初中数学校本教材

1、初中数学校本教材?生活与数学?序言一、把握数学的生活性一一“使教学有生活味?数学课程标准?中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律,并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择和判断,进而解决问题,直接为社会创造价值.这说明数学来源于社会,同时也反作用于社会,社会生活与数学关系密切,它已经渗透到生活的每个方面,我们的衣食住行都离不开它.现代数学论认为：数学源于生活,又运用于生活,生活中充满数学,数学教育寓于生活实际.有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系,借助学生熟悉的生活实际中的具体事例,激发学生学习数学的求知欲,帮助学生更好的理解和掌握数学根底知识,并运用学到

2、的数学知识去解决实际生活中的数学问题.二、把握数学的美育性一一“使教学有韵味数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就,也是人类心灵最独特的创作.音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切.美作为现实的事物和现象,物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和,具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新奇性.作为精神产品的数学就具有上述美的特点.简练、精确是数学的美.数学的根本定理说法简约,却又涵盖真理,让人阅读简便却又印象深刻.数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的,凭借数学语言的严密性和简洁性,我们就可

3、以表达和研究数学思想,这种简洁性有助于思维的效率.数学很讲究它的逻辑美.数学的应用是被人们广泛认同的,可学习数学还能训练人的逻辑思维水平.尤其是几何的证实讲究前因后果,每一步都要前后照应,抽象的数学也显示它模糊的美.抽象给我们想象的余地,让我们思维海阔天空,给学生留有了思索和创新的空间.抽象的数学不正展示它的魅力吗？数学上有很多知识是和对称有关的.对称给人协调,平稳的感觉,像圆,正方体等,它们的形式是如此的匀称优美.正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称,才构成了美丽的图案,精美的建筑,巧夺天工的生活世界,也才给我们带来丰富的自然美,多彩的生活美.中学数学的美育性,除了上述一些方面,还

4、有其它美妙的地方,只要我们用心挖掘和捕捉,就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素,教师要善于挖掘美的素材,在学生感受美的同时既提升教学质量,又使教学韵味深厚.三、把握校本教材的可读性“使教学有拓展性陶行知先生早就说过：“在现状下,把学习的根本自由还给学生.,经过我们反复的思考和研究,同时邀请专家亲临指点,最终我们确定本课程的根本框架,本课程的设计理念就是要“把学习的根本自由还给学生,所有的过程基本上都是以学生的活动展开的,真正实现“自主、合作、探究的学习方式的变革,本课程共分为六个章节,分别是：?古老的数学?,?好玩的数学?,?有用的数学?,?智慧的数学?,?先进的数学?和?美丽的数学?.在?古

5、老的数学?一章中,并不是把数学史作为一门研究数学的起源、开展过程和规律的学科,而是根据现代心理学发现的一个表达数学史的认知功能的“遗传法那么.从数学一次又一次的飞跃中寻找数学发现的故事,用故事的形式让学生了解这些数学知识产生的背景、体会数学家们为寻找这些知识的付出的艰辛.这样一方面可以让学生从本质上更好的理解自己所学的知识；另一方面也可以以此作为人生观与价值观教育的教材,让学生体会“只有付出努力才会获得成功的人生道理,“为实现理想而不懈追求的数学精神.在?好玩的数学?一章中,利用心理学中“兴趣是学习最好的老师的规律,以一系列数学游戏为载体,让学生感受到数学并不是“枯燥的代名词,真正的数学其实可

6、以是乐趣无穷的,以此来激发学生的学习兴趣,并以这种兴趣作为他以后学习数学的动力和源泉.这样一方面可以让学生主动意识到自己爱玩的游戏原来与数学紧密相连,从而为学生学好数学培养内在驱动力；另一方面,也可以在学生玩游戏的过程中帮助学生稳固看似乏味的知识,让学生的学科知识在游戏中得到锻炼和提升.在?有用的数学?一章中,根据?数学课程标准?：义务教育阶段的数学课程要求“人人学有价值的数学,设计了很多贴近学生、符合实际、利用学生现有知识能够解决的生活实例.这样做可以使学生深刻的感受到生活中处处存在着数学,数学来源于生活.这些在生活中经常碰到的数学问题需要我们去探究,学生通过对这些数学问题的解决,能够更具体

