2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

1、第六讲 空间几何的体积【考点分析】1. 掌握求空间几何的体积和表面积的各种方法。2. 利用线面垂直的性质求空间几何的高【 知识运用】题型一直接法求体积【例1】（2018惠州模拟）如图，直角ABC中，ACB 90 ， BC 2AC 4，D， E 分别是 AB, BC 边的中点，沿DE 将 BDE 折起至 FDE ，且 CEF 60 .（ 1）求四棱锥F ACED 的体积；（2）求证：平面ADF 平面 ACF 试题解析：（1） D, E 分别是 AB, BC 边的中点，DE 平行且等于AC 的一半，DE BC, DE 1依题意，DE EF,BE EF 2DE BCDE EFEF EC E于是有 E

2、F,EC 平面 CEFDE平面 CEF .DE 平面 CEF 平面 ACED 平面 CEF过 F 点作 FM EC于 M ，则平面 ACED 平面CEF ,且交线为CEFM ECFM 平面 CEFFM 平面 ACED ，CEF 60 FM 311S AC ED EC 1 2 2 3ACED的面积2211V 1 Sh 1 333F ACED 的体积332）（法一）如图设线段AF,CF 的中点分别为N,Q，连接 DN, NQ,EQ ，则1NQ/ AC21 DE/ / AC21 NQ/ AC于是2DE/NQ DEQN 是平行四边形DN /EQEC EFCEF又 CEF 60是等边三角形.EQ FC1

3、）知DE 平面 CEF,EQ 平面 CEFDE EQAC EQAC EQFC EQEQ 平面 ACFAC FC C于是 AC, FC 平面 ACFDN 平面 ACF又 DN 平面 ADFADF 平面 ACF .BF ， EC EF, CEF 60CEF 是边长为2 等边三角形BE EF1EBF CEF 302 BFC 90 ， BF FC又DE 平面BCF,DE AC AC 平面 BCF BF 平面 BCF AC BF又FC AC C， BF 平面 ACF又 BF 平面 ADF ，平面ADF 平面 ACF .【变式】1. 如图，在三棱台中，且面 ， 分别为的中点，为 上两动点，且.（ 1）求证

4、：；（ 2）求四面体的体积 .试题解析：（1）取 的中点 , 连接, , 为 的中点 ,又, 且, 四边形为平行四边形, ,同理，四边形为平行四边形，. 四边为平行四边形, 面 , 面 ,又, 面 , 面 ,.（ 2）令与 交于 ，面 , 面 , 面面 ,面面, , , 面 , 为点到 面 的距离，即,第 3 页，共 50 页题型二 等体积（换顶点）【例2】在四棱锥中， 是以 为斜边的等腰直角三角形，平面平面.（）证明：；（）若点在线段上，且，求三棱锥的体积 .试题解析：（）证明：取， 的中点分别为， ，连接，. 是以 为斜边的等腰直角三角形，.平面平面，平面平面， 平面，而，四边形为正方形，

5、且，即由及得： 面 ，又 面 ，又， 面 ，而 面 ，.（）过点作于 ，则 面 且，（或由（）得面 ，）2如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD为正方形，PA 平面ABCD，PA AB ，M 是 PC 上一点 .（1）若BM PC ，求证：PC平面MBD ；（2）若M 为 PC 的中点，且AB2 ，求三棱锥M BCD 的体积 .（ 1）证明：连接AC，由PA 平面ABCD， BD ? 平面 ABCD得 BD PA，又 BD AC ， PA AC A， BD 平面 PAC，得 PC BD，又 PC BM ， BD BC B，第 # 页，共 50 页PC 平面 MBD .2）解：由M 为

6、PC 的中点得所以三棱锥A PBQ 的体积 VA PBQ 4第 7 页，共 50 页1111112VM BCD 2VP BCD 23SBCD PA 2 3 2 2 2 232，3如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB 2ADPD BD 3AD ，且 PD 底面 ABCD（ 1）证明：BC 平面 PBD ；（ 2）若Q 为 PC 的中点，求三棱锥A PBQ 的体积 .试题解析：222（ 1）证明：AD2 BD2 AB2， AD BD ，AD / /BC ， BC BD又 PD 底面 ABCD， PD BCPD BD D ， BC 平面 PBD2）三棱锥A PBQ 的体积

