《高等数学》教案

1、?高等数学?授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学熟悉观,掌握根本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解.重难点： 数学新熟悉,根本初等函数,复合函数教学程序数学的新熟悉一函数概念、 性质(分段函数)一根本初等函数一复合函数一初等函数一例子(定义域、 函数的分解与复合、 分段函数的图像)授课提要：前言： 本讲首先是?高等数学?的学习介绍,其次是对中学学过的函数进行复习总结(函数本质上是指变量间相依关系的数学模型,是事物普遍联系的定量反映.高等数学主要以函数作为研究对象,因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解).一、新教程序言1、为什么要重视数学学习(1)文化根底一一数学是一种文

2、化,它的准确性、严格性、应用广泛性,是现代社会文明的重要思维特征,是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；(2)开发大脑一一数学是思维练习的体操,对于练习和开发我们的大脑(左脑)有全面的作用；(3)知识技术一一数学知识是学习自然科学和社会科学的根底,是我们生活和工作的一种水平和技术；(4)智慧开发一一数学学习的目的是培养人的思维水平,这种水平为人的一生提供持续开展的动力.2、对数学的新熟悉(1)新数学观一一数学是一门特殊的科学,它为自然科学和社会科学提供思想和方法,是推动人类进步的重要力量；(2)新数学教育观一一数学教育(学习)的目的：数学精神和数学思想方法,培养人的科学文化素质,包括开展人的

3、思维水平和创新水平.(3)新数学素质教育观一一数学教育(学习)的意义：通过“数学素质而培养人的“一般素质.见教材“序言、函数概念教学目的:1、函数定义:变量间的一种对应关系(单值对应).(用变化的观点定义函数),记：y=f(x)(说明表达式的含义)(1)定义域：自变量的取值集合(D).值域：函数值的集合,即yy=f(x),xwD.例1、求函数y=ln(1-x2)的定义域？2、函数的图像:设函数y=f(x)的定义域为D,那么点集(x,y)y=f(x),xwD就构成函数的图像.例如：熟悉根本初等函数的图像.3、分段函数:对自变量的不同取值范围,函数用不同的表达式.例如：符号函数、狄立克莱函数、取整

4、函数等.分段函数的定义域:不同自变量取值范围的并集.22c例2、作函数f(x)=1x,x0的图像？2x,x之022_一一x.x20一例3、求函数f(x)=的定义域及函数值f(-1),f(0),f(1)?Jx:2x2-x31/,、arcsinx,、-“、arccosx(4)lim(5)lim(1+2x)(6)limx02xx,二2x,八 322、求极限lim(x(2xJ)?3 3、求极限：lim(1+a)bx+?eabxJ(2x3)5Xfx4、lim(x+ax+2x)=1,求a的值？2一二x15、用导数定义,求函数f(x)=x2-1在x=1处的导数?6、设物体的运动方程为s=t2+3,求(1)物

5、体在t=2秒和t=3秒间的平均速度?(2)求物体在t=2秒时的瞬时速度？【B组】1 1、设f(x)=ex,求极限叫f(x+tx)?f=)2、设函数f(x)=Jm(1+4)t(x=0),求f(ln2)?23、证实导数公式：厂毁旧14、一药品进入人体t小时的效力E(9t+3t2-t3),0t4.5,求t=2,3,4时27的效力E的变化率?0.9750.950.9250.90.8750.8523.、xx15、设f(x)=3xI,那么f(x)在x=1处A.2x,x1A、左右导数都存在B、左导数存在,右导数不存在C、右导数存在,左导数不存在D、都不存在6.假设limf(x)-f(a)=A(A为常数),试

6、判断以下命题是否正确.全部xax-a(1)f(x)在点x=a处可导；(2)f(x)在点x=a处连续；(3)f(x)-f(a)=A(x-a)+o(x-a)；数学熟悉实验：两个重要极限的图像熟悉Y-0.50.5!m：(1x2.72.652.62.552.52.452004006008001000 X1sinx/二1x3、等价无穷小的宜观熟悉：(XT0,xsinxtanx第三讲导数的概念二教学目的：熟悉导数根本公式；理解导数的几何意义,会求切线方程.重难点:根本导数公式,导数的几何意义求切线方程教学程序：复习导数定义一根本导数公式一例子求导数一导数的几何意义一例子切线方程一导数的物理意义例子授课提要

7、：一、根本初等函数的导数例1、求y=x2的导数？由导数的定义推导于是我们有公式：C=0;x：,=：x:4;sinx=cosx同样,由定义可得根本初等函数的导数公式：,1x.xcosx=-sinx;Inx=一；e=ex二、导数的运算法那么u,v为可导函数1、代数和：u土v=uv2、数乘：ku=ku例2、求以下函数的导数1y=2x23x-12y=x23y=3sinx-14y=x2.xx例3、求函数在给定点的导数值？1y=tanx,x=二2y=2ex3x2,x=1三、导数的几何意义(作图说明)结论：f(X.)表示曲线y=f(x)在点(xd(x0)的切线斜率.1例4、求曲线y=“；x-在点(1,0)处

8、的切线万程？x例5、设f(x)为可导函数,且lim-f(1x)=1,求曲线y=f(x)在点J02x(1,f(1)处的切线斜率？导数定义及几何意义四、导数的物理意义结论：设物体运动方程为S=s(t),那么S(t)表示物体在时刻t的瞬间速度.例6、设物体的运动方程为s=t2+2t+3,求物体在时刻t=1时的速度？1例7、求曲线y=1x3-x2-x-3上一点,使过该点的切线平行于直线32x-y+2=0.乂=城x=-1例8、设某产品的本钱满足函数关系：C(x)=x2+x-3(x为产量),求x=2时的边际本钱,并说明其经济意义.思考题|：f(x0)与f(x0)有无区别?f(%)=f,(x)|x-,f(x

