中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题八《二次函数与线段问题结合》(教师版)

1、类型二二次函数与线段问题结合1已知点A(1，1)、B(4，6)在抛物线yax2bx上(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点F的坐标为(0，m)(m2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FHAE；(3)如图，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM2PM，直接写出t的值图图(1)解：抛物线的解析式为yx2x；(2)证明：设直线AF的解析式为

2、ykxm，将点A(1，1)代入ykxm中，即km1，km1，直线AF的解析式为y(m1)xm.联立直线AF和抛物线解析式得，解得点G的坐标为(2m，2m2m)GHx轴，点H的坐标为(2m，0)抛物线的解析式为yx2xx(x1)，点E的坐标为(1，0)直线AE的解析式为yx.设直线FH的解析式为yk2xb2，将F(0，m)、H(2m，0)代入yk2xb2中，解得：直线FH的解析式为yxm.FHAE；(3)解：当运动时间为秒或秒或秒或秒时，QM2PM.2如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2经过点A(1，0)和点B(4，0)，且与y轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物

3、线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)当PDB的面积等于CAD的面积时，求点P的坐标；(3)当m0，n0时，过点P作直线PEy轴于点E交直线BC于点F，过点F作FGx轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值解：(1)抛物线的解析式为：yx2x2；(2)抛物线的解析式为yx2x2，点C的坐标是(0，2)，点A(1，0)、点D(2，0)，AD2(1)3，SCAD×3×23，SPDB3，点B(4，0)、点D(2，0)，BD2，SPDB×2×|n|3，n3或n3，当n3时，m2m23，解得m1或m2，点

4、P的坐标是(1，3)或(2，3)当n3时，m2m23，解得m5或m2，点P的坐标是(5，3)或(2，3)综上，可得点P的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，3)或(2，3)；(3)线段EG的最小值是.3如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2bxc交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线yx3经过B，C两点(1)求抛物线的解析式；(2)过点C作直线CDy轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PEx轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MNAC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关

5、系式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接PC，过点B作BQPC于点Q(点Q在线段PC上)，BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当STTD时，求线段MN的长解：(1)抛物线的解析式为yx22x3；图(2)如解图，yx22x3，当y0时，x22x30，解得x11，x23，A(1，0)，OA1，OBOC3，ABC45°，AC，AB4，PEx轴，EMBEBM45°，点P的横坐标为t，EMEB3t，连接AM，SABCSAMCSAMB，AB·OCAC·MNAB·EM，×4×3×MN×4(

6、3t)，MNt；图(3)如解图，yx22x3(x1)24，对称轴为x1，由抛物线对称性可得D(2，3)，CD2，过点B作BKCD交直线CD于点K，四边形OCKB为正方形，OBK90°，CKOBBK3，DK1，BQCP，CQB90°，过点O作OHPC交PC的延长线于点H，ORBQ交BQ于点I，交BK于点R，OGOS交KB于G，连接SR，OHCOIQOIB90°，四边形OHQI为矩形，OCQOBQ180°，OBGOCS，OBOC，BOGCOS，OBGOCS，OGOS，CSGB，GOBSOC，SOG90°，ROG45°，OROR，OSROG

7、R，SRGR，SRCSBR，BOROBI90°，IBOTBK90°，BORTBK，tanBORtanTBK，BRTK，CTQBTK，QCTTBK，tanQCTtanTBK，设STTDm，SK2m1，CS22m，TKm1BR，SR3m，RK2m，在RtSKR中，SK2RK2SR2，(2m1)2(2m)2(3m)2，解得m12(舍去)，m2；STTD，TK，tanTBK÷3，tanPCD，CFOEt，PFt，PEt3，P(t，t3)，t3t22t3，解得t10(舍去)，t2.MNdt×.类型三与面积问题结合1(2017·恩施州)如图，已知抛物线ya

8、x2c过点(2，2)，(4，5)，过定点F(0，2)的直线l：ykx2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(、)，并证明你的判断；(3)P为y轴上一点，以B，C，F，P为顶点的四边形是菱形，设点P(0，m)，求自然数m的值；(4)若k1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及QBF的最大面积；若不存在，请说明理由(导学号58824241)解：(1)抛物线的解析式为yx21；(2)BFBC.理由如下：设B(x，x21)，而F(0，2)，

9、BF2x2(x212)2x2(x21)2(x21)2，BFx21，BCx轴于点C，BCx21，BFBC；图(3)如解图，m为自然数，则点P在F点上方，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，CBCFPF，而CBFB，BCCFBF，BCF为等边三角形，BCF60°，OCF30°，在RtOCF中，CF2OF4，PFCF4，P(0，6)，即自然数m的值为6；图(4)作QEy轴交AB于E，如解图，当k1时，一次函数解析式为yx2，解方程组得或则B(22，42)，设Q(t，t21)，则E(t，t2)，EQt2(t21)t2t1，SQBFSEQFSEQB(22)EQ(1)(t2t1)(t

10、2)222，当t2时，SQBF有最大值，最大值为22，此时Q点坐标为(2，2)2(2017·苏州)如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点C，OBOC.点D在函数图象上，CDx轴，且CD2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点(1)求b，c的值；(2)如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由解：(1

