2020-2021中考数学圆与相似提高练习题压轴题训练附详细答案

1、(1)(2)(3)根据平行线的性质可以得出:EhBh»=五、2020-2021中考数学（圆与相似提高练习题）压轴题训练附详细答案一、相似1.如图，ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm,高AD=24cm,要加工成矩形零件,使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上.AK为何值时，矩形EFGH是正方形？若设AK=x,SEFGH=y,试写出y与x的函数解析式.x为何值时，Sefgh达到最大值.xcm,【答案】（1）解：设边长为-矩形为正方形，.EH/AD,EF/BC,jtAE应=由题意知EH=x,AD=24,BC=16,EF=x)BE+AE=ABBhAE二1,解得x=

2、5时，矩形EFGH为正方形(2)解：设AK=x,EH=24-x,.EHGF为矩形，,即EF=x,，SEFGH=y=3x?(24-x)=-JX2+16x(Ovxv24)(3)解：y=-Jx2+16x配方得：y=(x-12)2+96,，当x=12时，SEfgh有最大值96【解析】【分析】(1)设出边长为xcm,由正方形的性质得出，EH/AD,EF/BC,根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。(2)设AK=x,则EH=16-x,根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。(3)

3、将(2)中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。2,已知二次函数y=ax2+bx2的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),且当x=2和x=5时二次函数的函数值y相等.(2)如图，动点E,F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动.当点E停止运动时，点F随之停止运动.设运动时间为t秒.连接EF,将4AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到ADEF.是否存在某一时刻t,使得4DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；设4DEF与

4、4ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式.:16&4b-2=0p-士【答案】(1)解：由题意得：5泌2=2/命'励2,解得：a=上,b=三>3(2)解：由(1)知二次函数为二='(4,0),B(-1,0),C(0,-2),.OA=4,OB=1,OC=2,AB=5,AC=八'，BC",.AC2+BC?=25=AE2,.ABC为直角三角形，且/ACB=90.°AfAff由.AE=2t,AF=/t,.,丽留二.又./EAF=ZCAB, .AEDACB,，/AEF=/ACB=90,° .AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D

5、处;由翻折知，DE=AE.AD=2AE=4t,EF=_AE=t.假设ADCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：i）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2,a.AE=&AB=*t=-+2=;ii）若D为直角顶点，如图3.图3 /CDF=90,°/ODC+/EDF=90,° /EDF=ZEAF,/OBC+ZEAF=90,°/ODC=ZOBC,BC=DC .OCXBD,.OD=OB=1,.AD=3,.AE=I£,I-.1-1=匕,当点F在AC延长线上时，/DFO90°,DCF为钝角三角形.综上所述，存在时刻t,使得4DCF为直角三角形，t

6、=，或t=?.22i）当0VtW,时，重叠部分为ADEF如图1、图2,，S=-X2tt=t口ii）当l<tW时，设DF与BC相交于点G,则重叠部分为四边形BEFG如图4,过点G作GHXBETH,13a设GH=m,贝UBH=/,DH=2m,.DB=1.3m2.DB=AD-AB=4t-5,.?=4t-5,m='(4t5),/12134025-HT=产*2 .S=SDEF-Sadbg=工；X2t以4(4t5)X.J(4t5)=333；iii）当2vtV时，重叠部分为ABEGJ,如图5.3 BE=DE-DB=2t-(4t5)=5-2t,GE=2BE=2(52t),1.S=125-2t)X

7、2(5-2t)=4t2-20t+25.5产stw713540255s-r+rJ（W少3334Ib,4产-的十25（2：fW-）综上所述：.【解析】【分析】（1）根据已知抛物线的图像经过点A,以及当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等两个条件，列出方程组求出待定系数的值即可。（2）由x=0及y=0时，求出点A、BC三点的坐标，以及线段OA、OB、OC的长，禾U用勾股定理的逆定理证明4ABC是直角三角形，用含t的代数式表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角/OAC能判定AEF、AAOC相似，可证得4AEF也是一个直角三角形，及/AEF是直角；若4D

