数学建模--收益风险分析报告

1、投资的收益和风险学号专业班级手机*自动化111班*目录一、摘要2二、问题的提出2三、问题的分析 3四、建模过程41、模型假设：42、定义符号说明：43、模型建立：54、问题分析与求解5(1)> 问题一： 5(2)、问题二:7(3)、模型求解：8五、模型的结果分析与评价 9六、模型评价与改进 12七、参考文献 13附录：Matlab程序 13A、问题一的求解 13B、问题二白向求解: 13一摘要本方案借鉴了金融投资理论，在进一步明确“风险”和“总风险”这两个概 念的基础上，将本问题归并为非线性规划问题。对市场上的多种风险投资和一种 无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑连个目

2、标，总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，然而，这两目标并不是相辅相成的，在一定意义 上是对立的。随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置 资金进行投资。财富的积累需要一个过程，但投资理财有助于我们获取财富， 一 方面可以加速我们富裕的过程，从无到有，从少到多，实现原始财富的积累与财 富的进一步增值；另一方面达到财务目标，平衡一生中的收支差距。【关键字】：经济效益线性规划模型 有效投资方案 线性加权二、问题的提出随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置 资金进行投资，但是现在投资的方式多样化，所存在的风险都各不相同，因此了 解一些基本投资规划方

3、案，选择合适的投资组合方案，使净收益尽可能大，而总 风险尽可能小。市场上有n种资产（如股票、债券、）Si （ i=1, - n）供投资者选择，某 公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员 对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期购买 Si的平均收益率为 并预测出购买Si的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的 $中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为Pi,并且当购买额不超过给定值 Ui时，交易费按购买Ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0,且既无交易费又无风险。（

4、,0=5%已知n = 4时的相关数据如下:Siri (%)qi（%）Pi(%)ui（元）S12814 (学号)1103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M,有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。(2)试就一般情况下对以上问题进行讨论，并利用一下数据进行计算Siri (%)qi(%)pi (%)ui (元)Si9.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397S740.7

5、685.6178S831.233.433.1220S933.653.52.7475S1036.8402.9248Sil11.8315.1195S1295.55.7320S1335462.7.267Sl49.45.34.5328S1515237.6131三、问题的分析由题意可知，由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，在这里投 资Si的平均收益率为Xi n,风险损失为x qa要使投资者的净收益尽可能大， 而风险损失尽可能小，第一个解决方法就是进行投资组合， 分散风险，以期待获 得较高的收益，模型的目的就在于求解最优投资组合，当然最优投资还决定于个 人的因素，即投资者对风险，收益的偏好程度，

6、怎样解决二者的相互关系也是模 型要解决的一个重要问题。本题所给的投资问题是利用原给的数据，通过计算分析得到一种尽量让人满 意的投资方案，并推广到一般情况，利用第二问进行验证，下面是实际要考虑的 两点情况：(1) 在风险一定的情况下，取得最大的收益(2)在收益一定的情况下，所冒的风险最小当然，不同的投资者对利益和风险的侧重点不同，将在一定的围视为正常， 所以只需要给出一种尽量好的模型， 即风险尽量小，收益尽量大，这是一般投资 者的心里。对于模型一，在问题一的情况下，公司可对五种项目投资，其中银行的无风 险，收益=5%为定值，在投资期间是不会变动的，其它的投资项目虽都有一定 的风险，但其收益可能大

7、于银行的利率， 我们拟建立一个模型，这个模型对一般 的投资者都适用，并根据他们风险承受能力的不同提出多个实用于各种类型人的 投资方案(一般投资者分为：冒险型与保守型。即越冒险的人对风险损失的承受 能力越强)。对于模型二：由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，将资产的 风险预期收益率用一定的表达式表示出来， 在这里，投资Si的平均收益为Xi r, 风险损失为为qi,使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小。四、建模过程1、模型假设：(1)假设题设中给的参数是准确值，没有偏差，且在短时期所给出的平均收益 率，损失率和交易的费率不变；(2)投资行为只能发生在开始阶段，中途不得撤资或追加，

8、投资任一资产可购买 量足够多，足以吸纳全部投资资金；(3)几种资产相互之间不会产生影响，例如股市的涨跌不会影响到债券的涨跌；(4) M值足够大，大至可忽略ui的影响。(因为一般情况下企业的投资基本都会是成百上千万元，而ui仅为数百元，故可忽略其影响)(5)在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费，公司总会选择满意度高 的方案。2、定义符号说明：变量围说明Sii=1,2 n欲购买的第i种资产的种类M相当大公司现有的投资总额Xi=1,2 n公司购买Si金额rii=1,2 n公司购买S的平均收益率qii=1,2 n公司购买Si的风险损失率pii=1,2 n公司购买$超过ui时所付的交易费Eii=1