11、)b2，c3; (2)设点F坐标为(0，m)，对称轴是直线x1，点F关于直线l的对称点F的坐标为(2，m)，由(1)可知抛物线解析式为yx22x3(x1)24，E(1，4)直线BE经过点B(3，0)，E(1，4)，利用待定系数法可得直线BE的表达式为y2x6，点F在BE上，m2×262，即点F坐标为(0，2)(3)存在，满足题意的点Q的坐标为(，)或(，)3(2017·抚顺)如图，抛物线yax2bx4交y轴于点A，并经过B(4，4)和C(6，0)两点，点D的坐标为(4，0)，连接AD，AB，BC，点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒

12、1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角EFG.(1)求抛物线的解析式；(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；(3)设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长(导学号58824242)解：(1)抛物线的解析式为yx2x4；(2)点G(t，4t)，将(t，4t)代入到抛物线得4t(t)2×t4，解得t10(舍去)，t2，当t时，G落在抛物线上；(3)t1，此时路径长度为，t25，此时

13、路径长度为12.类型四与相似三角形结合1如图，已知直线yx3与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线yx2bxc经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒 个单位的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒(1)求抛物线的解析式；(2)问：当t为何值时，APQ为直角三角形；(3)过点P作PEy轴，交AB于点E，过点Q作QFy轴，交抛物线于点F，连接EF，当EFPQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在

14、，请求出t的值；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线的解析式为yx22x3；(2)OPt，AQt，则PA3t，OAOB3，BOA90°，QAP45°.当PQA90°时，如解图，PAAQ，即3t×t，解得t1；当APQ90°时，如解图，AQAP，即t(3t)，解得t；综上所述，当t1或t时，PQA是直角三角形；图(3)如解图，延长FQ交x轴于点H，设点P的坐标为(t，0)，PAPE，则点E的坐标为(t，t3)，易得AQH为等腰直角三角形，AHHQAQ·tt，点Q的坐标为(3t，t)，点F的坐标为(3t，t24t)，FQt24ttt23t

15、，EPFQ，EFPQ，四边形PQFE为平行四边形，EPFQ.即3t3tt2，解得t11，t23(舍去)，点F的坐标为(2，3)；图图(4)存在当t时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似 2.(2017·河南)如图，直线yxc与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线yx2bxc经过点A，B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点

16、所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值(导学号58824243)解：(1)B(0，2)，抛物线的解析式为yx2x2；(2)由(1)可知直线解析式为yx2，M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，P(m，m2)，N(m，m2m2)，PMm2，AM3m，PNm2m2(m2)m24m，BPN和APM相似，且BPNAPM，BNPAMP90°即BPNAPM，或NBPAMP90°，当BNP90°时，则有BNMN，BNOMm，即，解得m0(舍去)或m2.5；

17、M(2.5，0)；当NBP90°时，即BPNMPA，则有，A(3，0)，B(0，2)，P(m，m2)，0m3，BPm，AP(3m)，解得m0(舍去)或m，M(，0)；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与APM相似时，点M的坐标为(2.5，0)或(，0)；当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或1或. 3.(2016·湖州)如图，已知二次函数yx2bxc(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m0)个单

18、位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部(不包括ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程) 解：(1)二次函的数解析式为yx22x4，点M的坐标为(1，5)；(2)设直线AC的解析式为ykxm，把点A(3，1)，C(0，4)代入得 解得直线AC的解析式为yx4，如解图所示，对称轴直线x1与ABC两边分别交于点E、点F，把x1代入直线AC解析式yx4，得y3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)，15m3，解得2m4；(3)符合题意的点P坐标有4个，分别为

19、P1(，)，P2(，)，P3(3，1)，P4(3，7)类型五与角有关的探究1(2017·锦州)如图，抛物线yx2bxc经过B(1，0)，D(2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQx轴，分别交直线AD、抛物线于点Q、P.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P，使APB90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；(3)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？解：(1)抛物线的解析式为yx22x3；(2

20、)假设存在点P(m，n)，使得APB90°，如解图，连接PA，PB.PHAB，可得PAHBPH，即PH2AH·BH，(n)2(3m)(m1)，整理得n2m22m3，点P在抛物线上，nm22m3，n2n，解得n1或n0(舍)将n1代入抛物线得m22m31，解得m11，m21，满足条件的点P有两个，横坐标分别为1，1；图图(3)如解图，过D作DEx轴于点E，D(2，5)，DE5，OE2.AEOEOA5，DEAE，DAE45°.过D作DFPQ于点F，DFx轴，FDQ45°，在RtDFQ中，DQFQ.根据题意，tBQFQ，要使t最小，则BQQF最小，根据垂线段最

21、短可知，当点B，Q，F共线时，t取最小值，此时BFDF，点Q的横坐标为1，则点Q的坐标为(1，4)2(2017·盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由(导学号58824244)备用图解：(1)抛物线的表达式为yx2x2；(2)令yx2x20，x14，x21，A(4，0)，B(1，0)，如解图，过D作DMx轴交AC于点M，过B作BNx轴交AC于点N，DMBN，DMEBNE，设D(a，a2a2)，M(a，a2)，DMa22a，B(1，0)，N(1，)，BN.(a2)2；当a2时，的最大值是；图图A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)，AC2，BC，AB5，AC2BC2AB2，ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，P(，0)，PAPCPB，CPO2BAC，tanCPOtan(2BAC)，过D作x轴的平行线交y轴于点R，交AC的延长线于点