高等数学教案函数

1、高等数学教案第1次课高等数学（一）课题函数周次5时数2授课班级1202114主要教学内容：1、集合与区间2、函数概念3、函数的几种特性4、反函数5、复合函数初等函数教学目的和要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、函数的概念2、函数的特性3、复合函数教学难点：1、函数的概念2、函数的特性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：

2、传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§1函数一、集合与区间1 .集合概念集合(简称集)：集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C.等表示.元素：组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aWM.集合的表示：列举法：把集合的全体元素一一列举出来.例如Aa,b,c,d,e,f,g.描述法：若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成，则M可表示为A=ai,a2,an,Mgx|x具有性质P.例如M*x,y)|x,y为实数，x2y2=1.几个数集：N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集.N0,1,2,n,.N=1,2,n,.R表示所有实数构成的集合，称为

3、实数集.Z表示所有整数成的集合，称为整数集.Z<，f，-1,0,1,2,，n,.Q表示所有有理数构成的集合，称为有理数集.Q=-plPeZ，qWN也p与q互质q子集：若xWA,则必有x三B,则称A是B的子集，记为A二B(读作A包含于B)或B=A.如果集合A与集合B互为子集，AUB且B=,则称集合A与集合B相等，记作A=B.若A二B且A用，则称A是B的真子集，记作A曝B.例如，N季Z厚Q器R.不含任何元素的集合称为空集，记作0.规定空集是任何集合的子集.2 .集合的运算设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作AjB,即AB=x|x三A或x三

4、B.设A、B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作AB,即ACB=x|x三A且x三B.设A、B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),记作AB,即ABgx|xWA且x走B.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行，所研究的其他集合A都是I的子集.此时，我们称集合I为全集或基本集.称IA为A的余集或补集，记彳AC.集合运算的法则：设A、B、C为任意三个集合，则(1)交换律AuB由uA,AB=B，'(2)结合律(AcB)lCWu(BC),(ACB广CWC(BCC);(3)分配律(AjB)，PTACCXX

5、BCC),(AB)jC=(AuC)(B=C);(4)对偶律(AlB)C小CCBC,(ACB)C=ACl>BC.(AlB)C=aCcBC的证明：x三(A'B)CUx更AuBuxA且x正BuxA。且x三BC=xWaCcbC,所以(AuB)C=ACcbC直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(Xy),把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记为AB,即AxB4(x,y)|x三A且y三B.例如，R尔4(x,y)|xWR且yR即为xOy面上全体点的集合，RmR常记作R2.3 .区间和邻

6、域有限区间：设a<b,称数集xa<x<b为开区间,记为(a,b),即(a,b)=x|a<x<b.类似地有a,b=x|a93称为闭区间，a,b)=x|a<x<b、(a,b=x|a<x小称为半开区间.其中a和b称为区间(a,b)、a,b、a,b)、(a,b的端点，b-a称为区间的长度.无限区间：a,二)=x|aiix,(一吟b=x|x<b,(一匚，；)=x|x|<二.区间在数轴上的表示：邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记彳U(a).设混一正数，则称开区间(a",a+8为点a的於B域，记彳U(a,/即U(a,c)=x

7、|a-c<x<a、.x|xf|<、.其中点a称为邻域的中心，6称为邻域的半径.去心邻域U(a,、):U(a,、)<x|0<|x-a|<、二、函数概念1 .函数概念定义设数集DRR,则称映射f:DtR为定义在D上的函数，通常简记为yf(x),xd,其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记彳Df,即Df田.应注意的问题：记号f和f(x)的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号“f(x),xWD”或“y=f(x),xED”来表示定义在D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数

8、f.函数符号：函数y-f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如“F"，心”等.此时函数就记作yTP(x),y=F(x).函数的两要素：函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.函数的定义域：函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例：求函数y=L-Yx2T的定义域.x要使函数有意义，必须x#0,且x2-4题.解不等式得|x国.所以函数的定义域为D=x|x阳,或D=(-

9、1;,21j2,收).单值函数与多值函数：在函数的定义中，对每个xWD,对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个xwD,总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多值函数.例如，设变量x和y之间的对应法则由方程x2+y2j2给出.显然，对每个xw，r,由方程x2+y2m2,可确定出对应的y彳t,当x=r或x=r时，对应y=0一个值；当x取(j,r)内任一个值时，对应/y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.对于多彳1函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例

