体数据，用数据说话，来解决“最美的同学”的问题，从而建立本版中最美同学的数学模型。这一过程是动态的、开放的，它对学生的各种能力都提出了很高的要求。三、

17、数学建模的思维过程因为数学建模主要是培养学生从现实生活与生产实际中发现数学信息进而建立数学理论的能力，所以，数学建模本身是一个寻找、分析、建模、计算与验证、修订、应用、总结的完整过程。当我们拿到一些数学建模信息时，首先就是要查找所需的数据，尽量多地把查找数据的工作完成。其次是问题的分类分析：题中所给的条件是非常多或非常少的，要根据建模的要求对这些条件和信息进行加工、分析、并进行归类比较。第三根据分析对数学模型提出初步假设，同一道题目可以有多个不同的模型假设，当应以尽量准确的模型实际为标准。第四是提出模型假设后，要通过计算或计算机编程等对模型假设进行验证。第五是验证之后对模型假设进行修改、定型。

18、第六步是应用模型进行解决问题。最后，进行概括总结，写出研究报告，内容包括模型的改进、模型带来的启发与待解决的问题等等。上述数学建模过程的思维流程大致如下：寻找相关信息提炼有用信息分类比较提出模型假设计算验证调整定型用模解决问题研究报告四、数学建模的一般研究领域一般说来，数学建模在现实生活、工农业生产和高科技研究领域中的作用无处不在，纵观数学建模的研究，它在如下领域正在热火超调地开展着；1. 在信息产业领域的软件生产过程中；2. 经济问题解决过程中；3. 气象预报中的预报模型与模式；4. 数学建模在各类评价体系中的作用；5. 数学建模在国民素质教育中的作用；6. 数学建模对数学教学改革的重要启示

19、；7. 社会科学的数学化，起核心是建立社会科学中相关学科的数学模型；8. 航空航天及物理、地理、天文学的研究中；9. 医药卫生、生物、化学、农林领域的研究；10. 其他相关行业中。五、数学建模的历史发展及现状数学建模研究的发端是在1978年前后，英国工业协会为了生产的需要要求剑桥大学开设一个大学数学建模班，培养学生的数学建模能力。1982年美国开始关注大学生数学建模问题，并于1985年在美国组织首届全美大学生数学建模联赛，之后，每两年举办一次，并逐步发展为世界大学数学建模联赛。1989年再几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年

20、参赛校数、队数迅速增加加。1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10个城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314队参加。教育部领导及时发现并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均每年增长25%以上的速度发展。2009年全国有33个省、市、自治区（包括香港和澳门特区）1137所院校、15046个队（其中甲组12276队、乙组2770队）4万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参加人数和参赛地区最多的，其中西藏和澳门是首次参赛。令人遗憾的是，尽管我国大学生数学建模

21、竞赛开展的如火如荼，尽管数学课程标准早就对数学建模问题提出了强烈要求，但在中小学阶段进行数学建模研究的还属凤毛麟角，这是一个值得关注的问题。六、开展中小学数学建模教学研究的几点建议1重读课标，引起思想重视正如前文所提，数学课程标准在前言部分的第一页的3次提到了数学的建模问题，3次提到了数学的工具性，即用模问题，在不足1000字的问题中6次提到了数学的建模与用模问题，且在课标的第一页。课程标准吧数学建模用模问题提到了什么高度还不是显而易见了吗？课程标准的新理念新在什么地方还不是一清二楚了吗？为什么多年来我们的数学教师、数学研究员们一直在过程与方法、一直在数学与思考、一直在算法多样化上下功夫，而独

22、独不提数学建模呢？这是一种舍本逐末的行为，是对新课改、对学生不负责任的行为，现在是回归课程标准的时候了。我们必须静下心来，仔细研读数学课程标准，从思想上引起对数学建模的重视。2重视建模教学，确立建模的初步原则在学习数学课程标准，重视数学建模教学研究的同时，要逐步确立数学建模的初步原则。在小学数学建模的过程中，要切记小学数学姓“小”，不姓“中”，更不姓“大”。要从小学生的年龄特征和心理特点入手，从“小”字上做文章。要让小学生初步感知数学建模的意义，逐步了解数学建模的过程；初步了解数学建模的思想，逐步知道数学建模的方法。会从简单的现实生活和生产例中初步抽象出数学模型，并会用数学模型解决一些简单的实

