中考数学教学设计

1、初中数学辅导网 中考数学解题技巧复习后阶段，学习方法、思维和生活学习习惯相对有所固定，成绩也在逐渐提高，但很多同学发现自己数学的学习兴趣却越来越淡，进步不大，于是就认为自己也许就是这个水平，孰不知，只要讲究应试技巧与策略，就能把分数提高一个档次。一、整体上安排要坚持“两先两后”1、 先览后做，平时训练和模拟考试中，有的同学便急急忙忙“偷偷”做题，加重了自己的心理紧张程度，就有可能影响发挥，而正确的做法就是应是先统览试卷，摸清“题情”。对题型和难度作总体了解，在头脑中寻找解决这部分题的知识内容。2、 先易后难，部分学生善“钻研”，先做难题，无功后返，以致该得的分没得到，还浪费了宝贵的时间，造成总

2、分较低。二、解题中要坚持“两快两慢” 1、审题要慢，答题要快。所谓“成在审题，败在审题”，要咬文嚼字，抓住“题眼”，观察分析抓“特征”，深刻挖掘其隐含的内在联系； 2、计算要慢，书写要快，平时练习就要养成这种习惯，否则计算失误，后面就是“赔了夫人又折兵”了。三、不同题型，区别对待1、选择题灵活做，选择题一定坚持“小题小做”原则，采用间接、直接、特殊值代入法、排除法等各种方法并用，在确保无误的情况下提高解题效率； 2、填空题仔细做，一类是定性的概念判断填空，一类是定量的推理计算填空，适当提高运算速度，但解题过程要确保“百分之百”； 3、中档题认真做，高档题分解做。中档题一般学生都能做，主要缺点是

3、“会而不对，对而不全”，所以对这类题要仔细审题，减少纰漏； 高档题也不过是低档题的综合与迭加，所以只要分解开了，他可能就变成许多简单的问题，这样去分析、解题，就能尽可能得分。三轮解题法1第一轮答题要敢于放弃三轮解题法的第一轮是，当你从前往后答题时，一看这题会，就答。一看这题不会，就不答。一看这题会，答的中间被困住卡壳了，就放。这是非常关键的一点。为什么。“会答的先答，不会答的后答到了考场就做不到呢？要害在会与不会之间，难在会与不会的判定上。你想，会的题这很清楚。不会的题也很明了。但恰恰有些题是你乍一看会，一做起来就卡壳，或者我不能立即得出结论，我需要看一看，思考思考、演算演算、琢磨琢磨真是欲行

4、不能，欲罢不忍。每每都是在这不知不觉中丧失了宝贵的时间，每次考试都觉得时间不够用，稀里糊涂地败下阵来。“会答的先答，不会答的后答”作为一条原则是颠扑不破的真理。但若同时将它当作考试方法，因为它仅是定性地指出了方向，定量分析不清楚，缺乏可操作性，所以出现有人用它灵，有人用它不灵；有时灵，有时就不灵的现象。尤其是重要的考试，每题必争，每分必夺，哪道题都不想轻易放弃，哪一问都想攻下来，哪一分都不想丢的时候，就往往失灵。而“三轮解题法是一种定量的方法，量化清楚，可操作性强。当第一轮做完，有一个重要的环节2敢于休息30秒当按着会做的则解，不会做的则放，卡壳的也放的方法，从前做到最后一道题之后，要敢于休息

5、30秒。而且这个休息一定是老老实实地休息。比如，可以看看窗外的自然景观，树在摇曳，鸟在飞翔等。也可以想想自己喜欢的流行歌曲、电视剧等，当然不能想得太远，如果你想出十集去，考试早结束了。还可以采取一些深呼吸放松法、自我深度松驰法、积极的自我暗示法等。当然也可以什么都不想，就是闭目养神。在休息过程中要注意一点，采用什么休息方法悉听尊便，但千万不要想自己没做上来的某道题。为什么要用敢于休息30秒的“敢于”两字呢？是因为绝大多数同学每每都觉得时间不够，哪还敢挤出时间休息呀！其实恰恰相反，因为考试是高度的耗氧活动，对脑力、体力消耗很大，经过一段时间便会出现疲劳的现象，此时若*意志力来坚持，效率自然不高。

