高中数学题库高一部分-B函数-对数与对数函数

1、.已知：.（1）求; （2）判断此函数的奇偶性; （3）若，求的值.答案：（1）因为所以=（2）由，且 知 所以此函数的定义域为：（-1，1）又由上可知此函数为奇函数.（3）由知得 且 解得 所以的值为：来源：09年湖北宜昌月考一题型：解答题，难度：中档已知函数满足且-1，1时，则与的图象交点的个数是： A3 B. 4 C. 5 D. 6答案：B来源：题型：选择题，难度：中档阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数”。在实数轴R（箭头向右)上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是。这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。从的定

2、义可得下列性质：与有关的另一个函数是，它的定义是- , 称为的“小数部分”，这也是一个很常用的函数。 问题根据上文可知：的取值范围是 ； -5.2=_；问题求的和。答案：问题：的取值范围是 0 , 1 5.2 = 6 问题： 原式 =9 来源：1题型：解答题，难度：较难定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)= f(x)+ f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围答案：(1)证明：f(x+y)=f(x)+ f(y) (x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f

3、(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)= f(x)+ f(-x)，又f(0)=0，则有0= f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k·3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3-3+9+2，3-(1+k)·3+20对任意xR成立令t=30，问题等价于t2-(1+k)t+20对任意t0恒成立R恒成立命题意图与思路点拨：问题(2)的上述解法是根据函数

4、的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k·3-3+9+2得上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖来源：1题型：解答题，难度：较难设x，y，zR+，且3x= 4y= 6z。(1)求证：；(2) 比较3x，4y，6z的大小答案：（1）证明：设3x= 4y= 6z=k （k>0），则 （2）同（1），；，又x，y，zR+ 既k>1 3x<4y<6z来源：1题型：解答题，难度：较难已知函数对任意实数x都有，且当时，。当

5、时，求的表达式。证明是偶函数。试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。答案： f(x)= (2kx2k+2, kZ) 略 方程在1，4上有4个实根来源：题型：解答题，难度：较难若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f -1(x)在(-,+ )上也是增函数。答案：设x1<x2, 且y1=f -1(x1), y2=f -1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，则因为f(x)在(-,+ )上递增，所以x1x2与假设矛盾，所以y1<y2。即y=f -1(x)在(-,+ )递

6、增。来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档已知函数，当点M（x，y）在的图象上运动时，点N（）在函数的图象上运动.（）求的解析式；（）若函数的极小值为4，求函数的单调区间；（）若在时，恒成立，求参数a的取值范围.答案：（）.（）的单调递增区间为，单调递减区间为.（）.来源：题型：解答题，难度：较难设f(x)=|lgx|，实数a, b满足0<a<b, f(a)=f(b)=2f，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3<b<4.答案：证明：（1）依题设，有|lga|=|lgb|，又a<b，故lga=-lgb，可得ab

7、=1，从而0<a<1<b.因为f(b)=2f, 故|lgb|=2, 又a+b=2，由上式得lgb=2lg, 从而(a+b)2=4b. 将b=代入得，整理得a4+2a2-4a+1=0 将a=代入式得b4-4b2+2b2+1=0. （2）由式得b4-4b2+2b2+1=(b-1)(b3-3b2-b-1)=0， 又b>1，故g(b)=b3-3b2-b-1=0 若1<b3，则g(b)=b2(b-3)-(b+1)<0，与式矛盾。若b4, 则g(b)=(b3-4b2)+(b2-3b+1)=b2(b-4)+b(b-4)+(b-1)>0.仍与式矛盾。综上所述，可知3&

8、lt;b<4.来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档已知函数.(1)求证：函数在内单调递增；(2)记为函数的反函数. 若关于的方程在上有解，求的取值范围.答案：（1）任取，则，即函数在内单调递增. 6分 解（2）， 9分 解法一， 11分当时， 的取值范围是. 14分 解法二 解方程，得 ， 11分，解得 . 的取值范围是. 14分来源：08年春季高考上海卷题型：解答题，难度：中档设f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n x·a，其中n为给定正整数, n2, aR.若f(x)在x(-,1时有意义，求a的取值范围。答案：由题设对任意的x1，有1+2x+