23、际问题。初中阶段则可以在此基础上做进一步的提高。3. 细研课本，找出建模的立足点中小学阶段，尤其是小学阶段的数学建模应尽量从平常的数学课堂开始，并以课堂教学为主阵地进行。其实，各种数学课本中都有大量的数学模型素材可供我们选择。如，数1的认识。这是一个最简单的数学模型，但也是一个最复杂的数学模型。1个1的物体可以抽象出数1，一群一群、一对一对、一排一排的物体也可以抽象出数1，这些1都一样吗？学生们一知半解，大多数老师也是一知半解。要真正建立好这一模型，那可是不容易的。同样，3呢？5呢？=号呢？再如，长度单位怎么建立？平方单位、立方单位呢？将课本上的这些知识点寻找出来，仔细研究，你就会发现，他不仅

24、会帮助你搞好数学建模的教学，而且会是你的课堂教学多姿多彩。4. 在课堂以外抓建模数学建模是开放式的，是需要时间的。因此，它既可以与课堂教学相结合，让学生在课外搜集建模资料，如上同级课前可以让学生到商店或在家里搜集物品种类和数量，准备课堂教学用，也可以成立数学建模兴趣小组，提高学生的数学建模能力。5.用数学的眼光看世界 从中小学数学的角度说，数学建模就是生活问题数学化的过程，而数学的用模就是数学问题生活化的问题，二者相辅相成。这是课程标准着力强调的一点，也是广大老师在教学中着力实践的一点，知识老师们还没有把它上升到建模的意识上而已。“万物皆数”，是“生活中处处有数学”。要培养学生的数学建模意识与

25、能力，就需要让学生用数学的眼光看世界，让学生时时处处在大自然中发现数学、感悟数学、体味数学、应用数学，这是我们广大数学教育工作者应尽的义务。中小学数学建模的研究工作还刚刚起步，要研究的问题千头万绪。限于能力，也限于篇幅，本文仅谈以上几点，以其抛砖引玉。 浅谈小学数学课堂教学中数学模型的构建济南市市中区教研室 张绪昌 数学模型，从小学课堂教学这一狭义的角度讲，就是指解决问题时所用到的一种数学框架，是对实际问题进行分析、简化、抽象后所得出的数学结构，一般是用数学语言、符号、数量关系式或图形等描述。它具有一般性、精确性、直观性、简洁性等特点。然而在新课程实施过程中，笔者发现，一线教师的数学模型的构建

26、意识还比较薄弱，不少教师以为构建数学模型是数学家的事，只要教材、教参上没有明确要求，教学也就不再涉及。诚然，数学模型的建立往往受教师自身模型构建意识与能力、教材内容等因素影响，但以笔者看来，教学中失去这一点的渗透与培养，学生对于知识的自我构建能力也就无从谈起了。小学数学课堂中模型的构建主要有三个阶段：现实问题数学化（即由现实问题通过分析、抽象、建立数学模型）、模型解释和模型应用。本文重点就几种数学模型的构建策略做一介绍。 一在实际问题翻译成几何语言的过程中构造“线段图模型”，突破对难点的理解 一节课的有效性取决于对教学重点的落实和教学难点的突破，而构建有效的数学模型是突破教学难点的有效途径。

27、例如,“植树问题”有三种情况：两端都不栽（棵树 = 间隔 +1）；只中端（棵树 = 间隔数）；两端都不栽（棵树 = 间隔数-1）。在第一遍试教中，教师把教学重点放在三种情况的分类上，一节课下来，学生在球总棵树时，往往还是弄不清应该是加1、还是减1或者不加不减。仔细分析一下原因，归根结底是学生不明白植树问题的本质 一 一对应。说到底，也就是学生没能很好地掌握一一对应的数学模型。教师进行了第二次改进，把教学重点放在了一一对应的数学模型的建立上，收到了良好的效果。教师在出示题目：一条公路长20米，计划在公路的一旁栽树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共可以栽几棵？学生尝试独立解决，出线了三种方法：20