9、)r=0探究题I：导数f(x)的值可不可以为负值？举例说明.可以小结|：导数的美学意义：局部线性之美(y=f(x0)(x-x0)十f(x0).它将可导曲线在局部线性化,它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法.作业|：P25(A:1);P28(A:1,3)课堂练习(导数概念二)【人组】1、求以下函数的导数1y=x2(2)y=2x3(3)y=2sinx(4)y=x25x3(5)y=3xx2、求以下函数的导数23.111-x.x(1)y=1x-3x(2)y=(3)y=xInx(4)y=e-2x3、求函数y=ex+2x在x=1处的导数值？数学熟悉实验:导数的几何意义和美学价值1、导数的定义24

10、、设f(x)=x+2sinx+3,求f(0),f()?25、设物体的运动方程为s=2t2+3t1,求时刻t=3时的速度？6、抛物线y=x2在何处切线与Ox轴正向夹角为-,并且求该处切线的方程.4【B组】1、一球体受力在斜面上向上滚动,在t秒末离开初始位置的距离为s=3t-t2,问其初速度为多少？何时开始向下滚动？x21,一、一,2、曲线y=与y=1+lnx相父于点2相切,并求出切线方程？(1)在x=0处比拟：曲线y=sinx与切线y=X；(1,1),证实两曲线在该点处(切线问题)2、3、导数的美学意义：曲线的局部线性化O(2)在x=1处比拟：曲线y=x2+1与切线y=2x第四讲求导公式与求导法

11、那么(一)教学目的:掌握根本导数公式与导数运算法那么,会求简单函数的导数.重难点： 根本导数公式与法那么教学程序： 根本公式一运算法那么一例子一二阶导数的定义及求法授课提要：一、根本导数公式由导数的定义,我们可以得到如下根本导数公式：.-.11(C)=0;(x)=1;(x)-x;(e)=e;(Inx)=一x22(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;(tanx)=secx;(cotx)=-cscx二、导数的四那么运算法那么设u、v为可导函数,那么FF1、(u土v)=u士V2、(ku)=ku(k=0)Fuu:,上,Au、uV-uv/一小3、(uv)=uv+uv4、一|=2(v#0)lv

12、)v例1、求以下函数的导数2-x2.(1)y=3x-x1(2)y=(3)y=lnx-e(4)y=ecosxx例2、求函数在给定点的导数值?(1)y=tanx,x-二(2)y=2ex3x2,x=1例3、设y=x2lnx,求证：xy2y=x2例4、曲线y=xln人的切线与直线2x+2y+3=0垂直,求此切线方程?三、二阶导数1、定义：假设导函数f(x)再求导数,称为f(x)的二阶导数.记：f(x)2、求法：由定义知,求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致.例5、求以下二阶导数1-x2VV(1)y=3x-x1(2)y=(3)y=Inxe(4)y=xex3、二阶导数的物理意义设物体的运动规律为：s=s

13、(t),那么s*表示物体在时刻t的加速度例6、设物体的运动方程为：s=3t3-2t+2,求t=2时的速度和加速度?思考题1 .思考以下命题是否成立？(1)假设f(x),g(x)在点x0处都不可导,那么f(x)+g(x)点x0处也一定不可导答：命题不成立.f(x),g(x)在x=0处均不可导,但其和函数(2)假设f(x)在点XO处可导,g(x)在点XO处不可导,那么f(x)+g(x)在点XO处一定不可导.答：命题成立.原因：假设f(x)+g(x)在XO处可导,由f(x)在XO处点可导知g(x)=f(x)+g(x)-f(x)在x0点处也可导,矛盾.探究题I：某产品的需求方程和总本钱函数分别为P+0

14、.1x=80,C(x)=5000+20 x,其中x为销售量,P为价格.求边际利润,并计算x=150和x=400时的边际利润,解释所得结果的经济意义.导数的经济意义小结导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的变化率.s,(t)指路程对时间的变化率,s“指速度对时间的变化率.二阶导数的几何意义：反映曲线的凹向.如:x-0,x0,rx,g(x)=u,x-0,x0,f(x)+g(x)=x在x=0处可导.作业I：P30(A:1-2)小知识数学的三次危机第一次数学危机：无理数的产生.(单位正方形的对角线长)第二次数学危机：微积分的产生和完善.(极限和无穷小的定义)第三次数学危机：集合论

15、的产生.(罗素悖论)课堂练习(导数公式与法那么一)【人组】1、求以下导数22一、一2(1)y=3x-Inx3(2)y=(3)y=xInx(4)y=(sinx)x22、曲线y=x3ex在何处有水平切线？x=-2/33、曲线y=xln的切线与直线2x+2y+3=0垂直,求此切线方程？e4、求以下二阶导数2,_1一(1)(1)y=3x-Inx(2)y=一(3)y=xInxx【B组】1、设曲线y=xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(xn,0),求极限rlimf(xn)?2、假设f(0)=0,叫=3,求f(0)?1f(x0h)-f(x0-2h)-3、设f(x0)=2,求四?-24、f(x)=x29