8、CF是直角三角形，可分成三种情况讨论：i）点C为直角顶点，由于4ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；ii）点D为直角顶点，此时/CDB与/CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD,再得到AD的长后可求出t的值；iii）、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，/DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，/DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意.此题需要分三种情况讨论：忸i）当点E在点A与线段AB中点之间时，即当0vt4两个三角形的重叠部分是整个DEF;与ii）当点E在线段AB中点与点。之间时，即'vtw对，重叠部分是个

9、不规则四边形，根据S=Sdef-Sadbg可求解。iii）当点E在线段OB上时，即2vtw时，重叠部分是个小直角三角形，根据三角形的面积公式，即可求解。3.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点0.点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于点E,过点Q作QF/AC,交BD于点F.设运动时间为t（s）（0vtv6）,解答下列问题：工T尸DBC（1）当t为何值时，4AOP是等腰三角形?(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2

10、),试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形oecqeSaacd=9:16?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OD平分/COP?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：二.在矩形ABCD中，Ab=6cm,BC=8cm,.AC=10,当AP=PO=t,如图1,过P作PMXAO,.AM=图AO=,/PMA=/ADC=90；/PAM=/CAD,.APMAADC,1. AP=t=",当AP=AO=t=5, 当t为5或5时，AOP是等腰三角形(2)解：作EHI±AC于H,

11、QMLAC于M,DNLAC于N,交QF于G,在APO与ACEO中， /PAO=ZECOAO=OC,/AOP=/COE.AOPACOE, .CE=AP=t .CEHhAABC,EHCbABAC,a .EH=',Ai).CLJJDN=AC=5,1.QM/DN,.CQMACDN,QM§Q#CQ246加a,即5,24-4t.QM=5,2424-4t4DG=55=5,1. FQ/AC,.DFQsDOC,FQ£d.而,迹aFQ=',/3I524-4tPx5x+6-.r+5)+-,S五边形oecq=Saoec+S四边形ocqf=1h二匕7r3一产+-r*1232,1/3S

12、-r+712.S与t的函数关系式为32(3)解：存在，.Saacd=4X6X8=241n3I|5-p+二J*rS五边形oecqfSacd=(1'-):24=9:16,解得t=-,t=0,(不合题意,舍去)，Ft=-时，S五边形S五边形oecqfSaacd=9:16(4)解：如图3,过D作DMAC于M,DNAC于N,或/POD=/COD,24，DM=DN=5,.ON=OM=嫄-极=工，,.OP?DM=3PD,55t，OP=8,185't.PM=58,门1852241(8-(-、t)*A)8$,解得：t1小合题意，舍去)，t2.88当t=2.88时，OD平分/COP.【解析】【分析

13、】(1)根据矩形的性质可得：AB=CD=6BC=AD=8,所以AC=10;而P、Q两点分别从A点和D点同时出发且以相同的速度为1cm/s运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，所以点P不可能运动到点D;所以4AOP是等腰三角形分两种情况讨论：当AP=PO=t时，过P作PMLAO,易证CQMsCDN,可得比例式即可求解；当AP=AO=t=5时，4AOP是等腰三角形；(2)作EHI±AC于H,QMLAC于M,DNLAC于N,交QF于G,可将五边形转化成一个三角形和一个直角梯形，则五边形OECQF的面积S=三角形OCE的面积+直角梯形OCQF的面积；1(3)因为三角形ACD的面积=-