28、÷5=4（棵）；20÷5+1=5（棵）;20÷5+2=6（棵）。在全班交流算式意义的过程中学生通过画图，理解到：20米是路的总长，5米市每两棵树的距离，20÷5求的事4段路，要求两端都栽，所以还得加上开头的一棵。 就在全班同学普遍认同这一解释时，教师提出了本节课理解的难点，即段数与棵树的关系：4表示段数，1表示左边的那棵树。4段 路加上1棵树等于什么？段数加上棵树求出来怎么是棵树呢？按说应该棵树加上棵树才等于棵树啊？难道段数和棵树之间还有一定的关系吗？通过大家的讨论，学生根据线段图找到了一一对应的模型：途中一段路对应着一棵树，一共有这样的4段路，4短路就

29、对应着4棵树，所以20÷5求出的事段数，根据一一对应，也可以理解成是4棵树。1就是指的头上这棵树。紧接着教师让其他同学用手势比划段数与棵树的对应关系，从而非常扎实地构建出棵树和段数一一对应的模型，有效地突破了教学难点。在接下来研究只种一端和两端都不种的情况时，教师也是仅仅让学生记住了一一对应的模型，减轻了学生的记忆负担，教学效果较好。这一学习过程可以概括为“自主尝试初步建立模型质疑问难一构建完整模型”。 二、在规律的总结过程中构建合适的数学模型，深刻理解算式的意义 乘法分配律是四年级下册的内容，教材的呈现方式如右图。多数教师在教学时往往从计算入手，即出示机组类似（4+2）×

30、25和4×25+2×25的例子，让学生通过计算发现两个狮子相等的关系，从而总结出乘法分配律。课堂上老师虽然费了九牛二虎之力，但教学效果却不如意，尤其是遇到变式练习，许多学生还是稀里糊涂。原因在哪里？笔者以为主要还是学生对于分配律的理“看”得不清楚，通过计算总结结论过于抽象。因此，不妨创造一个更加直观的图示，从而帮助学生理解算式的意义。可以把例3改成如下形式： 共25组 让学生思考：一共是多少？有几种算法？横着看：4×25+2×25表示25个4加上25个2。竖着看：（4+2）×25表示25个4加2的和。两种算法得数相同，可以用等号连接：4

31、5;25+2×25=（4+2）×25，教师可以再强化一组。随后教师给出算式，让学生想象图式，进一步理解算式的意义。这样几个回合下来，学生对于乘法分配律的模型建立就非常深刻了。乘法交换了、乘法结合律都可以创造类似的图式，从而较为容易的突破了对算式意义的理解。三、在计算过程中构建直观的数学模型，从而较好地突破对算理的理解计算教学的基本目的是使学生掌握算法，理解算理，而对于一部分同学来讲，理解算理总是较为困难。比如，人教版五年级上册“小数处以整数”一课，不少学生不能理解为什么商的小树点要和被除数的小数点对齐。因此教师一恰当地选择面积模型，通过学生的操作来理解这道理。比如计算4.3

32、2÷3。教师可以引导学生用下图表示4.32。如果把4.32平均分为3份，应该先分大正方形。 再把剩下的1个0.1评价分成10份，和2个0.01合起来评价分成3分，每份是0.04。通过直观的错做很容易的理解了商的小数点和被除数的小数点对齐的道理。 四、在猜想与验证的过程中构建基本的数学表达式，从而实现知识的有效构建 猜想是依据已有的知识或活动经验对研究的数学对象或数学问题进行观察、实验、比较、归纳等一系列的思维活动，并做出符合一定规律或事实的推测性想象，进而通过验证或操作完善或修正自己的猜想，从而提出新的理论假设。猜想是一种带有一定直觉性的比较高级的思维方式，而在不断地猜想与验证过程中

