新人教版九年级数学知识点归纳总结

1、新人教版九年级数学知识点归纳总结第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,假设是,再对它进行整理.如果能整理为ax2+bx+c=0(aW0)的形式,那么这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时,应满足(aw0)21.2 降次一一解一元二次方程1 .一元二次方程的解法2(1)直接开平方法：根据平方根的意义,用此法可解出形如x2

2、=a(a>0),(x-a)=b(b>0)类的一元二次方程.x2=a,那么x=±Ja；(xa)2=b,xa=±j6,x=a+Vb.对有些一元二次方程,本身不是上述两种形式,但可以化为*2=2或汽-a)2=b的形式,也可以用此法解.(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,就可用此法来解.要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0,使方程x(x3)=0的条件是乂=0或乂3=0.x的两个值都可以使方程成立,所以方程x(x3)=0有两个根,而不是一个根.(3)配方法：任何一个形如x2+bx的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的

3、方法配成一个二项式的完全平方,把方程归结为能用直接开平方法来解的方程.如解x2+6x+7=0时,可把方程2 A62762°x6x二-72化为x2+6x=-7,22JIT,即(x+3)=2,从而得解.注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方的前提是方程的二次项系数是1.(2)解一元二次方程时,一般不用此法,掌握这种配方法是重点.(3)公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.在b2-4ac之0b二,b2-4acx=的前提下,2a.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先把方程化为一般形式,即ax2+bx+c=0(aW0)的形式；正确地确定方

4、程各项的系数a、b、c的值(要注意它们的符号)；计算b2-4ac<0时,方程没有实数根,就不必解了(因负数开平方无意义)；将a、b、c的值代入求根公式,求出方程的两个根.说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程,而公式法那么是最普遍,最适用的方法.解题时要根据方程的特征灵活选用方法.2 .一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根.而根的情况,由b2-4ac的值来确定.因此A=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式. >0u方程有两个不相等的实数根. =0U方程有两个相等的实数根. &

5、lt;0U方程没有实数根.判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证实题.3 .韦达定理及其应用bc2x1+x2=,x1x2=一定理：如果方程ax2+bx+c=0(aW0)的两个根是xi,x2,那么aa.当a=1时,xi+x2=b,xix2=c应用：(1)方程的一根,不解方程求另一根及参数系数；(2)方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3)方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；(4)两数和与积求两数.4.一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题.步骤：分析题意,找到题中未知

6、数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；找出相等关系,并用它列出方程；解方程求出题中未知数的值；检验所求的答数是否符合题意,并做答.这里关键性的步骤是和.注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展,解题的方法是相同的,但因一元二次方程有两解,要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义.第二十二章二次函数22.1二次函数及其图像二次函数概念一般地,把形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,aw0,b,c可以为0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.x为自变量,y为因变量.等号右边自变量的最高次

7、数是2.二次函数图像x二(b4-力_是轴对称图形.对称轴为直线:2a,顶点坐标TL交点式为-"-'3(仅限于与x轴有交点和的抛物线),与x轴的交点坐标是心h°),和讥町°).注意：“变量不同于“自变量,不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数.“未知数只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量可在实数范围内任意取值.在方程中适用“未知数的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不管是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数一一也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同.从函数的定义也可看出二者的差异,如同函数不等

8、于函数的关系.二次函数公式大全二次函数I.定义与定义表达式一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,aw0)那么称y为x的二次函数.二次函数表达式的右边通常为二次三项式.II .二次函数的三种表达式一般式：y=ax2;+bx+c(a,b,c为常数,aw0)顶点式：y=a(x-h)2;+k抛物线白顶点P(h,k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线注：在3种形式的互相转化中,有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b2;)/4ax1,x2=(-b±Vb2;-4ac)/2aIII .二次函

9、数的图象在平面直角坐标系中作出二次函数y=x?的图象,可以看出,二次函数的图象是一条抛物线.IV .抛物线的性质1 .抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x=-b/2a.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2 .抛物线有一个顶点P,坐标为P-b/2a,(4ac-b2;)/4a.当-b/2a=0时,P在y轴上；当A=b2-4ac=0时,P在x轴上.3 .二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口.|a|越大,那么抛物线的开口越小.4 .一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴

10、的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当a与b异号时(即abv0),对称轴在y轴右.5 .常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c)6 .抛物线与x轴交点个数A=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点.A=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.A=b2-4acv0时,抛物线与x轴没有交点.V.二次函数与一元二次方程特别地,二次函数(以下称函数)y=ax2;+bx+c,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax2;+bx+c=0此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根.函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.例1,二次函数

11、/f+3配方为k(工一期)+上的形式,那么旷=()用函数观点看一元二次方程1.如果抛物线y=ax?+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是X0,那么当x=x.时,函数的值是0,因此x=x.2就是万程ax+bx+c=0的一个根.2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值.第二十三章旋转23.1图形的旋转1 .图形的旋转1定义：在平面内,将一个圆形绕一

