中考数学培优易错试卷含解析之初中数学旋转及答案

1、中考数学培优易错试卷(含解析)之初中数学旋转及答案一、旋转1.如图1,在DABCD,AB=6,/B=5(60V仃W90°点.E在BC上，连接AE,把4ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.求证：四边形ABEF是菱形；(2)如图2,点M是BC上的动点，连接AM,把线段AM绕点M顺时针旋转口得到线段MN,连接FN,求FN的最小值(用含值的代数式表示).BECBME(图1)®2)13I【答案】(1)详见解析；(2)FEsin伊90。)【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF/BE,所以/FAE=ZBEA,由折叠的性质得/BAE=ZFAE,/BEA=

2、ZFEA所以/BAE=ZFEA故有ABHFE,因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF®此可得结论；11J(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明/ENG=90。一寸,利用菱形的性质得到13/FEN=/90；再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.【详解】(1)二.四边形ABCD是平行四边形， .AD/BC,/FAE=/BEA,由折叠的性质得/BAE=ZFAE,/BEA=ZFEA,BE=EF/BAE=ZFEA, .AB/FE 四边形ABEF是平行四边形，又be=ef 四边形ABEF是菱形；(2)如图1,当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G,使MG=AB,连接GN、EN.

3、/AMN=/B=«!,ZAMN+/2=/1+/BZ1=Z2又AM=NM,AB=MG.ABMAMGN/B=/3,NG=BM-，mg=ab=beEG=AB=NG1111.1./4=/ENG亍（180屈）=90又在菱形ABEF中，AB/EF/FEC=/B毋1113/FEN=/FEC-74=-（90。）=90EN.如图2,当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG=AB,连接GN、3综上所述，/FEN=90°当点M在BC上运动日点N在射线EH上运动(如图3)3当FNLEH时，FN最小，其最小值为FEsin(/90°)【点睛】/FEN本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距

4、离的问题，解题的关键是分类讨论得出=1-90°,再运用垂线段最短求出FN的最小值.2.在等边4AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA=OB=2,OC=OD=1,固定等边AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段ACBD也随之变化，设旋转角为a.（0<360。（1）当OCAB时，旋转角“=度；发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明.应用：（3）当A、CD三点共线时，求BD的长.拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值.【答案】（1）60或240；（2）AC=

5、BD理由见解析；（3）YH+1或；（4）PC的22最大值=3,pc的最小值=73-1.【解析】分析：（1）如图1中，易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC/AB,此时旋转角a=60或240°.（2）结论：AC=BD,只要证明AO84BOD即可.（3）在图3、图4中，分别求解即可.（4）如图5中，由题意，点C在以。为圆心，1为半径的。上运动，过点。作OHXABTH,直线OH交。于C'、C，线段CB的长即为PC的最大值，线段CH的长即为PC的最小值.易知PC的最大值二3,PC的最小值=73-1.详解：（1）如图1中，,4ABC是等边三角形，ZAOB=ZCOD=60

6、76;,当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC/AB,此时旋转角a=6减240°,故答案为60或240；（2）结论：AC=BD,理由如下：如图2中，ZCOD=ZAOB=60°,./COA=/DOB.在AOC和ABOD中，OAOBCOADOB,.AOCBOD,.,.AC=BD;COOD点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、(3)如图3中，当A、CD共线时，作OHLAC于H.在RtACOH中，.OC=1,ZCOH=30°,.CH=HD=1,OH=2/I.在RtAOH中,AH=J0A20H2=痘，BD=AC=CH+AH=1屈

7、22如图4中，当A、C、D共线时，作OHXACTH.易知AC=BD=AH-CH=1312综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为析31或而122(4)如图5中，由题意，点C在以0为圆心，1为半径的。上运动，过点0作OHXABTH,直线0H交。于C'、C，线段CB的长即为PC的最大值，线段CH的长即为PC的最小值.易知PC的最大值=3,PC的最小值=73-1.勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题.3.(12分)如图1,在等边4ABC中，点D,E分别在边A

8、B,AC上，AD=AE,连接BE,CD,点M、N、P分别是BE、CDBC的中点.1中，PMN的形状是ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，PMN的形状是否发生AD=1,AB=3,请直接写出4PMN(1)观察猜想：图(2)探究证明：把改变？并说明理由；(3)拓展延伸：把的周长的最大值.【答案】(3)6【解析】分析：(图1(1)等边三角形;ADE绕点A在平面内自由旋转，若(2)APMN的形状不发生改变,仍然为等边三角形，理由见解析;1)如图1,先根据等边三角形的性质得到AB=AC,ZABC=ZACB=60°,BD=CE,再根据三角形中位线性质得PM/CE,PM=CE,PN/AD,PN=