33、，数学模型也在不断地构建与调整。比如，学习分数的大小比较时：教师先出示一组带有规律性的题组，比较、的大小，学生先进行猜想，然后验证发现：<<<<。学生自然得出：当分数的分母比分子大1时，分母大的分数大，用字母关系式表示为：（b-a=d-c=f-e=1）；紧接着教师可以引导学生进一步提出新的猜想：如果当分数的分子分母相差2、3如：刚才的规律还是否适用？学生继续进行猜想、验证，从而发现其中的带有规律性的表达式：（当b-a=d-c=f-e）。这个学习过程可以概括为：“实践操作构建模型提出新猜想动手验证建立模型”，这个过程是学生不断发现、不断创新的过程。 五、在知识的梳理与归纳

34、中构建基本的关系式，从而打通知识间的联系 著名教育家皮亚杰认为：“对知识的理解是学习者自己主动地建构知识的意义的过程。”因此教师要有意识的引导学生对所学知识经常回顾与整理，使零散的知识在学生大脑中主动地进行选择、加工，这样学生原来的知识经验系统又会因新信息的进入发生调整和改变，也就是我们通常所说的知识重组或重构。如何实现这一点，构建基本的关系式模型是一种重要的途径。比如，学生在学习了平面图形的面积公式后，为了减轻学生记忆负担，增强学生的演绎推理能力，教师可以引导学生思考：能否只用一个公式把下面所以图形的面积公式统一起来？ 学生通过观察，得出梯形的面积公式（S（梯形）=（a+b）×h&

35、#247;2）可以解释其他图形的面积，然后进一步简化：中位线×高。再如：学生学习完有关长方体、正方体、圆柱、棱柱的体积后可引导学生再次构建这些例题图形基本的体积公式，得出：直棱柱的体积=中位面×高。总之，有效的数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学知识应用于实际问题的过程。在建立数学模型、形成新的数学知识结构的过程中，学生能更深刻地体会到数学与生活的联系，同时教师自身要具备数学模型的构建意识和能力，才能指导和要求学生通过主动思维，自主建构有效的数学模型，从而使课堂更能彰显数学的学科魅力。立足生活情境 构建数学模型-谈整数四则混合运算

36、的教学济南市姚家小学 李 红“能结合现实素材理解运算顺序”是小学数学课程标准的理念。为此，实验教科书一改原教材的编排体系，而从数学源于生活的角度，结合符合学生生活实际的现实素材逐步引入混合运算.这样编排的好处是:1.贴近学生,使抽象的问题变得生动,有趣;2.便于学生结合现实问题初步理解混合运算的意义,体会运算顺序;3.混合运算与解决两三步计算的实际问题紧密结合,有助于提高学生思维水平和解题能力.然而,新教材这种编排也有弊端,如综合算式的提前出现造成了教师教学的困惑,脱式计算的格式要求形成了教学的空挡,而教材、教参对此只字未提，使教师教学感到无从着手，自行其是。混合运算的运算顺序作为一个数学模型

37、来说并没有在教材中得到很好的体现。为了帮助学生加深对混合运算顺序的理解，应该在规范运算步骤的基础上促进学生计算能力的提高。数学课程标准指出，数学教学应“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。而引导学生构建数学模型，应该从学生所熟悉的符合其年龄特征的生活情景出发，引导学生通过观察、操作、分析、比较等思维活动，进而逐步转化成自己的认识，从而用数学语言、数学符号概括出来。正如张奠宙教授所说：“数学模型就是那些用数学语言来模拟现实的模型。”因而建立数学模型的过程本身就是一种研究型学习方式。下面是我们教学混合运算的几点做法：一、 教材分析实验教科书是结

