2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：最值问题综合(含答案)

1、2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：最值问题综合1.已知二次函数y=ax+2xc（5*0）的图象与x轴的交于4、B（1,0）两点， 与*轴交于点C（0,-3） ,（1）求二次函数的表达式及点坐标；（2）0是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点0到直线4C的距离取得最大值时点。的坐标；（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点M使以从N、8、。为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）.2.如图，已知抛物线y=a（对2）（x-4）（a为常数，且a0）与x轴从左至右依次交于人8两点， 与V轴交于点C,经过点8的直线尸-马罗另与抛物线的另一交点为

2、D,且点D的横坐标为-5.（1）求抛物线的函数表达式；（2）该二次函数图象上有一点P（x,y）使得S砌=，京时，求点P的坐标；设F为线段8上一点（不含端点），连接住求2AF+DF的最小值.3.如图，在平面直角坐标系x如中，二次函数尸-志对c的图象经过点4(4,0),C(0,2).(1)求抛物线的表达式；(2)如图1,点f是第一象限的抛物线上的一个动点.当ACf面积最大时，请求出点f的坐标；4.已知抛物线y=abc与x轴交于点-1,0)，点8(3,0),与*轴交于点C(0,3).顶点为点D.(1)求抛物线的解析式；(2)若过点C的直线交线段48于点&且S 心茅S迥=3：5,求直线区的解析

3、式；(3)若点P在抛物线上，点。在*轴上，当以点QC,P,。为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标;时，在抛物线上是否存在一点凡，使沽馋的值最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.5.在平面直角坐标系*0*中，把与*轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如1Q图，抛物线A：y=x-x-2的顶点为0交*轴于点4、8（点4在点8左侧）,交*轴于点C.抛物线4与。是“共根抛物线”，其顶点为P.（1）若抛物线4经过点（2,-12）,求4对应的函数表达式；（2）当8Q-CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点。是抛物线4上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若用与/位?相似，求其“共根

4、抛物线”&的顶点P的坐标.6.如图，一次函数*=*x-2的图象与x轴交于点4,与*轴交于点8,点Z?的坐标为（-(4),G（2,0）,在抛物线对称轴上找一点月使/4厂的值最小.此已知点/（O,8.二次函数y=xbc的图象交x轴于4（-1,0）,8（2,0）两点，交y轴于点（1）求二次函数的表达式;（2）在抛物线上存在一点0（不与点C重合）使得求点。的坐标；（3）若点是*轴上一动点，求A 日华 CE的最小值.9.如图，抛物线y=-yx2+c与x轴交于点4,点8,与*轴交于点C,抛物线的对称（图1）（图2）（备用图）备用图轴为直线X=-1,点C坐标为（0,4）.（1）求抛物线表达式；（2）

5、在抛物线上是否存在点只使/ABP=ZBCO,如果存在，求出点P坐标；如果不存在，清说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线8Q上方抛物线上的一个动点,求点到直线阳的最大距离；（4）点G是线段4C上的动点，点/是线段8。上的动点，点。是线段48上的动点，三个动点都不与点4,8,C重合，连接砒 GO,HQ,得到G0Q直接写出G/Q周长的最小值.10.如图，抛物线的顶点为 A（h,-1）,与*轴交于点8（0,-岑），点F（2,1）为其对称轴上的一个定点.（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线/是过点C（0,-3）且垂直于火轴的定直线，若抛物线上的任意一点P3）到直线/的

6、距离为d,求证：PF=d；（3）已知坐标平面内的点（4,3）,请在抛物线上找一点。，使况诺的周长最小，并求此时卬周长的最小值及点。的坐标.答案1.解：(1)把B(1,0),C(0,-3)代入y=a2c.二次函数的解析式为*=/+2*-3,令y=0,得到V+2X-3=0,解得*=-3或1,.4(-3,0).（2）如图1中连接4D,CD.点0到直线4C的距离取得最大,此时以C的面积最大,则有c=-3a+2十c=0解得a=lc二-3设直线解析式为：y=k 对 b,V/1(-3,0),C(0,-3),fb=-3 3k+b二0，k二一1解得,z直线初的解析式为y=-x-3,过点。作x轴的垂线交4C于点G