12、个定点沿某个方向顺时针或逆时针转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中央,转动的角称为旋转角.图形的旋转本节我们重点了解旋转、平移性质,除外还有一个重点是点的对称变换.二、知识要点1、旋转：将一个图形绕着某点o转动一个角度的变换叫做旋转.其中,o叫做旋转中央,转动的角度叫做旋转角.2、旋转性质 旋转后的图形与原图形全等对应线段与O形成的角叫做旋转角各旋转角都相等3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移.其中,该直线的方向叫做平移方向,该距离叫做平移距离.4、平移性质 平移后的图形与原图形全等 两个图形的对应边连线的线段平行相等等于平行距离各组对应线段平行

13、且相等5、中央对称与中央对称图形中央对称：假设一个图形绕着某个点O旋转180.,能够与另一个图形完全重合,那么这两个图形关于这个点对称或中央对称.其中,点O叫做对称中央、两个图形的对应点叫做关于中央的对称点.中央对称图形：假设一个图形绕着某个点O旋转180.,能够与原来的图形完全重合,那么这个图形叫做中央对称图形.其中,这个点叫做该图形的对称中央.6、轴对称与轴对称图形(1)、轴对称：假设两个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,那么这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称.其中,这条轴叫做对称轴.注：轴对称的性质：两个图形全等；对应点连线被对称轴垂直平分(2)轴对称图形：假设一个图形沿着某条轴对折

14、,能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形.7、点的对称变换(1)、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P/(-x,-y)(2)、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P,(x,-y)(3)、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P,(-x,y)(4)、关于直线y=x对称两个点关于直线y=x对称时,横坐标与纵坐标与之前对换,即：P(x,y)关于直线y=x的对称点为P(y,x)(5)

15、、两个点关于直线y=-x对称时,横坐标与纵坐标与之前完全相反,即：P(x,y)关于直线y=x的对称点为P,(-y,-x)注：y=x的直线是过一三象限的角平分线,y=-x的直线是过二四象限的角平分线.第二十四章圆24.1 圆定义：(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.(2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆.圆心：(1)如定义(1)中,该定点为圆心(2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心.(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心.(4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心.注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心,并且两端都在圆上

16、的线段叫做圆的直径.直径一般用字母d表示.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径.半径一般用字母r表示.圆的直径和半径都有无数条.圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴.在同圆或等圆中：直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一,d=2r或r=二分之d.圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示.圆的周长与直径的比值叫做圆周率.圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数无理数,用字母兀表示.计算时,通常取它的近似值,兀=3.14.直径所对的圆周角是直角.90.的圆周角所对的弦是直径.圆的面积

17、公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积.兀-2,用字母S表示.一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等.周长计算公式1.、直径：C=Ttd2、半径：C=2兀r3、周长：兀4、圆周长的一半:12周长曲线5、半圆的长：12周长+直径面积计算公式：1、半径：S=ttr平方2、直径：S=ttd2平方3、周长：S=ttc2兀平方24.2点、直线、圆和圆的位

18、置关系1.点和圆的位置关系点在圆内u点到圆心的距离小于半径点在圆上二点到圆心的距离等于半径点在圆外U点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆.3 .外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.4 .直线和圆的位置关系相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离.5 .直线和圆位置关系的性质和判定如果OO的半径为r,圆心O到直线1的

19、距离为d,那么直线和.O相交ud<r；直线I和.o相切ud=r；直线I和.o相离ud>r.圆和圆定义：两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆的外离.两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做两个圆的外切.两个圆有两个交点,叫做两个圆的相交.两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做两个圆的内切.两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆的内含.原理：圆心距和半径的数量关系：两圆外离v=>d>R+r两圆外切<=>d=R+r两圆相交v=>R-r&

20、lt;d<R+r(R>=r)两圆内切<=>d=R-r(R>r)两圆内含v=>d<R-r(R>r)24.3正多边形和圆一、本章知识框架睡径定理圆的认砚对称性二旋转对称、物寸称、中央对制誓生理圆心角、根本元素：定义、弧、弦、圆心、半径、弦、弦心距关系与圆有关的角：圆心角、圆周角、弦切角点与圆相交与回有关的位置关中直线与回相切一切线及切线长相离圆与圆的位置关系6种)圆中的有关计算孤长和扇形、弓形的酬圆锥与圆锥的侧面展瑁V-二、本章重点1 .圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.(2)圆是到定点的距离等

21、于定长的点的集合.2 .判定一个点P是否在.上.设.的半径为R,OAd,那么有d>rO点P在.O外；d=rO点P在.O上；d<rO点P在.O内.3 .与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.90.的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.圆内接四边形的对角互补；外角等于它