6、经过休息就会使脑力得到恢复，使体力得到补充，经休息后再投入到解题过程中会高效发挥，所以敢于休息的同学反而时间就够了，这就是辩证法。这也正是俗话所说“磨刀不误砍柴工”的道理。敢于休息30秒也是心理状态提升的体现。考试时有的同学一听到其他同学快速翻页的声响就着急，眼睛的余光一看别的同学答得较快就发慌现在我能做到不为所动，不被所引，我还敢于主动休息。急答出现差错，稳答一次成功，孰优孰劣是不言自明的道理。心理状态的提升需要一个磨炼过程。敢于休息30秒，就是心理状态走向成熟的开始，因此一定要敢于休息。休息后进人第二轮。3.第二轮查缺补漏第一轮将会做的题都做了，休息后还有没有会做的题了呢？回答是肯定的。依

7、据有两条：一条是实践的依据；一条是理论的依据。任何一名考生几乎都曾有过这样的考试经历，在考试过程中某道题不会，不得不放弃了，但当答到后边某处时，忽悠一下想起前边那道题该怎么做了。或者是答到后边某道题，或者看见一道题的某句话、某个符号等，立刻唤醒了记忆，产生了顿悟，激发了灵感等，前边那道题就做出来了。这就是实践的依据。考试时，从答题开始到达到考试最佳思维状态即图中点处需要一个上升过程，但是达到最佳思维状态后，有些人还能下来，如碰到一道4分左右的小题，自以为能做出来，但抠了半天就是做不出来，心情一团糟，这时绝不是最佳状态了，这时思维状态就下降了。有人一落千丈，如图中点至点沿虚线至点处所示。也有人下

8、降后还能升上去，再度达到最佳思维状态，如图中点至点处。而我们希望的理想状态是，角大点，尽快达到最佳思维状态，当达到最佳思维状态后，一直持续到考试结束。由于第一轮将会做的题做了，这时你的思维状态在0点之间，而决不会是点之间。因此，经休息后仍旧有会做的题。实践和理论都证实，做过第一轮后仍旧会有能解出来的题。那么这时如第一轮所述，一看这题会，就答。一看这题不会，就不答。一看这题会，答的中间卡壳了，就放。这样从前做到最后一道题，接下来要再次敢于休息30秒。怎样休息前文已有详述不再赘述。4.第三轮换思路解题休息以后，要从前到后检查一遍自己做过的题。检查通过后，从理论上讲，你已经将自己的水平100%的发挥

9、出来了，但实际上是80%。因为你检查虽然通过了，可还存在你没检查出来或检查错了的可能性，所以说是80%。虽然是80%，但已经很不简单了。在一次考试中，能将自己的水平发挥出80%就是一次成功的考试。你看体育竞赛，你观奥运会，有多少运动员，有多少运动队积多年训练之精华，蓄埋藏年之心愿，只为了场上一搏。这一搏往往是发挥出平时训练水平的80%就可以取得胜利，就可以拿牌。对发挥出80%，你一定认识到，我的水平已经发挥出来了，我就是这个水平。我对得起自己，对得起父母，对得起但如果这时考试还没结束，还有时间，也没有必要检查第二遍，这时决不能满足80%，要向100%进发，向超常发挥努力，做那些没做上来的题。但

10、是做是做不出来了，已经做过两轮都没做出来，说明是难点，是“硬骨头”。对于难点和“硬骨头”采用常规做法已经不行了。这时要攻，要向难点和“硬骨头”发起总攻。那么如何攻呢？可用换思路解题法来攻。换思路解题法是基于这样的思考，当你解题时，仅仅将题做对是远远不够的，只有知道此题有几种解法，哪种是优化的解法才算优秀。许多人都曾有过这样的经历，解题时想起了这题出自哪章哪节，老师讲这点时是如何强调的，此题是考哪个或哪几个知识点，老师出这题想考什么此时答这题感觉非常有把握，解题非常顺。这就是灵感。其实灵感也没有什么神秘，谁都曾经在考试过程中迸发过灵感的火花。当然如果你甚至能看透某题的陷阱和迷惑在哪里，你就是顶尖

11、高手了。总之，此时已是不攻白不攻，不得白不得，攻一步进一寸，得1分是1分的时候了。但要换思路，看看哪题能攻下来攻哪题，哪点能拿下来拿哪点。想想它是出自哪章哪节？老师想考哪个知识点？各点之间是什么关系这时要放飞你的记忆能力、领悟能力、多向联想能力、逆向思维能力、发散思维能力、创新能力等，多方位、多角度、多层次地思考。这时新的思路就有可能被打开，兴奋点就可能被激活，灵感的火花就可能如年三十的礼花一样在空中绽放。同学们，大胆尝试吧！你曾经有过的灵感定会一次次再现。5变三轮解题法为自定理三轮解题法是一种全新的考试答题方法，是经过实践验证的科学、合理、有效的考试答题方法。认识掌握并运用了三轮解题法的同学

