问题的提出与解决是数学发展的源泉

1、.问题的提出与解决，是数学开展的源泉有些朋友说，学数学最重要的是方法，做题并不重要，我认为不做大量的题怎么能学到方法呢?从数学历史来看，数学理论的开展几乎都源起于想解决一些特殊的问题。1900年，德国大数学家 D. Hilbert在巴黎举行的国际数学会议上，发表了数学问题的专题演讲，其前文的前半段就说明了这个观点：谁不愿意将将来的面纱揭去，看一眼科学下一步的进步及进展的机密?下几代的主要数学精神追求的是那些特别的目的?在将来的世纪中，数学这个宽广丰富的领域又会产生那些新的方法以及新的结果?回忆历史就知科学开展是连续的。每一时代自有其待解的问题;这些问题到了下一代或许解决了，或者因解之徒劳无益，

2、搁置一旁，而代之以新的问题。想要预知近期数学开展的梗概，我们就得注意那些发生在今日而期待在将来可解的问题。在此世纪接替之际，纵谈数学的问题，自有其意义，因为此时我们不但要回忆过去伟大的成就，同时也要将我们的思索导向将来的开展。许多问题在数学一般的开展上，或对某些研究者而言，具有极高的价值，这一事实殆无疑问。只要具有众多的问题，一门科学就充满了活力;问题短缺会使之趋于消失或失去独立开展。就像一般的事业必须追求特定目的，数学研究需要的是问题。研究者以问题的解决衡量及锻练其才能;他发现新方法，开展新观点，使他的视野更宽广、更自由。事先准确判断一个问题的价值是很困难的，甚至是不可能的;价值的判断要取决

3、于这个问题所带给科学的进展。然而我们想知道是否有一般的标准来评判一个数学问题的好坏。一位法国老数学家说：假如你无法将一个数学理论弄清楚到可以解释给街上任何一个人听，那么这个数学理论就不算完成。对一数学理论如此清楚、易于理解的要求，我想更应加诸于所谓好的数学问题;清楚、易于理解使人向往，复杂使人排斥。更有进者，一个数学问题要难得吸引人，但也不能难到无从下手。它必须是真理谜阵中的指标，及成功解答后喜悦的回味品。过去的数学家都热忱地投入解决某些特定的难题。他们深知难题的价值。想想 John Bernoulli 提出的最速下降曲线这个问题就好。Bernoulli 在公开提出这个问题时说：由经历得知，使

4、伟大人物得以促进科学进步的动力，也不过是在他们面前摆着又难同时又有用的问题。所以为了赢得数学界的感谢，他就效法 Mersenne、Pascal、Fermat、Viviani 等先贤，在许多伟大的分析学家面前，提出他想到的问题，以作为他们的方法，他们的才能的试金石。变分法 就因 Bernoulli 的问题及其它的类似问题而产生了。大家都知道，Fermat 认定xn + yn = zn这样的方程式没有正整数解n>2。寻求解答这样一个特殊的、看起来不重要的问题，居然会对数学开展深具启发性，这是问题之有用的显著例证。 Kummer 为理解决 Fermat 问题，引进了理想数，发现它们在圆

5、分体中具有唯一分解成质因子乘积的性质。Dedekind 及 Kronecker 将之推广到一般代数体，使之成为现代数论的中心论题，而其意义更远超出数论范围，进入代数及函数论的领域中。再提一个相当不同的领域，三体问题。Poincar谷 所带给天体力学的丰富方法及深远原理，就起因于重新研究三体问题这个难题，以便寻求更近似的解答。Fermat 及三体是两个极端类型的问题。前者是纯理论的产物，属于抽象的数论，后者因天文需要而生，是理解自然界最根本现象的要素。还有，同一个题目也时常引起在极端不同的数学领域中有所应用。譬如，最短曲线问题在几何根底、曲线曲面论、力学以及变分法各方面，都扮演了极重要的角色。F

6、. Klein 在二十面体方面的研究，其在初等几何中多面体问题、在群论、在方程式论以及在线性微分方程所具有的影响，更强烈支持这种观点。为了强调问题的重要性，我可以再提到 Weierstrass。他说，他在科学研究生涯之初，可以遇到像 Jacobi 反转这样重要的问题，实在幸运之至。说了问题在数学研究的重要性，我们再来讨论问题的来源。当然每一数学分支中的最老问题都来自经历与自然现象。甚至连数字计算法那么在文明之初都是如此而得，就像今日的小孩从经历学得这些法那么一样。古时传下来的几何问题，像是倍立方、圆化方，也是一样。还有数字方程式论、曲线论、变分法、Fourier 分析以及势能论也是一样，更不用