14、ADCD=24,再将(2)中的结论代入已知条件S五边形S五边形OECQFSACCF9：16中，可得关于t的方程，若有解且符合题意，则存在，反之，不存在；(4)假设存在。由题意，过D作DM，AC于M,DNAC于N,根据角平分线的性质可得1111LmLh.一v.DM=DN,由面积法可得；三角形ODP的面积=-OP'DM=：PD=；CD=3PD,所以可得OP?DM=3PD,则用含t的代数式可将OP和PM表示出来，在直角三角形PDM中，用勾股定理可得关于t的方程，解这个方程即可求解。4.在矩形ABCD中，BC=6,点E是AD边上一点，/ABE=30°,BE=DE,连接BD动点M从点E

15、出发沿射线ED运动，过点M作MN/BD交直线BE于点N.(2)设MN长为x,以M、N、D为顶点的三角形面积为y,求y关于x的函数关系式；(3)当点M运动到线段ED的中点时，连接NC,过点M作MFXNC于F,MF交对角线BD于点G(如图2),求线段MG的长.【答案】(1)证明：,ABE=30曲=的”,上£如二上用后二招J.一褊/BL,:过点也乍以上强于点心，则也二芦./4£，a/xH/v在后/dffi中，1M一瓦-cosJKJEM-Eh.=匹即=/就解：在木，中，上我过=兆，,助此:了三工即/a.当点功在线段也上时，过点力作仃上也于点1,在后范小中,1I以-蝴二-jjJema

16、HC由(1)可知：呵二<送对,陋BE-DE-DM淞：.r1£0”g-('卜”W=BE«V-4aDM-NE-DE-x-4b.当点出在线段口延长线上时，过点口作"r/也于点/2NI'y3I在修&A/E中，、5%；3度-雄-DE-r-4y-您A7:一X-尤jx-4)-x-a.77>?r>31R-Zf,iL#(3)解：连接C,交应于点.V1.儿为的中点EM-DM.CD=AB=AB.t60'二二飞后,|溜=山卷/亦，。黑21cos/f她：_-二_航/士，.-.）分蛆=60a,q-_/._.-i-_<?4乂口一一.必II

17、阅.八疝D二/崔班二M,II龙V二一和二二x2;、1J,膨=/刷卡相=712+18=刈',.上海二口户-/西1,上她：1=9（f-NGMl',j心-j，*，!,又ZAMl二4一蚪七二9中,.J侬SM6,附淤外厅为谷='.第一心，即胸一/,【解析】【分析】（1）过点E作EHLMN于点H，由已知条件易得EN=EM,解直角三角形EMH易得MH和EM的关系，由等腰三角形的三线合一可得MN=2MH即可求解；（2）在RtABE中，由直角三角形的性质易得DE=BE=2AE由题意动点M从点E出发沿射线ED运动可知点M可在线段ED上，也可在线段ED外，所以可分两种情况求解：当点M在线段E

18、D上时，过点N作NILAD于点I，结合（1）中的结论MN=J，EM即可求解；当点M在线段ED延长线上时，过点N作NI'XAD于点I',解RtANI'和我也；、/二可1求得NI'和NE,则DM=NE-DE,所以以M、N、D为顶点的三角形面积y=MD.NI可求解；（3）连接CM,交BD于点N',由（2）中的计算可得MN、CDMC的长，解直角三角形CDM可得/DMC的度数，于是由三角形内角和定理可求得/NMC=必，根据平行线的性/质可得DMN'是直角三角形，根据直角三角形的性质可得MN=MD;则NC的长可求，由已知条件易得ANMSAMNG根据所得的比例

19、式即可求解.5.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2:0）,点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD,作，交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.图（1）图（2）（1）填空：点B的坐标为;（2）是否存在这样的点D,使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；鹿小（3）求证：加3；设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式（可利用的结论），并求出y的最小值【答案】（1）I忆（心，虫（2）解：存在，理由如下：i,.OA=2,OC=2V；I,AG£tan/ACO

