第三章 随机过程

1、2022-4-1112022-4-112第三章 随机过程载有信息的信号是不可预测的，具有某种随机性。载有信息的信号是不可预测的，具有某种随机性。噪声干扰更是不可预测的。这些不可预测的信号噪声干扰更是不可预测的。这些不可预测的信号和噪声只能用随机过程描述。和噪声只能用随机过程描述。信源模型、信道特性已经在信息论中引入，本课信源模型、信道特性已经在信息论中引入，本课程主要用随机过程描述以及评估通信系统的性能。程主要用随机过程描述以及评估通信系统的性能。本章将扼要复习通信系统所必需的内容，即随机本章将扼要复习通信系统所必需的内容，即随机过程的基本概念、统计特性及其通过线性系统的过程的基本概念、统计特

2、性及其通过线性系统的分析方法。分析方法。2022-4-1133.1 随机过程的基本概念什么是随机过程？什么是随机过程？n随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：切的时间函数描述。可从两种不同角度看：角度角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。【例例】n台示波器同时观测并记录这台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形台接收机的输出噪声波形 n样本函数样本函数 i (t)：随机过程的一次：随机过程的一次实现实现，是确定的时间函数，是确定的时间函数n随机

3、过程：随机过程： (t) = 1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部样本函数的集合。是全部样本函数的集合。2022-4-1143.1 随机过程的基本概念角度角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。：随机过程是随机变量概念的延伸。n在任一给定时刻在任一给定时刻t1上，每一个样本函数上，每一个样本函数 i (t)都是一个确都是一个确定的数值定的数值 i (t1)，但是每个但是每个 i (t1)都是不可预知的。都是不可预知的。n在一个固定时刻在一个固定时刻t1上，不同样本的取值上，不同样本的取值 i (t1), i = 1, 2, , n是一个随机变量，记为是一个随机变量，记为 (t1)。

4、n换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。n因此，我们又可以把因此，我们又可以把随机过程随机过程看作是在时间进程中处于看作是在时间进程中处于不同时刻的不同时刻的随机变量的集合随机变量的集合。n这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。2022-4-1153.1.1 随机过程的分布函数设设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值的值 (t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。数或概率

5、密度函数来描述。随机过程随机过程 (t)的的一维分布函数一维分布函数：随机过程随机过程 (t)的的一维概率密度函数一维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。 )(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf仅仅描述了随仅仅描述了随机过程在各个机过程在各个孤立时刻上的孤立时刻上的统计特性，没统计特性，没有说明随机过有说明随机过程在不同时刻程在不同时刻取值之间的内取值之间的内在联系。在联系。2022-4-1163.1.1 随机过程的分布函数随机过程随机过程 (t) 的的二维分布函数二维分布函数：随机过程随机过程 (t)的的二维概率密度函数二维概率密度

6、函数：若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。 随机过程随机过程 (t) 的的n维分布函数维分布函数：随机过程随机过程 (t) 的的n维概率密度函数维概率密度函数：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，n越大，对越大，对随机过程统随机过程统计特性的描计特性的描述就越充分述就越充分2022-4-1173.1.2 随机过程的数字特征在

7、大多数情况下，用随机过程的数字特征来部分地描述随在大多数情况下，用随机过程的数字特征来部分地描述随机过程的主要特性：机过程的主要特性：1、均值（数学期望）、均值（数学期望）在任意给定时刻在任意给定时刻t1的取值的取值 (t1)是一个随机变量，其均值是一个随机变量，其均值式中式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函数的概率密度函数由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接写为直接写为t， x1改为改为x，这，这样上式就变为样上式就变为111111),()(dxtxfxtEdxtxxftE),()(12022-4-1183.1.2 随机过程的数字特征 (t)的均值是时

8、间的确定函数的均值是时间的确定函数，常记作，常记作a ( t )，它表示，它表示随机过程的随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心个样本函数曲线的摆动中心 :dxtxxftE),()(1a (t )2022-4-1193.1.2 随机过程的数字特征2 、方差、方差方差常记为方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻t1直接写成了直接写成了t 。 因为：因为：2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD均方值均方值均值平方均值平方所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随