10、如，在由方程x24y2j2给出的对应法则中，附加“ya0”的条件，即以“x2旬2=r2且yR”作为对应法则，就可得到一个单值分支y=y1(x)=，r2x2;附加“yE0”的条件，即以“x24y2?且yH”作为对应法则，就可得到另一个单值分支y=y2(x)=J2_x2.表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集5P(x,y)|y=f(x),xD称为函数y=f(x),xwD的图形.图中的Rf表示函数y=f(x)的值域.函数的例子：例.函数y4x|=、x_0x ：:0称为绝对值函数.其定义域为DK

11、-oo,七c),值域为Rf=0,书c).J-1x0例.函数y=sgnx=<0x=0.-1称为符号函数.其定义域为 例设x为任上实数. 函数y = x 称为取整函数.其定义域为x ：:0D=(-°o,七c),值域为 Rf =-1,0, 1.不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作x .D=(q,如C),值域为Rf旦.申=0,应B，叫与,1=1,3.5-4.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数例。函数y = «2 dx 0<x <1J+x这是一个分段函数，x 1其定义域为 D=0, 1 一(0,二六0,二).当0女&l

12、t;1时，y=24；当x>1时，y=1+x.例如f(1)=2=<2;£(1)=2、；彳=2;f(3)1+3M.三、函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D,数集X=D.如果存在数Ki,使对任一xWX,有f(x)WK1，则称函数f(x)在X上有上界，而称Ki为函数f(x)在X上的一个上界.图形特点是y=f(x)的图形在直线y水1的下方.如果存在数K2,使对任一xX,有f(x)>K2,则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是，函数yT(x)的图形在直线y/2的上方.如果存在正数M,使对任一x三X,旬f(x)<

13、;M,则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上无界.图形特点是，函数yT(x)的图形在直线y=M和y=M的之间.函数f(x)无界，就是说对任何M,总存在xi=X,使|f(x)|>M.例如(1)f(x)=sinx在(0°,也0)上是有界的：|sinx|W1.(2)函数f(x)=1在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界，无上界.x这是因为,对于任一M>1,总有Xi：0Mx1。<1,使1f(Xi)=_.M,Xi所以函数无上界.函数f(x)=1在(1,2)内是有界的.X(2)函数的单调性设函数y=f(x)的定义域为D,区间

14、IUD.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例：函数y=x2在区间S,0上是单调增加的，在区间0,/)上是单调减少的，在(q,收)上不是单调的.(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x三D,则bD).如果对于任一xWD,有")=电)，则称f(x)为偶函数.如果对于任一xD,有f(R)=f

15、(x),则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称，奇偶函数举例：y=x2,y=cosx都是偶函数.y=x3,y=sinx都是奇函数，y=sinx圮osx是非奇非偶函数.(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l,使得对于任一xD有(xil)三D,且f(xl)=f(x)则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为l的区间上，函数的图形有相同的形状.四、反函数定义：设函数f:DTf(D)是单射，则它存在逆映射f,:f(D尸D,称此映射f，为函数f的反函数.按此定义，对每个y邙(D),有唯一的xW

16、D,使得f(x)=y,于是有f%)=这就是说，反函数f的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.一般地，y(x),xeD的反函数记成y4，(x),x三f(D).若f是定义在D上的单调函数，则f:DTf(D)是单射，于是f的反函数f口必定存在，而且容易证明f，也是f(D)上的单调函数.1相对于反函数y才(x)来说，原来的函数y才(x)称为直接函数.把函数y=f(x)和匕的反函数1y=f(x)的图形回在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y=x是对称的.这是因为如果P(a,b)是y=f(x)图形上的点，则有b=f(a).按反函数的定义，有a=f”(b),故Q(b,a)是y=f"(x)图形

17、上的点；反之，若Q(b,a)是y4Ox)图形上的点，则P(a,b)是yg(x)图形上的点.而P(a,b)与Q(b,a)是关于直线y=x对称的.五、复合函数初等函数1 .复合函数：复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述.设函数yj(u)的定义域为D1,函数uw(x)在D上有定义且g(D)匚D1,则由下式确定的函数y4g(x),xD称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f构成的复合函数通常记为f力，即(fg)fg(x).与复合映射一样，g与f构成的复合函数f°g的条件是：是函数g在D上的