9、(n-1) x +n x·a>0，即+>-a，设g(x)= +，因为g(x)在（-,+）递减，所以当x1时，g(x)>-a恒成立等价于g(1)>-a, 即+>-a，化简得>-a，所以a的取值范围是a>来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？答案：方程等价于. x2+2(a-1)x+a2=0. =4(1-2a) 0，所以a1) 当a>时，无解，（2）当a=时，x=不符方程。（3）当a<时，x1,2=1-a. 若a=0，则满足方程的解为x1=0, x2=2.）当0<a<时

10、，x2=1-a+>0, x1>0且，有2个根。）当a<0时，x2=1-a-<-a不符合方程。x2=1-a+>-a且。综上所述，当a时无解，当0<a<时有2个解，当a0时有1个解。来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：较难已知a>0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。答案：由对数性质知，原方程的解x应满足.若、同时成立，则必成立，故只需解. 由可得2kx=a(1+k2)， 当k=0时，无解；当k0时，的解是x=，代入得>k.若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k&g

11、t;0，则k2<1，所以0<k<1.综上，当k(-,-1)(0, 1)时，原方程有解。来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：较难解方程组：（其中x, yR+）答案：两边取对数，则原方程组可化为 把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得x+y=6，代入得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y>0，所以y=2, x=4.所以方程组的解为 .来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：较难已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=

12、2logbx，求证c2=(ac)logab.答案：由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得，因为ac>0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档对于正整数a, b, c(abc)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.答案：由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+l

13、gb+lgc)=lg70，由题设，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=2×5×7.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1.又abc，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档设p, qR+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。答案：令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以9 t +12 t =16

14、t，即1+记x=，则1+x=x2，解得又>0，所以=来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。(1)函数是否属于集合？说明理由；(2)设函数，求的取值范围；(3)设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。答案：(1)若，在定义域内存在，则，方程无解，。 (2)，时，；时，由，得。 (3)，又函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，则，其中。，即。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：中档设aR，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。答案：原方程等价于。即等价于。

15、令 y1=-x2+5x-3, y2=a, 问题转化为求抛物线弧y1=-x2+5x-3=（1<x<3）与直线y=a的交点个数，如图所示，由此可见：）当a(-, 1 时，原方程无实数解；）当a(1, 3 时，原方程只有一个实数解；）当a时，原方程有两个不同的实数解。来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档设a>0且a1, f(x)=loga(x+)(x1)，（1）求f(x)的反函数f -1(x)；（2）若f -1(n)<(nN+)，求a的取值范围。答案：（1）由知得ay=x+，所以两式相加，得x=(ay+a-y)，所以f-1(x)= (ax+a-x).因为x1,

16、所以0, x+1.所以当0<a<1时，f-1(x)的定义域为（-，0，当a>1时，f-1(x)的定义域为0，+）。（2）当nN+，故n>0，由（1）可知，在f-1(n)中a>1，由f-1(n)<得，解之得<an<3n. 所以<a<3且a0.又a>1，所以1<a<3.来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档（a1b0）（1）求的定义域；（2）判断在其定义域内的单调性；（3）若在（1，）内恒为正，试比较a-b与1的大小答案：（1）由，x0定义域为（0，）（2）设，a1b0在（0，）是增函数（3）当，时，要使，须

17、，a-b1来源：题型：解答题，难度：中档已知:lg2=0.3010，lg3=0.4771，求:650是几位数答案：650是39位数 来源：题型：解答题，难度：中档（1）试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象。（2）若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。答案：（1）易知x(2, 6), y. 原方程可变为lg(6-x)=lg2y，由此得y=(x-6)2. 注意到y，故函数y=f(x)=(x-6)2, x(2, 5) (5, 6)，其中图象是抛物线的一部分。（2）当直线y=ax+经过点A（2，8）时，a=，当直线y=ax+经过点B时，a=0，故当0<a<