38、合现实素材逐步引入混合运算的。大体可分为3个阶段：一是初步渗透模型简短，二是形成模型阶段，三是运算定律的建构与应用。第一阶段又分为3个层次：一（上）“6-10的认识和加减法”中安排的“连加”、“连减”和“加减混合”便是混合运算的起始内容。这个阶段主要是口算，应该结合具体情景，让学生感悟到先算什么，再算什么，起重点是第一步口算得数要“暗记”，使学生明白只有求得第一步计算的得数才能进行第二步计算。第二个层次是二（上）100以内的加法和减法（二）中的“连加，连减和加减混合”。承接上一层次的教学，学生已经有了初步的按顺序计算的意识，只不过由口算变成了笔算，“暗记”的第一步得数需要用竖式表示出来。为了帮

39、助学生更深刻认识连加连减和加减混合运算顺序，教材依然通过生活情景呈现问题及运算顺序，其后结合表内乘法引入的乘加、乘减，仅从呈现顺序上就能看出先算乘法后算加减法，并不是教学两级运算的顺序。第三个层次是二（下）的含有小括号的加减混合运算。为了帮助学生体会小括号的作用，教材通过一道用两种方法解答的实际问题说明用综合算式列式时，应该使用小括号，“计算时先算小括号里面的”可以从分析题目的数量关系中建立认识。从以上分析可以看出，教材的编排确实体现了数学源于生活，学生比较容易的将生活情境转化为自己的认识。但需要说明的一点是，在这个阶段已经出现了列综合算式解决实际问题，这就给教师教学造成了些许困惑。怎样教学列

40、综合算式：教不教脱式计算的格式和步骤？幸亏，59页的例4道出了脱式步骤及解法，真是“千呼万唤始出来。”混合运算教学的第二个阶段在四（下）。教材通过四个例题的问题解决，帮助学生建立整数四则混合运算的运算顺序这一数学模型。由于学生在一、二年纪已具备了很多感性认识，且能够初步掌握含有加减两步计算及含有小括号的混合运算式题的计算步骤，只不过还没有把这些认识上升为理性认识，即还未形成运算法则这一数学模型，因此这部分教材主要是引导学生借助于已有的知识经验，在解决问题的过程中，归纳概括出混合运算顺序，形成数学模型，并利用数学模型进行计算。整数四则混合运算的第三个阶段是研究五大运算定律并进行简便运算。五大运算

41、定律也是数学模型，它是运算体系中最有普遍意义的规律，是运算的基本性质。同时随着数的范围的进一步扩展，这五个运算定律也会进一步应用到后续知识的学习中。鉴于学生在前面的数学学习中已经接触到了一些实际例子，因此这一阶段的任务主要是引导学生从现实的问题情境中抽象概括出运算定律（建模），并进行简便运算（用模）。二、 创设现实情境，初步渗透“模型”意识如前所述，学生在低年级学习混合运算主要是学习从左到右依次计算的连加、连减和加减混合的运算顺序，初步了解小括号的作用。前者渗透的的教学模型就是一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序进行计算。后者所渗透的数学模型就是在有小括号的算式里，要

42、先算小括号里面的。为了帮助学生更好的理解和掌握这些内容，教材提供了丰富的生活情境，旨在于激发学生的学习兴趣，唤起学生的知识储备，利用现实的素材建立认识。教学中应切实把握好教材的这一编排特点，让学生结合现实素材进行分析、思考，从而架起生活情境与运算顺序之间的桥梁，也就是说在低年级要注意渗透“模型”意识，为四年级的建构四则混合运算顺序的数学模型做好准备。例如，一（上）的连加、连减和加减混合属于口算内容，但其又是两步式题，分两步进行口算才能算出结果，特别是第二步计算要用到第一步计算算出的得数，而学生则由于思维的定势，往往容易忘掉第一步的得数或由于看不见第一步的得数而造成第二步计算的困难。为此，教材呈