18、值域g(D)必须含在f的定义域Df内，即g(D)匚Df.否则，不能构成复合函数.例如，y(u)=arcsinu,的定义域为一1,1,u=g(x)2i1_x2在D=一1,一曰“3,1上有定义，且g(D)u1,1,则g与f可构成复合函数2y=arcsin21-x,xD;但函数y=arcsinu和函数u=2+x2不能构成复合函数，这是因为对任x三R,u=2+x2均不在y=arcsinu的定义域，1内.多个函数的复合：2 .基本初等函数：哥函数：y"(R是常数);指数函数：y=ax(a0且aE);对数函数：yTogax(a>0且a型，特别当a=e时，记为yTnx);三角函数：y=sin

19、x,yxosx,y4anx,yxotx,y=secx,y=cscx;反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx,ywrctanx,y=arccotx.课后作业(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)第18页第15题课后小结(课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。)注：从第二页开始以课时或单元为单位编制，每节课或每个单元都要有教案。第2次课高等数学(一)课题函数的极限周次5时数2授课班级1202114主要教学内容：1

20、、自变量趋于有限值时函数的极限2、自变量趋于无穷大时的函数的极限教学目的和要求：1、会计算自变量趋于有限值时和自变量趋于无穷大时函数的极限。教学重点：1、极限的概念、极限的性质及四则运算法则。教学难点：1、极限的概念教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§3函数的极限一、函数的极限1 .自变量趋于有限值时函数的极限定义:如果当x无限接近于xo.函数f(x)的值无限接近于常数A.则称当x趋于x0时lim.f(x)以A为极限.记作A或f(x)tA(当xtx0),定义的简单表述：limf(x)=

21、AfuV名>0.三6>0.当0<|xx0|<5时.|f(x)A|磔.2 .单侧极限：右当XTX0-时.f(x)无限接近于某常数A.则常数A叫做函数f(x)当XTX0时的limf(x)=A左极限.记为f一或f(x0-)=A；7若当XTX0+时f(x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数f(x)当XTX0时的右极限.记为limf(x)=A或f(%+)=A,X)X03 .自变量趋于无穷大时函数的极限设f(X)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A.对于任意给定的正数名.总存在着正数X.使得当x满足不等式|x|>X时.对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A

22、|<则常数A叫做函数f(x)当XT8时的极限.记为limf(x)=Ar或f(x)TA(XT8),limf(x)=A,t.f*w>0.取>0.当|x|>X时.有|f(x)-A|<s类似地可定义limf(x)=Alimf(x)=A和T七c,人limf(x)=Alimf(x)=Alimf(x)=A结论：X4Cux+C、'且xC、',课后作业(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)第36页第2、5题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、

23、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第3次课高等数学（一）课题无穷大匕无穷小周次7时数2授课班级1202114主要教学内容：无穷大无穷小教学目的和要求：理解无穷小、无穷大的概念教学重点：无穷小及无穷小的比较。教学难点：无穷大与无穷小教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§4无穷大与无穷小无穷大与无穷小1 .无穷小定义：如果函数f(x)当XTX0(或XT8)时的极限为零.那么称函数f(x)为当XTX0(或XTM)时的无穷小，特别地.以零为极限的数列Xn称为8时的无

24、穷小，例如1 1lim-=0因为E.所以函数X为当5时的无穷小.lim (x -1) =0因为X 1.所以函数为X-1当XT 1时的无穷小.lim=01因为Tcn+1.所以数列n+1为当2的时的无穷小，讨论：很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示：无穷小是这样的函数.在XTX0(或XT笛)的过程中.极限为零.很小很小的数只要它不是零.作为常数函数在自变量的任何变化过程中.其极限就是这个常数本身.不会为零.无穷小与函数极限的关系：定理1在自变量的同一变化过程XTX0(或XT8)中.函数f(X)具有极限A的充分必要条件是f(X)=AW.其中3是无穷小，limf(x)=A证明：设T0.Vs&

25、gt;0.30>0.使当0<|x-X0|<6时.有|f(x)-A|:二.令ot=f(x)-A.则ot是XTX0时的无穷小.且f(x)=A-：:.这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小S之和.反之.设f(x)=/Aa.其中A是常数.是XTX0时的无穷小.于是|f(x)-A|=|".因Ot是XTX0时的无穷小.Va>0.三0>0.使当0<|x-x0|<6.有|3|<或|f(x)-X这就证明了A是f(X)当KTX0时的极限.简要证明：令gf(x)-A.则|f(x)-A|=|a|，如果A0.m6>0.使当0<|x-x0|<