22、的内对角.(3)弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角.弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.4 .圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中央对称图形,对称中央是圆心.在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(

23、3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.(5)平行弦夹的弧相等.5 .三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点,在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G

24、表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.6 .切线的判定、性质：切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.7 .圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外

25、切四边形,圆外切四边形对边之和相等.8,直线和圆的位置关系：设.O半径为R,点O到直线l的距离为d.直线和圆没有公共点Q直线和圆相离Od>R直线和.O有唯一公共点O直线l和.O相切Od=R.直线l和.O有两个公共点O直线l和.O相交Od<R9.圆和圆的位置关系：设0°1、00二的半径为Rr(R>r),圆心距OiO：!=d.(1)a°i和没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部m外离：d>R+r.0和.02没有公共点,且00口的每一个点都在.0外部0.0二内含0d<Rr(3).而.之有唯一公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部外

26、切od=R+r.(4).01、00口有唯一公共点,除这个点外,©0：的每个点都在®0内部oOdpOO：内切Od=R一r.(5)®0r®03有两个公共点«®Or003相交0Rr<d<R+r.10 .两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点.11 .圆中有关计算：圆的面积公式：$=nR',周长C=2兀R.1nzR1=圆心角为n°、半径为R的弧长1曲_皿/R圆心角为n0,半径为R,弧长为l的扇形的面积3602.弓形的面积要转化为

27、扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为l的圆柱的体积为nR?l,侧面积为2冗Rl,全面积为2成+2曲.圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为l,高为h的圆锥的侧面积为九Rl,全面积为nRl+nR2,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有Ra+h2=P.注意：(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式.圆周长弧长圆囿枳扇形面积公式C=C=ndS300S=-JlR3S=jtR2丸口2(2)扇形与弓形的联系与区别(2)扇形与弓形的联系与区别知识点4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形,如下图,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径

28、为A说明：(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积.(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系.知识点5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形,如下图,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,假设圆柱的底面半径为r,高为h,那么圆柱的侧面积%=2加必,圆柱的全面积般=与+3慝=2加N+2M=知识小结：圆锥与圆柱的比拟名称圆锥圆柱图形二Ar-5h；1!1LH1S图形的形成过程由一个直角三角形旋转得到的,如RtSO期直线SO旋转f.由一个矩形旋转得到的,如矩形ABCD绕直线AB旋转一周.图形的组成侧面展开图的特征一个底面和一

29、个侧面扇形两个底面和一个侧面矩形面积计算方法Sis="1S<-S#+-icrl+nr2恒2位11-Sn+2§度-2就+2ra第二十五章概率初步25.1随机事件与概率1 .随机试验与样本空间具有以下三个特性的试验称为随机试验：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；(2) 每次试验的可能结果不止一个,但事先知道每次试验所有可能的结果;(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现.试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间,用C表示,其中的每一个结果用e表示,e称为样本空间中的样本点,记作口=针.2 .随机事件在随机试验中,把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验

30、中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件).通常把必然事件(记作Q)与不可能事件(记作巾)看作特殊的随机事件.3 .频率与概率的定义(1) 频率的定义设随机事件A在n次重复试验中发生了卜次,那么比值nA/n称为随机事件A发生的频率,记作fn(A),即fn(A)=nAn.(2) 概率的统计定义在进行大量重复试3中,随机事件A发生的频率具有稳定性,即当试验次数n很大时,频率fn(A)在一个稳定的值P(0<P<1)附近摆动,规定事件A发生的频率的稳定值P为概率,即PA)=P.(3) 古典概率的定义具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(i)试验的样本空间建是个有限集,不

31、妨记作cXqeJiel；(11) 在每次试验中,每个样本点e(i=1,2,1ln)出现的概率相同,即P(ei)=P(2)=(&).在古典概型中,规定事件A的概率为二A中所含样本点的个数二nAP()A=c中所含样本点的个数=T.(4) 几何概率的定义如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域),且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性,那么规定事件A的概率为_A勺长度(或面积、体积)P(A)=样本空间的的长度(或面积、体积).25.2 用列举法求概率1、当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时,可以用被关注的结果在全部试验结果中

32、所占的比分析出事件中该结果发生的概率,此时可采用列举法.2、列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法.但有时一一列举出的情况数目很大,此时需要考虑如何去排除不合理的情况,尽可能减少列举的问题可能解的数目3、利用列表法或树形图法求概率的关键是：注意各种情况出现的可能性务必相同；其中某一事件发生的楠去某一事件发生的次数中/至、.一=各种情况出现的次数;在考查各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏;4、用列表法或树形图法求得的概率是理论概率,而实验估计值是频率,它通常受到实验次数的影响而产生波动,因此两者不一定一致,实验次数较多时,频率稳定于概率,但并不完全等于概率.25