7、更深刻的理解什么是数学,知道学习和学好数学是很有用的,从而进一步培养学生学习数学的兴趣、增强学生学好数学的内在驱动力.在?智慧的数学?一章中,通过穿插一些有趣的数学小故事,以改变人们认为科学研究枯燥无味的看法.本章内容主要包括有趣的数学问题、经典的数学问题、奇怪的数学问题.通过对“有趣的数学问题的研究,使学生对数学中的存在的智慧产生强烈的好奇与追求,从而激发学生天生的求知欲；通过对“经典的数学问题的研究使学生掌握一些根本的数学方法,学会用数学的方法解决问题；通过对“奇怪的数学问题的研究,帮助学生开阔眼界,增长知识、锻炼和培养学生的创新思维.在?先进的数学?一章中,主要学习和研究数学软件“几何画

8、板的使用方法.通过对几何画板软件的学习,可以激发学生的学习兴趣,拓宽学生的知识面,改变学生“数学枯燥论和“数学无用论的观点；可以开发学生的学习潜能,培养学生的学习习惯,改变学生的学习方式,从而实现提升学生数学素养的目的；另外,通过对几何画板软件的学习,可为学生学习其他计算机软件打下了一个结实的根底,从而提升学生的电脑素养,为学生终身开展和可持续开展做出数学教育上的奉献.在?美丽的数学?一章中,展示给大家的是数学的美丽无所不在,数学的符号、公式、算法、图形、表格、方程、解题思路、解题方法都是很美丽的.这些“数学之美都需要我们能够和我们的学生一起去寻找、去发现、去挖掘、去欣赏,使美丽的数学成为学生

9、快乐学习的源泉.数学的美丽使我们深刻感受到数学的教育不应该仅仅是作为对数学学科的教学,更应该把它作为一种审美教育的载体,用它来感染和启迪学生的心灵,让学生的人格更健全,心灵更美好.开发校本课程要有高度的责任感、使命感和强烈的事业心,决不能仅仅凭着自己的兴趣,更重要的是要把它作为自己的事业来做,要付出艰辛的努力、经历痛苦的历程,只有付出艰辛的努力、经历痛苦的历程才能在这个过程中感受成功的喜悦与幸福.开发校本课程,首先要有一个追求对我们国家的教育事业无比热爱,功利心不能太强,不要一说到数学研究就问这件事情对我职称评审有没有用,对我评骨干教师有没有用,要确定一个核心思想即开发的核心宗旨、研究方向、基

10、本要求,要充分利用校内外各类资源,要不断地进行课程资源的积累和课程特色的培育；校本课程的规划要根据学生的课程需要来制订；要选择贴近时代特点、社会开展与学生实际的课程内容,要变革教学方式和学习方式,充分发挥师生的独立性、自主性和创造性,引导学生在身心愉悦的环境中实践和研究.校本课程的开发和建设是一个漫长的道路,需要我们时时刻刻做一个有心人,心中时时刻刻装着为学生的终身开展和可持续开展考虑,装着为我们数学教学向数学教育转变效劳的理想和追求.编者按2021年8月第一章兴趣数学第一节七桥问题一笔画问题18世纪时,欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡,那里有七座桥.如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸

11、C各有两座桥相连结,河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结.当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案,但是谁也解决不了这个问题.七桥问题引起了著名数学家欧拉17071783的关注.他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形,于是,七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发,一笔画出这个简单图形即笔不离开纸,而且a、b、c、d、ef、g各条线只画一次不准重复,并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形.这就是说,七桥问题是无解的.这个结论是如何产生呢？如果我