9、机过程在时刻时刻 t 对于均值对于均值a ( t )的偏离程度。的偏离程度。2022-4-11103.1.2 随机过程的数字特征3、相关函数、相关函数式中，式中， (t1)和和 (t2)分别是在分别是在t1和和t2时刻观测得到的随机变时刻观测得到的随机变量。可以看出，量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量是两个变量t1和和t2的确定函数。的确定函数。4、协方差函数、协方差函数式中式中 a( t1 ) a( t2 ) 在在t1和和t2时刻得到的时刻得到的 (t)的均值的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二维概率密度函数。的二维概率密度函数。 2121212212121),

10、;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 衡量随机过程在任意两衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变个时刻上获得的随机变量之间的关联程度量之间的关联程度2022-4-11113.1.2 随机过程的数字特征 相关函数和协方差函数之间的关系相关函数和协方差函数之间的关系若若a(t1) = a(t2)=0，则，则B(t1, t2) = R(t1, t2)4、互相关函数、互相关函数 式中式中 (t)和和 (t)分别表示两个随机过程。分别表示两个随机过程。 因此

11、，因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。又称为自相关函数。 )()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR2022-4-11123.2 平稳随机过程3.2.1 平稳随机过程定义平稳随机过程定义n定义：定义：若一个随机过程若一个随机过程 (t)的任意有限维分布函数与的任意有限维分布函数与时间起点无关时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数和所有实数，有，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称程，简称严平稳随机过程严平稳随机过程。),(),(21212121nnn

12、nnntttxxxftttxxxf；2022-4-11133.2.1 平稳随机过程的定义性质：性质：平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间一维分布函数与时间t无关：无关：而二维分布函数只与时间间隔而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：有关：数字特征：数字特征：)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 2022-4-11143.2.1 平稳随机过程的定义结论

13、：平稳随机过程结论：平稳随机过程（1）其均值与其均值与t 无关，为常数无关，为常数a ；（2）自相关函数只与时间间隔自相关函数只与时间间隔 有关有关。把同时满足（把同时满足（1）和（）和（2）的过程定义为）的过程定义为广义平稳广义平稳随机过程随机过程。n显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。着很大的实际意义。 2022-4-11153.2.

14、2 各态历经性n问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试从一次试验而得到的一个样本函数验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数来决定平稳过程的数字特征呢字特征呢?n回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为一个

15、有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性各态历经性”（又称（又称“遍历性遍历性”）。）。具有各态历经性的过程，其具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替任一实现的时间平均值来代替。 n下面，我们来讨论各态历经性的条件。下面，我们来讨论各态历经性的条件。2022-4-11163.2.2 各态历经性各态历经性的条件：各态历经性的条件： 设：设：x(t)是平稳过程是平稳过程 (t)的任意一次实现（样本），的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：则其时间均值和时间相关函数分别定义为：

16、 2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立)()(RRaa则称该平稳过程具有则称该平稳过程具有各态历经性。各态历经性。2022-4-11173.2.2 各态历经性n“各态历经各态历经”的含义是：的含义是：随机过程中的任一次实随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考

17、察，用一次实现的察，用一次实现的“时间平均时间平均”值代替过程的值代替过程的“统计平均统计平均”值即可，从而使测量和计算的问值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。题大为简化。n具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。号和噪声，一般均能满足各态历经条件。2022-4-11183.2.2 各态历经性例例3-1 设一个随机相位的正弦波为设一个随机相位的正弦波为其中，其中，A和和 c均为常数；均为常数； 是在是在(0, 2)内均匀分布的随机内均匀

18、分布的随机变量。试讨论变量。试讨论 (t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。 【解解】(1)先求先求 (t)的统计平均值：的统计平均值：数学期望数学期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc2022-4-11193.2.2 各态历经性n自相关函数自相关函数n令令t2 t1 = ，得到，得到0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtA

19、tAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc可见，可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，无关，只与时间间隔只与时间间隔 有关，所以有关，所以 (t)是广义平稳过程。是广义平稳过程。2022-4-11203.2.2 各态历经性 (2) 求求 (t)的时间平均值的时间平均值220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa比较统计平均与时间平均，有比较统计平均与时间平均，

20、有因此，随机相位余弦波是各态历经的因此，随机相位余弦波是各态历经的。2022-4-11213.2.3 平稳过程的自相关函数n平稳过程自相关函数的定义：平稳过程自相关函数的定义：n平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质w (t)的平均功率的平均功率w 的偶函数的偶函数w R( )的上界的上界即自相关函数即自相关函数R( )在在 = 0有最大值。有最大值。w (t)的直流功率的直流功率w 表示平稳过程表示平稳过程 (t)的交流功率。的交流功率。当均值为当均值为0时，有时，有: R(0) = 2 。 )()0(2tER)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RR tt

21、ER证明：证明：E(t)(t+)202022-4-11223.2.3 平稳过程的功率谱密度定义：定义：n对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号f (t)，它的功率谱密度定义为，它的功率谱密度定义为式中，式中，FT ( f )是是f (t)的截短函数的截短函数fT (t) 所对应的频谱函数所对应的频谱函数TfFmi lfPTTf2)()(2022-4-11233.2.3 平稳过程的功率谱密度n对于平稳随机过程对于平稳随机过程 (t) ，可以把，可以把f (t)当作是当作是 (t)的一个样的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密

22、度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故均，故 (t)的功率谱密度可以定义为的功率谱密度可以定义为TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(上式给出了平稳过程上式给出了平稳过程 (t)的功率谱密度的功率谱密度P (f)定义，但直接定义，但直接用它来计算功率谱密度并不简单。用它来计算功率谱密度并不简单。2022-4-11243.2.3 平稳过程的功率谱密度功率谱密度的计算功率谱密度的计算n维纳维纳-辛钦关系辛钦关系非周期的功率型确知信号的非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换密

23、度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有：同样成立，即有：简记为简记为以上关系称为以上关系称为维纳维纳-辛钦辛钦关系。它在平稳随机过程关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式频域和时域两种分析方法的基本关系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR2022-4-11253.2.3 平稳过程的功率谱密度在维纳在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：n对功率谱密度进行积分，可得对功率谱密度进行

24、积分，可得平稳过程的总功率平稳过程的总功率：上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。n各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。好地表现整个过程的的谱特性。【证证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即自相关函数，即 两边取傅里叶变换：两边取傅里叶变换：即即式中式中 dffPR)()0()()(RR )()(RR

25、FF)()(fPfPf)()(fPR )(RfPf2022-4-11263.2.3 平稳过程的功率谱密度n功率谱密度功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有具有非负性和实偶性，即有和和这与这与R( )的实偶性相对应。的实偶性相对应。 0)(fP)()(fPfPTfFEmi lfPEfPTTf2)()()(2022-4-11273.2.3 平稳过程的功率谱密度n 例例3-2 3-2 求随机相位余弦波求随机相位余弦波 ( (t t) = ) = A Acos(cos( c ct t + + ) )的自的自相关函数和功率谱密度。相关函数和功率谱密度。【解解】在在 例例3-13-1中，我们已经

26、考察随机相位余弦波是一个中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为平稳过程，并且求出其相关函数为 因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有变换，即有 以及由于有以及由于有 所以，功率谱密度为所以，功率谱密度为 平均功率为平均功率为 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS2022-4-11283.3 高斯随机过程3.3.1 定义定义如果随机过程如果随机过程 (t)的任意的任意n维（维（n =1,2,.）分布均服从正）分布均服从正态分布，则

27、称它为正态过程或高斯过程。态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式为：维正态概率密度函数表示式为：正态随机过程正态随机过程njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；式中式中22)(),(kkkkkatEtEa2022-4-11293.3 高斯随机过程式中式中n n|B| 归一化协方差矩阵的行列式，即归一化协方差矩阵的行列式，即 n|B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子的代数余因子n bjk 为归一化协方差函数，即为归一化协方差函数，即 22)(),(kkkkkatE