9、BD,从而得到PM=PN,/MPN=60°,从而可判断4PMN为等边三角形；(2)连接CEBD,如图2,先利用旋转的定义，把4ABD绕点A逆时针旋转CAE,贝UBD=CE,/ABD=/ACE与(1)一样可得PM=PN,/BPM=/BCE,60。可得到/CPN=/CBD,则计算出/BPM+/CPN=120从而得至ij/MPN=60；于是可判断PMN为等边三角形.(3)利用AB-AD由D系B+AD(当且仅当点B、A、D共线时取等号)得到BD的最大值为4,则PN的最大值为2,然后可确定4PMN的周长的最大值.详解：(1)如图1.4ABC为等边三角形，AB=AC,ZABC=ZACB=60&#

10、176;.AD=AE,点M、BD=CEN、P分别是BE、CDBC的中点,.PM/CE.PM=PN,PM=-CE,PN/AD,PN=-BD,/BPM=ZBCA=60；/CPN=ZCBA=60；/MPN=60；APMN为等边三角形;故答案为等边三角形；(2) APMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形.理由如下:连接CEBD,如图2.AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=60°,.把ABD绕点A逆时针旋转60可得到ACAE,.BD=CE,/ABD=/ACE与（1）一样可得PM/CE,PM=1cE,PNI/AD,PN=-BD,22.PM=PN,/BPM=/BCE,ZCPN=ZCBD,

11、/BPM+ZCPN=ZCBD+ZCBD=ZABC-/ABD+ZACBZACE=60+60=120；/MPN=60；APMN为等边三角形.1（3） PN=-BD,.当BD的值最大时，PN的值最大.2,AB-AD<BDqB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）BD的最大值为1+3=4,，PN的最大值为2,.PMN的周长的最大值为6.宙PCBP图IH2点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质.4.如图，在等腰4ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,且/BAC

12、=/DAE=120°.(1)求证：AB44ACE;(2)把ADE绕点A逆时针方向旋转到图的位置，连接CD,点M、P、N分别为DEDC、BC的中点，连接MN、PN、PM,判断4PMN的形状，并说明理由；(3)在(2)中，把4ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=6,请分别求出PMN周长的最小值与最大值.图圄【答案】（1）证明见解析；（2）4PMN是等边三角形.理由见解析；（3）4PMN周长的最小值为3,最大值为15.【解析】分析：（1）由/BAC玄DAE=120,可得ZBAD=ZCAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定AB44ADE;（2）PMN是等边三角形，利

13、用三角形的中位线定理可得PM=1CE）PM/CE,PN=1BD,PN/BD,同（1）的方法可得BD=CE即可得PM=PN,所22以4PMN是等腰三角形；再由PM/CE,PN/BD,根据平行线的性质可得/DPM=/DCE,/PNC=ZDBC,因为/DPN=ZDCB+/PNC=ZDCB+/DBC,所以/MPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+/DBC=ZACB+ZACE叱DBC=ZACB+/ABD+/DBC=/ACB叱ABC,再由/BAC=120,°可得/ACB+/ABC=60即可得ZMPN=60°,所以4PMN是等边三角形；（3）由（2）知，APM

14、N是等边三角形，PM=PN=bD,所以当PM最大时，4PMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM2最小，求得此时BD的长，即可得4PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得4PMN周长的最大值即可.详解：（1）因为/BAC=/DAE=120,所以/BAD=ZCAE,又AB=AC,AD=AE,所以AB44ADE;（2） PMN是等边三角形.理由：二.点P,M分别是CD,DE的中点，PM=1CE,PM/CE2点N,M分别是BC,DE的中点，.PN=1BD,PN/BD,2同（1）的方法可得BD=CE.PM=PN,.PMN是等腰三角形，.PM/CE,ZDPM=Z

15、DCE,1. PN/BD,/PNC=ZDBC,/DPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,/MPN=ZDPM+/DPN=/DCE+ZDCB+/DBC之BCE叱DBC=/ACB+ZACE叱DBC=ZACB+/ABD+ZDBC=ZACB+/ABC,/BAC=120,°ZACB+ZABC=60,°/MPN=60；.PMN是等边三角形.(3)由(2)知，4PMN是等边三角形，PM=PN=1BD2，PM最大时，4PMN周长最大，.点D在AB上时，BD最小，PM最小，BD=AB-AD=2,4PMN周长的最小值为3;点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，BD=AB+AD=10,