9、,2 n公司购买资产Si所获得的收益k0.11权因子A不等式右端的系数矩阵f目标向量3、模型建立投资者的净收益为购买各种资产及银行的收益减去此过程中的交易费用。在对资产Si进行投资时，对于投资金额 Xi的不同，所付的交易费用也有所不同，不投资时不付费，投资额大于ui时交易费为xi Pi ,否则交易费为ui o题中所给的交易费的计算数额是一个分段函数，在实际的计算中不容易处一 .一 ， u 一理，但我们注意到，在表1中，i的数值非常小，ui =103+198+52+40=387, 对其中最大的ui来说，u2=198<200元，而已知M是一笔相当大的资金，同时交易费率pi的值也很小，即使在x

10、i ui时，以ui来计算交易费与用xi直接计算交费相差无几，所以，后面我们具体计算式，为简化暂不考虑ui的约束，都以X 来答题算交易费。4、问题分析与求解(1)、问题一：A、问题分析：设购买Si的金额为xi ,所付的交易费G ( %),另co ( Xo)=0 :0x0ci(x)ui0 xi ui(i 1 n)(1)Pi Xxi ui因为投资额M相当大，所以总可以假设对每个 S的投资xi ui,这时(1)式 可化简为：ci(xi)pixi(i1 n)(2)对 Si 投资的净收益 ：Ri (xi ) rixi ci(xi ) (ripi )xi(3)对 Si 投资的风险：Qi (xi )qixi(

11、4)对 Si 投资所需总资金 (投资金额xi 与所需的手续费ci ( xi ) 之和)即：fi (xi) xi ci (xi ) (1pi)xi(5)当购买Si的金额为xi(i=0n ),投资组合x=(x0,x1,xn)的净收益总额nR(x)Ri (xi)(6)i0整体风险 ： Q(x) maxQi (xi)(7)1in n资金约束 ： F (x)fi (xi) M(8)i0净收益总额R(x) 尽可能大， 而整体风险Q(x) 又尽可能小， 则该问题的数学模型可规划为多目标规划模型，即maxR(x)min Q(x)F(x) M(9)x0模型( 9)属于多目标规划模型，为了对其求解，可把多目标规划

12、转化为单目 标规划。假定投资的平均风险水平 q ,则投资M的风险k=qM若要求整体风险Q(x) 限制在风险k 以，即Q(x)<=k ，则模型(9)可转化为：(10)10)中的约束条件Q(x) k, 即max R(x) Q(x) kF(x) M x0B、模型的求解： 求模型(10 )的最优解，maxQ (i x i ) k所以此约束条件可转化为：Qi(xi) k(i 1 n)这是模型(10)可转化为如下的线性规划：n max(ri pi )xii0n(1 pi)xiM(11)i0qixi k(i 1 n) x0给定 k, 可方便的求解模型( 11) 。具体计算时，为了方便起见，可令M=1,

13、于是(1 + pi) xi可视作投资Si的比例。下面针对 n=4,M=1 的情形，按原问题给定的数据，模型( 11)可变为：max 0.05x0 0.27x1 0.19x2 0.185x3 0.185x4Mx0 1.01x1 1.02x2 1.045x3 1.065x4 100.10145x1x2kk0.055 x3 k0.026 x4 kxi 0 (i 0 4)( 2) 、问题二：A、问题分析与求解：上面我们对n=4的问题进行模型分析求解，同理对于n=15,同理可以把多目标规划模型转化为单目标模型，再进一步转为线性规划 , 再来求解：max (ri pi)xi i0 n(1 pi )xi M

14、i0qixi k(i 1 n)x0具体计算时，为了方便起见，可令M=1,于是(1 + pi) xi可视作投资Si的比例。下面针对n=15,M=1的情形，按原问题给定的数据，模型可变为： max0.075x1 0.153x2 0.434x3 0.224x4 0.05x5 0.106x6 0.351x7 0.281x80.309x9 0.339x10 0.067x11 0.033x12 0.323x13 0.049x14 0.074x15 M1.021x1 1.032x2 1.06x3 1.015x4 1.076x5 1.034x6 1.056x7 1.031x81.027x9 1.029x10

15、10051x11 1.057x12 1.027x13 1.045x14 1.076x15 10.42x1 k0.54x2 k0.60x3 k0.42x4 k0.012x5 k0.39x6 k0.68x7 k0.3343x8 k0.535x9 k0.40x10 k0.31x11 k0.055x12 k0.46x13 k0.053x14 k0.23x15 kxi 0 (i 1 15)( 3 ) 、模型求解：采用MATLABt化工具箱中的线性规划函数求解，它优化下列线性规划模型： minC TXs.t AX b使用格式为 X=lp(C,A,b,vlb,vub,X0,N)其中vlb , vub分别是上