16、(x),中(x)二阶连续可导,求f“(0)?29(0)5、 设某种汽车刹车后运动规律为S=19.2t-0.4t3,假设汽车作直线运动,求汽车在t=4秒时的速度和加速度.数学熟悉实验函数与导函数的图像比拟(y=x3,y,=3x2,y*=6x)Y第五讲求导法那么(二)、连续与导数教学目的:了解函数的连续性的概念,理解连续与导数的关系重难点： 根本导数公式,连续的几何直观、连续与可导的关系教学程序|：复习根本导数公式、法那么一连续概念(极限定义)一连续的条件初等函数的连续性一可导与连续(例)一连续函数的极限(例子)授课提要：一、复习根本导数公式和法那么举例：(略)二、连续的概念(作图直观理解)1、定

17、义:设函数y=f(x)在X0点及附近有定义,当XTxo时,有f(x)Tf(x0),那么称f(x)在xo点连续.典连续是一种特殊的极限.连续有极限,反之不成立.例 1 1、试证y=|x在 x=0 x=0 处连续？三、函数连续的条件(1)(1)f(x)f(x)在xo点及附近有定义(2)(2)f(x)f(x)在xo点的极限存在(3)(3)极限值等于函数值.例 2 2、讨论函数y=X,X0在 x=0 x=0 处的连续性？J,x5、设f(x)=xsin,x_0,问a为何值时,函数在x=0处连续？2a-ex,x父0【B组】r2/x,x1.1心,的图像?1,xWI2、设函数f(x)在x=2处连续,且lim3

18、=2,求f(2)?2x2x-23,3、设f(x)有连续导数,f(2)=2,f(2)=1,求lim(x)?12x-2x-21、作函数x2、一xx13.x1.5、x=1是函数y=的(B)x-1(A)连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)无穷间断点a,*6、假设f(x)在0,a上连续,且f(0)=f(a),试证：万程f(x)=f(x+)在2(0,a)内至少有一个实根.提示：作新函数,在0,1上使用月留学熟悉实验不可导点的类型1、连续而不引导的点(尖、折点)(-7.5-5-2.52.557.52、不连续点为/、可导点：.-3-2-1123厂3点存在定理J如：y=sinx在x=kn,y=Vx2ft

19、x=0)-3-2-112310.5:-2-112-0.5.,1-3第六讲定积分的概念教学目的:了解定积分的概念,理解定积分的几何意义重难点：作为面积的定积分概念教学程序提出问题一解决问题思想一定积分定义一定积分的几何意义例子一定积分的性质简单授课提要：前言：在自然科学、工程技术和经济学的许多问题中,经常会遇到各种平面图形的面积计算.对于三角形、四边形及直多边形和圆的面积,可以用初等数学的方法计算,但由任一连续围成的图形的面积就不会计算.下面讨论由连续曲线所围成的平面图形的面积的计算方法.一、问题引入1、曲边梯形的定义所谓曲边梯形是指有三条直线段、其中两条相互平行,第三条与这两条相互垂直,第四条

20、边为一条连续曲线所围成的四边形.如下图2、引例：如何求曲线y=x2,x=0,x=1,y=0所围成的面积？特殊曲边梯形1分析问题假设将曲边梯形与矩形比拟,差异在于矩形的四边都是直的,而曲边梯形有一条边是曲的.1-0.5Y-11.510.5-0.5-1-1.5设想：用矩形近似代替曲边梯形.为了减少误差,把曲边梯形分成许多小曲边梯形,并用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.当分割越细,所得的近似值越接近准确值,通过求小矩形面积之和的极限,就求得了曲边梯形得面积.(2)解决问题(思路)第一步：分割第二步：近似代替第三步：求和第四步：取极限二、定积分的定义现实中许多实例,尽管实际意义不同,但解决问题的

21、方法是一样的：按“分割取近似,求和取极限的方法、将所求的量归结为一个和式极限.我们称这种“和式极限为函数的定积分.bn定义：ff(x)dx=limNf(O)Ax.(说明定积分中各符号的称谓)anj二i119由定积分的定义知,以上实例可以表示成定积分：面积A=x2dx说那么:定积分是一个特殊的和式极限,因此,它是一个常量,它只与被积函数f(x)、积分区间a,b有关,而与积分变量用何字母表示无关.三、定积分的几何意义(作图)当函数f(x)在a,b上连续时,定积分可分成三种形式：1、假设在a,b上,f(x)0,那么定积分表示由曲线f(x),直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积A,即f(x

22、)dx=A,a2、假设在a,b上,f(x)0(T)4、f(x)dx=f(x)(F)、a、,、用定积分表示面积：3(1)曲线y=x,直线x=-1,x=1及丫=0所围成的平面？由方程x2+y2=4所确定的圆的面积？b、用定积分的定义计算定积分Jcdx,其中c为一定常数a(1)f(x)dx=0,a(4)积分中值定理:设函数f(x)在以a,一个之(中值),使bdx=b-aaa,b之间至少存在yy=f(x).脏；早;:;:三项j：xa【B组】1一一、由定积分的几何意义计算：由-*dx?二、由定积分的几何意义求直线y=2x+1,x=1,x=2,y=0所围成的平面图形的面积？三、用定积分的定义求曲线y=x2

23、+1,x=1,x=2,y=0所围成的平面图形的面积？数学熟悉实验：定积分思想的几何直观1、函数y=x2在0,1上所围成的面积分析:(1)步长为0.1的分割.(n=10)(2)步长为0.05的分割.(n=20)(3)步长为0.01的分割.(n=100)第七讲定积分与导数教学目的：掌握原函数的概念及N-L公式重难点：作为路程的定积分、微积分根本定理教学程序上复习定积分概念(和式极限)一原函数一N-L公式(求路程)推导一NL公式(计算方法)一定积分的计算(简单)授课提要：前言：定积分是一个重要的概念,如果用定义来计算,计算复杂且不易,所以必须寻找新的计算方法.下面将研究定积分与导数的关系.一、原函数