28、tEa11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；2022-4-11303.3.2 高斯随机过程重要性质由高斯过程的定义式可以看出，由高斯过程的定义式可以看出，高斯过程的高斯过程的n维分布只依维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。广义平稳的高斯过程也是严平稳的广义平稳的高斯

29、过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。平稳的，则也严平稳。njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；2022-4-11313.3.2 高斯随机过程重要性质如果高斯过程在不同时刻的

30、取值是不相关的，那么它们也如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的是统计独立的证明：如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对证明：如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有所有j k，有，有bjk =0，则其概率密度可以简化为，则其概率密度可以简化为:高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程斯过程。),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(

31、2211nntxftxftxf2022-4-11323.3.3 高斯随机变量高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为 式中式中a 均值均值 2 方差方差曲线如右图：曲线如右图：221()( )exp22xaf x2022-4-11333.3.3 高斯随机变量性质性质nf (x)对称于直线对称于直线 x = a，即，即n a表示分布中心，表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着形将随着 的减小而变高和变窄。当的减小

32、而变高和变窄。当a = 0和和 = 1时，时，称为标准化的正态分布：称为标准化的正态分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21( )exp22xf x2022-4-11343.3.3 高斯随机变量正态分布函数正态分布函数这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：数，用查表的方法求出：用误差函数用误差函数 erf (x) 表示正态分布函数：令表示正态分布函数：令 则有则有 及及 式中式中: 误差函数，可以查表求出其值。误差函数，可以查表求出其值。221()( )()exp22xzaF xPx

33、dz2/ )(aztdtdz22() /2( )22121122xatF xedtxaerf202( )xterf xedt20011;aatedt2022-4-11353.3.3 高斯随机变量用互补误差函数用互补误差函数 erfc (x) 表示正态分布函数：表示正态分布函数：式中：式中：当当x 2时，时，2211)(axerfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt 21( )xerfc xex22() /2() /21212( )(1)22xattxaF xedte2022-4-11363.3.3 高斯随机变量nQ函数定义：函数定义：nQ函数和函数和 erfc 函数的关系：

34、函数的关系：nQ函数和分布函数函数和分布函数F(x)的关系：的关系：nQ函数值也可以从查表得到。函数值也可以从查表得到。2/21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(22( )1( )txerfc xerf xedt 2022-4-11373.4 平稳随机过程通过线性系统确知信号通过线性系统：确知信号通过线性系统：式中式中 vi 输入信号，输入信号， vo 输出信号输出信号对应的傅里叶变换关系：对应的傅里叶变换关系：随机信号通过线性系统：随机信号通过线性系统：n其中：其中： i(t) 是平稳的输入随机过程，是平稳的输入随机

35、过程，求输出过程求输出过程 o(t)的统计特性，即它的均值的统计特性，即它的均值a 、自相关函、自相关函数数Ri( ) 、功率谱、功率谱Pi( )以及概率分布。以及概率分布。dtvhtvthtvii)()()()()(0)f ()f ()f (0iVHVdthti)()()(0随机过程通过线性系统的分析，建立在确知信号通过线性系统随机过程通过线性系统的分析，建立在确知信号通过线性系统的分析基础之上的。的分析基础之上的。2022-4-11383.4 平稳随机过程通过线性系统1 1、输出过程的均值、输出过程的均值 对下式两边取统计平均：对下式两边取统计平均： 得到得到 设输入过程是平稳的，则有设输

36、入过程是平稳的，则有 式中，式中，H(0)H(0)是线性系统在是线性系统在f=0f=0处的频率响应，因此，输出过处的频率响应，因此，输出过程的均值是一个常数。程的均值是一个常数。dthti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatE2022-4-11393.4 平稳随机过程通过线性系统2 2、输出过程的自相关函数、输出过程的自相关函数 根据自相关函数的定义根据自相关函数的定义 根据输入过程的平稳性，有根据输入过程的平稳性，有 于是于是 上式表明，上式表明，输出过程的自相关函数仅是时间间隔输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数