18、时与抛物线的AB弧恰有一个公共点。同理，当a<0时，直线y=ax+与f(x) 的图象也恰有一个公共点。此外，直线y=ax+与上述抛物线BC弧有一切点，其横坐标为，此时a=-6.综上所述，a的取值范围为来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：中档已知函数，当点在的图像上移动时，点在函数的图像上移动（1） 若点P坐标为（），点Q也在的图像上，求的值；（2） 求函数的解析式；（3） 当时，试探求一个函数使得在限定定义域为时有最小值而没有最大值答案：（1）当点坐标为（），点的坐标为，2分点也在的图像上，即5分（根据函数的单调性求得，请相应给分）（2）设在的图像上则，即 8分而在的图像上，代

19、入得，为所求11分（3）；或 等 15分如：当时，在单调递减， 故 ，即有最小值，但没有最大值18分（其他答案请相应给分）（参考思路）在探求时，要考虑以下因素：在上必须有意义（否则不能参加与的和运算）；由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；为方便起见，可以考虑通过乘积消去；乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了），考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是轴或在轴的右侧（否则该二次函数

20、的值在上的值不能恒为正数），即若抛物线与轴的另一个公共点是，则，且抛物线开口向下来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难已知（）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求和的解析式；（）若和在区间上都是减函数，求a的取值范（）在（）的条件下，比较的大小答案：（）设 ，其中是奇函数，是偶函数，则有 联立，可得，（直接给出这两个函数也给分）3分（）函数 当且仅当 ，即时才是减函数， 又 的递减区间是5分由已知得 解得 取值范围是8分（） 在上为增函数 10分 即. 14分来源：1题型：解答题，难度：中档已知函数(1)，求的解析式；(2)若函数，函数是，求；(3)是定义在上的函数，且其为奇函

21、数，其图像关于直线对称当，求最小正数及函数在上的解析式答案：(1)(2) 4（可知）(3) 1（略）；。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：中档已知函数f(x)是函数的反函数，函数g(x)的图像与y=关于直线y=-x成轴对称图形，记F(x)=f(x)+g(x),求函数F(x)的解析式及定义域答案： F(x)=lg+1 x(1,1)来源：题型：解答题，难度：中档已知函数，（1）若函数，求函数、的解析式；（2）若函数，函数的定义域是1,2，求的值；（3）设是定义在上的周期为4的奇函数，且函数的图像关于直线对称。当时，求正数的最小值及函数在-2,2上的解析式。答案：（1） ， (1

22、2;) ； ； . （2） ，, , ， . 由题设，得. （3）是定义在R上的奇函数， 函数的图象关于直线对称， 在式中以替换，得 由式和式，得 在式中以替换，得 由式和式，得 (14¢)是定义在R上的周期为4的奇函数，正数的最小值是1. 当Î0,1时，当Î-1,0时，Î0,1，即.函数的图象关于直线对称，当Î(1,2时，2-Î0,1)，当Î-2,-1)当，Î(1,2，即.A1OB3B2B1A3xyA2. 来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难设a>0,函数f(x)=()(e是自然对数的底,e2

23、.718)是奇函数.(1) 求a的值;(2) 求f(x)的反函数f -1(x).答案：(1)解法1f (x)是奇函数,f (x)= f (x),即()=(), (a21)(exex)=0,a21=0,a>0,a =1.解法2f (x)是R上的奇函数,f (0)=a=0, a>0,a =1. 经验证知当a =1时, f (x)是奇函数.(2)由(1)知y=f (x)= (ex),e2x2yex1=0,f (x)的反函数为f 1(x)=l n(y+)(xR).来源：题型：解答题，难度：中档若函数为奇函数，（1）确定的值；（2）（文科）求函数的值域；（3）（理科）若，求的取值范围.答案：

24、（1）因函数的定义域由奇函数的定义，可知而， （6分）（2）（文科），或即函数的值域 （文12分）（3）（理科），由可知 即从而 或 或 （理12分）来源：08年高考武汉市联考一题型：解答题，难度：中档已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).答案：ab=(a+b),(a-1)(b-1)=1,故原式为0.来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：容易f(x)是定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)f(x)f(y)都成立，试确定所有这样的函数f(x).