12、们从某点出发,一笔画出了某个图形,至廉一点终止,那么除起点和终点外,画笔每经过一个点一次,总有画进该点的一条线和画出该点的一条线,因此就有两条线与该点相连结.如果画笔经过一个n次,那么就有2n条线与该点相连结.因此,这个图形中除起点与终点外的各点,都与偶数条线相连.如果起点和终点重合,那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点,那么这两个点部是与奇数条线相连的点.综上所述,一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点,或者其中只有两个点与奇数条线相连.图2中的A点与5条线相连结,B、C、D各点各与3条线相连结,图中有4个与奇数条线相连的点,所以不管是否要求起点与终点重合,都不

13、能一笔画出这个图形.欧拉定理：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于.或2,那么它可以一笔画出；否那么它不可以一笔画出.一笔画：1.但凡由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成.画时可以把任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图.2.但凡只有两个奇点的连通图其余都为偶点,一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点终点.其他情况的图都不能一笔画出奇点数除以二便可算出此图需几笔画成.重复线A(2)2图4例4氨例例不走练习：你能笔尖不离纸,一笔画出下面的每个图形吗？试试看.第二节四色问题人人都熟悉地图,可是绘制一张普通的政区图,至少需要几种颜色,才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区

14、分开来,就未必是一个简单的问题了.这个地图着色问题,是一个著名的数学难题.大家不妨用一张中国政区图来试一试,无论从哪里开始着色,至少都要用上四种颜色,才能把所有省份都区别开来.所以,很早的时候就有数学家猜测：任何地图的着色,只需四种颜色就足够了.这就是四色问题这个名称的由来.四色问题又称四色猜测,是世界近代三大数学难题之一.四色问题的内容是：任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.用数学语言表示,即将平面任意地细分为不相重迭的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4这四个数字之一来标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.上右图.这里所指的相邻区域,是指有一整段边界是公

15、共的.如果两个区域只相遇于一点或有限多点,就不叫相邻的.由于用相同的颜色给它们着色不会引起混淆.数学史上正式提出“四色问题的时间是在1852年.当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题,可是莫根无法解答,求助于其它数学家,也没有得到答案.于是从那时起,这个问题便成为数学界的一个“悬案.一直到二十年前的1976年9月,?美国数学会通告?正式宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根,利用电子计算机证实了“四色问题这个猜测是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题,然后在电子计算机上计算了足足

16、1200个小时,作了100亿判断,最后成功地证实了四色问题,轰动了世界.这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事,当两位数学家将他们的研究成果发表的时候,当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够的特制邮戳,以庆祝这一难题获得解决.第三节麦比乌斯带数学上流传着这样一个故事：有人曾提出,先用一张长方形的纸条,首尾相粘,做成一个纸圈,然后只允许用一种颜色,在纸圈上的一面涂抹,最后把整个纸圈全部抹成一种颜色,不留下任何空白.这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面,势必要涂完一个面再重新涂另一个面,不符合涂抹的要求,能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？

17、对于这样一个看来十分简单的问题,数百年间,曾有许多科学家进行了认真研究,结果都没有成功.后来,德国的数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣,他长时间专心思索、试验,也毫无结果.有一天,他被这个问题弄得头昏脑涨了,便到野外去散步.新鲜的空气,清凉的风,使他顿时感到轻松舒适,但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿.一片片肥大的玉米叶子,在他眼里变成了绿色的纸条儿,他不由自主地蹲下去,摆弄着、观察着.叶子弯曲着耸拉下来,有许多扭成半圆形的,他随便撕下一片,顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿,他惊喜地发现,这绿色的圆圈儿就是他梦寐以求的那种圆圈.麦比乌斯回到办公室,裁出纸条,把纸的一端扭转180再将一端的正