43、现了现实素材，用生动的动态情境反映出计算时应该先算什么，初步渗透了同级运算从左到右的顺序。此外，教材在算式中用“线”标明先算什么，并注上第一步计算算出的得数，从而帮助学生克服前面所提到的计算障碍。为了使学生更好的掌握运算顺序，教学“连加”时可用动态的图画呈现p72的“连加”题目，使学生通过观察，直观看到5只小鸡、2只小鸡和1只小鸡的呈现顺序，列出算式后进而理解连加算式的意义，初步体会到先算什么再算什么，接着用课件显示第一步计算的得数“7”，使学生进一步认识到第二步计算是用7来加1。再让学生试着说一下5+2+1的计算过程后再出几幅类似的动态画面巩固这一认识，并引导学生结合这几道题说一说连加计算应

44、该怎么办。“连减”的教学过程基本和连加相同，只不过学生有了连加的基础，教学中注意引导学生进行知识迁移，即在呈现动态画面并列出算式后，让学生自己说一说，先算什么再算什么，重点放在第二步计算为什么用6减2上。“加减混合”呈现了不2幅情景，与连加、连减相比，不同点是含有加减两种运算，相同点是依然从左到右计算，但正因为这是两种运算，动态情境的出现就更有必要，一方面能克服先加后减的潜在错误意识，另一方面可与连加、连减结合起来，达到结合动态情景构建数学模型的目的。为此，可在练习中用课件展示不同的加减混合的现实素材，让学生列式，让学生说顺序，让学生说每一步计算的结果，这样不仅可以使学生掌握运算顺序，又可以提

45、高学生的口算能力。此外，要切实搞好综合训练：一是进行连加、连减和加减混合的综合练习；二是进行专项训练，如说一说第一步先算什么，或直接说出第二步要算几加（减）几及这样算的理由；三是要主要引导学生发现归纳连加、连减和加减混合的运算顺序，渗透模型意识。三、扬长避短，优化教学内容认真研究一下教材，不难看出教材关于整数四则运算混合运算有几个地方值得商榷：一是出现综合算式过早，而教材又迟迟不提脱式计算；而是脱式计算教学支离破碎；三是带有小括号的两步计算显得薄弱。为此我们在教学中一方面注意渗透建模、用模思想，一方面在尊重教材编写意图的前提下对教材做了适当的整合，取其长，避其短，收到较好的效果。我们的做法是：

46、二（下）的解决问题单元，是在学生学会计算两步式题的基础上编排的。从“解决问题”的角度来看，这一单元主要学习两步计算的解决问题，显然，数量关系分析是十分重要的，让学生掌握思维的起点，确定思维的方向，培养学生展开有序的分析是开始学习两步计算解决问题的重要任务，根据学生的年龄特征和已有知识积累，分步更容易体现思维的有序，匆匆出现综合算式有些操之过急，而再加上小括号的作用与使用，无疑给学生增加了更多困难。为此，我们将解决问题单元和P59例4的脱式计算部分甚至于四（下）的有关知识做了整合，并增加了两课时内容。教学例1时以引导学生展开有序的分析为主线，让学生在学习小组内结合情境图体会事情发展顺序，并根据题

47、目里有所反映的2个条件提出一个需要解决的问题；在列出算式求解后接着想第二步运算，并明白第二步计算的意义；然后再总结本题的分析思路和解答过程，强化提问题的意识，并承接前面的“加减混合”教学，让学生列出综合算式，并结合综合算式说一说先算什么再算什么。在此基础上，教学脱式计算方法，帮助学生建立“脱式计算”的教学模型。例2有2中解题思路，属于“一题多解”。教学例2时可引导学生通过生活情境体会解决问题的思路，得到2种解题方法。根据学生的年龄特征，学生往往是从条件入手进行思路的。题目里给出了3个条件，根据前2个条件可以求出买了22个面包还剩多少个，再求出最后还剩多少个；根据后面两个条件可以先求出一共买走多