24、的概念定义：假设在某一区间上有F(x)=f(x),那么称F(x)是f(x)的一个原函数.如：(x2),=2x,所以x2是2x的一个原函数,同理,x2+1也是它的原函数.(说明：原函数不唯一)*二、变上限函数x设函数f(x)在a,b上连续,且xwa,b,那么称函数f(t)dt为变上限函数.记xp(x)=ff(t)dto它有如下性质:ab(1)p(a)=0,p(b)=f(t)dt;a(2)假设f(x)在a,b上连续,那么p(x)在a,b上可导,且有p(x)=f(x).由性质及原函数的定义知,p(x)是f(x)的一个原函数.定理(原函数存在定理)假设f(x)在a,b上连续,那么其原函数一定存在,且原

25、x函数可表示为F(x)=f(t)dtaxdxsintdt例1、求一(Tcos2tdt)?例2、求1吗2一?三、NL公式(直观推导)设一辆汽车作变速直线运动(如图),从时刻a到b,求其经过的路程？(1)假设路程函数s=s(t),那么s=s(b)-s(a)；b(2)假设速度函数v=v(t),那么由定积分有s=fv(t)dt=s(b)-s(a)；a(3)s与v有如下关系：s(t)=v(t),即s是v(t)的一个原函数.一般地,有如下定理：设函数f(x)在区间a,b上连续,F(x)是f(x)的一个原函数,那么baf(x)dx=F(b)-F(a)a:(1)NL公式揭示了定积分与原函数(不定积分)问的联系

26、,给定积分的计算提供了有效而简便的方法.(2)由定义知求定积分的步骤：求原函数求原函数的增量例3、求以下定积分：,12221(1)gxdx(2)sinxdx(3)/(3x+-)dxx例4、求由曲线y=sinx,直线x=0,x=兀,y=0所围成的图形面积？例5、求曲线y=x2+1,x=1,x=2,y=0所围成的平面图形的面积？例6、设物体的速度v=2sint,求时段0,叼的距离？思考题：dx1、一(sintdt)=?dt1xdx答：由于(sintdt是以x为自变量的函数,故一(sintdt=0.1dt122、(1f(x)dx)=?22答：由于ff(x)dx是常数,故(f(x)dx),=0.db_

27、、3、ff(x)dx=?dxab.db答：由于f(x)dx的结果中不含x,故一Jf(x)dx=0.adxa.dx2 一4、fcostdx=?dxadx22答：由变上限7E积分求导公式,知一ccostdx=cosx.dxa小结I：NL公式的意义： 将矛盾的“微分与“积分统一起来,是哲学中的“对立统一规律的具体表现,是微观与宏观的辨证统一.其美学价值：宏观上的统一之美.作业|：P46(A:1);(B：1)课堂练习(定积分与导数)【A组】1、计算以下定积分：,、221二 Y2x212(1)f(3x+-+2)dx(2)(e+cos-)dx(3)f(x+)dx1x021x,、211Tdx1x12、求曲线

28、y=-,x=1,x13、设g(2x+k)dx=3,、一 X24、设10f(t)dt=ln(x2+1),求f(x)?两边求导数【B组】/、2：-;(6)|sinx|dx0 x=2,y=0所围成的图形的面积?求k的值？2x)dxx1、设6+If(t)dt=2x,求a的值？3asinx2、求导数：一edt?ecosxdx03、用定积分求极限：lim二J十二十;1十2十十13fFdxn；：nnnn01x2n*4、利用定积分的性质求极限：nm?Fdx?估值定理、夹值定理xdt*5、证实万程3x-1-03了=0在0,1内有唯一实根.数学熟悉实验定积分：fsinxdx=0的几何直观Y第八讲习题课导数与定积分

29、教学目的：系统化本单元内容,掌握根本概念与方法一、根本概念及方法：1、极限的概念,求极限的方法；2、导数的概念,导数公式及运算法那么3、导数的几何、物理及经济意义4、定积分的概念,定积分的几何、物理意义经济意义5、用N-L公式求定积分二、基此题型:1、求以下极限*6、设fx在0,4上连续,且x22ff(t)dt=x-43,贝Uf(2)=1/4-1X求曲线y=x3+1在点(1,2)处的切线方程?求S=2t3t+3在t=2时的速度？物体的速度为v(t)=2cost,求时段0,3经过的路程?2那么曲线y=f(x),直线x=a,x=b及y=0所围成的曲边f(x)dx1、无穷小的定义与性质定义：假设li

30、mcc(x)=0(limct(x)=0),那么称ct(x)当xTx0(xT空)时为无穷小.x3x0 x-性质:有界函数与无穷小的乘积为无穷小.例1、求极限时皿,lim亚？x0 xx.x2、无穷小的比拟：(略)当xT0时,有x与sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln(1+x),ex1等价;3、闭区间上连续函数的性质/八xx-1(1)limx12x2、求以下导数(2)2x2x-3-lim(3)x1x-1xx-1,A、lim2(4)2xsin3xlimx02x(1)y=2x2-x2(2)y=2ex-cosx(3)ylnxsinxx3、求以下导数x2.4(1)=x-24、求以下积分-