20、="=，/ACO=30,ZACB=60°如图（1）中，当E在线段CO上时，DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC/DCE=ZEDC=30,°/DBC=ZBCD=60,° .DBC是等边三角形， .DC=BC=Z在RtAAOC中， /ACO=30；OA=2, .AC=2AO=4,.AD=AC-CD=4-2=2,当AD=2时，ADEC是等腰三角形，如图（2）中，当E在OC的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有CD=CE,/DBC=ZDEC=ZCDE=15,°/ABD=ZADB=75;，AB=AD=",综上所述，满足条件的AD的

21、值为2或26.(3)如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。®(1) .A(0.2)和C(23,0), 直线AC的解析式为y=-33x+2,设D(a,-33a+2),DN=-33a+2,BM=23-a /BDE=90,° /BDM+ZNDE=90,ZBDM+ZDBM=90:/DBM=ZEDN, /BMD=ZDNE=90: .BMDADNE, .DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如图(2)中，作DHI±AB于Ho0(2)在RtAADH中， .AD=x,ZDAH=ZACO=30,°.DH=12AD=12x,AH=AD2-DH2=32x,.

22、BH=23-32x,在RtBDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2, .DE=33BD=3312x2+23-32x2, .矩形BDEF的面积为y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即y=33x2-23x+43,y=33x-32+3.33>0,，x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】(1)四边形AOCB是矩形，BC=OA=2,OC=AB=曰,/BCO土BAO=90;.B(3,2)【分析】(1)根据点A、C的坐标，分别求出BCAB的长，即可求解。(2)根据点A、C的坐标，求出/ACO,ZACB的度数，分两种情况讨论：如图(1)中，当E在线段CO上时，DE

23、C是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC如图(2)中，当E在OC的延长线上时，DCE是等腰三角形，只有CD=CE,/DBC=/DEC=ZCDE=15，分另1J求出AD的长，即可求解。(3)如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。利用待定系数法求出直线AC的解析式，设D(a,-二7a+2),分别用含a的代数式表示出DN、BM的长，再证明BMDADNE,然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；如图(2)中，作DHXAB于H。设AD=x,用含x的代数式分别表示出DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出y与x的函数关系式，求出顶点坐标，即可求解。

24、6.如图，/C=90°,点A、B在/C的两边上，CA=30,CB=20,连结AB.点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止.当点P与B、C两点不重合时，作PD±BC交AB于D,作DE±AC于E.F为射线CB上一点，且/CEF4ABC设点P的运动时间为x(秒).(1)用含有x的代数式表示CE的长；(2)求点F与点B重合时x的值；(3)当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y(平方单位).求y与x之间的函数关系式；(4)当x为某个值时，沿PD将以D、EF、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成

25、不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出所有符合上述条件的x彳1.【答案】(1)解：./C=90,PD±BC,.DP/AC,.DBPABC,四边形PDEC为矩形,CE=PD.CB20CAXPB30X4xPD-二-确.CE=6k(2)解：/CEF4ABC,/C为公共角,.CEfACBACACAXCE30X6xCF-赛CB2026解得9.解得26X-A5260,时,PD(PFDE)6x(20-13x-4x)r=-51x2+120x.当J<xw"时,=-(204(20-4x)216.16040GX-3)26(4)解：如图，当PD=PF时,6x=20-13x,解得:x=g

26、;AB?D的拼成的三角形;(3)解：当点F与点P重合日BP+CF=CB4x+9x=20,4x+9x=20,解得:;ABDC为拼成的三角形;如图，当DE=PB20-4x=4x,解得：x=-,4DPF为拼成的三角形图【解析】【分析】（1）首先证明ABJDB叫FEC即可得出比例式进而得出表示CE的长；（2）根据当点F与点B重合时，FC=BC即可得出答案；（3）首先证明podRtADO®RtCEF,得出匠一O,即可得出y与x之间的函数关系式；（4）根据三角形边长相等得出答案.7.操作：|4以和417二都是等边三角形，,绕着14点按顺时针方向旋转，Id是留、，/的中点，有以下三种图形.探究：K