25、答案：令x=y>1, u=v=，得 f(xk)kf(x). 令y=xk, r=，则f(y) f(yr), 即由，可得f(x)kk=f(x). 令f(e)=c>1，由f(x)=f(elnx)=f(elnx)lnr=f(e) =c.另一方面，设f(x)=c(c>1)，由柯西不等式得(ulnx+vlny) =1,所以=，即f(xuyv) f(x)·f(x).综上所述，f(x)=(c>1).来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：较难已知f（x）=。是否存在实数p、q、m，使f（x）同时满足下列三个条件：定义域为R的奇函数；在1，+）上是减函数；最小值是1。若存

26、在，求出p、q、m；若不存在，说明理由。答案：f（x）是奇函数 f（0）=0 得q=1 （1分）又f（x）=f（x） = 即（x2+1）2p2x2=（x2+1）2m2x2 p2=m2 若p=m，则f（x）=0，不合题意。故p=m0 f（x）= （5分）由f（x）在1，+）上是减函数，令g（x）=1=1在1，+）上递增，在（，1也递增，只有m0时，在1，+）上g（x）递增，从而f（x）递减。 （7分）x=1时，在（，1上取得最大值2，此时由f（x）的最小值为1得g（x）的最大值为3。 1=3 得m=1， （10分）从而p=1存在p=1，q=1，m=1。 （12分）来源：题型：解答题，难度：中档对

27、于任意nN+(n>1)，试证明：+=log2n+log3n+lognn。答案：证明：首先考察等式右端，其形式启发我们设，（k2, k3, knN），于是等式右端= k2+k3+kn。再研究等式左端，作集合Am=1, 2, , (m=2, 3, , n)，易见Am中有个元素。因为1Am (m=2, 3, , n)，所以1在所有Am中出现了n-1次；又2Am (m=2, 3, , k2)，即2在这些集合中出现了k2-1次；n在这些集合中出现了kn-1次。这样，A2，A3，An的元素个数之和是(n-1)+(k2-1)+(kn-1)=k2+k3+kn，即+= k2+k3+kn。来源：08年数学竞

28、赛专题四题型：解答题，难度：较难已知函数是奇函数。求m的值；判断在区间上的单调性并加以证明；当时，的值域是，求的值。答案：解：（1）m=13分（2）上是减函数；7分当0<a<1时，上是增函数.8分（3）当a>1时，要使的值域是，则，；而a>1，上式化为 （10分）又当x>1时，. 当.因而，欲使的值域是，必须，所以对不等式，当且仅当时成立.12分.14分来源：题型：解答题，难度：较难已知函数（1）当时，求函数的定义域；（2）当上的最小值，并求出当时对应的实数a的值.答案：解：（1）当，解得为函数的定义域4分（2）设单调递减；单调递增，单调递增6分 8分当10分若若

29、12分注：单调性的证明也可用定义证明。来源：题型：解答题，难度：中档已知函数（1）若1是关于x的方程的一个解，求t的值；（2）当时，解不等式；（3）若函数在区间上有零点，求t的取值范围.答案：（1） 1是方程f(x)-g(x)=0的解，loga2=loga(2+t)2,(2+t)2=2 又t+2>0 t+2= t=. （2）t=-1时，loga(x+1)loga(2x-1)2 又0<a<1 x+1(2x-1)2 4x2-5x0 0x 2x-1>0 x x解集为：x| （3）解法一：F(x)=tx2+x-2t+2 由F(x)=0得：t=且-1<x2） t=设U=x+