31、2(1)1(2x-1)dx2.(2)y=sinx-lnxJT(3)o(2sinx-1)dx12(4)y=(x-)2x.1r1xdx5、6、7、设某产品的本钱函数C(x)=1x3+x-1,求其边际本钱?8、求曲线y=x21,x=0,x=2,=0所围成的图形的面积?9、10、设f(x)=,*2,x,x12,求f(x)dx?可加性11、设f(x)在a,b上连续,b梯形的面积为.口La三、提示与提升：当xt0时,ax与41+axn-1等价；业与1-1例2、当xT0时,比拟1cosx与一22x2的阶?cosnx等价；(1)有界定理；(2)最值定理；(3)零点定理；(4)介值定理例3、设f(x)在0,2上

32、连续,且f(0)=f,证实方程f(x)=f(x+1)在0,1上至少有一实根.4、函数间断点的分类5、定积分的性质对任意实数C有if(x)dx=ff(x)dx+Jf(x)dxaac设函数f(x)在a,b上的最大、最小值分别为Mm那么有bm(b-a)三f(x)dx三M(b-a)a设f(x)在a,b上连续,那么其在a,b上的平均值,1byaf(x)dxb-aa,、2例4、求止积分：(f(x)dx,其中f(x)=,例5、求f(x)=3x22x在区间1,3上的平均值?第九讲求导法那么(三)、复合函数求导(一)教学目的：掌握根本导数公式和四那么运算法那么,会求一般函数的导数.重难点：四那么运算法那么、复合

33、函数的连锁法那么教学程序：根本初等函数的导数公式(复习)一导数四那么运算法那么一例子授课提要：前面我们学习了导数的概念及简单函数求导,本节将系统学习函数求导方法.一、复习根本初等函数的导数公式(重点)(板书略)二、复习导数四那么运算法那么(重点)(略)(1)af(x)dx=0;(2)假设在a,b上有jf(x)dx=一bf(x)dxbf(x)之g(x),贝Uf(x)dx至ag(x)dxb特别地,假设在a,b上有f(x)之0,那么ff(x)dx之0a(3)(4)(5)1o1例3、比拟大小：(x2dx与工3.xdx2x,x11,xx思考题1、设丫=*求y？利用指数恒等式：x=elnx2、设y=f(u

34、),u=sinx2,求dy?出=2xcosx2f(sinx2)dxdx设u(x),v(x)为可导函数,那么(1)(u_v)=u_v(2)(uv)=uvuv(3)例1、求以下函数的导数21y-2x23x-1(2)y=x1nxx例2、求丫=12门乂的导数？(由商的导数公式推导)于是有(tanx)=sec2x(u)=vuv-uv2vy=xlnx(4)小纲:掌握复合函数求导的连锁法那么；对复合函数求导明确：(1)熟练根本导数公式；(2)恰当分解复合函数；(3)正确使用“连锁法那么.作业|：P55(A:1-2;B:2);P58(A:1)思考题:1.给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数吗？为什么

35、？答：一定能求出其导函数.由于任何一个根本初等函数我们都可以求其导函数,而初等函数是由根本初等函数经过有限次四那么运算及有限次的复合运算形成,据复合函数的求导法那么、 导数的四那么运算法那么知给定一个初等函数只用求导法一定能求出其导函数.课堂练习(求导法那么三、复合函数一)【人组】1、求以下函数的导数c22八、23x2x1小、2x/八xsinxy=(x2)(2)y=2(3)y=xe(4)y=x1cosx2、设f(x)=x2+cos2x+3,求f(0),f()?23、在曲线y=x2上取两点x1=1,x2=3,过这两点引割线,问曲线上哪点的切线平行于所引割线？4、求以下函数的导数(1)y=lnln

36、x(2)y=sinnxcosnx(3)y=ln-(4)y=es1nxx5、求函数y=2s1n1n/在x=1处的导数值？6、曲线y=xln板的切线与直线2x-2y+3=0垂直,求此切线方程？xx2.xW1,问a,b为何值时,函数f(x)处处连续、可导?ax+b,x1【B组】1、证实可导的偶函数的导数是奇函数.12、设f(x3)=-,求f？1/33、设f(x)=,cosx.二.4、设f(x)=,f(X0)=2,(0X00；当x(1,H=0时,有f,(x)0,B(t)0(2)股票价格接近最低点.B,(t)0思考题|:某公司的一次广告促销活动中,销量提升了,但销量关于时间的曲线是凹的,这说明该公司的经

37、营情况如何？为什么？假设曲线是凸的呢？说明销量增长速度很快小结|： 理解高阶导数的“递归定义法(即,高一阶导数是通过低一阶导数求导而来)； 一阶导数的符号可以反映事物是增长还是减少；二阶导数的符号那么说明增长或减少的快慢.作业|：P59(A:2-3;B:1)课堂练习(复合函数求导二)【人组】1、求以下导数(1)y=(2x+1)2lnx(2)y=sx(3)y=(sin5x)5x2、求以下函数的二阶导数(1)y=x2lnx(2)y=e2x-cos3xy=ln(x,x21)3、验证函数y=Gcosx+c2sinx满足关系式：y+y=04、设物体的运动规律为s=e2t+3t,求物体在t=0时的速度和加

38、速度？5、设函数f(x)为偶函数,且(x.)=2,求f(-XO)?6、设周期函数f(x)在R内可导,周期为4,又limf-f(1x)=1,那么曲线x02xy=f(x)在点(5,f(5)的切线斜率为2_.【B组】1、设y=f(lnx),f(x)=,求?1dxf(x0h)f(x0-2h)2、右f(x0)=2,求四?63、求y=2X的n阶导数?变形x-1第十一讲隐函数求导、对数求导法教学目的：掌握隐函数的求导方法,了解对数求导法重难点：隐函数的求导法教学程序隐函数的概念一隐函数的求导方法举例说明一对数求导法例子一参数方程的导数一例子授课提要：一、隐函数概念自变量X与因变量y的函数关系由方程Fx,y=