27、B（1）在上述三个图形中，月金庭是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个比值；（2）也!二侬1的值是否也等于这个定值，若是，请结合图（1）证明你的结论；（3）也与所1有怎样的位置关系，请你结合图（2）或图（3）证明你的结论.7BO=-BC【答案】（1）解：.工欣是等边三角形，由图（1）得AOLBC,2（2）证明：曲:a=,AO:HO=品叮5加*4仍-OA'一；丁"-婚，AAOA心8g（3）证明：在图（3）中，由（2）得金才四'I"：；=T：嗯=/飞,?/2+Z4=Z1+Z3,即/AEF=/AOB/AOB=90；一/1阳二上:抬二9（fAAj就AC【

28、解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AO±BC,BO=_BC=JAB,根据勾股定理计算即可求得AO=、B0,即AO：BO是一个固定的值卜乃：1;（2）由等边三角形的性质可得A0±BC,上BG,由同角的余角相等可得I*仇城二小在对1,由（1）可得AO:BO=AO：BO,可得8%/，根据相似三角形的性质可得a/:期二部门；（3）在图（3）中，由（2）得加君凉，根据相似三角形的性质可得/1=/2,根据对顶角相等得/3=/4,则/2+/4=/1+/3=/AOB=90,即AA±BB.8,在I/血中，/为二耳边上一点，过点必作鹿夕夜交附于点上，以座为折线，将便上翻折，设

29、所得的）不闻与梯形四花重叠部分的面积为13.（甲）图（乙）蠹用图（1）如图（甲），若二，-必JG,比'=*,招；，则>的值为如图（乙），若业/="，反'"，忸为"中点，则的值为.（3）若一刃期，-必比1,设.初二上.求与3的函数解析式.是否有最大值，若有，求出F的最大值；若没有，请说明理由.【答案】(1),一j(2)12(3)解：如图a,作口工比于点区，在Rl八.的中，./E30",-16,1BC，-,，山/=产"，当3落在岗上时，1为您的中点：当5:时，如图c,设DA,EA分别交优于风力，由折叠可知,AADEADE,.D

30、A二也d二方|上了/二；，.班/比，.-./-，飞掰=DB=10-I二B=2s0谢同2x-10.慎.士附。26:时，M值最大，最大值为U(>.阳=W,.48AADEs4必边上的高为百S应二一、K12X8二世,在，二/为.好的中点,AD1$Q在_AD"7AB.,SaABC邮兀，5,破，,2,，y-12,【分析】(1)&D自梯形DBCE重叠部分的面积y就是AA'D的面积。用勾股定理求得另一直角边AC=8,由折叠的性质可得？AD电?DE,因为DE/BC,由相似三角形的判定可得ADEsABC,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得4ADE的面积乜=ABC的面积，则

31、.DE的面积即可求解；(2)根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解；(3)作AHLBC于点H,在RtABH中，解直角三角形ABH可求得AH的长，4ABC的面积可求解，当A'落在BC上时，D为AB的中点，即x=5故分以下两种情况讨论：当0<xW5时，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得ADEsABC,由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解；当5Vx<10时，设DA,EA'分别交BC于M,N,由折叠可知，AADEAADE,MANAD/AE由相似三角形的性质即可求解。二、圆的综合9.如图，。的半径为6cm,经过。上一点C作。的

32、切线交半径OA的延长于点B,作/ACO的平分线交。于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.(1)求证：AC/OD；试题分析：(1)由OC=OD,CD平分/ACQ易证得/ACD=/ODC,即可证得AC/OD;(2)BC切。于点C,DELBC,易证得平彳T四边形ADOC是菱形，继而可证得4AOC是等边三角形，则可得：/AOC=60°,继而求得弧AC的长度.试题解析：(1)证明：OC=OD,ZOCD=ZODC.CD平分/ACO,/OCD=ZACD,/ACD=ZODC,.AC/OD;(2)BC切。于点C,BC±OC.DE±BC,.OC/DE,AC/OD,.四边形ADO