7、VA PBQ与三棱锥A QBC 的体积相等，VA QBCVQ ABC而111331434题型三 利用等体积求高【例3】在矩形中， 为线段的中点，如图1，沿 将 折起至，使，如图 2 所示1）求证：平面平面；2）求点到平面的距离1）证明：在图1 中连接，则， 平面 ，平面，平面平面.2）取的中点 ，连接，平面， 平面，设点 到平面的距离为，由（ 1） 平面 ，知，点 到平面的距离为【变式】线段 上的一点，且，连接，.试题解析：（1）因为，所以.又，所以在中，由勾股定理，得.因为，所以 是的斜边上的中线.所以 是 的中点 .又因为 是 的中点，所以直线是的中位线，所以.又因为平面 ， 平面 ，所以

8、 平面 .2）由（1）得，又因为，第 11 页，共 50 页所以又因为，所以易知，且，所以设点 到平面的距离为，则由，解得.到平面的距离为.2、 如图，在三棱锥中， 平面平面， AP PD =，平面；，求点到平面 APB 的距离3ABRt PAD 中，因为AP PD = 3， AP PD ，AD 2AP 6 AB 所以322AD 2 BD 2在 ABD 中，26AB23AB332AB 2所以 BD AD ，1 分又因为平面PAD 平面 ABD ，平面 PAD 平面 ABD =AD ， BD 平面 ABD ，所以BD平面PAD，2 分又AP平面PAD，所以BD AP ， 3 分因为 AP PD

9、， PD BD D ，4 分所以AP平面PBD，因为AP平面PBA，所以平面PBA 平面 PBD .6 分（）如图，设AD 的中点为O ，连接OP ，AP PD = BD 2 ， AP DP ， OP AD ， ADPAD 平面 ABD ，平面 PAD 平面 ABD = ADOP 平面 ABD ，8 分BD 平面 PAD ， AD BD,BD PD，PB 2 2， AB 2 3，222AB2 PB2 PA2， AP BP ，2 2， OP 2 ，OP 平面 PAD ，1 AP BP 1 2 2 2S APB = 2= 2=2 2 ，V三棱锥P ABD1 S ABD OP 11 2 2 22 4

10、332310分设点 D 到平面 PAB 的距离为d ，1S ABP dV三棱锥P ABD V三棱锥D ABP3第 13 页，共 50 页解得 =，点 D 到平面 PAB 的距离为2 . 12 分立体几何中求点到平面的距离的方法：（ 1）由定义作出点到平面的距离，通过解三角形得出；（ 2）利用平行上的点到平面的距离相等的结论，进行转化为另一点到平面的距离；（ 3）利用等体积法转化（三棱锥的体积）；（ 4）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.题型四 求空间的表面积【例4】在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且 （ 2）若PA=PD=AB=DC，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积【

11、试题解析】试题分析：（1）推导出，从而，进而平面 ，由此能证明平面平面 ；（2）设，则四棱锥的体积，解得，可得所求侧面积.（ 1）在四棱锥中，又， 平面 ， 平面 ，平面平面（ 2）在平面内作，垂足为由（ 1）知，平面 ，故，可得平面设 ，则由已知可得，故四棱锥的体积，故从而，可得四棱锥的侧面积为1、如图四边形ABCD为菱形，G为 AC与 BD交点，BE 平面 ABCD ，（）证明：平面AEC 平面 BED ；6（）若ABC 120 ， AE EC,三棱锥E ACD 的体积为3 ，求该三棱锥的侧面积试题解析：（）因为四边形ABCD为菱形，所以AC BD，因为 BE 平面ABCD，所以AC BE

12、，故AC 平面 BED.又 AC 平面AEC，所以平面AEC 平面 BEDAB= x，在菱形ABCD中，由ABC=12°，可得0AG=GC= 求证：平面PAD平面PCD； 试在棱PB上确定一点E，使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与 EACB的体积比为 2 1. (1) 证明 AD AB， DC AB，DC AD. PA平面ABCD， DC? 平面ABCD， DC PA. AD PA A， AD， PA? 平面PAD， DC平面PAD. DC? 平面PCD，平面PAD平面 PCD. x,GB=GD=2 .32BE= 2AE EC，所以在Rt AEC中，可得EG= 2 x.B