39、0所确定的函数称为隐函数如：ex*=2xy,x2+y2=25等所确定的y是x的隐函数.画有些隐函数可化成显函数,但更多的不能化成显函数；同时应明确并非任意一个方程都能确定一个隐函数.二、隐函数的求导隐函数求导方法：在方程的两边各项分别对x求导,视y为x的函数,按复合函数的求导法那么求导,最后解出y即可.例1、求隐函数ex*=xy的导数？例2、求隐函数x2-3xy+y2=5的导数？例3、求隐函数eyysinx=e在点0,1的导数值？1/e说明:隐函数的导数y一般是含x和y的表达式.例4、求曲线x+5x2y2-3y=1在点1,1处的切线方程?三、对数求导法对于幕指函数y=uv其中u,v是x的函数,

40、或由多项式乘除运算和乘方、开方所得函数的求导,其方法:应先对方程两边取对数,然后用隐函数求导法求导数.即先取对数,后求导数例5、求函数y=sinxx的导数？例6、求函数y=工、的导数？1x例7、求导数：xy=yxk=wt)设函数/),且函数x=(t)的反函数存在,由复合函数求导公式得:y=%)dydydx(t)/dx-dtdt一(t)研:参数方程的导数y一般是含参变量t的表达式.例8、求函数1x=s1n2t的导数曳？y=cost+tdx思考题：-一一x1、如何求y=x的导数？两次取对数后再求导数2、求y=xy的导数？先区对数再求导数3、一球形细胞以400m3/天增长体积,当3的半径为10Nm时

41、,其半径增长速drdrdvdv,dv21n度是多少？/一=400/4：r=-dtdvdtdtdr二小结：隐函数求导的关键：(1)明确方程中y是x的函数,即y=y(x);(2)方程中各项最终是关于x求导；(3)解出y(一般是含x,y的表达式).参数方程的导数：其公式是由复合函数求导法那么推导得来.作业：P62(A:2-3;B:1-2)课堂练习(隐函数求导)【人组】1、求以下隐函数的导数xcosy=sin(xy)y=5-xeyxy2-x2yy4=022、求由方程-y=y2x2所确定白函数y在点(0,1)处的导数？xy3、求由方程ex+-ysinx=0所确定的隐函数的导数之？竺内xydxe-sinx

42、4、 设物体的运动方程为：s=eAtsinwt(k,w为常数),求(1)物体任意时刻的速度和加速度？(2)何时速度为0?(3)何时加速度为0?* 5、求以下导数r.tx=t+ey=tsint【B组】dy1、设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所确定,求了？dx2、求隐函数y=tan(x+y)的二阶导数？3、 确定a,b,c的值,使抛物线y=ax2+bx+c与曲线y=ex在x=0处相交,并具有相同的一、 二阶导数.4、设y=logf(x)g(x),其中f(x),g(x)对x可导,求曳？dx5、设f(x)=ln,贝Uf(0)=0-1x* 6、证实：曲线%&+,亍=

43、1上任一点的切线所截二坐标轴的截距之和等于1* 7、y(n=12%易,求y(n)0归纳总结：初等函数的导数x=2ty11t1、根据导数的定义求导数设函数y=f(x)在xo点及附近有定义,求函数在Xo的导数步骤:(1)求函数增量：Ay=f(x0+Ax)-f(x0);(2)求比值：也；x(3)求极限：fx0)=lim也或fx0)=limUx)(xo).x0 xx两x-x02、根本导数公式(常用)(c)=0;(x)；(ex)=ex;(Inx)=-;x2(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;(tanx)=secx;,、,.、1(secx)=secxtanx;(arcsinx)=f21-x3

44、、四那么运算法那么(u,v可导)(u_v);u_v；(uv);uvuv；(u)=uv2uvvv4、复合函数的导数设函数y=f(u),u=9(x)复合成函数y=f0,那么f(x)在(a,b)内单调增加；(2)假设f,(x)0时,ex1+x(作辅助函数)思考题：1、用洛必达法那么求极限时应注意什么？注意使用条件2、试用Lagrange中值定理证实函数单调性的判定定理.小结|：微分中值定理是连接函数“局部性质与整体性质的部与整体本质上的内部联系.桥梁.表达了局作业：P72(A:1)1、证实函数y=x2+1在区间(0,+oo)内单调递增？2、求函数y=x36x2+9x5的驻点？3、求函数y=x-ex的

45、单调区问？4、证实不等式：xln(1+x),(x0)5、判定正误：假设f(x)在(a,b)内单调递增,那么-f(x)在(a,b)内单调递减.(T)假设f卜.)=0,那么xo必为驻点.(T)假设x0为函数f(x)的驻点,那么曲线f(x)在点(x.,f(x0)处的切线方程为y=f(x)(T)【B组】、,21、证实函数f(x)=e在(-8,0)内单调递增.2、设函数f(x)=x3+ax2+bx在(血,收)内单调递增,确定a,b间的关系?3、证实：函数y=x3+2x+1在(-,)内有唯一实根.4、设f(x)具有二阶导数,且f“(x)A0,f(0)=0,证实：当x#0时,上x单调增加.5、设函数f(x)

46、有连续的二阶导数,且f(0)=0,f(0)=1,f(0)=-2,求极限：limQf(x)2-x?-1xdt*6、求证：万程3x-1-0於4=0在(0,1)内有唯一实根.提示：作新函数,用根存在定理和单调性证实.数学熟悉实验：微分中值定理的几何直观1、比拟罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的几何意义当函数以参数方程3、=90),心1功给定,曲线上点(g),f仁)的切线斜J=f(t)率为叱=上与,端点连线的斜率为f(b)_f(a),于是由Lagrange定理得dxg()g(b)-g(a)Cauchy定理.教学目的：理解极值的定义,掌握函数极值的求法.重难点：极值概念及求法教学程序：极值的概念