18、面和反面粘在一起,这样就做成了只有一个面的纸圈儿.圆圈做成后,麦比乌斯捉了一只小甲虫,放在上面让它爬.结果,小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有局部.麦比乌斯冲动地说：公正的小甲虫,你无可辩驳地证实了这个圈儿只有一个面.麦比乌斯圈就这样被发现了.做几个简单的实验,就会发现麦比乌斯圈有许多让我们感到惊奇而有趣的结果.弄好一个圈,粘好,绕一圈后可以发现,另一个面的入口被堵住了,原理就是这样啊.实验一如果在裁好的一张纸条正中间画一条线,粘成麦比乌斯圈,再沿线剪开,把这个圈一分为二,照理应得到两个圈儿,奇怪的是,剪开后竟是一个大圈儿.实验二如果在纸条上划两条线,把纸条三等分,再粘成麦比乌斯圈,用剪

19、刀沿画线剪开,剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点,猜一猜,剪开后的结果是什么,是一个大圈？还是三个圈儿？都不是.它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了.你就会惊奇地发现,纸带不一分为二,一大一小的相扣环.有趣的是：新得到的这个较长的纸圈,本身却是一个双侧曲面,它的两条边界自身虽不打结,但却相互套在一起.我们可以把上述纸圈,再一次沿中线剪开,这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈,而原先的两条边界,那么分别包含于两条纸圈之中,只是每条纸圈本身并不打结罢了.奇妙之处有三：一、麦比乌斯环只存在一个面.二、如果沿着麦比乌斯环的中间剪开,将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、具有正反两

20、个面的环在本文中将之编号为：环0,而不是形成两个麦比乌斯环或两个其它形式的环.三、如果再沿着环0的中间剪开,将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环,且这两个环是相互套在一起的在本文中将之编号为：环1和环2,从此以后再沿着环1和环2以及因沿着环1和环2中间剪开所生成的所有环的中间剪开,都将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环,永无止境且所生成的所有的环都将套在一起,永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在.数学中有一个重要分支叫拓扑学,主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的,麦比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一.麦比乌斯圈的概念被广泛地应

21、用到了建筑,艺术,工业生产中.运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路,防止车辆行人的拥堵.、1979年,美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状,这样一来,整条传送带环面各处均匀地承受磨损,防止了普通传送带单面受损的情况,使得其寿命延长了整整一倍.二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点,为充分利用色带的全部外表,色带也常被设计成麦比乌斯圈.三、在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里,就有一部增强版的云霄飞车-一它的轨道是一个麦比乌斯圈.乘客在轨道的两面上奔驰.四、麦比乌斯圈循环往复的几何特征,蕴含着永恒、无限的意义,因此常被用于各类标志设计.微处理器厂商Power

22、Architecture的商标就是一条麦比乌斯圈,甚至垃圾回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来.垃圾回收标志PowerPowerArchitecture标志第四节分割图形分割图形是使我们的头脑灵活,增强观察水平的一种有趣的游戏我们先来看一个简单的分割图形的题目一一分割正方形.在正方形内用4条线段作井字形分割,可以把正方形分成大小相等的9块,这种图形我们常称为九宫格.用4条线段还可以把一个正方形分成10块,只是和九宫格不同的是,每块的大小不一定都相等.那么,怎样才能用4条线段把正方形分成10块呢？请你先动脑筋想想,在动脑的同时还要动手画一画其实,正方形是不难分割成10块的,下面就是其中两种分割方法.

