第八章数值积分与数值微分

1、数数 值值 方方 法法武武 汉汉 大大 学学数学与统计学院基础数学系数学与统计学院基础数学系刘丁酉 主页主页8.1 Newton-Cotes8.1 Newton-Cotes求积公式求积公式8.2 8.2 复合求积公式复合求积公式8.3 Romberg8.3 Romberg求积公式求积公式8.4 8.4 自适应积分法自适应积分法 8.5 Gauss8.5 Gauss型求积公式型求积公式8 8 数值积分与数值微分数值积分与数值微分主页主页8.18.1 Newton-CotesNewton-Cotes求积公式求积公式8.1.1 8.1.1 梯形公式和梯形公式和SimpsonSimpson公式公式8.

2、1.2 8.1.2 插值型求积公式插值型求积公式8.1.3 8.1.3 代数精度代数精度8.1.4 Newton-Cotes8.1.4 Newton-Cotes求积公式求积公式8.1.5 8.1.5 开型开型Newton-CotesNewton-Cotes求积公式求积公式8.1.6 Newton-Cotes8.1.6 Newton-Cotes求积公式的数值稳定性求积公式的数值稳定性主页主页8.1.18.1.1梯形公式和梯形公式和SimpsonSimpson公式公式)()()(aFbFdxxfba 积分积分 只要找到被积函数只要找到被积函数 f (x)原函数原函数F(x)，便有，便有牛顿牛顿莱布

3、尼兹莱布尼兹(NewtonLeibniz)公式公式 baxxfId)(实际困难实际困难：大量的被积函数（：大量的被积函数（ , sin x2 等）等）, 找不到用初等函找不到用初等函数表示的原函数数表示的原函数；另外；另外, f (x)是（测量或数值计算出的）一张数是（测量或数值计算出的）一张数据表时，据表时，牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式也也不能直接运用不能直接运用。xxsin 积分中值定理：在积分中值定理：在a, b内存在一点内存在一点 ，有，有 f( )成立。成立。 )(d)(abxxfba 就是说就是说, 底为底为b- -a 而高为而高为f( )的的矩形面积矩形面积恰恰等于所求等于所

4、求曲边梯形的面积曲边梯形的面积 .问题问题 在于点在于点的具体位置一般是不知道的，因而的具体位置一般是不知道的，因而 难以准确算出难以准确算出 f f( ( ) )的值的值我们将我们将f f ( ( ) )称为区间称为区间 a a, , b b 上的平均高度这样上的平均高度这样, ,只只要对要对平均高度平均高度f f( ( ) )提供一种算法提供一种算法, ,相应地便获得一种数值求积方相应地便获得一种数值求积方法法 如果用两端点的如果用两端点的“高度高度”f f( (a a) )与与f f( (b b) )的算术平均作为平均高度的算术平均作为平均高度f f ( ( ) )的近似值，这样导出的求

5、积公式的近似值，这样导出的求积公式 : : 便是我们所熟悉的便是我们所熟悉的梯形公式梯形公式 . . )()(2bfafabT 2)(bafabR2bac 而如果改用区间中点而如果改用区间中点 的的“高度高度”f f ( (c c) )近似地取代平近似地取代平均高度均高度f f ( ( ) )，则又可导出所谓，则又可导出所谓中矩形公式中矩形公式( (今后简称矩形公式今后简称矩形公式) )：(8.1.1)(8.1.2)主页主页2 2、 把把 a a, , b b 二等分，作二等分，作2 2次插值，次插值，有有)()(4)( )(26bffafdxxfbaabba此公式称为此公式称为辛普森（辛普森

6、（SimpsonSimpson）公式）公式。badxxL)(2)2(baf1( ( ) 4 ()( )62a bf aff bSimpsonSimpson公式是以函数公式是以函数f(x)f(x)在在a, b, (a+b)/2a, b, (a+b)/2这三点的函数这三点的函数值值f(a), f(b), f(a), f(b), 的加权平均值的加权平均值 似值而获得的一种数值积分方法。似值而获得的一种数值积分方法。定理定理8.1.2 8.1.2 （梯形公式的误差）设（梯形公式的误差）设f(x)f(x)在在a,ba,b上具有连续上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为的二阶导数，则梯形公式的误