47、一极值存在的必要条件一极值存在的充分条件(第一、第二充分条件)一求函数的极值(例子)一一归纳总结解题步骤授课提要：一、函数的极值1、定义:(略)(作图直观理解)画：(1)极值是一个局部概念;(2)极值点是函数增减或减增的分界点.2、极值存在的必要条件假设函数f(x)在Xo点取极值,那么f(Xo)=0或f(Xo)不存在.说明:(1)假设f(x0)=0,x0不一定是极值点.如：y=x3在x=0处.(2)假设f(x.)不存在,x0也可能是极值点.如：y=|x|在x=0处.二、极值存在的第一充分条件(一阶导数法：略)1例1、求函数y=x3-x2-3x-3的极值点和极值？332,、,、例2、求y=x-x

48、3的单调区间和极值？2三、极值存在的第二充分条件(二阶导数法)设f(x)在x0点有一、二阶导数,且f(x.)=0,f(x0)#0,那么(1)假设f(x0)0,那么f(x0)为极小值;(2)假设f(x0)0,那么f(x0)为极大值.例3、求函数y=1x3-x的极值？3例4、求函数y=x4的极值？四、求函数极值的一般步骤(1)确定函数定义域；(2)求函数导数,确定驻点和导数不存在的点；(3)用极值的第一或第二充分条件确定极值点；把极值点代入原函数f(x),求出极值并指明是极大还是极小.S利用第一、二充分条件都可判定函数的极值,但必须注意适用范围1例5、试问a为何值时,函数f(x)=asinx+si

49、n3*在*=一处取得极值?33是极大值还是极小值？并求极值？思考题1、可能极值点有哪几种？驻点或f(x)不存在的点2、如何判定可能极值点是否为极值点？两个极值存在的充分条件小结|：函数的极值是指函数的局部性质(小范围),表达了事物的“相对性.作业|：P72(A:2;B:2)课堂练习(函数的极值)【人组】1、求函数f(x)=4x33x26x+2的极值？2、求以下函数的单调区间和极值；f(x)2x3-6x2-18x-7f(x)=x1-x3、设函数y=x3+ax2+bx在x=1处有极值-2,求a,b的值？4、求函数f(x)=xln(1+x)的极值？5、判定正误：(1)假设x.为极值点,且曲线在x.处

50、有切线,那么切线平行于x轴.T(2)假设函数y=f(x)在(a,b)内可导,且有唯一驻点,那么此驻点必是极值点.F(3)假设可导函数f(x)在(a,b)内只有唯一驻点x.,那么f(x.)就是f(x)的最值.F【B组】1、求函数f(x)=(x-1)2(x+1)3的极值？2、 设y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定,求y=y(x)的驻点,并判别其是否为极值点？ 二阶导数法3、y=f(x)对一切x满足xf(x)+2xf(x)2=1e：假设f(x.)=0(x./.),贝U(B)A、f(xo)是f(x)的极大值B、f(xo)是f(x)的极小值C、点(xo,f(xo)是拐点D、都不是数

51、学熟悉实验：导函数的图像与极值例六、某函数的导函数图像如下,讨论原函数的单调区间解：(如图)f1x)=0为0的点(驻点)是-2,0,2当x(-二,2)时,f(x)：二0,即f(x).;当x(-2,0)时,f(x)0,即f(x);当x(0,2)时,f(x)：二0,即f(x)当 xW(2,+多时,f(x)0,即 f(x);故函数的递增区间为(20),(2,二)递减区间为(-:；-2),(0,2)其大致图像如右图第十五讲曲线的凹凸性!1课题六、函数及导函数的图像上页下页例五、 某函数的导函数图像如下,解： (如图)f(x)=0为0的点(驻点)是-1,1.当 x 三(-!)时,f(x)0,即 f(x)

52、;mxu(1,fco)时,f(x)0,即 f(x)&由极值第一充分条件知函数的极小值为点x=-1；极大值点为x=1.其大致图像如右图讨论原函数的极信L.Y2X-2-112-2-4-6-8Y211：X-2-1-11211-21II课题六、函数及导函数的图像上页主页604020-3-2-1123-20-40-60Y10-5-3-2-1123教学目的：理解凹凸性的定义,会求曲线的凹凸区间及拐点重难点：求曲线的凹凸区间教学程序：凹凸性的概念一凹凸性的判定一求凹凸区间及拐点一应用授课提要：一、凹凸的概念1、在区间0,1上作函数y=x,y=x2,y=反的图像.(比拟曲线的变化)区叫：对函数的研究来

53、说,仅有单调性、极值是不够的.2、定义：(略)(通过曲线与切线的位置关系定义)典：(1)注意拐点的定义(凹与凸的分界点,即二阶驻点)；(2)凹凸性可看成二阶导数的应用.二、凹凸性判定定理：假设函数y=f(x)在(a,b)内有二阶导数,且对于任意xw(a,b)有(1)f(x)0,那么y=f(x)在(a,b)内是凹的；(2)f(x)0,那么y=f(x)在(a,b)内是凸的；(3)凹与凸的分界点,称为拐点.例1、求曲线y=x3-9x2-48x+52的凹凸区间和拐点？例2、求曲线y=幻7的凹凸区间和拐点？三、求曲线凹凸区间的步骤(比拟求单调区间与极值的步骤)(1)求f(x),f(x)；(2)求二阶驻点

54、和二阶奇点；(3)分段(区间)讨论凹凸性、确定拐点.例3、求曲线y=3x4-4x3+1的单调和凹凸区间,极值与拐点？四、凹凸性的应用(1)由曲线的凹凸性可知函数增长和减少的快慢程度.例4、某公司的一次广告促销活动中,销量提升了,但销量关于时间的曲线是凹的,这说明该公司的经营情况如何？为什么？假设曲线是凸的呢？说明销量增长速度很快(2)了解曲线的凹凸性便于作函数的图像.例5、作函数y=x3-9x2-48x+52的图像?思考题：1、画出f(x)=x+sinx的图像,说明函数递增最快的点和递增最慢的点?参见教材P76小结：曲线的凹凸性说明函数的递增(或递减)的快慢程度,它是指一阶导函数的单调性.作业

55、：P77(A:1-2;B:1)课堂练习(曲线的凹凸性)【人组】1、求以下曲线的凹凸区间及拐点：(1)f(x)=x3-3x22x-11,(2)f(x)=x(x0)x2、求曲线y=3x4-4x3+1的单调和凹凸区间,极值与拐点？3、点(1,2)为曲线y=ax3-bx2的拐点,求a,b的值?【B组】rrjx11、证实曲线f(x)=Sx1有三个拐点,且其在一条直线上2、作以下函数的图像：3教学目的：理解最值的概念,会求简单实际问题的最值.重难点：求函数的最值教学程序：最值的概念一最值求法(比拟法)一两种特殊情况的最值一实际问题的最值(例子)一一啖学建模介绍(最优化)授课提要：一、最值的定义(略)可最值

56、是一个全局概念,是针对整个区间而言的.二、求连续函数f(x)在a,b上最值的一般方法(比拟法).例1、求函数y=x4-2x2-5在-2,2上的最值？三、两种特殊情况下求最值：(1)假设f(x)在区间a,b上连续、单调,那么f(a),f(b)一定是最值；(2)假设f(x)在某一区间上仅有唯一驻点,且该驻点是极值点,那么此极值点一定是最值点.例2、求y=e*在1,2上和R上的最值？例3、求y=x3+x在0,2上的最值？四、最值应用在用导数研究实际问题的最值时,假设所建立的函数在区间(a,b)内只有唯一驻点,又根据具体问题的实际意义,可以判定(a,b)内必有最大(最小)值,且唯一驻点就是最值点,勿需

57、进行数学判定.例4、 用边长为48cm的正方形铁皮作一个无盖铁盒,问在四周截去多大的四个相同的小正方形后,才能使所作的铁盒容积最大？例5、假设长方形周长一定时,何时面积最大？画求实际问题的最值时,很重要二点是确定所建立函数关系的定义域.例6、设总本钱和总U入由下式给出C(x)=1.1x+300,R(x)=-0.003x2+5x,其中0MxM1000,求获得最大利润的产量x?五、最优化问题及数学建模(p71,例15)求出某些量的最大和最小对于许多实际问题都很重要,如求时间最短、利润最大、本钱最低等.相应地,大学生数学建模竞赛题几乎都是优化问题,或必须用优化思想、方法去分析解决问题.例7、 乐山大

58、佛通高71米,假设乘船欣赏大佛的游人眼睛在大佛脚底水平线下米,为得到欣赏大佛的最正确视角(应使视角最大),这时游人离大佛(中央线)有多远的水平距离？8.5米思考题：画图说明闭区间上连续函数f(x)的极值与最值之间的关系.局部与整体函数的最值指函数的区间特性.对于某个区间,它是绝对的,对于不同的区间,它是相对的；表达了“绝对性与“相对性的辨证统一.作业|：P82(A:1-3);P78(最优化问题).课堂练习(函数的最值)【人组】1、求以下最值：216(1)f(x)=x2,x,x0,4(2)f(x)=x,x1,32、某企业生产每批某产品x单位的总本钱c(x)=3+x,得到的总收入R(x)=6x-x

59、2,为提升经济效益,每批生产多少时,才能使总利润最大？*3、某工程的利润有两个方案可供选择,它们的关系分别为：L1(t)=Wt1t2L2(t)=+1,其中t为时间,问t=1时,哪个方案最优？二阶导数t1【B组】1、设y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定,求y=y(x)的驻点,并判别其是否为极值点？2、某公司在市场上推出一种产品时发现需求量由方程x=2500确定,总收益PR=xp,且生产x单位的本钱为C=0.5x+500,求获得最大利润的单位价格p?3、将10分成两个正数,使其平方和最小？4、试求内接于半径为78厘米的圆的周长最大的矩形的边长？数学熟悉实验：函数的极值与最值几

60、何直观1、最值与极值:2、从二阶导函数的图像讨论曲线的凹凸性:例七、某函数的二阶导函数图像如下,讨论原函数的凹凸区间及拐点.解：(如图)f(x)=0为 0 0 的点是 0,10,1.当x三 (- 二,0)时 ,f(x).0,即f(x)为 一 ;当xE(0,1)时,f(x)Ay和dyAy?2、设f(x)可微,求y=f(ex)ef(x)的微分？3、设y=lnsinJx,贝Udy=dVx=dx.1、微分量与增量:数学熟悉实验:函数微分量与增量的图像比拟2、微分思想：“以直代曲的几何意义.在上图中,在x的附近,可以用切线PT代替曲线PQ,即fx定fxAx3、用多项式近似函数泰勒公式：y=sinx近似多项式：在x=0处