12、都取得了不同程度的进步。但应用三轮解题法却要因人”而异，因科而异。若想灵活运用三轮解题法，第一要认识它的科学性、合理性、有效性；第二要实践，没有多次的实践是不能掌握这样一种全新的方法的；第三要总结，看看自己究竟是三轮好，还是二轮妙，或是四轮高。中间的两次休息，多长时间为宜。总之，绝不是一轮到底，不管会不会的题都要跟它拼上三、五回合的从小学沿用至今的考试答题方法了。这是一种全新的分轮次解题方法。对不同的科目，应用三轮解题法也应有所差异。比如数、理、化等是这样的三轮。而语文则应该是阅读题之前是一轮，做完就要检查结束。然后阅读题是一轮，最后一轮全身心地写作文。理想状态是作文写完，剩余时间少于5分钟。

13、如果剩多了，说明你前边的时间分配不合理，要改进。英语、历史。政治、地理等的三轮也要因科而异。这样，经过实践一总结一再实践一再总结循环往复，什么时候形成一套你自己得心应手运用自如的分轮次解题法，什么时候你用自己的名字将其命名为某某定理，这时你才是真正掌握了三轮解题法。此时你的精力主要用于过程的完善，过程的完成，忽略结果，你就能取得胜利。这时你才会感到考试是无憾的、考试是轻松的、考试是愉快的、考试是幸福的。考试会使你信心越来越强，考试会使你思维越来越活跃、考试会使你的精神面貌焕然一新、考试会使你的应试能力实现跨越。选择题解题八技巧排除法：根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下惟一的选项，

14、自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选择题的间接方法，也是选择题的常用方法。数形结合法：解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数学结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。特例检验法：取满足条件的特例（特殊值，特殊点，特殊图形，特殊位置等）进行验证即可得正确选项，因为命题对一般情况成立，那么对特殊情况也成立。代入法：将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。枚举法：列举所有可能的情况，作出正确的判断。例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为

15、2元，1元的人民币，换法有（A）5种（B）6种（C）8种（D）10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B.待定系数法：要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程（组），通过解方程（组），求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。不完全归纳法：当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。该法有一定的局限性，因而不能作为一种严格的论证方法，但它可以帮助我们发现和探求一般问题的规律，从而找到解决问题的途径。填空

16、题解题三策略直接解法：直接由条件出发，根据公式、法则、公理、定理进行计算证明得出正确答案。当然在解答的过程中，可以跳过一些不必要的步骤，尽量采用心算的办法，快速求出问题的答案，这种解法适合于解答一些基础题。该办法要求学生对于基本概念、公式、法则、性质、定理、公理等要熟记于心，并能深入地理解运用。特殊值法：即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算，推理的方法。用特殊值或作出特殊图形进行计算，推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。此类问题通常具有一个共性：题干中给出一些一般性的条件，而要求得出某些特定的结论或数值。在解决是可将问题提供的条件特殊

17、化。使之成为具有一般性的特殊图形或问题，而这些特殊图形或问题的答案往往就是原题的答案。利用特殊值法解答问题，不仅可以选用特别的数值代入原题，使原题得以解决而且可以作出符合条件的特殊图形来进行计算或推理。猜想验证法：近年来的中考题中出现了大量的探索规律类型的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验，猜想，试误验证，总结，归纳等过程使问题得解。学会用画精确图形来寻找解题的途径在以前听说过一个故事，一个老师在课堂里出了一道题目，要求在座的学生回答从一个时间到另一个时间，时针走过了几度，在座的学生中，一部分学生都拿起了笔进行计算，而另一部分学生都抬起了手腕拨弄起手表来，这只是一个杜撰的故事，