23、练习：想一想,用4条线段能将正方形分成11块吗？应该怎样分?第五节数学故事1奇特的墓志铭在大数学家阿基米德的墓碑上,镌刻着一个有趣的几何图形：一个圆球镶嵌在一个圆柱内.相传,它是阿基米德生前最为欣赏的一个定理.在数学家鲁道夫的墓碑上,那么镌刻着圆周率n的35位数值.这个数值被叫做.鲁道夫数.它是鲁道夫毕生心血的结晶.大数学家高斯曾经表示,在他去世以后,希望人们在他的墓碑上刻上一个正17边形.由于他是在完成了正17边形的尺规作图后,才决定献身于数学研究的不过,最奇特的墓志铭,却是属于古希腊数学家丢番图的.他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题：“过路人,这座石墓里安葬着丢番图.他生命的1/6是幸福的童

24、年,生命的1/12是青少年时期.又过了生命的1/7他才结婚.婚后5年有了一个孩子,孩子活到他父亲一半的年纪便死去了.孩子死后,丢番图在深深的悲哀中又活了4年,也结束了尘世生涯.过路人,你知道丢番图的年纪吗？丢番图的年纪究竟有多大呢？设他活了X岁,依题意可列出方程.这样,要知道丢番图的年纪,只要解出这个方程就行了.这段墓志铭写得太妙了.谁想知道丢番图的年纪,谁就得解一个一元一次方程；而这又正好提醒前来瞻仰的人们,不要忘记了丢番图献身的事业.在丢番图之前,古希腊数学家习惯用几何的观点看待遇到的所有数学问题,而丢番图那么不然,他是古希腊第一个大代数学家,喜欢用代数的方法来解决问题.现代解方程的根本步

25、骤,如移项、合并同类项、,方程两边乘以同一因子等等,丢番图都道了.他尤其擅长解答不定方分支的开山程,创造了许多巧妙的方法,被西方数学家誉为这门数学祖.丢番图也是古希腊最后一个大数学家.遗憾的是,关于他的生平.后人几乎一无所知,既不知道他生于何地,也不知道他卒于何时.幸亏有了这段奇特的墓志铭,才知道他曾享有84岁的高龄.(2)希腊十字架问题图上那只巨大的复活节彩蛋上有一个希腊十字架,从它引发出许多切割问题,下面是其中的三个.(a)将十字架图形分成四块,用它们拼成一个正方形;有无限多种方法把一个希腊十字架分成四块,再把它们拼成一个正方形,以下图给出了其中的一个解法.奇妙的是,任何两条切割直线,只要

26、与图上的直线分别平行,也可取得同样的结果,分成的四块东西总是能拼出一个正方形.(b)将十字架图形分成三块,用它们拼成一个菱形;(c)将十字架图形分成三块,用它们拼成一个矩形,要求其长是宽的两倍/E7第一章最完美的数完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意至ij：数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和：6=1+2+3,下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14接着是496和8128.他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前350-300年间证实了：假设2n-1是素数,那么数2n-12n-1(1)是完全数.两千年后,欧拉证

27、实每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数(形式为2口1的素数)之间建立了紧密的联系,到1999年6月1日为止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数.1：完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.6=1+24-3=3*4/228=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2496=1+2+3+4+.+31=31*32/2.2n汽2rM)=1+2+3+.+(2n-1)=(2n-1)2n/22:把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外),22(23-1)=28=

28、13+3324(25-1)=496=13+33+53+7326(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+1532n-1(2n-1)=13+33+53+.+(2但+1)/233：除了因子1之外,每个完全数的所有因子包括自身的倒数和等于1,比方:1/2+1/3+176=11/2+1/4+1/7+1/14+1/28=14：完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数.第三章有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的根底.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法那么的根底

29、上,能根据法那么、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提升运算水平,开展思维的敏捷性与灵活性.1.括号的使用在代数运算中,可以根据运算法那么和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.例1计算:斗0.46;AC2)分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+与具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法那么,尤其是要注意去括号时符号的变化.WCD原式=47-046135562347-825十5042

30、3=47-37+50召石50=2.23、(-8)+12x4(2)原式二5-Xl-X-4444402516“25=4.+16=40X25=?5516注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算.例2计算下式的值：211X555+445X789+555X789+211X445.分析直接计算很麻烦,根据运算规那么,添加括号改变运算次序,可使计算简单.此题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.解原式=(211X555+211X445)+(445X789+555X789)=211X(555+445)+(445+555)X789=211X1000+1000X78