33、C是平行四边形.OC=OD,.平行四边形ADOC是菱形，OC=AC=OA,4AOC是等边三角形，ZAOC=60°,.弧AC的长度=606=2Tt.180点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.,AD是。O的10.如图，在4ABP中,C是BP边上一点，/PAG=/PBA。是4ABC的外接圆直径，且交BP于点E.（1）求证：PA是。的切线；（2）过点C作C。AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG?AB=12,【答案】（1）证明见解析（2）2J3【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出/ACD=9

34、0以及利用/PAC=/PBA得出/CAD+ZPAC=90进而得出答案；（2）首先得出CA84BAC,进而得出ACAGAB,求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图，.AD是。O的直径，/ACD=90; /CAD+ZD=90; /PAG/PBA,/D=ZPBA, /CAD+ZPAC=90;即/PAD=90°, PAXAD, .PA是。O的切线；求AC的长.(2)-CF±AD,/ACF+ZCAF=90:ZCAD+ZD=90；/ACF=ZD,/ACF=ZB,而/CAG=ZBAC,.ACGAABC,.AC:AB=AG:AC,AC2=AG?AB=12,AC=23，11,已知：如图

35、，ABC中，AC=3,/ABC=30°.（1）尺规作图：求作ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法;（2）求（1）中所求作的圆的面积.【答案】（1）作图见解析;【解析】2）圆的面积是9兀.试题分析：（1）按如下步骤作图：作线段AB的垂直平分线；作线段BC的垂直平分线；以两条垂直平分线的交点。为圆心，OA长为半圆画圆，则圆。即为所求作的圆.如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC=3,如图弦AC所对的圆周角是/ABC=30°,所以圆心角/AOC=60°,所以？AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积.(2)连接OA,OB.,.AC

36、=3,/ABC=30,°ZAOC=60；.AOC是等边三角形，圆的半径是3,，圆的面积是S=ti2=9兀12 .函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1,在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6,0）、B（0,2）,点C（x,y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量x、V,若最大值存在，设最大值为m,则有函数关系式y=-x+m,由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为;(2)请你用(1)中小明的想法解决下面问题：如图2,以(1)中的AB为斜边在右上方作R9ABM.

37、设点M坐标为(x,y),求(x+y)的最大值是多少？【答案】(1)6(2)4+2亚【解析】分析：(1)根据一次函数的性质即可得到结论；(2)根据以AB为斜边在右上方作RtAABC,可知点C在以AB为直径的OD上运动，根据点C坐标为(x,y),可构造新的函数x+y=m,则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与。D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为(3+J5,1+J5),代入直线y=-x+m,可得m=4+2j5,即可得出x+y的最大值为4+25.详解：(1)6;(2)由题可得，点C在以AB为直径的OD上运动，点C坐标为(x,y),可构造新的函数x+y=m,则函数与

38、y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与。D相切，交x轴与E,如图所示，连接OD,CD.,.A(6,0)、B(0,2),D(3,1),.,.OD=32=0，.cd=VTq.根据CD,EF可得，C、D之间水平方向的距离为J5,铅垂方向的距离为55,-C(3+J51+J5),代入直线y=-x+m,可得：1+J5=(3+J5)+m,解得：m=4+2石，x+y的最大值为4+2J5.故答案为：4+2J5.点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解.13 .已知A

39、(2,0),B(6,0),CB±x轴于点B,连接AC画图操作：(1)在y正半轴上求作点巳使得/APB=/ACB(尺规作图，保留作图痕迹)理解应用:(2)在(1)的条件下， 若tan/APB,求点P的坐标2当点P的坐标为时，/APB最大拓展延伸：(3)若在直线yx+4上存在点3巳使得/APB最大，求点P的坐标【答案】(1)图形见解析(2)(0,2),(0,4)(0,273)(3)(W55试题分析：(1)以AC为直径画圆交y轴于P,连接PAPB,/PAB即为所求;(2)由题意AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P',易知P(0,2),P'(0,6