30、2 ( 1<U4且U2) 则 t=令= 当时，是减函数，当时，是增函数， 且 . 且4. 4-<0或0<4-, t的取值范围为：.解法二：若t=0,则F(x)=x+2在上没有零点.下面就t0时分三种情况讨论： 方程F(x)=0在上有重根x1=x2， 则=0，解得：t= 又x1=x2=，t=.F(x)在上只有一个零点，且不是方程的重根，则有F(-1)F(2)<0解得：t<-2或 t>1 又经检验：t=-2或t=1时，F(x)在上都有零点；t-2或 t1.方程F(x)=0在上有两个相异实根，则有：t>0 t<0 >0 >0 -1<

31、或 -1< 解得： F(-1)>0 F(-1)<0 F(2)>0 F(2)<0综合可知：t的取值范围为.来源：09年福建师大附中月考一题型：解答题，难度：较难解关于x的方程：loga(x2-x-2)=loga(x-)+1(a0且a1). 答案：解：原方程可化为loga(x2-x-2)=loga(ax-2)2分 4分由得x=a+1或x=0,当x=0时，原方程无意义，舍去.8分当x=a+1由得 10分a1时，原方程的解为x=a+112分来源：题型：解答题，难度：中档已知函数 （1）求函数的定义域；（2）若是两个膜长为2的向量a，b的夹角，且不等式对于定义域内的任意实数

32、x恒成立，求|a+b|的取值范围答案：（1）若原函数有意义，则故（2）因为故函数f（x）的最大值为恒成立，只需故故来源：1题型：解答题，难度：中档已知且,解关于的不等式.答案：原不等式等价于2分即4分8分当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.12分来源：题型：解答题，难度：较难已知函数f(x)是y=1(xR)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图形，记 F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的解析式及定义域;(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直.若存在，求出A，B坐标;若不存在，说明理由.答案

33、：.解: (1)由y=1，得:x=lg. f(x)=lg，由y=，得y+3=关于y=x1对称的曲线方程x1+3=，得y=g(x).4分F(x)=lg+，定义域(1，1).6分(2) 设F (x)上不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)连线与y轴垂直，设1x1x21，则有y1=y2，又y1y2=F(x1)F(x2)=lg+=lg()+. 10分由1x1x21，1，1，x1x20，(x1+2)(x2+2)0，lg(·)0，y1y2.不存在直线AB与y轴垂直. ( F(x)在(1，1)上单调递减) 14分来源：题型：解答题，难度：较难已知函数y=lg(x2+2x+a)（1）若函数定义

34、域为R，求a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求a的取值范围；（3）若函数的值域为0，+，求a的取值范围.答案：解：（1） （2） （3）来源：题型：解答题，难度：较难已知函数答案：首先由在1，上递增。若a1，则若得来源：09年甘肃兰州月考一题型：解答题，难度：中档已知定义在R上的偶函数y=在上单调递减，且，则满足<0的解集为_答案： 来源：09年浙江宁波市月考一题型：填空题，难度：中档设则_ 答案： 来源：09年山东潍坊市月考一题型：填空题，难度：中档已知集合，若则实数的取值范围是，其中_.答案：4【解析】由得，；由知，所以4。来源：09年高考江苏卷题型：填空题，难度：较难求值：_.（答案化为最简形式）答案：3来源：09年浙江杭州市月考二题型：填空题，难度：中档记的反函数为y=f -1(x)，则方程f -1(x)=8的解x=_.答案：2解法1由，得，即，于是由，解得解法2因为，所以来源：09年高考重庆卷题型：填空题，难度：中档函数y=log2(x23x+2)的递增区间为_.答案：(2,+ )来源：09年湖北宜昌月考一题型：填空题，难度：中档若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=_.答案：（-1，1）。由f(x)=可知>0，故-1<x<1，则a, b（-1，1）.由a, b（-1，1），得（-1，1），则f(a)+f(b)