18、但是在中考的数学习题中，也有部分习题，通过画精确的图形，并通过观察使解题的思路由原来的无方向变成了观察猜测证明，使解题思路具有了方向，比较无方向的想象，更具实际意义。在综合题中，往往存在23小题的铺垫练习，但是由于习题的难度比较大，使部分同学在解某一小题时就产生了困难，导致下面小题没有办法继续思考下去，加上考场气氛的紧张，考试时受时间的限制，使部分同学放弃后面所有习题的解答。那么除了放弃，我们是否有其他的方式在某些知识点没有确定的情况下，继续后面的习题解答呢？作为数学老师在对参加中考的学生的叮嘱中，最后总是要求将考场的数学用具准备齐全，如铅笔、直尺、圆规、量角器等等，很多同学也很奇怪，这些工具

19、在考试时有什么用啊，那么我们就一起来看看吧。例题1、如图1，已知边长为的等边，点在边上，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，（1）写出图1中与相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4）若，试求的面积。备用图备用图图1此题在第一、二小题时学生还是能顺利完成，但是在第三题的过程中遇到了问题，而由于第三题的困难使很多同学放弃了第四题，那么我们来看一下，我们在第三题未能有效突破的情况下是否能对第四题有一个突破呢。AA图（1）图（2）这是一个可以精确的画出图形的问题：等边三角形的边长为3（图形是确定的），CF=1，AE

20、=1（点F、E是确定点），三角形EFG是边长为EF的等边三角形（点G也可以确定），所以这完全是能用画图工具精确画出的图形。我们根据条件将图形精确的画出：（这里图（2）中等边EFG虽然G点位置不能确定，但是可以根据EF已知，EFG是等边三角形，运用尺规作图方法可以确定EFG的位置。尺规作图知识点在中考中不是经常出现，但是用尺规作图方法来解题，却是数学解题中经常出现的思路）。通过画精确的图形我们发现图（1）当E在边AB上时，观察得到EF/AC，EG/BC，FG/AB。图（2）当E在BA的延长线上时，观察得到FGCM。那么现在我们不再由于第三小题的问题无法解决而致使第四题的解题无方向。通过观察图形得

21、出的结论，现在做的只要进行适当的证明：如图（1）BE=2，BF=2，是等边三角形EF/AC，结论成立。所以。如图（2）EF=FN=NG=MN=MA=2AE=1，结论成立。所以。这里我们跳过了第三题利用已知条件画出精确图形而解出第四题。通过上面例题可以知道，当给出的图形是一个确定的图形，而给出的条件也是确定的即这个图形可以运用我们手上的画图工具精确的画出图形，然后通过观察图形得到图形的特点，最后再证明我们观察到的结论，这样可以避免我们在不清楚某些条件的情况下，找到一个明确的解题方向。初中数学是由形象向抽象过渡的关键时期，而我们在不知不觉中渗透了考虑问题的抽象思维的同时，反而将其形象的一面忽略。又

22、由于我们日常过于注重数学解题理论，而忽略了学生的动手能力，造成了学生解题思路的单一性。作为数学教师在教会学生基本知识的同时，更希望能够培养学生的创造性，任何一种解题思想都不是万能的，希望通过数学思想的培养，掌握处理问题的不同方法。 画出几何图形是初中数学教学中的一个知识点，但是很多学生认识不到不到这个知识点在数学学习中的作用，加上日常教学中，有的老师不是很重视画图，导致有些学生不能迅速、准确的根据条件画出精确的图形。从以上可以看出，根据条件能准确画出图形也是我们数学解题的思路之一。分类思想与讨论方法所谓“分类讨论”就是在研究数学问题时，根据某一标准把研究对象进行分类，然后按类进行讨论。分类思想

23、是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，初中数学中分类思想的教学是培养学生逐步建立逻辑思维能力较为有效的载体。初中四年，是学生由形象的接受知识到抽象的感知知识的阶段。学生通过对分类思想的建立和研究，培养了学生思维的条理性和缜密性，提高了学生全面周密地分析问题和解决问题的能力。分类是讨论的前提，讨论是分类的延续，在建立了合理的分类后，只有找到正确的讨论方法，才能认为是完整的解决了问题。分类思想是根据数学对象的本质与属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。数学分类思想须满足两点要求：（1）对称性，即保证分类的对象既不重复又不遗漏。（2）同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准

24、。初中数学分类思想的研究主要体现在以下三个基本的层面：一、数学知识点定义下的分类。具体的体现在等腰三角形的底角和顶角的分类；等腰三角形的腰和底边的分类；不确定的相似三角形中对应顶点的分类等等。此类问题的主要特点是由于数学知识点在定义时自身产生了分类，而问题的提问方式没有对该定义的分类内容进行解释，题意本身要求学生在解题的时候，根据定义的分类要求进行合理的分类讨论。例1、如图（1），在直角三角形ABC中，直角边AC=3cm,BC=4cm.设P，Q分别为AB，BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C