16、PMN周长的最大值为15.故答案为PMN周长的最小值为3,最大值为15点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第(3)问，要明确点D在AB上时，BD最小，PM最小，4PMN周长的最小；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，4PMN周长的最大值为15.5.如图1,菱形ABCD,AB4,ADC120°，连接对角线ACBD交于点O,1如图2,将VAOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的VA'BO与菱形ABCD重合部分的面积.2如图3,将VA'BO绕点O逆时针旋转交AB于点E',交BC于点F,求证：BE'

17、BF2;求出四边形OE'BF的面积.DDD【答案】1点?2证明见解析晅【解析】【分析】(1)先判断出4ABD是等边三角形，进而判断出EOB是等边三角形，即可得出结论;(2)先判断出04OBF,再利用等式的性质即可得出结论；借助的结论即可得出结论.【详解】1Q四边形为菱形，ADC1200,ADO600,VABD为等边三角形，DAO30°，ABO600,1.AD/A',0./A'OB=60°VEOB为等边三角形，边长OB2,重合部分的面积：立4J3,42在图3中，取AB中点E,6.点,连结DF、CF./EOE2BOF,又EO=BO,/OEEWOBF=60

18、, .OEE丝OBF, .EE'BF, .BE'+BF=BE'+EE'=BE=2由知，在旋转过程中始终有OEE0OBF,Saoee=Saobf,S四边形OEBF=SVOEBJ3.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键（10分）已知4ABC和4ADE是等腰直角三角形，/ACB=/ADE=90°,点F为BE中（1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2,在（1）的条件下将4ADE绕点A顺时

19、针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3,在（1）的条件下将4ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1,AC=/,求此时线段CF的长（直接写出结果）.四【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）2.【解析】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF根据/DFE=2/DCF/BFE=2ZBCF,得至U/EFD叱EFB=2ZDCB=90,°DF±BF;（2）延长DF交BC于点G,先证明ADE阵GCF，得至ijDE=CGDF=FG根据AD=DE,AB=BC得到BD=B

20、G又因为ZABC=90°,所以DF=CF且DF±BF;（3）延长DF交BA于点H,先证明ADEFAHBF,得到DE=BH,DF=FH,根据旋转条件可以4ADH为直角三角形，由4ABC和4ADE是等腰直角三角形，AC=G,可以求出AB的值，进而可以根据勾月定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF求出得CF的值.11II试题解析：（1）ZACB=ZADE=90,点F为BE中点,z.DF=BE,CF=BE.DF=CF ABC和ADE是等腰直角三角形，ZABC=45.° BF=DF,/DBF=ZBDF. /DFE=ZABE+ZBDF,./DFE=2ZDBF.同理得：/C

21、FE=2ZCBF, /EFD+ZEFC=2ZDBF+2/CBF=2ZABC=90.° .DF=CF且DF±CF.（2） （1）中的结论仍然成立.证明如下：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G. /ADE=ZACB=90DE/BC./DEF=ZGBF,/EDF=ZBGF. .F为BE中点，EF=BF.DEFGBF.DE=GB,DF=GF .AD=DE,.1.AD=GB. AC=BC,AC-AD="BC-GB."，DC=GC/ACB=90,°DCG是等腰直角三角形.DF=GFDF=CFDF±CF.3E(3)如图，延长DF交BA于

22、点H, ABC和ADE是等腰直角三角形,AC=BCAD=DE/AED=ZABC=45.°由旋转可以得出，/CAE玄BAD=90； AE/BC,，/AEB=/CBE./DEF玄HBF. .F是BE的中点，EF="BF."ADEFAHBF.1.ED=HB. AC=2；2,在RtABC中，由勾股定理，得AB=4. .AD=1,ED=BH=1.AH=3.在RtHAD中，由勾股定理，得DH=JJ5,a/IUa;TOXi.DF=/,CF=f.网线段CF的长为？.考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理.7.已知：在ABC中，BC=a,AC=b,

23、以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题：(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3,且/ACB=60,则CD=;(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6,且/ACB=90,则CD=;(3)如图3,当/ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的/ACB的度数.【答案】(1)3M；(2)3；63工(3)当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】(1) a=b=3,且/ACB=60,AABC是等边三角形，且CD是等边三角形的高线的2倍，据此即可求解；(2) a=b=6,且/ACB=90,AABC是等腰直角三角形，且CD