13、E 平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得VE ACDE-ACD的体积E ACD11AC GD BE 32636x243 . 故 x=2第 21 页，共 50 页从而可得AE=EC=ED=设 EF h， .所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为(2) 解作 EF AB于 F点，在ABP中，PA AB， EF PA， EF平面ABCD. .故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2 5 .题型五 动点问题【例5】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， ADAB，DCAB，PA1，AB2，PD BC 2.AD PD2 PA2 1，则 V 三棱锥E ABC3S ABC·h

14、1h.3V 四棱锥P ABCDS 四边形ABCD· PA×× 1 332由VPDCEA V 三棱锥E ACB21，111得23h 3h21，1解得h 2.1EF 2PA，故E为 PB的中点【变式】1、 (2018 届武汉调研)如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图2 所示的四棱锥D1 ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1) 证明：BE平面D1AE；(2) 设 F 为 CD1 的中点，在线段AB上是否存在一点M， 使得MF平面D1AE， 若存在，求出AABM的值；若不存在，请说明理由(1) 证明 连接BE， A

15、BCD为矩形且AD DE EC BC 2，AEB 90°，即BE AE，又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCE AE， BE? 平面ABCE， BE平面D1AE.(2) 解AM 14AB，取D1E的中点L，连接AL， FL，1 FL EC， EC AB，FL AB且 FL AB，4 M， F， L， A四点共面，若 MF平面AD1E，则MF AL. AMFL为平行四边形，AM FL 14AB.AM 1故线段AB上存在满足题意的点M，且 .AB 42、如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PD平面ABCD. PDAB2，E，F，G分别是 PC， PD， BC的中点

16、(1) 求证：平面PAB平面EFG；(2) 在线段PB上确定一点Q，使PC平面ADQ，并给出证明(1) 证明 在PCD中，E， F 分别是PC， PD的中点， EF CD，又四边形ABCD为正方形， AB CD，EF AB， EF?平面PAB， AB? 平面PAB， EF平面PAB. 同理EG平面PAB， EF， EG是平面EFG内两条相交直线，平面PAB平面EFG.(2) 解当 Q为线段 PB的中点时，PC平面ADQ.取 PB的中点Q，连接DE， EQ， AQ， DQ， EQ BC AD，且AD QE，四边形ADEQ为梯形，由 PD平面ABCD， AD? 平面ABCD，得 AD PD， AD

17、 CD， PD CD D， PD， CD? 平面PCD， AD平面PDC，又PC? 平面PDC， AD PC.PDC为等腰直角三角形，E 为斜边中点， DE PC， AD， DE是平面ADQ内的两条相交直线， PC平面ADQ.【强化练习】1 如图所示，四棱锥B-AEDC中，平面AEDC平面ABC， F 为 BC的中点，P为 BD的中点，且AE/DC，ACD= BAC=9°，0 DC=AC=AB=2AE( 1)证明：EP平面BCD；( 2)若DC=2，求三棱锥E-BDF的体积 .【试题解析】试题分析：（ 1） 先根据等腰三角形性质得， 再根据面面垂直性质得平面. ， 即得， 从而可由线

18、面垂直判定定理得平面. 最后根据平行四边形性质得即得结论，（2）因为平面，所以根据锥体体积公式求体积.试题解析：（）由题意知为等腰直角三角形，而 为 的中点，所以.又因为平面平面，且，所以平面.而 平面，所以.而所以平面.连结 , 则而所以是平行四边形, 因此 平面平面，所以平面是三棱锥的高 .第 23 页，共 50 页第 25 页，共 50 页所以. 于是三棱锥的体积为2如图，在三棱锥中， 平面 ，为在棱 上，且.（ 1）求证：；（ 2）求三棱锥的体积 .【试题解析】试题分析：（1） 取 的中点 ，连接 ，, 由已知条件证得，得 平面 ， 是 的中点得证（2） 利用等体积法，转化顶点和底面，

19、求出和，由计算出结果解析：（1）取 的中点 ，连接，. 为 的中点，. 平面 ， 平面 ，.又， 平面 ，.又 是 的中点，.2）由图可知，三棱锥体积与三棱锥体积相等 .，平面 .，且，在中，.，即三棱锥的体积为.3 如图， 三棱柱中， 侧面为菱形，的中点为， 且 平面.1）证明：2）若,求三棱柱的高 .试题解析：（1）连结BC1，则O为 B1C与 BC1 的交点 .BB1C1C为菱形，所以B1C BC1又 AO 平面BB1C1C，所以B1C AO，故 B1C 平面 ABO.AB 平面ABO，故B1C AB .（ 2）作OD BC ，垂足为D，连结AD，作OH AD ，垂足为H.由于， BC

20、OD ，故 BC 平面AOD，所以OH BC ，又 OH AD ，所以 OH 平面 ABC.0OD 3因为CBB1 60 ，所以CBB1 为等边三角形，又BC 1 ，可得4 .11OAB1C由于 AC AB1 ，所以22 ,AD OD 2 OA27 OH 故三棱柱ABC A1B1C1的高为7 .4 如图，四棱锥的底面边长为8 的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面， 平面.证明：若，求四边形的面积 .由 OH AD OD OA，且4 ，得14 ，21又 O为 B1C 的中点，所以点B1 到平面ABC的距离为7 .第 31 页，共 50 页1）证明：因为BC 平面 GEFH

21、， BC 平面 PBC，且平面PBC 平面 GEFH GH ，所GH BC . 同理可证EFBC，因此 GH EF .连接 AC,BD 交于点 O， BD 交 EF 于点 K ，连接 OP,GK . 因为 PA PC ， O是 AC的中点，所以 PO AC，同理可得PO BD . 又 BD AC O，且 AC,BD 都在底面内，所以PO 底面 ABCD . 又因为平面GEFH 平面 ABCD ，且 PO 平面 GEFH ，所以 PO 平面 GEFH .因为平面PBD 平面，所以 PO GK ，且 GK 底面 ABCD ，从而 GK EF .所以 GK是梯形 GEFH 的高 . 由 AB 8,E

22、B 2得 EB:AK= KB:DB 1:4，从而111KB DB OBGK PO42 ，即 K 为 OB 的中点 . 再由 PO GK 得 2 ，即G是 PB 的中点，且1GH BC 42OB 4 2, POPB2 OB268 32 6， 所以 GK 3， 故四边GH EFS形 GEFH 的面积2GK4823 185如图，四棱锥P ABCD 中， ABC BAD 90 ， BC 2AD, PAB与PAD 都是边长第 20 页，共 50 页为 2 的等边三角形.（ I ）证明：PB CD ;（ II ）求点 A到平面PCD的距离.【试题解析】（）证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形

23、.过 P 作 PO平面ABCD，垂足为O.连结OA， OB,OD,OE.由PAB 和 PAD 都是等边三角形知PA=PB=P， D所以OA=OB=O，即点 DO为正方形ABED对角线的交点，故 OE BD ，从而 PB OE .因为O是 BD的中点，E 是 BC的中点，所以OE/CD.因此PB CD .PD的中点F，连结OF，则OF/PB.PB CD ，故 OF CD .易确定 . 如有时要利用两个平面垂直的性质，在其中一个平面内作两个平面交线的垂线即得；（ 2） 如果能够构造出三棱锥，要找的点面距恰好是三棱锥的高，此时利用等体积法比较简单，但是应该明确另一个顶点到对应底面的距离和底面面积两个

24、量，才能顺利求解，计算过程较为麻烦， 但是不用添加辅助线找垂线段. （ 3） 若不易找出射影位置，可考虑利用转移的方法，即把不易求的点到平面的距离借助转移手法，变为求另外一点到平面的距离，然后通过这两点到平面的距离的数量关系求得所求距离的方法，常用的手段有平行转移和等比例转移.6四棱锥P ABCD中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1AB BC AD , BAD ABC 900. 2（ 1）证明：直线BC/平面 PAD ;2）若 PAD 面积为 2 7 ，求四棱锥P ABCD 的体积 .试题解析：（ 1） 在平面内，因为, 所以又 平面平面故 平面（ 2）取的中点，连接由及得四

25、边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面底面，所以,设，则，取 的中点，连接，则, 所以，的面积为，所以解得（舍去）， 于是所以四棱锥的体积7如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（ 1）证明：AC BD；（ 2）已知ACD是直角三角形，AB=BD若E为棱BD上与D不重合的点，且AE EC，求四面体 ABCE与四面体ACDE的体积比【题源】 2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷精编版）【答案】（1）见解析；（2） 1:1.试题分析：（ 1） 取 AC 的中点O， 由等腰三角形及等边三角形的性质得AC OD，AC OB ，再根