25、点时，P点就停止移动设P，Q移动的时间t秒（1）当t为何值时，为等腰三角形？ACBPQ图（1）（2）能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由此题是典型的根据定义分类讨论的问题，第一小题要求确定为等腰三角形，但是题目中未确定哪两条边相等，所以根据等腰三角形的定义进行适当的分类讨论，为了在讨论中不重复和不遗漏，对三条边BP、PQ、BQ两两相等进行了组合分类讨论，分成了(1)BP=PQ；(2)PQ=BQ；(3)BP=BQ三种不同的情况。第二小题要求确定使其与相似，但是题目中未确定相似三角形的对应顶点，所以根据相似三角形的定义进行适当的分类讨论，而本题根据图形特点存在公共角，则若与

26、，存在(1)；(2)两种不同的情况。这类问题的分类思想还是明确的，学生也是容易掌握分类和讨论的方法，相对的难点在于分类后的解题方法会有一些困难，需要学生进行训练和总结。二、数学问题中图形形状及位置不确定情况下的分类。如不确定的三角形锐角、钝角与直角的分类；不确定三角形的高存在外高和内高的分类；圆中两条平行弦在圆心同侧和异侧的分类；两圆相切存在内切和外切的分类；两圆相交两圆心在公共弦同侧和异侧的分类等等。此类问题较多也较为复杂和隐蔽，很多情况下的分类是学生意想不到的。例2、若等腰三角形一腰上的高与该腰所对底角平分线的夹角是10，则此三角形的顶角是多少度.例3、半径为25的圆O中的两条平行弦，AB

27、=40，CD=48，求两弦之间的距离？DHCBA图（2）BCHDA图（3）此两题并不是很难理解，对于例2，学生很快会告诉我答案为度，我告诉他们答案不完整，还存在另一个解度，很多学生的疑惑是“另一解是如何产生的？”“此题我为什么不知道要分类？”。由于问题中没有给出具体的图形，所以要求我们自己进行画图，学生思维的习惯性会画出图(2)，而很多人会忽略了图(3)的情况，即不确定的一个三角形的同一条边所对的高和角平分线存在两种不同的位置关系。同样分析例3，学生也是想不到画两条弦时有在圆心的同侧和异侧两种不同情况的分类。对于这类问题，学生不是不会做，而是分类思想是学生在解题时不容易想到，对于这类问题一方面

28、在平时不断的积累，不断的总结，使再次遇上同类型问题时有分类的意识。其次是在分析题目时要不断的问自己（特别是未给出图形，自己画图时），是否有其他情况存在的可能性。图(4)BEAC（F）（F）D三、数学运动型问题中不同情况下的分类。具体体现在点在线段、射线、直线及折线上运动时在不同的位置产生的分类；图形运动中构成相应图形不同情况下的分类等等。此类问题的主要特点是点或是图形在运动，由于运动产生了不同的情况。例4、如图（4），ACB与DFE是全等的两个直角三角形，其中ACB=DFE=900，AC=DF=4，BC=EF=3，点D、C、F、B在同一条直线上，点E在边AC上，DFE沿着直线DB向右平移的过程

29、中，设平移过程中的平移距离为x，DFE与ACB的公共部分的面积为，在移动过程中，求与的函数关系式，并写出它的定义域.此题的题意非常清楚，我们通过观察，发现DFE在移动过程中与ACB的公共部分分成了四种情况：(1)如图(5)图形构成梯形，此时x的范围为；(2)如图(6)图形构成五边形，此时x的范围为；(3)如图(7)图形构成四边形，此时x的范围为；(4)如图(8)图形构成三角形，此时x的范围为。图(5)BEACDF图(6)BEAC（F）DFC（F）EA图(7)BDFEA图(8)BCDF此类问题涉及点或图形的运动，一方面要仔细分析题意，对题中的字词引起重视（如边、线段、射线和直线的区别等），另一方

30、面要求将画图和空间想象能力（图形运动的过程）相结合。明确图形运动的情形如何，移动过程中产生了怎样不同的情况，就可以确定分类的情况和分类的依据。l 几何证明思路：（文字转化成图形）解题思路：初中几何一般证题途径证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。9.同圆（或等圆）中等弧所