24、是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60。，则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b【详解】(1) ,.a=b=3,且/ACB=60,.ABC是等边三角形，.OC=2,L3.CD=3;(2)如石-九2；(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60。，则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,C鼻.CD=ED,/CDE=60,°AE=CB=a.CDE为等边三角形，.CE=CD当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE<AE+AC=a+b当点E

25、、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b只有当/ACB=120时，/CAE=180,即A、C、E在一条直线上，此时AE最大./ACB=120,°因此当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.BDCD有最大值的条件,本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解是解题的关键.DCDC8.正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD相交于点。，点E是AB边上的一个动点(点E不与点A、B重合)，CE与BD相交于点F,设线段BE的长度为x.(1)如图1,当AD=2OF时，求出x的值；(2)如图2,把线段CE绕点E顺时针旋转90°,使点C落在点P处，连接A

26、P,设APES的最大值.的面积为S,试求S与x的函数关系式并求出【答案】(1)x4产1;12+"(0vxv1)IllII当x="时，S的值最大，最大值为H试题分析：(1)过。作OM/AB交CE于点M,如图1,由平行线等分线段定理得到CM=ME,根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x1X1X戈-求得OF=OM=7解方程:工，即可得到结果；(2)过P作PG,AB交AB的延长线于G,如图2,根据已知条件得到/ECB4PEG根据1全等三角形的性质得到EB=PG=x由三角形的面积公式得到S=(1-x)?x,根据二次函数的性质即可得到结论

27、.试题解析：(1)过。作OM/AB交CE于点M,如图1,.OA=OC,，CM=ME,，AE=2OM=2OF,.OM=OF,OMOF.研二而,?BF=BE=xM.OF=OM=,(2)过P作PG±AB交AB的延长线于G,如图2, /CEP4EBC=90,° /ECB4PEG, .PE=EQ/EGP玄CBE=90,在EPG与CEB中，=三PECPE-EC.,.EPGACEB,EB=PG=x.AE=1-x,1S=，(1-x)?x=-?x2+?x=-II2°.一<0,(x-歹)12+8(0<x<1),1,2当x=P,时，S的值最大，最大值为考点：四边形综合

28、题9.如图2,边长为2的等边ABC内接于。O,4ABC绕圆心O顺时针方向旋转得到A'分别与AB、AC交于E、D点，设旋转角度为以工”而阴.图1图？(1)当q=_,A3'比色ABC出现旋转过程中的第一次完全重合；(2)当仪=60°时(如图1),该图()A.是中心对称图形但不是轴对称图形B.是轴对称图形但不是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形(3)如图2,当1°'<=<1平MDE的周长是否会发生变化，如会变化，说明理由，如不会变化，求出它的周长.【答案】(1)120°(2)C;(3)

29、的周长不变.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的中心角为120。可直接求解；(2)根据题意可知，当"=60°时，点A、A、B、甘、C'为。的六等分点，所有的三角形都是正三角形，由此可得到所有图形即是轴对称图形，又是中心对称图形;(3)得到结论：周长不发生变化，连接A41,根据弦相等，则它们所对的弧相等的性质可溷品即制扁,再根据等弧所对的圆周角相等，得等边的性质可得m,同理="7,因此可求目的周长田+即+办/1月'即+"'=北2.【详解】解：(1)120°.如图，可根据等边三角形的性质直接根据三角形的内角和求得/0=12

30、0;C卸(2) C(3) 的周长不变；理由如下：连接AA',5席孱I?牌局=皿F?井才同理，DA=DC的周长=凡1十"八即叼+即+"'=心=2考点：正多边形与圆，圆周角定理10.在4ABC中,AB=6,AC=BC=5将ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到4ADE旋转角为a(0°<a<180°)，点B的对应点为点D,点C的对应点为点E连接BD,BE.(1)如图，当a=60时，延长BE交AD于点F.求证：4ABD是等边三角形；求证：BF±AD,AF=DF;请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB,

31、垂足为点G,连接CE当/DAG=/ACB且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE勺值.【答案】（1）详见解析；3招-4;（2）13.【解析】试题分析：（1）由旋转性质知AB=AD,/BAD=60即可得证；由BA=BDEA=ED根据中垂线性质即可得证；分别求出BF、EF的长即可得；（2）由/ACB+/BAC+ZABC=180、°/DAG+ZDAE+ZBAE=180、°/DAG=ZACB/DAE=ZBAM/BAE=/BAC且AE=AC根据三线合一可得CE!AB、AC=SAH=3,继而知CE=2CH=8BE=5,即可得答案.试题解析：（1）:ABC绕点A顺时针方向旋转