7、差（余项）为),()(12)()(31bafabfR 定理定理8.1.38.1.3（辛卜生公式的误差）设在（辛卜生公式的误差）设在a,ba,b上具有连续的上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为 ),()(2880)()()4(52bafabfR近似近似计算计算 badxxfI)(思思路路利用利用插值多项式插值多项式 则积分易则积分易算算。)()(xfxPn 在在a, b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多项式多项式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()( babaknkkdxxlxfdxxf)()()

8、(0Ak bakjxxxxkdxAjkj)()(由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点 f (x)插值型积分公式插值型积分公式bankkxnbanbanbankkkdxxxnfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()()()()(误差误差bandxxP)(8.1.2 插值型的求积公式插值型的求积公式关键是关键是f(x) 数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对式能对“尽可能多尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了代数精度的概的函数准确地成立，这就提出了代数精度的概念念. 定义定义

9、1 如果某个求积公式对于次数如果某个求积公式对于次数m的多项式均能准确地成的多项式均能准确地成立，但对于立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代次代数精度数精度 一般地，欲使求积公式一般地，欲使求积公式 具有具有m次代数次代数精度，只要令它对于精度，只要令它对于f (x) = 1，x，xm 都能准确成立，这就要求都能准确成立，这就要求 bankkkxfAxxf0)(d)( . )(11;)(21;1122mmmkkkkkabmxAabxAabA8.1.3 代数精度代数精度例例1 1： 考察其代数精度。考察其代数精度。 f(x)abf

10、(a)f(b)梯形公式梯形公式解：解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0 = 1： baabdx111 2 ab=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 222abbadxx 2baab 3233abbadxx 222baab 代数精度代数精度 = 1)()(2)(bfafabdxxfba 例例2 试构造形如试构造形如 f f( (x x)d)dx x A A0 0f f(0)+ (0)+ A A1 1f f( (h h)+ )+ A A2 2f f(2(2h h) ) 的数值求积公式的数值求积公式, ,使其代数精度尽可能高使其代数精度尽可能高,

11、,并指出其代数精并指出其代数精度的阶数度的阶数. .3h0解解: : 令公式对令公式对 f f( (x x)=1,)=1,x, xx, x2 2 均准确成立均准确成立, ,则有则有3h=A0+ A1+ A2h2=0 + A1h+ A22h9h3=0 + A1h2+ A24h229故求积公式的形式为故求积公式的形式为解之得解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 94 34 f(x)dx f(0) + f(2h)3h43h43h0由公式的构造知由公式的构造知,公式公式至少至少具有具有2次代数精度次代数精度; 而当而当f(x)=x3时时,公式的左边公式的左边= h4, 右边右边=18h4,

12、公式的左边公式的左边 右边右边,说明说明此公式对此公式对 f(x)=x3不能准确成立不能准确成立.因此因此,公式只具有公式只具有2次代数次代数精度精度.814nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中, ,当所取节点是等距时称为牛顿当所取节点是等距时称为牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式其中其中 插值多项式插值多项式 求积系数求积系数 )()()(0nkkkxfxlxPbakkdxxlA)(这里这里 是插值基函数。即有是插值基函数。即有 )(xlkdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)( 8.1.4 Newton-Cotes8.1.4 Newton-Cotes求积公式

13、求积公式在插值求积公式在插值求积公式将积分区间将积分区间a,b a,b 划分为划分为n n等分等分, , 步长步长求积节点为求积节点为 为了计算系数为了计算系数A Ak k, , 由于由于 , ,所以所以nabh), 1 ,0(nkkhaxkhikxxik)( nknnkkkkkkhknkxxxxxxxx)!( !) 1()()()(110作变量代换作变量代换 当当 时时, ,有有 , ,于是可得于是可得 thaxkbax,nt, 0dxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dthhntktkttthknknnnkn0)() 1)(1() 1()!( !) 1(dtitknnka

14、bnnkiikn 00) )()!( !) 1()(dtitknnkCnnkiiknk00)()!(!)1( ( k=0,1,n ) 代入插值求积公式代入插值求积公式(6.4)(6.4)有有 nkkkbaxfCabxxf0)()(d)(称为牛顿称为牛顿- -柯特斯求积公式柯特斯求积公式, ,C Ck k称为柯特斯系数称为柯特斯系数引进记号引进记号kkCabA)( ( k=0,1,n ) 则则容易验证容易验证 10nkkC bakkkkdxxlAAabC)(1 nkbaknkkdxxlabC00)(1111)(10 babankkdxabdxxlab显然显然, , C Ck k是不依赖于积分区间