26、;6.有f(x)用.就有|可<；反之如果>0.30>0.使当0<|x-x0|<6.有|囚<.就有f(x)圄这就证明了如果A是f(x)当XTX0时的极限.则a是xX0时的无穷小；如果a是xtx0时的无穷小.则A是f(x)当xtx0时的极限，类似地可证明XTg时的情形.1+x31_十1limJ0lim1+x31例如.因为2x3-22x3.而四3一.所以Xm2x3-2.定理2有限个无穷小的和也是无穷小定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小2 .无穷大定义：如果当XTX0(或XTR)时.对应的函数值的绝对值|f(X)|无限增大.就称函数f(X)为当XTX0(或XTa)

27、时的无穷大.记为limf(x)=：X_.X0,、limf(x)=二(或Jpc),应注意的问题：当XTX0(或XTg)时为无穷大的函数f(x).按函数极限定义来说.极限是不存在的.但为了便于叙述函数的这一性态.我们也说“函数的极限是无穷大”.并记作定理2(无穷大与无穷小之间的关系广在自变量的同一变化过程中.如果f(x)为无lim f(x)x-Xolim f (x)=二、(或一 ).11穷大.则f(x)为无穷小；反之.如果f(x)为无穷小.且f(x)¥0.则f(x)为无穷大，简要证明：.1limf(x)=0如果XB.且f(x)#0.那么对于M.前>0,当0<|x-X01<

28、;6,1,|f(x)|有M.由于当0<|x-X0|<6时.f(x)=0.从而1|丽|M所以川为乂-0时的无穷大.1limf(x)=M=一如果XT0.那么对于名.而A0.当0<|X-X0|<6时.,1111.f(x)|M力卜,有£.即f(x).所以为XTX时的无穷小.简要证明：如果f(x)T0(XTX0)且f(x)#0.则,>0.36>0.当0c|x-X0|<6时.有|f(x)|O.即.所以f(x)T8(XTx0)，如果f(x)TM(XTX0).则VM0.T600.当0<|xx0|<6时.有|f(x)|>M.即.所以f(x)t

29、0(xtx0).课后作业(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)第43页第2题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）11第4次课高等数学（一）课题函数运算法则周次7时数2授课班级1202114主要教学内容：极限运算法则教学目的和要求：掌握极限运算法则。教学重点：极限运算法则教学难点：两个重要极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及

30、教学过程教学过程§5极限运算法则一、极限运算法则定理1如果limf(x)=AJimg(x)=B.那么(1) limf(x)±g(x)=limf(x)±limg(x)=A士B；(2) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB；f(x)limf(x)Alim(3) g(x)limg(x)B(b#0)证明(1)：因为limf(x)=A.limg(x)=B.根据极限匕无穷小的关系.有f(x)=A乜g(x)用也其中我及P为无穷小,于是f(x)士g(x)=(A+。)士(B+P)=(A士B)十(«士P).即f(x)土g(x)可设本为常数(A土B)与无

31、分小(久±B)之和.因此limf(x)±g(x)=土limg(x)=A±B,定理2如果(x)之x.而lim(x)=a.limRx)=b.那么a就，推论1如果limf(x)存在.而c为常数.则limcf(x)=climf(x)，推论2如果limf(x)存在.而n是正整数.则limf(x)n=limf(x)n，.um-=3-例3，求xTx29,#x-3x-31lim=lim=lim角单x3x-9x：3(x-3)(x3)x3x3lim1x3lim(x3)-6Tlim-2x一3例4,求Tx2-5x+4,x2-5x412514nlim0解x12x-3214lim_2x-3根

32、据无分大与无分小的关系得x1x-5xY=二5.解求ximjx3普212先用x3去除分子及分母.然后取极限：lim3x3-4x2，27x35x2-3=limX77-2x3353-7xx36.解3x2二2x二1求x_.12x3-x25先用x3去除分子及分母.然后取极限：321lim3x2-2x-1=limx-x2-x3=O=ox2x3-x25jj2_1-5_2xx37.lim2x*5求xf：3x2-2x-1lim3x2-2x-1o解：因为%X3-x2+5=.所以2x3-x25lim,=：x3x2-2x-1limsinx求x二x.:当xT8时.分子及分母的极限都不存在.故关于商的极限的运算法则不能应