32、60°得到AADE,.AB=AD,/BAD=60,°.ABD是等边三角形；由得4ABD是等边三角形，.AB=BD,ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADE,.AC=AEBC=DE又AC=BCEA=ED 点B、E在AD的中垂线上， .BE是AD的中垂线， 点F在BE的延长线上， BFXAD,AF=DF；由知BFXAD,AF=DF, .AF=DF=3, .AE=AC=5,EF=4,在等边三角形ABD中,BF=AB?sinZBAF=6J=3，BE=BF-EF=3冉-4；（2）如图所示，/DAG=ZACB,/DAE=ZBAG,/ACB+/BAC+ZABC=ZDAG+ZDAE+ZAB

33、C=180,°又/DAG+ZDAE+/BAE=180,ZBAE=ZABC,.AC=BC=AEZBAC=ZABC,ZBAE=ZBAC,JABXCE；且CH=HE=CE,-.AC=BC,1.AH=BH=-AB=3,贝UCE=2CH=8BE=5,.BE+CE=13考点：三角形综合题.11. (1)观察猜想如图，在4ABC中，/BAC=90,AB=AC点D是BC的中点.以点D为顶点作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上，连接AE,BG,则线段BG和AE的数量关系是；(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360°)

34、,如图2,则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.解决问题若BC=DE=2在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值.连接AD.ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90°,点D是BC的中点./ADB=90；且BD=AD./BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADE,DG=DE.,.BDGAADE.BG=AE.分7(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270。时，BG最大，如图.若BC=DE=2,贝UAD=1,EF=2.在RtMEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2

35、+EF2=(1+2)2+22=13.AF=-【解析】解：(1)BG=AE.(2)成立.如图，连接AD.ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90。，点D是BC的中点./ADB=90；且BD=AD./BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADE,DG=DE.,.BDGAADE,.BG=AE.（3）由（2）知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+K因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图.若BC=DE=2,贝UA

36、D=1,EF=2.在RtAEF中，AF2=AE2+EF2=（AD+DE）2+EF2=（1+2）2+22=13.AF=.即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=JN.12.思维启迪：（1）如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD/AB交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米，那么A,B间的距离是米.思维探索：（2）在4ABC和4ADE中，AC=BC,AE=DE,且AEvAC,ZACB=ZAED=90&

37、#176;,将4ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时ADE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧)，设旋转角为%连接BD,点P是线段BD的中点，连接PC,PE.如图2,当4ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是; 如图3,当“=90。时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 当150°时，若BC=3,DE=l,请直接写出PC2的值.【答案】(1)200;(2)PC=PE,PCXPE;PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE,PCXPE,见解析；PC2=103庭.【解析】【分析】(1)由CD/AB,可

38、得/C=/B,根据/APB=/DPC即可证明ABPDCP,即可得AB=CD,即可解题.(2)延长EP交BC于F,易证4FB国4EDP(SAS可得EFC是等腰直角三角形，即可证明PC=PE,PCXPE. 作BF/DE,交EP延长线于点F,连接CECF,易证FBEDP(SAS,结合已知得BF=DE=AE,再证明FBCEAC(SAS,可得EFC是等腰直角三角形，即可证明PC=PE,PCXPE. 作BF/DE,交EP延长线于点F,连接CECF,过E点作EHI±AC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，ZCAE=150。，DE与BC所成夹角的锐角为30。，得/FBC=/EAC,同可证可得PC=P

39、E,PCXPE,再由已知解三角形得.EG=CH2+HE2=103/3,即可求出PC21EC22以322【详解】(1)解：CD/AB,，/C=/B,在ABP和4DCP中，BPCPAPBDPC,BC.ABPADCP(SAS,.DC=AB.AB=200米.CD=200米，故答案为：200.(2)PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE,PCXPE.理由如下：如解图1,延长EP交BC于F,同(1)理，可知AFBPAEDP(SAS, .PF=PEBF=DE,又,.AC=BC,AE=DE,FC=EC,又ZACB=90°, .EFC是等腰直角三角形， EP=FP, .PC=PEPCXPE.P