15、是不依赖于积分区间a,ba,b以及被积函数以及被积函数f(x)f(x)的常的常数数, ,只要给出只要给出n,n,就可以算出柯特斯系数就可以算出柯特斯系数, ,譬如当譬如当n=1n=1时时 1011002121)1(! 1!011tdtCdttC当当n=2n=2时时 202061)2)(1(!2!02)1(dtttC201132)2(! 1! 12) 1(dtttC200261)1(!0!22)1(dtttCP P233233 表表8.18.1给出了给出了n n从从1 18 8的柯特斯系数的柯特斯系数。 当当n = 8n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳时，从表中可以看出出现了负

16、系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。 nkkkbaxfAxxf0)(d)( , ,0,1, .kxab kn01.kxxx 0,nxa xb0,na x xb1,.2bahxan1(1) ,0,1, ,.knxakh kn xb 01,nxxx8.1.5 开型开型Newton-Cotes求积公式求积公式在求积公式中，节点并假定若那么求积公式称为闭型求积公式闭型求积公式，如果则称求积公式为开型求积公式。开型求积公式。考虑等距节点，令用作为求积的节点，0( )d()()( ),nbkknakf x xb ab f xEf1( )d ,0,1,

17、 ,bkkablxx knba01, ,nx xx( )(0,1, )klx kn那么有（8.1.19）其中为节点上的n次插值基函数。公式（8.1.19）称为开型开型Newton-Cotes求积公式求积公式。 8.1.68.1.6 NewtonNewtonCotesCotes求积求积公式的数值稳定性公式的数值稳定性 某个求积公式某个求积公式设设 的近似值为的近似值为 ，)(kxfnkxffkkkk, 1 , 0,|,)( 所所得得数数值值积积分分为为由由近近似似值值, 1 , 0,nkfk nkkkfA0是是由由实实验验或或观观察察得得到到，是是精精确确值值，而而中中)()()()(0)(kn

18、knkknkxfCxfCab 本本身身有有误误差差。为为，则则称称使使若若对对误误差差 nkkknkkkxfAMAE00)(ME,0 为为数数值值不不稳稳定定的的。数数值值稳稳定定的的。否否则则称称 nkkkxfA0)(的舍入的舍入误差，即误差，即f(xk)的误差对数值积分的结果的误差对数值积分的结果影响较小影响较小，则称该数，则称该数值求积值求积公式是公式是稳定稳定的；否则，若的；否则，若影响较大影响较大，则称为，则称为不稳定不稳定的。的。 nkkknkkkAxfA00)( nkkkA0 E误误差差0( )d()()( ),nbkknakf x xb ab f xEf以下推导说明以下推导说明

19、 NewtonCotesNewtonCotes公式的数值稳定性公式的数值稳定性 时时，当当 |k的最大值为的最大值为，从而，从而因因|0EAEnkkk nkknkkkAAEk00|max|max| nknkCabE0)(max|)(| 从从而而)()(nkkCabA | )(0)( nknkCab 1|0)( nknkC)(ab 时时，当当7 n100)()( nknknkCC且且)(|abE )(| )(|)(|0)(0)(maxabCabCabEnknknknk 从从而而公公式式是是数数值值稳稳定定的的。时时，所所以以，当当CNn 7时时，当当8 n有有正正有有负负，系系数数kA).(|)

20、(|0)(max nCabEnknk 公公式式是是数数值值不不稳稳定定的的。CN 8.2.1 复合梯形求积公式8.2.2 复合Simpson求积公式8.2 复合求积公式复合求积公式对于定积分对于定积分 其精确值其精确值.I=2.302585。用梯形公式（。用梯形公式（3.1.6）计）计算有算有 用用Simpson公式（公式（3.1.7）计算）计算 可以可以看出，它们的误差很大。由上一节的讨论可知，高阶看出，它们的误差很大。由上一节的讨论可知，高阶Newton-Cotes求积求积公式是不稳定的。公式是不稳定的。,1101dxx .95.41 I740909.22 I 因此，通常不用高阶求积公式得

21、到比较精确的积分值，而是将整个积因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。这种方法称为分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。这种方法称为复合求积方法复合求积方法。本节讨论复合梯形公式和复合本节讨论复合梯形公式和复合Simpson公式。公式。高次插值有高次插值有Runge 现象现象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复合复合求积公式。求积公式。替替用用分分段段线线性性插插值值函函数数代代被被积积函函数数)(xf8.2.1 复合梯形求积公式复合梯形求积公式x0 x1xf(x)x