7、,设点。的坐标为(x,V+2x-3),则G3-X-3),.点。在第三象限，DG=-*-3-(+2*-3)=-*-3-丁-2对3=-V-3%,一1nc1,2q329_3,3,227-ACO-DOOA-(-X-3X)X3-_x(七)+玄，.当x=-|时,5“=等点。(-言,-孚，.点。到直线如的距离取得最大时，Q(-言，一)(3如图2中，当08是平行四边形的边时，OB=MN=1,OB/MN.可得0(-2,-3)或(0,-3),当。8为对角线时，点M的横坐标为2,*=2时，/=4+4-3=5,W（2,5）综上所述，满足条件的点的坐标为（-2,-3）或（0,-3）或（2,5）.2.解:(1)抛物线y=

8、a(对2)(x-4),令*=0,解得*=-2或x=4,.如(-2,0),8(4,0).吉象一鹏.4V3当*=-5时，y=3 匝,.点0(-5,33)在抛物线*=a(对2)(x-4)上, a(-5+2)(-5-4)=3归.a.9抛物线的函数表达式为：尸冬/-华X-华.999(2)如图1中，设直线阳交*轴于J,则J(0,理).连接的BC.37-X9=10V3,二y.S以8=10A/3I.*X6X|妙|=10必户士却工解得X=1V39,当y=10V3V322V3四_方程无解，满足条件的点P的坐标为（BV丽米穴）或（1-而，-yV3）（3）如图2中，过点。作伽平行于*轴,.:D(-5,3根),B(4,

9、0),.tan匕她=皂垂=寸豆，93.匕她=30. Z8DM=ZDBA=30,过F作时上/W于J,则有sin30=寿UrW=*DF,：.2ARDF=20户*DF)=2(ARJF),当爪凡J三点共线时,即AAL伽时，2ARDF=2（AF+JF）取最小值为2炒=6扼.3.解：(1)将点4(4,0),C(0,2)代入*=-*/+8尸仁得:P(1W39.-y-V3)或(1-廊,-yV3，+2X)X4=-/+4*=-(X-2)2+4,V-10,C二当x=2时，S依取得最大值4.如图2中，将线段和绕点4逆时针旋转90得到4强，则C(2,-4)，取CC的中点H(1,-1),作直线4/交抛物线于只此时PAC=

10、45,崩(4,0),/(1,-1),.L直线4/的解析式为y14由3， =成产I*一号，专作直线4,PA9则直线4/的解析式为*=-3对12,广一&+124D图2当四边形PQ、CD,四边形PQCD是平行四边形时，点P的纵坐标为1,当*=1时，-V+2计3=1,解得x=1V3: P、（1+V3,D,P2（1-V3,D,当四边形P3Q3DC,四边形PADC是平行四边形时，点P的纵坐标为-1,当y=1时，-？+2对3=-1,解得x=1据，R（1+V5,-D,（1-V5,-D,综上所述，满足条件的点P的坐标为（1+必，1）或（1-V3,1）或（1-V5,-1）或（1+-1）.如图3中，连接仞/

11、交对称轴于连接”；此时4斤/7/的值最小.,:H(0,B(3,0),直线8/的解析式为y=-与对Q.乂=1曰寸，y=-,41717设K(x,y)，作直线*=乎，过点K作成L直线*=且-于陈44KF=J(x-1)2+(丫-祥)2,*=-+2对3=-(x-1)(X-1)2=4-*,KF=,4y+(厂平)2=Jy2专(号)2=|*一晋|,妇 y-牛,4:.KF=KM,: KKF=KSKM,根据垂线段最短可知，当G,K,共线，且垂直直线尸芋时，GK成的值最小，最小值吧此时K(2,3).1Q5.解：(1)当*=0时，%-2=0,解得x=-1或4,.如(-1,0),8(4,0),C(0,-2),由题意设抛

12、物线4的解析式为*=a(对1)(x-4),把(2,-12)代入*=a(对1)(x-4),-12=-6a,解得a=2,.抛物线的解析式为*=2(计1)(x-4)=2 卜 6x-8.(2).抛物线4与L是“共根抛物线”，4(-1,0),8(4,0),.抛物线如右的对称轴是直线x=隽、.点P在直线x=言上，:，BP=AP,如图1中，当A,C,P共线时，BP-PC的值最大，此时点P为直线4C与直线的交点，.直线初的解析式为y=-2x-2,P(京-5)（3）由题意，48=5,CB=2 岳,以=而,.匕彻=90。,CB=2CA,由题意，/PDQ不可能是直角,第一种情形：当ZDPQ=泌时,._1239_1.