31、9=1000X(211+789)=1000000说明加括号的一般思想方法是“分组求和,它是有理数巧算中的常用技巧.例3在数1,2,3,1998前添符号“+和,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少？分析与解由于假设干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,1998之前任意添加符号“+或,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,1998中有1998-2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+或“之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“或显n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0这启发我们将1,2,3,1998每连续

32、四个数分为一组,再按上述规那么添加符号,即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.所以,所求最小非负数是1.说明本例中,添括号是为了造出一系列的“零,这种方法可使计算大大简化.2.用字母表示数我们先来计算(100+2)X(100-2)的值：(100+2)X(100-2)=100X100-2X100+2X100-4=1002-22.这是一个对具体数的运算,假设用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b

33、2,这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证实过程,可直接利用该公式计算.例4计算3001X2999的值.解3001X2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999.例5计算103X97X10009的值.解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919例6计算：246刃123462-12345x12347分析与解直接计算繁.仔细观察,发现分母中涉及到三个连续整数：12345,12346,12347.可设字母n=12346,那么12345=n-1,12347=n+1,于是

34、分母变为n2-(n-1)(n+1).应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,即原式分母的值是1,所以原式=24690.例7计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析式子中2,22,24,每一个数都是前一个数的平方,假设在(2+1)前面有一个(2-1),就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了.角星原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)X(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)X(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)

35、(232+1)=(232-1)(232+1)=264-1例8计算：分析在前面的例题中,应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2.这个公式也可以反着使用,即a2-b2=(a+b)(a-b).此题就是一个例子.解原式二(】+)(mo嗨)0胡二(吨i(吨卜893451024934.910111112W20通过以上例题可以看到,用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题,从中可以看到用字母表示一个式子,也可使计算简化.例9计算:(2+.+1+.+|(231999JI21998)(11W11I21999/231199对分新四个括号中均包含一个共同局部：*+斗+磊,我们用一个字母表示它以简

36、化计算.解设A=+24十-八4贝U23199s原式=A+募备A彘-击1.观察算式找规律例10某班20名学生的数学期末测试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.分析与解假设直接把20个数加起来,显然运算量较大,粗略地估计一下,这些数均在90上下,所以可取90为基准数,大于90的数取“正,小于90的数取“负,考察这20个数与90的差,这样会大大简化运算.所以总分为90X20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(

37、-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799,平均分为90+(-1)-20=89.95.例11计算例3+5+7+1997+1999的值.分析观察发现：首先算式中,从第二项开始,后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000,于是可有如下解法.解用字母S表示所求算式,即S=1+3+5+1997+1999.再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+1-9312302.某小组20名同学的数学测验成绩如下,试计算他们的平均分.81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.

38、第四章归纳与发现归纳的方法是熟悉事物内在联系和规律性的一种重要思考方法,也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段.这里的归纳指的是常用的经验归纳,也就是在求解数学问题时,首先从简单的特殊情况的观察入手,取得一些局部的经验结果,然后以这些经验作根底,分析概括这些经验的共同特征,从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法.下面举几个例题,以见一般.例1如图2-99,有一个六边形点阵,它的中央是一个点,算作第一层；第二层每边有两个点相邻两边公用一个点；第三层每边有三个点,这个六边形点阵共有n层,试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点?图2-99分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律,然后归

39、纳出点阵共有的点数.第一层有点数：1;第二层有点数：1X6；第三层有点数：2X6；第四层有点数：3X6；第n层有点数：n-1X6.因此,这个点阵的第n层有点n-1X6个.n层共有点数为14-1X6+2X6+3X64-*4-旷1X$=1+61+24-+n-l例2在平面上有过同一点P,并且半径相等的n个圆,其中任何两个圆都有两个交点,任何三个圆除P点外无其他公共点,那么试问：g2-100(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域?(2)这n个圆共有多少个交点?分析与解(1)在图2-100中,设以P点为公共点的圆有1,2,3,4,5个(取这n个特定的圆),观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此