33、用因为sinx=1sinxxx.是无穷小与有界函数的乘积.sinx八lim0所以x，二x课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）第50页第2题课后小结19（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第5次课高等数学（一）课题极限存在准则两个重要极限周次8时数2授课班级1202114主要教学内容：火逼准则单调有界收敛准则教学目的和要求：了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。教学重

34、点：两个重要极限教学难点：两个重要极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程B1xOCDA教学过程§6极限存在准则两个重要极限极限存在准则两个重要极限1 .夹逼准则准则I如果数列xn、yn及zn满足下列条件:(1)yn<xn<zn(n1,2,3.).limyn=alim-z=alimXn=a那么数列xn的极限存在.且，证明：因为Jimyn=a.limzn=a-以根据数列极限的定义E&a0TNi>0.当n>N1时.|yn-a|<®；又3N2>0,

35、当n>N2时.有|zna|<“现取N=maxNi,N2.则当n>N时.有|yna|：；|zna卜：；同时成立.即a-；yn；a”.a-；zn：a一8.同时成立，又因yn<xn<zn.所以当n>N时.有a-xynMxn£zn：a；.即kn-a卜:；，limxn=a这就证明了二,简要证明：由条件(2).6>0,三N>0.当n>N时，有|yn-a|<&及|zn-a|<s.即有a-；yn；a；.a-；zn；a；.由条件(1).有a-：ynxnzn:：a,；.即|xn-a卜:；.这就证明了limxn二a.二准则I如果函数

36、f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件：(1) g(x)虫x)Mh(x)(2) limg(x)=A.limh(x)=A；那么limf(x)存在.且limf(x)=A.第一重要极限：limsinx=1x>0xsinxcCh AB i：.i n D，证明首先注意到.函数丁对于一切x#0都有定义.参看附图：图中的圆为单位圆.BC_LOA.DA.LOA,圆心角NAOBx(0<x<2),显然sinx因为SAAOB<S扇形AOBcSiAOD.所以即不等号各边都除以sin x.就有2 sin x ： 2 x 二 2 tan x sin x ：x ：tan x.x11:二sinxco

37、sxcosx:二皿dx注意此不等式当2 <X<0时也成立,而Tlimcosx =1I.limx >0sin x =1x0:二x：简要证明：参看附图.设圆心角/AOBx(2),显然BC<AB<AD.因止匕sinx<x<tanx.,cosx:二孙：二1从而x(此不等式当x<0时也成立)，因为蹩0sx根据准则I;现味.应注意的问题：limsnUx)在极限Wx)中.只要(X).sin二(x)dlim-=1:(x)lim这是因为.令U(x).则uT0.于是lim处=1lim*§=1X0x(x):>2.单调有界收敛准则准则II单调有界数列必有

38、极限如果数列xn满足条件x1-x2-x3-_xn-一就称数列xn是单调增加的；如果数列xn满足条件x1-x2-x3之vxn就称数列xn是单调减少的,单调增加和单调减少数列统称为单调数列.如果数列xn满足条件xn氐n1.nN+.在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界.但那时也曾指出：有界的数列不一定收敛.现在准则II表明：如果数列不仅有界.并且是单调的.那么这数列的极限必定存在.也就是这数列一定收敛.准则II的几何解释：单调增加数列的点只可能向右一个方向移动.或者无限向右移动.或者无限趋近于某一定点A.而对有界数列只可能后者情况发生，1lim(11)n根据准则II.可以证明极限3n存在.xn=(1

39、4)n设n现证明数列xn是单调有界的，按牛顿二项公式.有xn 甲 1尸=1 ni .n(nd)1 n(n-1)(n-2) .1.n 1! n 2! n23n3n(n -1)(n-n 1) 1n!nn11112112n2 n1)(1 一一)(1 一 )n 1 n 1=11(1)(1)(1)-(1)(1)<12!n3nnn!nn1111211xn111(1)(1)(1)(1n12!n13!n1n1n!n1-(1-)(12-)(1-)(n1)!'n1八n1'n1比较xn.xn+1的展开式.可以看出除前两项外.xn的每一项都小于xn+1的对应项.并且xn+1还多了最后一项.其值大

40、于0.因此xn:xn1.这就是说数列xn是单调有界的，这个数列同时还是有界的因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替.得1 xn <1 1 - n 2!1111111 1 -7 =1-3! n! 2222nl ,11nn 123 -：二312n第二重要极限:2根据准则II .数列xn必有极限这个极限我们用e来表示,即1lim(11)n1 lim (1 ) 我们还可以证明x F二x指数函数y ex以及对数函数1nl二n二e.e是个无理数.它的值是l_.8459045，yInx中的底e就是这个常数.在极限lim1也(刈出中.只要(x)是无穷小.就有1lim1：；(x)而=e1_1_1