16、下界，X0为初始值，N表示约束条件中前N个约束为 等式约束五、模型的结果分析与评价模型一：风险投资种类n=4时，建立模型求解，任意给定投资风险上限 k, 在风险不超过k的情况卜确定最优组合，列表1如下：风险k0.0010.0030.0050.0070.0090.0110.0210.029收益y0.06860.10490.14160.17820.18800.19110.19860.2032n=4是的风险收益图如下:1 目 增K Ljg18O.160.D6S30. 10490. 1416 X I芮20, 18B0口1刃1» k0.00100.00300.00500.00700.00900

17、.0110由列表(1)和图(1)可知,收益y随着风险上限k的增加而增加，在00.0090 附近增长速度最快，之后增长速度变缓慢。在k=0.0090时，得出一个较优的投资组合，收益 y=0.1880,X=0 0.0643 0.6000 0.1636 0.1428例子：假如 M=100'000'000(1亿)，风险：k=0.009,收益：y=0.1880 ,则仿真的收益为 18'800'000n净收益总额：R(x)Ri (xi) (Ri(xi)rixi G(xi)(ripi)xi)i 0R (x)=(0.05*0+0.27*0.0643+0.19*0.6+0.185

18、*0.1636+0.185*0.1428)*100'000 '000= 18 '804 '500对Si投资的风险：Qi(xi)qixiQ0=0,Qi=0.009002,Q2=0.009,Q3=0.008998,Q4=0.0037128，最大风险为 Q2 为 0.009002，即 0.009, 这和仿真的结果是相当接近的！风险投资种类n=15时，建立模型求解，任意给定投资风险上限k,在风险不超过k的情况下确定最优组合，列表 2如下：风险 k0.0010.0210.0410.0610.0810.10 10.12 10.14 10.50.00.10.22970.296

19、0.30.330.340.340.40y5454429235572675040. 0E4E CL 14420. 2297O.29SS 0. 3235口,33570, 34260. 347EQ.W1Q Q,QZ1U 0,0410n=15时的风险收益图如下：0.06W0.03100. 1010(J, 1210 Q, 141Q>> k由列表(2)和图(2)同样可知，收益y随着风险上限k的增加而增加，在 00.08附近增长速度最快，之后增长速度变缓慢。在k=0.081,可以得出一个较优的投资组合，收益 y=0.3235X= 000 0.1350 000 0.11910.1802 0.152

20、0 0.20250 0.1761 00同理和上面一样可以验证。又又以上两图可知，收益关于风险是离散的。随着投资风险上限k的增加，收益y逐渐增大，投资者可以根据自己的偏好，选择满足要求的k和y,进行有效资产组合投资，考虑到y要尽量大，k要尽量小。同时分析风险收益曲线，当 收益随风险增大急骤上升，这是由于随着风险增大，收益逐渐增大，人们对风险 的厌恶程度减缓，投资者逐渐走向风险型。当上升曲线渐趋平缓，这是由于当风 险大到一定程度时，风险-收益大的资产均已投资，收益变化不 大。例子：假设公司有 4亿元，根据表一五种数据投资：六、模型评价与改进A、模型优点：(1)本文通过将风险函数转化为不等式约束，建

21、立了线性规划模型，直接 采用程序进行计算，得出优化决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者 的主观偏好，选择投资方向。(2)模型一采用线性规划模型，将多目标规划转化为单目标规划， 选取了风 险上限值来决定收益，根据收益风险图，投资者可根据自己的喜好来选择投资方 向。B、模型缺点：当投资金额小于固定值时，建立的线性规划模型得到的结果可能不是最优解，要根据公司的资金M决策模型的优良。对于不同的金额，得到的结果不具有代表性，我们建立的模型中采用的只是M的一个特列，具有单一性。七、参考文献正森 兆鸿等，数学建模技术， ，中国水利水电， 2003王敏生 王庚 , 现代数学建模方法, , 科学 200

22、6杰 黄力伟等，数学建模原理与案例， ，科学， 2007志林 欧宜贵 数学建模及典型案例分析 ，化学工业2006附录： Matlab 程序A、问题一的求解clearf=-0.05,0.27,0.19,0.185,0.185'% 目标向量A=0,0.14,0,0,0;0,0,0.015,0,0;0,0,0,0.055,0;0,0,0,0,0.026;%F 等式左端的系数矩阵aeq=1,1.01,1.02,1.045,1.065;%?式左端的系数矩阵beq=1;%等式右端lb=zeros(5,1);i=1;for k=0.001:0.002:0.05b=k,k,k,k'x,fval,exitflag,options,output=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb