备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题62反证法在证明题中的应用(原卷版)

1、专题6262反证法在证明题中的应用【高考地位】反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。 它是数学学习中一种很重要的证题方法. .反证法证题的步骤大致分为三步：（1 1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2 2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3 3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立 其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等【方法点评】类型一证明“至多”或“至少”问题使用情景：证明“至多”或“至少”问题.解题模板：第一步首先假设命题不成立；第二步然后根据已知或

2、者规律推导出矛盾；第三步 最后得出结论 1 + X1 +y例 1.1. 若x, y 正整数，且x y 2。求证：2或2中至少有一个成立。yx【变式演练 1 1 】若下列方程：x x2+ 4ax4ax 4a4a+ 3 3= 0 0, x x2+ （a a 1 1）x x + a a2= 0,0, x x2+ 2ax2ax 2a2a=0 0 至少有一个方程有实根。则实数a a 的取值范围为_ 。类型二 证明“不可能”问题使用情景： 证明“不可能”问题.解题模板:第一步首先假设命题不成立；第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步最后得出结论 例 2.2.给定实数a, a工0,且 a a 韵，设函

3、数 y=y=zLzL（x x 壬 R R，且 x x 式丄），求证：经过这个函数图 axax 1 1a a象上任意两个不同的点的直线不平行于x x 轴.【变式演练 2 2】如图，设SA SB是圆锥SO的两条母线，0是底面圆心，C是SB上 点。求证：AC与平面SOB不垂直。a类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题.解题模板：第一步首先假设命题不成立；第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步最后得出结论. .例 3.3.求证：方程5x=12的解是唯一的.【变式演练 3 3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设否定“自然数a,b,c中恰

4、有一个偶数”时正确的假设为（）A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b, c中至少有两个偶数或都是奇数【高考再现】1.1.【20192019 高考山东文数】观察下列等式：n 22n o4(sin ) (sin )1 2;333n22n _23n24n/4(sin )(sin)(sin)(sin)2 3;55553n22n _23n _26n24(sin)(sin)(sin)亠 亠(sin)3 4;77773冗、_22n23n、_28n、_24(sin _)(sin一)(sin一)：- (sin一)4 5；99993照此规律，的

5、詠）八（sin爲厂+（sin爲宀+（sin翥宀-2.2.【20192019 高考广东，理 8 8】若空间中n个不同的点两两距离都相等， 则正整数n的取值（实根”时，要做的假设是（）A A.大于5B.B.等于5C.C.至多等于4D.D.至多等于33.3.【20192019 山东. .理 4 4】 用反证法证明命题“设a, b为实数，则方程x2ax0至少有一个A.A.方程x2ax0没有实根B.B. 方程x2ax0至多有一个实根C C 方程x2ax0至多有两个实根2D.D.方程x ax 0恰好有两个实根4.4.【20192019 高考北京，理 2020】已知数列曲满足：ai N*, a ai 363

6、6 ,且2a2an, a anw 1818,2a2an- -3636, a an. . 1818记集合M|n N*?.(I)若 a a - -6 6，写出集合 M M 的所有元素；(n)若集合 M M 存在一个元素是 3 3 的倍数，证明：M M 的所有元素都是 3 3 的倍数; (川)求集合 M M 的元素个数的最大值.【反馈练习】1.1. 【20192019 学年陕西延川县中学高二下学期期末数学(文)试卷】用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是()A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角2.2. 【20192019 学年江

7、西南昌市高三新课标一轮复习一数学试卷】用反证法证明命题“设f (x)=x3 3|x-a|(a R)为实数，则方程f(x) = 0至少有一个实根”时，要做的假设是()A A 方程f (x)没有实根B.方程f(x) =0至多有一个实根C.方程f (x) =0至多有两个实根D.方程f(X)=0恰好有两个实根3.3.【20192019 河北武邑中学高二上周考9.259.25 理数学试卷】在用反证法证明命题“已知a、b c0,2，求证a 2-b、b 2-c、c 2-a不可能都大于 1 1 ”时，反证时假设正确的是（）A.A. 假设a2-b、b2-c、c2-a都小于 1 1B.B. 假设a2-b、b2-c

8、、c2-a都大于 1 1C.C. 假设a 2 -b、b 2 - c、c 2 - a都不大于 1 1D.D. 以上都不对4.4. 【20192019 学年山东枣庄三中高二 6 6 月调查数学（理）试卷】用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于6060 度”时，反设正确的是（）A.A. 假设三内角都不大于 6060 度B.B. 假设三内角都大于 6060 度C.C. 假设三内角至多有一个大于6060 度D.D. 假设三内角至多有两个大于6060 度5.5. 【20192019 学年福建晋江平山中学高二下学期期中数学（文）试卷】用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a a, b b, c

9、c 中恰有一个偶数”正确的反设为A.A. a a, b b,c c 中至少有两个偶数B.B. a a, b b,c c 中至少有两个偶数或都是C C.a a ,b b,c c 都是奇数D.D. a a, b b,c c 都是偶数6.6.【20192019 河北武邑中学高二上周考9.259.25 理数学试卷】已知二次函数f x = ax2bx c a 0的图象与x轴有两个不同的交点，若f c =0,且0：x c时，f x j、0.1 （1 1）证明：1是f X =0的一个根;a1（2 2）试比较 与 c c 的大小；a（3）证明：-2 : b：1.7.7.【20192019 学年山东曲阜师大附中高二下学期期中数学（理）试卷】（1 1）求证:飞、7 2,5