48、少个，再求出还剩多少个。从不同角度引发的思考，开拓了学生的思维空间，此后再根据第一种思路列出连减算式，并用上节课所学到的脱式步骤进行计算。根据第二种思路列综合算式是例额2的又一个教学重点。让学生认识括号，了解小括号的作用必须结合分步列式。第二种思路是算式一共买走多少个，再算还剩多少个。那么列成综合算式也应该符合这一顺序。然而怎样才能清楚的反映出这一顺序呢？学生大胆想象大胆猜测，形成不同想法，如54-8-22.54-（8+22）等，前者用下面的横线表明先算的部分，后者用（）表明先算的部分。教师此时结合小括号便水到渠成，而小括号的作用也无须多费口舌，直接让学生脱式计算即可。此后，为了达到构建模型的

49、目的，可以再出几道带小括号的试题，让学生说一说先算什么再算什么，以加深学生对这类题目运算顺序的认识。P59例4是乘除两步计算问题，思维方法及列式解答均可通过知识迁移解决，但对于乘除混合运算顺序则需要结合生活素材进行理解。乘除属于同级运算，乘除两步计算包含两种情况，要么先乘除，要么先乘后除，要么先除后乘。列出综合算式需要理解题意，明确题目中所蕴含的条件与条件、条件与问题间的数量关系。一旦学生理清了脉络，便可以列出综合算式，并掌握运算顺序，从而也渗透了有乘法又有除法的两步式题，按从左到右的顺序进行这一数学模型的计算。可见用课件呈现这种实际问题十分必要。 四、在整理中构建和深化混合运算数学模型四（上

50、）四则运算主要教学并梳理混合运算的顺序。建立四则运算的数学模型过程就是学生从已有的生活经验出发，充分运用观察、实验、分析、概括等思维方式，将实际问题抽象出来并解释与应用的过程。数学模型一般是用数学语言或数学符号来呈现的。在之前的教学中，学生已经对混合运算的数学模型有不少了解，形成了一定认识，并且已经能够运用数学模型进行整数四则混合运算，但尚不系统，用数学语言描述不简练概括，从而构成了四(上)的四则运算的重要任务。因此可以说，四（上）的四则运算教学应落脚于梳理知识，使分散在各册各部分的有关知识成为一个整体，从而实现“问题情境建立模型解释、应用与拓展”，提高学生的综合概括能力和计算能力。四（上）的

51、四则运算顺序的梳理是结合解决问题进行的。教学这部分内容有2个主要任务。一是让学生再解决问题的过程中，进一步掌握分析问题的策略和方法。为达此目的，教学中应侧重于分析、引导学生从不同角度进行逆思考，还可以兼顾正逆两种思考路线进行灵活分析，目的只有一个，寻找到一条简捷正确的解题思路。本单元是整数及其运算的最后阶段，问题解决的范围也随之增大，强化数量关系分析是十分有必要的。第二个任务就是梳理四则运算的顺序，例1是加减混合运算，例2是乘除混合运算，他们均属于同级运算，例3与例4是含两级运算的三步计算式题。但从计算合理的角度看可用两步解答，例5是含有小括号的三步计算式题。这部分内容实质上是整数四则混合运算

52、的概括与总结。5道例题各有侧重，例1、例2与例5还都有一定的知识储备，显然例3、例4的混合运算顺序是教学重点。例1、例2的教学应把握两点，一是搞好数量关系分析，让学生通过有序的思考，逐步达到举一反三；二是概括加减混合运算或乘除混合运算顺序，并用语言表达出来。例3、例4的教学应把握三点：首先是搞好数量关系分析，找到隐蔽条件并列出分布算式，二是引导学生将分步算式合并成综合算式，主要解决积商之和的问题。一旦布列了综合算式，便可以引导学生结合前面的分析和分步计算过程，知道先算乘除法，后算加法了。此时，教师应刻意说明，对于24×2+24÷2来说，乘除是同一级运算，因此，脱式计算时，应

53、同时计算24×2的积与24÷2的商。由于含有两级运算的题目进行脱式计算，学生尚属初次遇到，仅凭这一道题目便让学生概括出数学模型是不现实的，故此时宜趁热打铁，连续出几道含有两级运算且带有生活情境的题目让学生说一说先算什么再算什么，列出综合算式后再引导学生发现运算顺序，并概括出数学模型。实质上是对混合运算顺序的梳理，两道小题中，参与运算的数，排列顺序及运算符号都相同，但计算结果却不相同，其根本原因是（1）小题里出现了小括号，部分改变了运算顺序。由此可以促使学生认识到小括号的作用以及运算顺序的重要性。可见，这两个小题仅是改变了运算顺序。由此可以促使学生认识到小括号的作用以及运算的

54、重要性。可见，这两个小题仅是个例子，目的在于对混合运算顺序进行整理。显然，整理知识最好以合作学习的形式出现，让大家群策群力，通过对前面所学知识的回顾与思考，通过在计算过程中的应用与发现，总结出四则运算的顺序，成功构建出数学模型。五、在观察比较中概括运算定律前面所提到的混合运算顺序作为数学模型，是学生由具体形象的现实生活情境，通过分析、比较、联想、验证、综合、概括等一系列思维活动逐步形成的形式化数学语言。而五大运算定律同样如此，只不过其模型的呈现较之运算顺序更为抽象更为简练，即可以用数学符号或数学字母表示。因而教学运算定律的关键就是让学生在大量的素材信息中，通过观察整理发现他们的共性，及时进行教

55、学抽象活动，在用形式化的数学语言表述之后，进而用数学符号表示。加法的交换律、乘法的交换律作为两个概念，学生可能会感到陌生，但早在一、二年级学生就已经通过一图二式和乘法口诀的学习，了解了他的“形”。只不过由于年龄小等原因，尚未形成模型。因而教学时除了像例题那样提供生活情境外，还需通过几个类似的例子让学生在分析解决问题的过程中发现，尽管列出的算式加数（因数）的位置发生了变化，但和（积）却没有变化，因而这两个算式的可以用等号连接起来。接着可以让学生认真观察这一系列等式的左右部分，不过还可以使其更为抽象，表示更为简练。学生在知识生成的过程镇南关产生的过程中产生了很多好的想法，也就是形式化语言模型转化为

56、符号模型、字母模型等，学生经过对比，a+b=b+a、a×b=b×a得到了大家的认可。加法的结合律和乘法的结合律对于学生来说相对陌生，但并非没有一点接触。以前的混合运算中，学生可能从速算的角度有些许的尝试，只补过没有形成模型。就其教学来说，一人像交换律那样，提供给学生丰富的生活情境，让学生在计算中法相不管是先把前面两个数相加（乘），还是先把后两个数相加（乘），和（积）不变。此中观察、分析、比较、发现是十分重要的教学环节。学生一旦发现了上述规律，又有了用字母表示交换律的基础，再用字母，符号表示出来，就不会感到多大困难了。乘法分配律的建模可能难一些，这是因为缺乏像交换律、结合律那

57、样的生活素材。一般来说教学时，依然是由解决问题引入。两种不同的思路产生不同的综合算式，用不同方法计算出相同结果，初步认识乘法分配律。为了使结论更具有可靠性、普遍性，前面的实例最好到根据两种思路列出的算式相等为止，而不急于对这两个算式相同的等式都有共性，此后再引导学生对比分析，从而帮助学生发现规律，概括出乘法分配律，并用字母表示出来。通过在整数四则混合运算教学中，立足生活情境，狠抓知识迁移、构建数学模型的实验和操作，我们深刻认识到，构建数学模型过程的本质就是数学思维的活动，所以建模的过程离不开思维方法。分析与综合、比较与分类、抽象与概括、猜想与验证等思维方法都是构建数学模型的重要方法。当然，这些思维方法往往是综合运用的。可见，数学模型的一个很重要的价值体现就是建模，而建模的目的则是用以解决实际问题。此外，需要说明的一点是，小学数学建模教学并非每次都要经过一个完整的建模过程，也就是说，有些数学建模并不能一次完成。想混合运算法则这一数学模型就经历了渗透模型意思、初步形成模型和形成完善模型三个阶段。小学数学建模教学中的思考莱西市孙受镇西杨小学