40、C与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE,PCXPE.理由如下：如解图2,作BF/DE,交EP延长线于点F,连接CECF,同理，可知AFBPAEDP(SAS,一1-BF=DE,PE=PF=EF,21 .DE=AE,.BF=AE,2 .当a=90时，/EAC=90；3 .ED/AC,EA/BC.FB/AC,/FBC=90,/CBF=/CAE在FBC和EAC中，BFAECBECAE,BCAC.,.FBCAEAC(SAS,.CF=CE,/FCB=/ECA4 /ACB=90；/FCE=90;.FCE是等腰直角三角形，EP=FP,1L.CP±EP,CP=EP=EF.2如解图3,作BF/DE

41、,交EP延长线于点F,连接CECF,过E点作EHLAC交CA延长线于H点，当a=150。时，由旋转旋转可知，ZCAE=150。，DE与BC所成夹角的锐角为30。，/FBC=/EAC=a=150°同可得FBPEDP(SAS),同4FCE是等腰直角三角形，CP±EP,CP=EP=CE,2在RtAHE中，ZEAH=30°,AE=DE=1,.HE=1,AH=2又AC=AB=3,.CH=3+_I,2.EC2=CH2+H=1033.p1ec2103322【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30。直角三角形性质

42、等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题.13.(1)问题发现如图1.4ACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=90,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为.(2)拓展探究如图2QACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90，请判断AD,BE的关系，并说明理由.解决问题如图3,线段PA=3点B是线段PA外一点，PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围.【答案】(1)AD=BE,AD±BE.(2)AD=BE>ADXBE.(3)5-372<PC&l

43、t;5+2.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质证AC*4BCE(SAS,得AD=BE,/EBC=ZCAD,延长BE交AD于点F,由垂直定义得AD，BE.(2)根据等腰三角形性质证AC*BCE(SAS,AD=BE,ZCAD=ZCBE由垂直定义得/OHB=90,AD±BE;(3)作AE±AP,使得AE=PA则易证APEACP,PC=BE当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE故5-3J2WBEW5戒.【详解】(1)结论：AD=BE,AD±BE.理由：如图1中， ACB与DCE均为等腰直角三角形，.AC=BC

44、,CE=CD/ACB=ZACD=90；在RtACD和RtBCE中AC=BCACD=BCECD=CE .ACDABCE(SAS,.AD=BE,/EBC4CAD延长BE交AD于点F,BC±AD, /EBC+ZCEB=90,° /CEB=AEF /EAD+/AEF=90,° ./AFE=90,°即AD±BE.AD=BE,AD±BE.故答案为AD=BE,ADXBE.(2)结论：AD=BE,AD±BE.理由：如图2中，设AD交BE于H,AD交BC于O.3 ACB与DCE均为等腰直角三角形，.AC=BC,CE=CD/ACB=/ECD=9

45、0,4 .ACD=ZBCE,在RtACD和RtBCE中AC=BCACD=BCE,CD=CE5 .ACDABCE(SA§,.AD=BE,/CAD=/CBE6 /CAO+/AOC=90；/AOC=ZBOH,7 /BOH+ZOBH=90；/OHB=90；ADXBE,.AD=BE,AD±BE.(3)如图3中，作AE±AP»,使得AE=PA则易证APEACP.PC=BE图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3/2,图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3/2,.5-3VWBEW5+32,即5-3-220PCW

46、5+32.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.OABC的14.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为（5,0）,菱形顶点B,C在第一象限，tan/AOC.,将菱形绕点A按顺时针万向旋转角a(0°云AOC)得到菱形FADE(,岚O的对应点为点F),EF与OC交于点G,连结AG.(1)求点B的坐标；(2)当OG=4时，求AG的长；(3)求证：GA平分/OGE;(4)连结BD并延长交X轴于点P,

47、当点P的坐标为(12,0)时，求点G的坐标.【答案】(8,4);(2)斤；(3)(丁，=)./【解析】试题分析：(1)如图1,过点B作BHI±x轴于点H,由已知可得/BAH=/COA在RtABH中,4tanZBAH=tanZAOC=7,AB=5,可求得BH=4,AH=3,所以OH=8,即可得点B的坐标为、一_4_(8,4);(2)如图1,过点A作AMLOC于点M,在RtAAOM中，tan/AOC、,OA=5,3可求得AM=4,OA=3,所以GM=1,再由勾股定理即可求得AG=/r；(3)如图1,过点A作ANLEF轴于点N,易证AOMAFN,根据全等三角形的性质可得AM=AN,再由角平分线的判定可得GA平分/OGE;(4)如图2,过点G作GQ±x轴于点Q,先证GOAsBAP20is根据相似三角形的性质求得