40、,我们列出表18.1.表18.1圆的平数n12345n平面区域数24?1116-aQ由表18.1易知52-Si=2,53- S2=3,54- S3=4,55- S4=5,由此,不难推测Sn-Sn-1把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加,就得到Sn-Si=2+3+4+n,由于Si=2,所以M2+2+?+小+11=1+(1+2+?+-+)n(n+l)=1+22厂下面对这就证实了当n个圆过F点时,可把平面划分为？半i个平面区域.2Sn-Sn-1二D,即Sn=Sn-i+0的正确性略作说明.由于Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数,当再加上一个圆,即当n个圆过定点P时,这个加上去的圆必与前n-1个

41、圆相交,所以这个圆就被前n-1个圆分成n局部,加在Sn-1上,所以有Sn=Sn-l+n.与(1)一样,同样用观察、归纳、发现的方法来解决.为此,可列出表18.2.表18-2圆的亍数k12345Vn圆的交点数ak124711an=?由表18.2容易发现a=1a2-ai=1,as-a2=2,3.4-SL33,85-8/0an-1an-2=.,Sn-an-ifl-1.n个式子相加1+仃+2+3+.+(n-l)(n-l)nn2-n+2=1+=22,所以,当有满足条件的蛙个圆过？点时,这n个圆共有丑:邙个交点一注意请读者说明an=an-i+(n-1)的正确性.例3设a,b,c表示三角形三边的长,它们都是

42、自然数,其中abc,如果b=n(n是自然数),试问这样的三角形有多少个？分析与解我们先来研究一些特殊情况:(1)设b=n=1,这时b=1,由于abc,所以a=1,c可取1,2,3,.假设c=1,那么得到一个三边都为1的等边三角形；假设02,由于a+b=2,那么a+b不大于第三边c,这时不可能由a,b,c构成三角形,可见,当b=n=1时,满足条件的三角形只有一个.设b=n=2,类似地可以列举各种情况如表18.3.表18.3ac三角形亍数22i3211这时满足条件的三角形总数为：1+2=3.设b=n=3,类似地可得表18.4.表18.4aC三角形亍数34i5323,42i31这时满足条件的三角形总

43、数为：1+2+3=6.通过上面这些特例不难发现,当b=n时,满足条件的三角形总数为:n(n+1)这个猜测是正确的由于当b=n时,a可取n个值(1,2,3,对应于a的每个值,不妨设a=k(1kn).由于bcva+b,即n+k,所以c可能取的值恰好有k个(n,n+1,n+2,n+k-1)当b=n时,满足条件的三角形总数为：n(n+1)1+2+3-f.4n-2例4设1x2x3x-xn缩写为n!(称作n的阶乘),试化简：+2!x2+3!X3+.+n!Xn.分析与解先观察特殊情况：(1)当n=1时,原式=1二(1+1)!-1；当n=2时,原式=5=(2+1)!-1；当n=3时,原式=23=(3+1)!-

44、1；(4)当n=4时,原式=119=(4+1)!-1.由此做出一般归纳猜测：原式=(n+1)!-1.下面我们证实这个猜测的正确性.,n),n0,试比拟代数式X3和x2+X+2的值的大小.分析与解此题直接观察,不好做出归纳猜测,因此可设X等于某些特殊值,代入两式中做试验比拟,或许能启发我们发现解题思路.为此,设x=0,显然有X3vx?+x+2.设X=1O,那么有x3=1000,x2+x+2=112,所以x3X2+X+2.设x=100,那么有x3x2+x+2.观察、比拟,两式的条件和结论,可以发现：当X值较小时,X3vx2+x+2；当x值较大时,x3x2+x+2.那么自然会想到：当x=?时,x3=