41、u这是因为.令函.则u廿.于是lim刈碉"9U)lim(1x)x=elim1,"x)产=e(x),0)1lim(1-1)x例3.求xBx.解：令tx.则xT七时.tT一于是11lim.lim.(1_1)x=im.(11)，ti(1小e11,1,lim（I_1）x=1而（i.尸（9=iim（i.）/.二e或x1二xx.xx.x课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）第60页第1题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补

42、充的方法等方面的内容进行撰写。）高等数学(一)课题无穷小的比较周次8时数2授课班级1202114主要教学内容：无穷小的比较教学目的和要求：掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限教学难点：用等价无穷小求极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§7无穷小的比较无穷小的比较1 .定义：.Plim=0r自/、(1)如果口，就说P是比口高阶的无穷小，记作=(a);Plim一=0°r(2)如果a,就说口是比口低阶的无穷小，Plim-=c#0o(3)如果豆，

43、就说是比“同阶的无穷小，Plimk-c#0,k>0r(4)如果口，就说是关于"的k阶的无穷小，Plim-=1rr(5)如果a,就说与a是等价的无穷小，记作”卬1+x1x例1.证明：当xt0时，n定埋1°与口是等价无穷小的充分必要条件为P-"十(叼1121-cosxx例2.因为当xt0时，sinxx,tanxx,arcsinxx,2,所以当xT0时有sinx=x(x)tanx=x(x)arcsinx=x(x)112,2、1-cosx=x(x)2口r定埋2设ag：P；且limlim=limotPra存在,P，不则tan2xlimlim例4求tsinx例5求,1(

44、1x2)3-1im例3求J0tan3x)x33xTcosx-1课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）第72页第2题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）21第7次课高等数学（一）课题函数的连续性周次9时数2授课班级1202114主要教学内容：函数连续性的概念函数的间断点初等函数的连续性教学目的和要求：理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。了解连续函数的性质和初等函数的连续性

45、。教学重点：连续函数的性质和初等函数的连续性#教学难点：连续函数的性质和初等函数的连续性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程然?n®§8函数的连续性函数的连续性1 .变量的增量：设变量u从它的一个初值u1变到终值u2.终值与初值的差u2ul就叫做变量u的增量.记作u.即uu2ul.设函数y1口)在点x0的某一个邻域内是有定义的，当自变量x在这邻域内从x0变到xOx时.函数y相应地从f(x0)变到f(xOx).因此函数y的对应增量为yRxOx)HxO),2 .函数连续的定义设函数yf(x

46、i在点x0的某一个邻域内有定义.如果当自变量的增量xx煞0趋于零时.几应的函数的增量y«x0乂)f(xO)也趋于零.即lim.：y=0limf(x)=f(%)".或ix0.那么就称函数y(X)在点x0处连续.注：她铲翦f(x0+w-f(xo)w设Xx0+X.则当XT0时.xTx0.因此limy=0limf(x)-f(x0)=0limf(x)=f(x),x0:二xx0:-xx0函数连续的等价定义2设函数y(n)在点x0的某一个邻域内有定义.如果对于任意给定义的正数.总存在着正数.使得对于适合不等式|xxOK的一切x.对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)*x0)|<

47、那么就称函数V(X)在点x0处连续.3 .左右连续性：lim_f(x)=f(%)如果I0.则称$k)在点x0处左连续.limf(x)=f(%)如果x-x0.则称31H)在点x0处右连续.左右连续与连续的关系函数yf(x)在点x0处连续u函数yRx)在点x0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数.叫做在该区间上的连续函数.或者说函数在该区问上连续.如果区间包括端点.那么函数在右端点连续是指左连续.在左端点连续是指右连续，4 .连续函数举例：1 .如果f(x)是多项式函数.则函数f(x)在区间(叫g)内是连续的，这是因为.*乂)在(6.叼内任意一点x0处有定义.且limP