31、对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。7.圆外一点引圆的两

32、条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8.相似三角形的对应角相等。9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个

33、角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。11.利用半圆上的圆周角是直角。证明线段的和差倍分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三

34、角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。证明角的和差倍分1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。证明线段不等1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。证明两角的不等1.同一三角形中，大边对大角。2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。4.同

35、圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。5.全量大于它的任何一部分。证明比例式或等积式1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。5.与圆有关的比例定理相交弦定理、切割线定理及其推论。6.利用比利式或等积式化得。证明四点共圆1.对角互补的四边形的顶点共圆。2.外角等于内对角的四边形内接于圆。3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。5.到顶点距离相等的各点共圆。l 中考专题讲座 第一讲 方案设计一、知识网络梳理通过动手操作来解决一些数学问题特别是作图题的设计，引导学生将

36、所学的数学知识应用于实际，从数学角度对某些日常生活出现的问题进行设计性研究，有利于学生对数学知识的实践应用能力和动手操作能力的提高，是学为之用的教改精神的具体体现，是数学教改中的一大热点这类题目不仅要求学生要有扎实的数学双基知识，而且要能够把实际问题中所涉及到的数学问题转化、抽象成具体的数学问题，具有很普遍的实际意义，是中考热点之一创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素质教育中最具活力的课题，考查学生的创新意识和实践能力，将是今后数学中考命题的热点之一近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的要求学生自我设计题目这类命题以综合考查阅读理解能力

37、、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等能与初中所学的重点知识进行联结题型1 设计图形题几何图形的分割与设计在中考中经常出现，有时是根据面积相等来分割，有时是根据线段间的关系来分割，有时根据其它的某些条件来分割，做此类题一般用尺规作图题型2设计测量方案题设计测量方案题渗透到几何各章节之中，例如：测量底部不能直接到达的小山的高，测量池塘的宽度，测量圆的直径等，此类题目解法不惟一，是典型的开放型试题题型3设计最佳方案题此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、几何联系在一起创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素

38、质教育中最具活力的课题，考查学生的创新意识和实践能力，将是今后数学中考命题的热点之一近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的要求学生自我设计题目这类命题以综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等能与初中所学的重点知识进行联结二、知识运用举例（一）方程、函数型设计题例1已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加

39、油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？解：（1）设甲，乙两车速度分别是x千米/时和y千米/时，根据题意得：解之得：即甲、乙两车速度分别是120千米/时、60千米/时（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点A行驶了x千米，乙汽车行驶了y千米，则即即甲、乙一起行驶到离A点500千米处，然后甲向乙借油50升，乙不再前进，甲再前进1000千米返回到乙停止处，再向乙借油50升，最后一同返回到A点，此时，甲车行驶了共3000千米 甲行500千米乙行500千米甲再借油50升返回甲借油50升，甲行1000千米

40、方案二：（画图法）如图此时，甲车行驶了（千米）方案三：先把乙车的油均分4份，每份50升当甲乙一同前往，用了50升时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一同返回到A点此时，甲车行驶了（千米）2.某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑（1） 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；（2） 如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？（3） 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(

41、价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台解：（1） 树状图如下 列表如下：有6可能结果：(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）(注：用其它方式表达选购方案且正确给1分)（2） 因为选中A型号电脑有2种方案，即(A，D)（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是（3） 由（2）可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，y台，根据题意，得解得经检验不符合题意，舍去；(注：如考生不列方程，直接判断(A，D)不合题意，舍去，也给2分)当选用方案（A，）时，设购买A型号、型号电脑分别为x，y台，根据题

42、意，得解得所以希望中学购买了7台A型号电脑（二）统计型设计题 例5某中学要召开运动会，决定从初三年级全部的150名的女生中选30人，组成一个彩旗方队（要求参加方队的同学的身高尽可能接近）现在抽测了10名女生的身高，结果如下（单位：厘米）： 166 154 151 167 162 158 158 160 162 162（1）依据样本数据估计，初三年级全体女生的平均身高约是多少厘米？（2）这10名女生的身高的中位数、众数各是多少？（3）请你依据样本数据，设计一个挑选参加方队的女生的方案（请简要说明）解：（1）因为（166154151167162158158160162162）10160（厘米），所