37、的函数。 由上两式可知，由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的平稳的。ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 2022-4-11403.4 平稳随机过程通过线性系统3 3、输出过程的功率谱密度、输出过程的功率谱密度 对式对式 进行傅里叶变换进行傅里叶变换 令令 = + - ，代入上式，得到，代入上式，得到即即)()()()(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00

38、deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。系统频率响应模值的平方。应用：由应用：由Po( f )的反傅里叶变换求的反傅里叶变换求Ro( ) 2022-4-11413.4 平稳随机过程通过线性系统4、输出过程的概率分布、输出过程的概率分布如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。出过程也是高斯型的。 因为从积分原

39、理看：因为从积分原理看： 可以表示为：可以表示为：由于已假设由于已假设 i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个论理论得知，这个“和和” 也是高斯随机变量，因而输出过也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。程也为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了

40、。了。kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(02022-4-11423.5 窄带随机过程什么是窄带随机过程？什么是窄带随机过程？ 若随机过程若随机过程 (t)的谱密度集中在中心频率的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频附近相对窄的频带范围带范围 f 内，即满足：内，即满足： f fc 的条件，且的条件，且 fc 远离零频远离零频率，则称该率，则称该 (t)为窄带随机过程。为窄带随机过程。窄带随机过程的表示式窄带随机过程的表示式式中，式中，a a (t) (t) 随机包络，随机包络， ( (t t) ) 随机相位随机相位 c c 中心角频率中心角频率0)(,)(cos

41、)()(tatttatc2022-4-11433.5 窄带随机过程典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数 0)(,)(cos)()(tatttatc显然显然a (t)和和 (t)的变化相对于载波的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多。的变化要缓慢得多。2022-4-11443.5 窄带随机过程窄带随机过程表示式展开窄带随机过程表示式展开可以展开为可以展开为式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttat

42、s 可以看出：可以看出： (t)的统计特性由的统计特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特性确的统计特性确定。定。 若若 (t)的统计特性已知，则的统计特性已知，则a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统的统计特性也随之确定。计特性也随之确定。 2022-4-11453.5.1 c(t)和s(t)的统计特性数学期望：数学期望：对下式求数学期望：对下式求数学期望：得到：得到： 因为因为 (t)平稳且均值为零，故对于任意的时间平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都，都有有E (t) = 0 ，所以，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEt

43、csccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，假设假设 (t)是一个平稳高斯窄带过程是一个平稳高斯窄带过程2022-4-11463.5.1 c(t)和s(t)的统计特性自相关函数自相关函数 由自相关函数的定义式由自相关函数的定义式式中：式中：因为因为 (t)是平稳的，故有：是平稳的，故有：可以证明：可以证明：)()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRt

44、tEttRssscsscsccsccc)(),(RttRccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(若窄带过程若窄带过程 (t)是平稳的，则是平稳的，则 c(t)和和 s(t)也也必然是平稳的。必然是平稳的。t=0t=/(2c)ccsccttRttRRsin),(cos),()(csccsttRttRRsin),(cos),()(tttttcsccsin)(cos)()(2022-4-11473.5.1 c(t)和s(t)的统计特性进一步分析以下两式进一步分析以下两式应同时成立，故有应同时成立，故有 同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)

45、具有相同的自相关函数。具有相同的自相关函数。根据互相关函数的性质，应有根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到代入上式，得到上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函数，所以的奇函数，所以同理可证同理可证 ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR2022-4-11483.5.1 c(t)和s(t)的统计特性在在 中中令令 0 并利用并利用 可得：可得：即即上式表明：上式表明： (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差。具有相同的平均功率

46、或方差。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(csR)0()0()0(scRRR222sc2022-4-11493.5.1 c(t)和s(t)的统计特性根据平稳性，过程的特性与变量根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式无关，故由式 得到得到因为因为 (t)是高斯过程是高斯过程，所以，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯随一定是高斯随机变量，从而机变量，从而 c(t) 、 s(t)也是高斯过程也是高斯过程。根据根据可知，可知， c(t) 与与 s(t)在在 = 0处互不相关，又由于它们是高处互不相关，又由于它们是高斯型的