26、据线面垂直的判定定理得AC 平面OBD，即得AC BD； （ 2）先由AE EC，1EO AC结合平面几何知识确定2 ，再根据锥体的体积公式得所求体积之比为1:1.试题解析：（ 1）取 AC的中点O，连结 DO， BO.因为AD=CD，所以AC DO.又由于ABC是正三角形，所以AC BO.从而AC平面DOB，故AC BD.（ 2）连结 EO.由（1）及题设知ADC=90°，所以DO=AO.在 Rt AOB 中， BO2 AO2 AB2 .又 AB=BD，所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故DOB=90°.1EO ACAEC为直角三角形，所以又 ABC是正

27、三角形，且AB=BD，所以1 EO BD22故 E为 BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的2 ，四面体ABCE的体1积为四面体ABCD的体积的2 ，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（ 1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（ 2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（ 3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.8如图所示，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面ABCD ，AB DC ， PAD 是等边三角形，已知BD 2AD 8， AB 2DC 4 5 .( 1)设M 是 PC

28、上的一点，求证：平面MBD 平面 PAD ；( 2)求四棱锥P ABCD 的体积 .【题源】【全国市级联考word】黑龙江省大庆市2017届高三第三次教学质量检测(三模)数学(文)试题VP ABCD 124 2 316 3【答案】(1) 见解析 ;(2)3.【试题解析】试题分析：(1) 证得AD BD, 而面PAD面ABCD, BD面PAD, 面MBD面PAD.(2) 作辅助线POAD, 则PO为四棱锥PABCD的高, 求得S 四边形ABCD24. VPABCD16 3.试题解析：(1) 证明 : 在ABD中 , AD 4,BD 8, AB 4 5, AD2 BD2 AB2. ADBD.又面

29、PAD面ABCD, 面PAD面 ABCD AD, BD? 面ABCD, BD面PAD.又 BD? 面 BDM, 面MBD面PAD.(2) 解：过 P作 PO AD,面PAD面ABCD, PO面ABCD, 即 PO为四棱锥P ABCD的高又PAD是边长为4 的等边三角形, PO 2 3 .在底面四边形ABCD中 , AB DC, AB 2DC, 四边形ABCD为梯形4885在 Rt ADB中 , 斜边 AB边上的高为4 5 5 , 此即为梯形的高.25 4585 S 四边形ABCD2× 5 24.1 VP ABCD 3 × 24×23 16 3 .（）求证：DC 平

30、面 PAC ；（）求证：平面 PAB 平面 PAC ；（）设点E为 AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得/平面 C F ?说明理由.【题源】 2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【答案】（）见解析；（）见解析；（）存在. 理由见解析.【试题解析】试题分析：（）利用线面垂直判定定理证明；（）利用面面垂直判定定理证明； （） 取 PB中点F， 连结EF， 则 F/ ， 根据线面平行的判定定理证明/平面 C F .试题解析：（）因为平面，所以C DC又因为 DCC，所以DC 平面C （）因为/DC ， DC C ，所以C因为平面，所以 C 所以平面 C 所以平面平面

31、C （）棱PB上存在点F，使得/平面 C F 证明如下：取 PB中点F，连结EF， C ， CF又因为 E为 的中点，所以F/ 试题解析：（）由已知得，取 的中点 T ，连接，由 N 为 中点第 37 页，共 50 页又因为平面 C F ，【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理；空间想象能力，推理论证能力 【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其 中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时 可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距所以 / 平面 C F 10如图，四棱锥

32、P ABC D中，PA 平面 ABCD ， AD BC ， AB AD AC 3，PA BC 4 ， M 为线段 AD 上一点，AM 2MD ， N 为 PC 的中点（）证明MN 平面 PAB ；（）求四面体N BCM 的体积 .【题源】 2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷精编版）45【答案】（）见解析；（）3 【试题解析】试题分析：（）取PB 的中点 T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N 到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果知，又，故

33、平行且等于，四边形AMNT为平行四边形，于是.平面， 平面，所以平面.（）因为平面， N 为 的中点，所以 N 到平面的距离为.取 的中点 ，连结. 由得，.1S BCM 45 2 5由得 到 的距离为，故2.1PA 4 5VN BCMS BCM所以四面体的体积323【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（ 1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（ 2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解11 （本小题满分12

34、分）如图四边形ABCD为菱形，G为 AC与 BD交点，BE 平面 ABCD ，AEC 平面 BED ；6（）若ABC 120 ， AE EC,三棱锥 E ACD 的体积为3 ，求该三棱锥的侧面积.【题源】2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标带解析）【答案】（）见解析（）3+2 5【试题解析】试题分析：（） 由四边形ABCD为菱形知AC BD， 由 BE 平面ABCD知 AC BE，由线面垂直判定定理知AC 平面BED， 由面面垂直的判定定理知平面AEC 平面 BED ； （）设 AB= x， 通过解直角三角形将AG、 GC、 GB、 GD用 x表示出来，在 Rt AEC中，