45、x2+X+2呢？如果这个方程得解,那么它很可能就是此题得解的“临界点.为此,设X3=x2+x+2,贝SX3-X2-X-2=0,(x3-x2-2x)+(x-2)=0,(x-2)(x2+x+1)=0.由于X0,所以X2+X+10,所以X-2=0,所以X=2.这样(1)当x=2时,x3=x2+x+2；(2)当0vxv2时,由于X-2v0,X2+X+20,所以(x-2)(x2+x+2)v0,即x3-(x2+x+2)v0,所以x3vx2+x+2.(3)当X2时,由于x-20,x2+x+20,所以(x-2)(x2+x+2)0,即x3-(x2+x+2)0,所以x3x2+x+2.综合归纳1,2,3,就得到此题

46、的解答.练习七1 .试证实例7中：pr1a+1厂叶1尸2 .平面上有n条直线,其中没有两条直线互相平行即每两条直线都相交,也没有三条或三条以上的直线通过同一点.试求：1这n条直线共有多少个交点？2这n条直线把平面分割为多少块区域？然后做出证实.3 .求适合X5=656356768的整数X.提示：显然X不易直接求出,但可注意其取值范围：505v656356768v605,所以502vxv602.第五章生活中的数学储蓄、保险与纳税储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题,几乎人人都会遇到,因此,我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识,以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学水平.1.

47、储蓄银行对存款人付给利息,这叫储蓄.存入的钱叫本金.一定存期年、月或日内的利息对本金的比叫利率.本金加上利息叫本利和.利息二本金X利率X存期,本利和二本金X1+利率经乂存期.如果用p,r,n,i,s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和,那么有i=prn,s=p1+rn.例1设年利率为0.0171,某人存入银行2000元,3年后得到利息多少元？本利和为多少元？解i=2000X0.0171X3=102.6元.s=2000X1+0.0171X3=2102.6元.答某人得到利息102.6元,本利和为2102.6元.以上计算利息的方法叫单利法,单利法的特点是无论存款多少年,利息都不参加本金.相对地,如

48、果存款年限较长,约定在每年的某月把利息参加本金,这就是复利法,即利息再生利息.目前我国银行存款多数实行1998年3月的是单利法.不过规定存款的年限越长利率也越高.例如,我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22.1所示.表22.1存期1年2年$年5年年利率(%)5.22558626.66用复利法计算本利和,如果设本金是p兀,年利率是r,存期是n年,那么假设第1年到第n年的本利和分别是Si,S2,Sn,那么si=p(1+r),2s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r),3S3=S2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r),Sn=p(1+r)n.例2小李有20000元

49、,想存入银行储蓄5年,可有几种储蓄方案,哪种方案获利最多？解按表22.1的利率计算.(1)连续存五个1年期,那么5年期满的本利和为20000(1+0.0522)525794(元).(2)先存一个2年期,再连续存三个1年期,那么5年后本利和为20000(1+0.0558X2)(1+0.0522)3-25898(元).(3)先连续存二个2年期,再存一个1年期,那么5年后本利和为20000(1+0.0558X2)2(1+0.0552)-26003(元).(4)先存一个3年期,再转存一个2年期,那么5年后的本利和为20000(1+0.0621X3)(1+0.0558X2)26374(元).(5)先存一

50、个3年期,然后再连续存二个1年期,那么5年后本利和为20000(1+0.0621X3)(1+0.0522)2-26268(元).(6)存一个5年期,那么到期后本利和为20000(1+0.0666X5)26660(元).显然,第六种方案,获利最多,可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案,利率是合理的.2 .保险保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业.例如,火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险,人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险,等等.下面举两个简单的实例.例3假设一个小城镇过去10年中,发生火灾情况如表22.2所示.表22-2总家数365371385395412413430435440445被烧家数1012一213.0一试问：1设想平均每年在1000家中烧掉几家？2如果保户投保30万元的火灾保险,最低限度要交多