48、(x)=P(x0)X/02 .函数f(x)rG在区间0.叼内是连续的，3 .函数vsinx在区间(叫电)内是连续的.证明：及x为区间(叱笛)内任意一点，则有=2sincos(x)=sin(x-sinx22因为当xt0时.y是无穷小与有界函数的乘积.所以蚂力=0.这就证明了函数ysinx在区向(叫叼内任意一点x都是连续的.4,函数ycosx在区间(叼内是连续的，函数的间断点1.间断定义：设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，在此前提下.如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义；(2)虽然在x0有定义.但xBf(x)不存在；(3)虽然在x0有定义且驾0f(x)存在.但也f(x)

49、n(x0)；则函数f(x)在点x0为不连续.而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点，一x=-x=-例1正切函数ytanx在2处没有定义.所以点2是函数tanx的间断八、"limtanx=_二因为xT2.故称2为函数tanx的无穷间断点.1.1,一y=sinsin例2.函数x在点X0没有定义.所以点X0是函数x的间断点.sin1当xT0时.函数值在1与1之间变动无限多次.所以点X0称为函数x的振荡间断点.,y=E1例3,函数x-1在工I没有定义.所以点X1是函数的间断点.x2-1一lim二lim(x1)=2因为xTxTI.如果补充定义：令X1时丫2.则所给函数在X1成为连续,所以X

50、1称为该函数的可去问断点.y = f(x)=1例4设函数 Jx 1x=1,1,limf(x)=mx=1f(1)=-limf(x)；f(1)因为77.2.7.所以K1是函数f(x)的间断点.如果改变函数f(x)在X1处的定义令。1)1.则函数f(x)在X1成为连续.所以X1也称为该函数的可去问断点.x ：0x =0x 0X-1f(x)=0x1limf(x)=lim(x-1)=-1因为x0-'x0一limf(x)=lim(x1)=1x_0-x_0-limf(x):limf(x)x_0-x_0/所以极限"m0f(x)不存在.x旬是函数f(x)的间断点.因函数f(x)的图形在X0处产

51、生跳跃现象.我们称X0为函数f(x)的跳跃间断点，2.间断点的分类：通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点.但左极限RxO0)及右极限心00都存在.那么x0称为函数f(x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何问断点.称为第二类间断点.在第一类间断点中.左、右极限相等者称为可去问断点.不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.初等函数的连续性1.连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续.则函数f(x)f(x)±g(x).f(x)g(x).g(x)(当g(x0)”时)在点x0也连续，f(x)二g(x)连续性的证明因为f(

52、x)和g(x)在点x0连续.所以它彳门在点x0有定义.从而f(x)±g(x)在点x0也有定义.再由连续性和极限运算法则.有limf(x)_g(x)=limf(x)_limg(x)=f(x°)_g(x°)XjxQx_-x0x1x0根据连续性的定义.f(x)刃(x)在点x0连续.例1sinx和cosx都在区间(°0,收)内连续.故由定理3知tanx和cotx在它们的定义域内是连续的三角函数sinx.cosx.secx.cscx.tanx.cotx在具有定义的区间内都是连续的.二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)

53、且连续.那么它的反函数x=fT(y)也在对应的区间Iy=y|y=f(x)x£Ix上单调增加(或单调减少)且连续,证明(略).例2.由于y=sinx在区间2,2上单调增加且连续.所以它的反函数y=arcsinx在区间.1上也是单调增加且连续的.同样y=arccosx在区间-1.1上也是单调减少且连续；y=arctanx在区间(q.+=c)内单调增加且连续y=arccotx在区间(q,收)内单调减少且连续.总之.反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内者B是连续的定理3设函数y=fg(x)由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成.U(x

54、0)匚Df劭，若也g(x)印。,而函数y=f(u)在u0连续.则limfgx)=limf(u)=f(u0)Jx0Jo简要证明要证，>0.36>0.当0<|x-x0|<5时.有|fg(x)-f(u0)|.因为f(u)在u0连续.所以>0、小>0.当|u-u0|G时.有|f(u)-f(u0)|侬.又g(x)Tu0(xtx0),所以对上述n>0,36>0.当0<|x-x0|<5时,有|g(x)u0|<1从而|fg(x)-f(u0)|limfg(x)=flimg(x)(2)定理的结论也可写成t。f.求复合函数fg(x)的极限时.函数符号f与极限号可以交换次序limfu(x)=limf(u)limfg(x)7。 uT。表明在定理3的条件下.如果作代换u=g(x)那么求Jx0limf(u)u0=limg(x)就转化为求uT°.这里t。.把定理5中的xtxO换成xt®.