35、用 x表示EG，6在 Rt EBG中，用x 表示EB，根据条件三棱锥E ACD 的体积为3 求出x，即可求出三棱锥E ACD 的侧面积 .试题解析：（）因为四边形ABCD为菱形，所以AC BD，因为 BE 平面ABCD，所以AC BE，故AC 平面 BED.又 AC 平面AEC，所以平面AEC 平面 BED3x（）设AB= x，在菱形ABCD中，由ABC=12°，可得0AG=GC=2 x,GB=GD=2 .3因为 AE EC，所以在Rt AEC中，可得EG= 2 x.2x由 BE 平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE= 2 .11636VE ACDAC GD BEx3由已知得

36、，三棱锥E-ACD的体积3 2243 . 故 x=2从而可得AE=EC=ED=6 .所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为5 .故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2 5 .考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力12如图，三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC， PA 1,AB 1,AC 2, BAC 60 PM（）求三棱锥P-ABC的体积；（）证明：在线段PC上存在点M，使得AC BM，并求MC 的值【题源】2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析）31【答案】（）6 ；（）3【试题解析】（）解：由题设

37、 1,可得.由面可知 是三棱锥的高 , 又所以三棱锥的体积（）证：在平面内，过点B作，垂足为，过 作交 于 ，连接 .由 面 知， 所以. 由于， 故 面 ， 又面 ，所以.在直角中，从而. 由，得.考点：本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.13如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，为 上一点，且.（ 1）证明：平面 ；（ 2）若，求四棱锥的体积 .【答案】（1）详见解析；（2）.【试题解析】试题分析：（1）因为底面，所以有，因此欲证平面 ，只要证，而这一点可通过连结，利用菱形的性质及勾股定理解决.（ 2）欲求四棱锥的体积 . ，必须先求出, 连结 ，设，在利用余

38、弦定理求出，由三个直角三角形，依据勾股定理建立关于的方程即可.解：（1）如图，因为菱形，为菱形中心，连结，则，因，故又因为，且，在中所以，故又 底面， 所以, 从而 与平面内两条相交直线都垂直， 所以 平面（ 2）解：由（1）可知，设 ，由 底面知，为直角三角形，故由也是直角三角形，故连结，在中 ,此时，得，（舍去），即由已知，故为直角三角形，则所以四棱锥的体积考点：1、直线与平面垂直的判定与性质；2、空间几何体的体积.3 、余弦定理及勾股定理14如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 面 ABCD， E 为 PD 的中点。（ 1）证明：PB/平面AEC ;V3（ 2）设AP 1

39、 ， AD 3 ，三棱锥P ABD 的体积4 ，求A到平面PBC的距离。2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国卷带解析）【答案】（1）证明见解析（ 2）A到平面 PBC的距离为13【试题解析】试题分析：（1）连结BD、 AC相交于O，连结OE，则PB OE，由此能证明PB平面ACE（2）以A为原点，AB为x 轴，AD为y轴，AP为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离试题解析：（I ）设BD交 AC于点O，连结EO。因为ABCD为矩形，所以O为 BD的中点。又 E 为 PD的中点，所以EO PB又 EO 平面AEC， PB 平面 AEC所以PB平面AE

40、C。13 V PA AB AD AB（ II ）66由，可得.作交于。由题设易知，所以 故，PA AB 3 1313 所以 到平面的距离为3 AB6AH又PB法 2：等体积法1V PA AB AD 6由，可得.由题设易知, 得 BC假设 到平面的距离为d，又因为 PB=所以又因为（ 或） ，所以ABC DBC 1200考点：线面平行的判定及点到面的距离15 如图，ABC和BCD 所在平面互相垂直，且 AB BC BD 2，E、 F、 G分别为AC、 DC、 AD的中点.（ 1）求证：EF 平面BCG；（ 2）求三棱锥D-BCG的体积.1V Sh附：椎体的体积公式3 ，其中 S为底面面积，h 为