13、259.顶点。（制如图3-1中，当左QDE4ABCNQP=AC=2DP-BC如图3-3中，当左PDE4ABC 论,PQ=AC=1DQ-BC-2-11QQ1Q设。(x,X2-X-2),贝ljP(,X2-X-2),: DP=字-%x-2-(-昏)=小_言诚，Q 片 x-%22822829：PD=2QF.2x-3=夺-言什&解得x=-或亲（舍弃）,zz5Zz P（旦竺）（旦-旦）第二种情形：当/DQP=9V.如图3-2中，当左DQPs人 BC 时,同法可得用=2用,过点。作OMA.PD于M驰 4QD4PDQ,S=DQ=2-*由图3-3可知,是，孕，。（号,孕，DQ=4 炳,355、2*飞）当

14、DPQlXABC时，过点。作例_L用于M.DQ=RO_田DMDQ可得PD=025.8./马-综上所述：p点坐标为(斗半)或(斗zo2岂或号,孚或弓,一!).:.A(4,0),B(0,-2),.二次函数经过。(-1,0),B(4,0),.可以假设二次函数的解析式为*=a(尸1)(x-4),把A(0,-2)代入得到a=岑，.二次函数的解析式为*=A_3_2.(2)如图1中，设Hlx。,*x-2),且(0WxW4), DM=*,QM=，。0=写,-四)8=可得/=立DQ1佛 26.解：在*=*-2中,当*=0时9y=-2,当*=0时，x=4,.HELy轴于E: HE=Xg.G(1,ni)在抛物线上，

15、: G(1,-3),崩(4,0),直线4G的解析式为*=x-4,：HM/y轴交4G于 Q,.P3,*0-4),则AW=(&-2)-(*0-4)=-?&+2,由直线4G都是解析式y=x-4,HM/y轴交4G于只可得匕明45,-HFLAG 于 F,:.HF=(-岑%+2),HE*HF=-(-|-x0+2)x0=-+l2xo=(XQ2)2+A/2,匕匕4：y：半VO,0WxW4,4二当*。=2时，HE HF 的值最大,此时H(2,-1),M(2,-3),(3)如图2中，过点8作BEN于T.QDI.tanZBMN=tanZBAO=,OA2.BT=1又典(0,-2),淅(2,-3),可得

16、8蛇、/万，87=1,MT=2,:M(2,.直线枷的解析式为y=-3或y=一号*-&/.T(0,n),则，-3)或S)； 心-(-2)： ,解得(此2)2心-(-3)2=4弋或n=-34m=77n=T联立得_123尸3y22X乙或_13nvpy-2一41V一3*飞.满足条件的点的坐标为（1,-3）7.解：(1)把4(-1,0),8(3,0)解得二抛物线的表达式为y=-J+2对3,二点C坐标为（0,3）,3k+n=0把B(3,0),C(0,3)代入y=kE得：o,n=3.直线8C的表达式为y=-对3.（2）.用交直线8。于点0二设点的坐标为（刀，-m3）,设直线40的表达式为y=k、f-

17、in+3勺一21-m+3blf分别解方程组可得x=l.弓或y=-3y=-35x=7或17双r芸舍弃第二，第四组解,y=-3a-b+3=09a+3b+3=0解得rk=-lrr3解得，.直线的表达式，*=.对m+1m+1m+3-in+32no.;-对=-，+2对3,m+121整理得，（品）顷）=。解得=斋或一M不合题意，舍去），.点。的横坐标膈点的横坐标为藉,分别过点0、P作*轴的垂线，垂足分别为从N,如图1中:/.DM/PN.0M=m,0N=L.6M=1,m+1.SL_SAPPC_PD._MN-m2+3in,，S2电颇亦国顷十1)2、几第nil+3m设=t9则t=2整理得，(Z1)话+(2t-3