40、)； 当。K与y轴相切时，/APB的值最大，(3)如图3中，当经过AB的园与直线相切时，/APB最大.想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：(1)/APB如图所示；图1(2)如图2中，/AP±/ACB,tanZACB=tanZAPB=-=-AB.A(2,0),B2BC(6,0),.AB=4,BC=8,.C(6,8),，AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P',易知P(0,2),P'(0,6).当。K与y轴相切时，/APB的值最大，此时AK=PK=4,AC=8,-BC=x/AC2AB2=473,-C(6,473),-K(4,2亚)，“(

41、0,2«).故答案为：(0,2.3).(3)如图3中，当经过AB的园与直线相切时，/APB最大.直线y_4x+4父x轴于M3(3,0),交y轴于N(0,4).MP是切线,MP2=MA?MB,，MP=3j5,作PK!OA于ONOMNMK.ON/PK,=，PKMKMPJ3_二.pk=12V5改=京=3«'k'MK=95,OK=95-3,P(95-3,125)5555点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题.

42、14.已知：BD为。的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作。的切线交DA的延长线于点F,点C为。上一点，且AB=AC,连接BC交AD于点E,连接AC.(1)如图1,求证：/ABF=/ABC;(2)如图2,点H为。内部一点，连接OH,CH若/OHC=/HCA=90°时，求证：CH=1DA；2在(2)的条件下，若OH=6,。的半径为10,求CE的长.21见解析；(2)见解析；(3)51由BD为eO的直径，得到DABD90°,根据切线的性质得到CABC,等量代换即可得到ACOCOH,根据等腰三角形ACBOCB,根据相似三角形FBAABD90°，根据等腰三角形的性质得

43、到结论；2如图2,连接OC,根据平行线的判定和性质得到的性质得到OBCOCB,ABCCBO的性质即可得到结论；3根据相似三角形的性质得到胆胆2,根据勾股定理得到OHOCADJBD2AB216,根据全等三角形的性质得到BFBE，AFAE,根据射影e/口122八定理得到AF9,根据相交弦定理即可得到结论.161QBD为eO的直径,BAD90°,DABD90°,QFB是eO的切线,FBD90°,FBAABD900,FBAD,QABAC,CABC,QCD,ABFABC；2如图2,连接OC,或QOHCHCA90o,AC/OH,ACOCOH,QOBOC,OBCOCB,ABCC

44、BOACBOCB,即ABDACO,ABCCOH,QHBAD900,VABDsVHOC,ADBD八2,CHOC-1CH-DA；23由2知，VABCsVHOC,ABBD八2,OHOCQOH6,eO的半径为10,AB2OH12,BD20,AD,BD2AB216，在VABF与VABE中,ABFABEABABBAFBAE90°VABFVABE,BFBE,AFQFBDBADAE,90°,2AB2AFAF12216AD，AEAF9,DE7,BE.AB2AE15,QAD,BC交于E,AEDEBECE,AEDE97CEBE15215EOBSi证明见解析；(2)【点睛】本题考查了切线的性质，圆

45、周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键.15.如图，AB是圆。的直径，。为圆心，AD、BD是半圆的弦，且/PDA=/PBD.延长PD交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说明理由;(2)如果/BED=60°,PD=J3,求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆。上，如图2,求证：四边形DFBE为菱形.【答案】(1)【解析】【分析】(1)连接OD,由AB是圆。的直径可得/ADB=90,进而求得/ADO+/PDA=90,即可得出直线PD为。的切线；(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得ZP=30°,再由PD为。的切线，得/PDO=90；根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得/ADF=/PDA=ZPBD=ZABF,由AB是圆O的直径，得ZADB=90,设/PBD我，则可表示出/DAF=/PAD=90+x°,ZDBF=2x,由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出4BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线P