7、说那些属于力学、天文及物理的问题。但要使一门数学再往前进展，就得靠人类的思索促使其成为一门独立的学问。一门学问经由逻辑整合、一般化、特殊化、巧妙分辨、整理各种想法及新而有用的问题等等，不必有外在因素的详细影响，一样可以自我增殖。质数理论及数论的其它问题、Galois 的方程式论、代数不变量论、Abel 及自我同构函数论事实上，几乎所有的现代数论及函数论的好问题都是这样产生的。而当纯理论创造才能发挥之际，外在世界还是发生作用，使我们由实际经历得到新问题，使我们面对新的数学领域。而在用纯理论开展这些新领域时，我们曾找到那些古老未解问题的答案，使古老的理论有所进展。在我看来，数学家在各种领域中观察问

8、题，提供方法与想法中，所得那么多而惊人的类同与和谐，其原因都是来自这种理论与经历经常的交互作用。在讨论了问题之对数学的重要性及数学问题的来源后，Hilbert 又谈到如何断定一个数学问题是否得解，然后完毕前文。接着 Hilbert 花了很多的时间议论二十三个他认为对今后数学开展曾有重大影响的数学问题。这就是所谓的Hilbert 数学问题，它们确实是好问题，确实在二十世纪的数学开展史上扮演了非常重要的角色。这二十三个问题是：一、 Cantor 连续体的基数问题，二、 算术公理的无矛盾性，三、 等底等高两四面体的等积性，四、 两点间最短路程做为直线的问题，五、 连续群的定义函数除去可微性的问题Li

9、e 原来的观念，六、 物理学公理化，七、 某些数的无理数性及超越性，八、 质数问题，九、 任何代数体中最一般的互逆法那么，十、 决定 Diophantine 方程式的可解性，十一、 系数为代数数的二次式，十二、 推广 Kronecker 的 Abel 扩张定理到任何代数体上，十三、 七次方程式不能用两变量函数来解，十四、 某些完备函数的有限性，十五、 Schubert 算法的严密根底，十六、 代数曲线与曲面的拓朴，十七、 正定型的平方和表现，十八、 以全等多面体铺成空间的问题，十九、 正那么变分问题的解都是解析的?二十、 一般的边界值问题，二十一、 给定 Monodromy 群，线性微分方程式

10、的存在问题，二十二、 以自我同构函数做解析关系的一致化，二十三、 变分法的进一步开展。问题固然是数学活动的泉源，Hilbert 的数学问题固然证明了这个观点，但并不是每一个问题都能激起有意义的数学研究。法国数学家 J. Dieudonn谷 在其著作?A Panorama of Pure Mathematics?中，把数学问题就其对数学开展的影响分成几类。一、死产了的问题：问题本身未得解决，试求解决的过程对数学的开展也未产生帮助。譬如 Fermat 质数问题：除 n=0,1,2,3,4 外，22n+1 还可能是质数吗?及 Euler 常数的无理数性问。二、无意义的问题：问题虽然解决了，但对其他问

11、题的进展毫无影响。许多排列组合的问题属于此类。三、产生方法的问题：用来解决问题的方法或其变形可以解决许多类似或更复杂的问题，虽然我们不一定理解这些方法所以可以解题的关键。解析数论及有限群论就有许多这样的例子。四、活泼领域中的问题：问题的研究终究可以找出意想不到的背后根本构造，不但解决原来问题，而且提供普遍性的方法，以说明其它领域中的许许多多问题。譬如，李群与代数拓朴是目前的典型例子。五、衰退领域中的问题： Hilbert 也说过，假如没有不断的新问题的刺激，一个数学理论不可能活泼。一旦一个数学理论中的大问题已经解决，与其它数学领域的关系也弄清楚后，研究者就会钻起牛角尖来。不变量理论就曾有几次演

12、变成这种阶段。与当今“老师一称最接近的“老师概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问?示侄孙伯安?诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。于是看，宋元时期小学老师被称为“老师有案可稽。清代称主考官也为“老师，而一般学堂里的先生那么称为“老师或“教习。可见，“老师一说是比较晚的事了。如今体会，“老师的含义比之“老师一说，具有资历和学识程度上较低一些的差异。辛亥革命后，老师与其他官员一样依法令任命，故又称“老师为“教员。六、稀释领域中的问题：选对了公理的系统可以导出很好的理论与技巧。一个公理系统的成功常使研究者漫无目的变更公理，以期再造佳绩;当然，这种期望往往落空。这类研究者往往举不出研究对象的应用实例，所以 Dieudonn谷 幽默地说他也不举出这一类型的例子。死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生才能开展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为进步学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背与进步学生素质并不矛盾。相反,它恰是进步学生语文程度的重要前提和根底。当然第四类问题最重要，其次才是第三类问题。其它类的问题就数学开展而言都是毫缺乏道的。问题是数学活动的泉源，如何选择有意义的研究问题，Hilbert 给了典范，Dieudonn谷 提出了判断标准。与当今“老师一称最