22、2hhx3hhx4nabh nabhnkkhaxk ), 1 , 0( nnkkTxfbfafh 11)(2)()(2:,1上用梯形公式上用梯形公式在每个在每个kkxx 101)()(2nkkkxfxfh 101)()(nkxxbakkdxxfdxxf ，其其截截断断误误差差为为如如果果baCxf,)()2( 11)(2)()(2)()(nkkbaTxfbfafhdxxffR复合梯形公式：复合梯形公式：nnkkabTxfbfafhdxxf 11)(2)()(2)(),( )()(12)(2bafabhfRT )(1213 nkkfh nfabhnkk )()(1212 ),(ba )()(12

23、2 fabh ),(1 kkkxx )(xf替替用用分分段段二二次次插插值值函函数数代代即分段用即分段用SimpsonSimpson公式再求和可得复化公式再求和可得复化SimpsonSimpson公式公式. .8.2.1 复合复合SimpsonSimpson求积求积公式公式 x0 x2xf(x)x4hhxn-2hxnnabh .hx3x1xn-1)()(4)(62)(21222222kkkxxxfxfxfhdxxfkk 22 kx12 kxkx244444), 1 , 0( , ,2nkkhaxnabhmnk mkkmkkxfxfbfafh112112)(4)(2)()(3 mkkkkmkxx

24、baxfxfxfhdxxfdxxfkk1212221)()(4)(62)()(222 ，则则截截断断误误差差为为若若baCxf,)()4( ),(222kkkxx ),( ),(180)()4(4bafhabfRs 复合复合SimpsonSimpson公式：公式： mkkmkkbaxfxfbfafhdxxf112112)(4)(2)()(3)( mkkmkkbasxfxfbfafhdxxffR112112)(4)(2)()(3)()( mkkfh1)4(5)(90 )(180)4(4 fhab mfhabhmkk 1)4(5)(290 ),(ba 例：若用复合例：若用复合SimpsonSimp

25、son公式计算积分公式计算积分dxex 102问积分区间要等分为多少份才能保证计算结果问积分区间要等分为多少份才能保证计算结果有有4 4位有效数字？位有效数字？ 1 ,0 13 .0 :2 xex解解13.0 102 xe222)( ,)( xxxexfexf 87. 6 ,109244 nn222)124816()()128()( ,)24()(24)4(32xxxexxxfexxxfexxf . 8 即即可可取取 n,1021 4 取取)(max180)4(104xfhx )(180)()4(4 fhfRs 41021 418020h 7468.0)4242 24241(8311)875.

26、0()75.0()625.0()5 .0()375.0()25.0()125.0(1022222222 eeeeeeeedxex如果用复合梯形公式计算，则由误差公式如果用复合梯形公式计算，则由误差公式421021212 h)(max12102 fh )(12)(2 fhfRT 2)24()(2xexxf 58 75.57 nn2)128()(3xexxxf 注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时)(41)()(2121)(22fRafbfhfRnnTT 41 2 nnTITI)( fRnT nkkhfh12)(12 )()(12)(1222afbfhdxxfhba nkkfh13)(12 )

27、(3122nnnTTTI 注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时)(1612180)()()(42fRhafbffRnnSS 161 2 nnSISI)(15122nnnSSSI )( fRnsmn2, 即取即取分的方法分的方法通常采取将区间不断对通常采取将区间不断对 mkkfh1)4(5)(90 mkkhfh1)4(4)(2180 )()(180)(1804)4(4afbfhdxxfhba 8.3 Romberg8.3 Romberg求积公式求积公式8.3.1 外推技巧8.3.2 Romberg求积公式 8.3.18.3.1外推技巧外推技巧且且相相应应误误差差为为的的近近似似值值是是准准确确值值设设,)(IhI kPkPPhahahahII2121)(,021 PP其其中中 kkPPkPPPPhahahahII 221121)()( hII ?)()(21pphOhO提提高高到到如如何何将将公公式式精精度度)()()()()1 (1)1 ()()(2131321211132PPPPkPPPPPPPPPhOhahahahIhIIkk .), 2 , 1(无关无关与与hiai kkPPPkPPPP