18、)Z=0,NO,(2t-3)2-4t31)NO,9解得twW(m+1)216SLQ有最大值，最大值为壬.s216存在，理由如下：过点 Q 作FGLOB于G,如图2中,图2.*=-V+2对3的对称轴为x=1,： OE=1,:B(3,0),C(0,3)00=03=3,又:丁 COB=9 甘，：.OCB是等腰直角三角形，：/EFB=0 甘,BE=OB-OE=2,沼是等腰直角三角形，: FG=GB=EG=1,点打的坐标为(2,1),当 b 为边时，.四边形&初为平行四边形，：.QE=PF,QE/PF/y轴，.点P的横坐标与点Z7的横坐标同为2,当*=2时，*=-242X2+3=3,.点P的坐标

19、为（2,3）,: QE=PF=3-=2,点 Q 的坐标为（1,2）,根据对称性当P（0,3）时，Q（1,4）时，四边形&QP也是平行四边形.当 b 为对角线时，如图3中，图3.四边形月角庐为平行四边形，:.QE=PF,OE/PF/y轴，同理求得：点P的坐标为（2,3）,: QE=PF=3-=2,点。的坐标为（1,-2）；综上，点P的坐标为（2,3）时，点。的坐标为（1,2）或（1,-2）,P（0,3）时,0（1,4）.8.解：（1）.二次函数y=4bc的图象交*轴于4（-1,0）,B（2,0）,二二次函数的解析式为*=（什1）（*-2）=/-*-2.(2)设D(m,n),由题意0(0,

20、一2).&彻=&彻9.* ABX0C=*XA8X|,I1=2,当=2时，2=济-0-2,解得护=1土卢L.D，2）,（W，2）.当=-2时，-2=/-必一2,解得7=0或1,：.D（1,-2）,综上所述，满足条件的的的坐标为（二1七2）或（-郁17 一,2）或（1,-2）.（3）如图，过点、E 作 EHXBC 于 H.：.OB=OC=2,308=90,:.Z.OCB=OBC=,. EH1.BC,:.EH=EC,2根据垂线段最短可知当4氏/共线时，*&/的值最小，此时4朋是等腰直角三角形,.AE-r-CE的最小值为：.22.=-1,将(0,4)代入*=-又2_对。中,.-

21、.c=4,*-y=-yx2-对4.（2）如图1中，作PEXx轴于点E9.解：(1).抛物线对称轴为*=-1, B(2,0),C(0,-2),A&EH:.AH=图1:CABP=2BC0,PEB=BOC=W,: 4PEBS4B0C,.普藉（此处也可以由等角的正切值相等得到），DBUUZ设P（m,-ym2-m+4）,贝II-*淅一衲4|,BE=2-m,2_1当点P在X轴上方时：2m二2-m2解得冏=-3,处=2（不符题意，舍），!_2.2当点P在X轴下方时：2血川生二,2-m2解得m=-5,巧=2（不符题意，舍），P（3音）或P（-5,-京.乙乙（3）作MFx轴于点交阳于点/?,作MNBP于

22、点图2,.，*=-&2-妇4=-（对4）（X-2）,:.A（-4,0）,B（2,0）,设yLkqb、,将P（-3,y）,（2,0）代入得解得k=*b=1阪=_岑对1,设M（a,a2-a+4）,则R（a,-罚十1）,匕乙1Q11?1二职二（一了角一a+4）-（顶a+1）二-/a-y-3,匕乙乙乙：2MNR=2RFB=0Q,/NRM=VFRB,:MNRsfXBFR,.NRJF.丽而5 亦提喘在RtAW?中 NR：MN：枷=1：2：炳,.2JV5丽争=5，当定时，伽最大为巡24（4）作。点关于初的对称点Q,作。关于的对称点Q,连接QQ与初于G,与 CB 交于点 H,连接0Q 交 nc 于 J,连接0Q交阳于K,此时跖夕的周长最小，这个最小值=002.图31,:QJ=JQ,QK=%.0Q=2化图32CJQ=CKQ=W, C、J、Q、K四点共圆，线段GO就是圆的直径，#是弦，,nJCK是定值，直径C。最小时,