33、.3 用频率估计概率在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率.事件发生的频率与概率既有区别又有联系：事件发生的频率不一定相同,是个变数,而事件发生的概率是个常数；但它们之间又有密切的联系,随着试验次数的增加,频率越来越稳定于概率.在具体操作过程中,大家往往发现：虽然屡次试验结果的频率逐渐稳定于概率,但可能无论做多少次试验,两者之间存在着一定的偏差.应该注意：这种偏差的存在是经常的,并且是正常的.另外,由于受到某些因素的影响,通过试验得到的估计结果往往不太理想,甚至有可能出现极端情况,此时我们应正确地看待这样的结果并尝试着对结果进行合理的解释.对试

34、验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节.在实际应用中,当试验次数越大时,出现极端情况的可能性就越小.因此,我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率,并用它作为概率的估计值.试验次数越多,得到的估计结果就越可靠.第二十六章反比例函数26.1知识点1反比例函数的定义k一般地,形如y=-(k为常数,k#0)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解：Xx是自变量,y是x的反比例函数；自变量x的取值范围是x¥0的一切实数,函数值的取值范围是y#0；比例系数k00是反比例函数定义的一个重要组成局部；反比例函数有三种表达式：ky=(k00),x丫二卜乂、(k

35、=0),1.1 x,y=k(定值)(k00)；kk函数y=(k00)与x=(k#0)是等价的,所以当y是x的反比例函数时,x也是y的反比例函xy数.kk(k为常数,k00)是反比例函数的一局部,当k=0时,y=一,就不是反比例函数了,由于反比例函数y=-xx(k00)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式.1.2 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式k由于反比例函数y=(k*0)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k的值,从而x确定反比例函数的表达式.1.3 知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个

36、分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量x#0,函数值y=0,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴.反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线.再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多,画的图像越精确；连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线；画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交.1.4 知识点4反比例函数的性质关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,

37、如下表：反比例k了物y=(k#0)函数x性质x的取值范围是x00,y的取值范围是y=0当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小.x的取值范围是x#0,y的取值范围是y=0当k<0时,函数图像的两个分支分别在第二、第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.注意：描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内否那么,笼统地说,当k>0时,y随x的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾.反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k的符号决定的,反过来,由反比例函数图像(双曲线)的位置和函数的增减性,也可以推断出k的符号.k反比例

38、函数y=(k#0)中比例系数k的绝对值x如下图,过双曲线上任一点P(x,V)分另I作x轴、那么|k=|xy=|x|y|=pFPE=Sg形oepfk反比例函数y=(k=0)中,|k|越大,双曲线x,k如y=一在第一、第三象限,那么可知k>0Ox,|k|的几何意义.y轴的垂线,E、F分别为垂足,“厂k1ky=一越远离坐标原点；|k|越小,双曲线y=一越晶近坐标xxy=x和直线y=x.原点.双曲线是中央对称图形,对称中央是坐标原点；双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线第二十七章相似27. 1图形的相似概述如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似.相似的符号：S判定如果两个多边形

39、满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似.相似比相似多边形的对应边的比叫相似比.相似比为1时,相似的两个图形全等.性质相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.相似多边形的周长比等于相似比.相似多边形的面积比等于相似比的平方.28. 2相似三角形判定1 .两个三角形的两个角对应相等2 .两边对应成比例,且夹角相等3 .三边对应成比例4 .平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似.例题ZA=ZA'ZB=ZB'ABCAA'B'C'性质1 .相似三角形的一切对应线段对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切

40、圆半径等的比等于相似比.2 .相似三角形周长的比等于相似比.3 .相似三角形面积的比等于相似比的平方27. 3位似如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中央,这时的相似比又称为位似比.性质位似图形的对应点和位似中央在同一直线上,它们到位似中央的距离之比等于相似比.位似多边形的对应边平行或共线.位似可以将一个图形放大或缩小.,并位似图形的中央可以在任意的一点,不过位似图形也会随着位似中央的位变而位变.根据一个位似中央可以作两个关于图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中央的两侧且关于位似中央对称.注思1、位似是

41、一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图形,必定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中央只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中央的两侧,也可能位于位似中央的一侧；4、位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形位似.第二十八章锐角三角函数28. 1锐角三角函数锐角角A的正弦sin,余弦cos和正切tan,余切cot以及正割sec,余割csc都叫做角A的锐角三角函数.正弦sin等于对边比斜边,余弦cos等于邻边比斜边正切tan等于对边比邻边；直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A

42、的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,28. 2解直角三角形勾股定理,只适用于直角三角形外国叫“毕达哥拉斯定理aA2+bA2=cA2,其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边.勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比方：直角三角形的特征直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即：3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.D在RtAABC中,假设/C=90°,那么a2+b2=c2;那么这个三角形是直角三角形,即:勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,在4ABC中,假设a2+b2=c2,那么/C=90°bC