41、高 .【题源】 2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（辽宁卷带解析）1【答案】（1）详见解析；（2） 2【试题解析】试题分析：（1）由已知得，EF 是 ADC 的中位线，故EF /AD ，则可转化为证明 AD 平面BCG易证ABC DBC ，则有 AC DC ，则在等腰三角形ADC 和等腰三角形 ABD 中， 且 G 是 AD 中点， 故 CG AD ， BG AD 从而 AD 平面BCG， 进而 EF平面BCG；（2）求四面体体积，为了便于计算底面积和高，往往可采取等体积转化法由平面 ABC 平面 BCD ， 利用面面垂直的性质，易作出面BCD的垂线， 同时求出点A到面 BCD的

42、距离，从而可求出点G 到平面BCD 距离，即四面体G BCD 的高，进而求四面体体积（ 1）证明：由已知得ABC DBC 因此 AC DC 又 G 为 AD 中点，所以CG AD ；同理 BG AD；因此 AD 平面 BGC 又EF/AD所以EF 平面BCG（ 2） 在平面 ABC内 作 AO BC 交 CB延长线于O 由平面 ABC 平面BCD 知 AO 平面 BDC 又 G为 AD 中点，因此G到平面BCD距离h是 AO长度的一半在AOB 中，AO AB sin60031103所以3 S DBCVD BCGVG BCDh BD BC sin120322考点：1、直线和平面垂直的判定；2、面

43、面垂直的性质；3、四面体的体积16如图，在三棱锥ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB BC,AA1 AC 2,BC 1,E,F分别是A1C1,BC的中点1）求证 : 平面 ABE 平面B1BCC1 ；2）求证 : C1F 平面 ABE ；3）求三棱锥E ABC 体积【题源】 2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷带解析）3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 3 【试题解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.（1）在三棱柱ABCA1B1C1 中， BB1底面 ABC，所以BB

44、1AB，又因为AB BC，所以AB平面B1BCC1，因为AB 平面 ABE ，所以平面ABE 平面B1BCC1 .（2）取AB中点G，连结 EG，FG，1因为E， F分别是A1C1、 BC的中点，所以FG AC，且FG=2 AC，因为AC A1C1，且AC=A1C1，所以FG EC1，且FG= EC1 ，所以四边形FGEC1 为平行四边形，所以C1F/ EG，又因为 EG 平面ABE， C1F 平面ABE，所以C1F/平面ABE .（ 3）因为AA1 =AC=2， BC=1， AB BC，所以AB= AC2 BC23 ，1113V 1 S ABC AA1 113 1 23所以三棱锥E ABC

45、的体积为：3 ABC 1=3 2= 3 .考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想17如图，四棱锥P ABC D中， PA 平面 ABCD， AD BCAB AD AC 3，PA BC 4 ， M 为线段 AD 上一点，AM 2MD ， N 为 PC 的中点第 53 页，共 50 页（）证明MN 平面 PAB ；（）求四面体N BCM 的体积 .【题源】 2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷精编版）45

46、【答案】（）见解析；（）3 【试题解析】试题分析：（）取PB 的中点 T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N 到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果试题解析：（）由已知得，取 的中点 T ，连接，由 N 为 中点知，.又，故 平行且等于，四边形AMNT为平行四边形，于是.因为平面， 平面，所以平面.平面， N 为 的中点，所以 N 到平面的距离为取 的中点 ，连结. 由得，.由得 到 的距离为，故 S BCM 2 45 2 5 .1PA 4 5VN BCMS BCM所以

47、四面体的体积323 .【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】(1)证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；( 2)求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解18如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC 平面ABC，ABC=2 ，点D、 E在线段AC上，且AD=DE=EC，=2PD=PC=，点4F 在线段AB上，且 EF/BC.( ) 证明：AB 平面 PFE.( ) 若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.2015 年全

48、国普通高等学校招生统一考试文科数学(重庆卷带解析)(1) 见解析 (2) BC=3 或 BC=3 3PE AC ，再注意平面PAC 平面 ABC，且交线为 AC ，由面面垂直的性质可得PE 平面ABC，再由线面垂直的性质可得到AB PE ，再注意到EF/BC， 而 BC AB ， 从而有 AB EF ， 那么由线面垂的判定定理可得AB 平面PFEBC= x则可用x将四棱锥P DFBC 的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于 x的一个一元方程，解此方程，再注意到x 0即可得到BC的长试题解析：证明：如题（20）图. 由 DE EC, PD PC 知， E 为等腰 PDC 中 DC 边的中点，故PE AC