43、以九年级全体女生的平均身高约是160厘米（2）这10名女生的身高的中位数是161厘米，众数是162厘米（3）先将九年级中身高为162厘米的所有女生挑选出来作为参加旗队的女生，如此进行下去，直至挑选到30人为止（三）测量设计题例3图7一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图7所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下： 将背水坡AB的坡度由10.75改为1； 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 求整修后背水坡面的面积； 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要

44、多少元？解： 作AEBC于E 原来的坡度是10.75， 设AE4k，BE3k， AB5k，又 AB5米，k1，则AE4米 设整修后的斜坡为，由整修后坡度为1，有，30 8米 . 整修后背水坡面面积为908720米2 将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2 解法一： 要依次相间地种植花草，有两种方案：第一种是种草5块，种花4块，需要205802548016000元；第二种是种花5块，种草4块，需要204802558016400元 应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元 解法二： 要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米

45、25元，种草的成本是每平方米20元， 两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少 即：需要花费205802548016000元 2. 如图2221，河边有一条笔直的公路，公路两侧是平坦的草地在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案.要求：公路图2-2-21列出你测量所使用的测量工具；画出测量的示意图，写出测量的步骤；用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离. 解： 本例属于测量问题的方案设计题. 测角器、尺子；ACDB公路图2-2-22 测量示意图见图2222；测量步骤：在公路上取两点C、D，使BCD、BDC为锐角；用测角器测出BCDa，BDCb；用尺子

46、测得CD的长，记为m米；计算求值解：设B到CD的距离为x米，作BACD于点A，在CAB中，xCAtana，在DAB中，xADtanb，CA，ADCAADm，m，xm（四）图形设计题例4 为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形种植花草部分用阴影表示请你在图、图、图中画出三种不同的的设计图案提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图、图只能算一种解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一（满分8分） 第二讲 开放性问题一知识网络梳理

47、教育部于1999、2000年接连印发的关于初中毕业、升学考试改革的指导意见中明确要求，数学试题应设计一定的“开放性问题”此后，开放型试题成为各地中考的必考试题所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，

48、单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性开放性试题能为考生提供更大的考虑问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学

49、生的潜在能力题型1条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出题型2结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力 题型3解题方法的开放与探索策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于

50、标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程二、知识运用举例（一）条件开放例1 .如图，已知，在ABC和DCB中，ACDB，若不增加任何字母与辅助线，要使ABCDCB，则还需增加一个条件是_DCB 例2图 解：答案不惟一.如：ABDC；ACBDBC；ADRt例2如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点（1）如果_ ，则DECBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件解：（1）AECF（OEOF；DEAC；BFAC；DEBF等等） （2）四边形ABCD是矩

51、形，ABCD，ABCD，DCEBAF 又AECF，ACAEACCF，AFCE，DECBAF说明：考查了矩形的性质及三角形全等的判定例3 已知：MAN30，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作O，交AN于D，E两点，设ADx （1）如图（1）当x取何值时，O与AM相切；（2）如图（2）当x为何值时，O与AM相交于B，C两点，且BOC90【解答】（1）在图（1）中，当O与AM相切时，设切点为F连结OF，则OFAM，在RtAOF中，MAN30，OFOA2（x2），x2，当x2时，O与AM相切（2）在图（2）中，过点O作OHBC于H当BOC90时，BOC是等腰直角三角形，BC2，OHBC，BHCH

52、，OHBC在RtAHO中，A30，OHOA，（x2），x22当x22时，O与AM相交于B，C两点，且BOC90【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解（二）、结论开放例1如图，在ABC中，ABAC，ADBC，D为垂足由以上两个条件可得_(写出一个结论)解：12或BDDC或ABDACD等例2如图，Ol与O2相交于点A、B，顺次连结0l、A、02、B四点，得四边形01A02B （1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪 些性质?(用文字语言写出4条性质)性质1_； 性质2_；性质3_；性质

53、4_（2）设O1的半径为尺，O2的半径为r(Rr)，0l，02的距离为d当d变化时， 四边形01A02B的形状也会发生变化要使四边形01A02B是凸四边形(把四边形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形)则d的取值范围是_解：（1）是开放性问题，答案有许多，如：性质1：相交两圆连心线垂直公共弦；性质2：相交两圆连心线平分公共弦；性质3：线段01A线段01B；性质4：线段02B线段02A；性质5：01A0201B02；等等（2）实质是相交两圆的d与Rr的关系，应为RrdRr例3已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图所示）时，易证得结论：PA2PC2PB2PD2，请你探究：当P点分别在图、图中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量