47、，因此斯型的，因此 c(t) 与与 s(t)也是统计独立的也是统计独立的。 tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc时)()(,2222ttttsc时0)0(csR2022-4-11503.5.1 c(t)和s(t)的统计特性n结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程：一个均值为零的窄带平稳高斯过程 (t) ，它的同相分量它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同样是平稳同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的在同一时刻上得到的 c和和 s是互不相关的或统是互不相关的或统计独立的。计独

48、立的。2022-4-11513.5.2 a(t)和(t)的统计特性联合概率密度函数联合概率密度函数f (a , )由上面可得：由上面可得：根据概率论知识有：根据概率论知识有：由由可以求得：可以求得：),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos则：则： 式中：式中：a a 0, 0, = (0 , 2 = (0 , 2) )22222)sin()cos(exp2),(),(aaafaafsc2222exp2aa 22222exp21),(scscscfff2022-4-11523.5.2 a(t)和(t)的统计特性a 的

49、一维概率密度函数的一维概率密度函数 可见，可见， a 服从瑞利服从瑞利(Rayleigh)分布。分布。 的一维概率密度函数的一维概率密度函数 可见，可见， 服从均匀分布。服从均匀分布。202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa20212exp21),()(02220daaadaaff2022-4-11533.5.2 a(t)和(t)的统计特性结论结论一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为 2的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程 (t)，其包络，其包络a (t)的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是瑞利分布，相位 (t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而的一维分布

50、是均匀分布，并且就一维分布而言，言， a (t)与与 (t)是统计独立的是统计独立的 ，即有，即有 )()(),(fafaf2022-4-11543.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声的混合信号为：正弦波加窄带高斯噪声的混合信号为：式中：式中： 窄带高斯噪声窄带高斯噪声 正弦波的随机相位，均匀分布在正弦波的随机相位，均匀分布在02 间间 A和和 c 确知振幅和角频率确知振幅和角频率于是有于是有式中式中)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()()(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnA

51、trccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss2022-4-11553.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式包络：包络：相位：相位：我们最为关心的是我们最为关心的是r(t)的包络和相位的统计特性的包络和相位的统计特性0,)()()(22ztztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcs2022-4-11563.6 正弦波加窄带高斯噪声包络的概率密度函数包络的概率密度函数 f (z)利用上一节的结果，如果利用上一节的结果，如果 值已给定，则值已给定，则zc、zs是相互独立是相互独立的高斯随机

52、变量的高斯随机变量，且有：，且有： 所以，在给定相位所以，在给定相位 的条件下的的条件下的zc和和zs的联合概率密度函的联合概率密度函数为数为222sincosnscscAzEAzE2222)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnsc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss2022-4-11573.6 正弦波加窄带高斯噪声 利用与上一节分析利用与上一节分析a 和和 相似的方法，根据相似的方法，根据zc，zs与与z， 之之间的随机变量关系间的随机变量关系可以求得在给定相位可以求得在给定相位 的条件下的的条件下的z与与 的联合概率密度函数的联合概率密度函数然

53、后求给定条件下的边界分布，然后求给定条件下的边界分布， 即即sincoszzzzsc)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz)cos(221exp22222AzAzznndAzAzzdzfzfnnn)cos(exp2exp2)/,()/(2202222202022-4-11583.6 正弦波加窄带高斯噪声由于由于故有故有式中：式中：I0(x) 第一类零阶修正贝塞尔函数第一类零阶修正贝塞尔函数因此因此由上式可见，由上式可见，f ( , z)与与 无关，故包络无关，故包络z的概率密度函数为的概率密度函数为 称为称为广义瑞利分布广义瑞利分布，又称，又称莱斯莱斯（Ric

54、e）分布。）分布。 )(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn2022-4-11593.6 正弦波加窄带高斯噪声0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn讨论讨论n当信号很小时，即当信号很小时，即A 0时，上式中时，上式中(Az/ n2)很小，很小，wI0 (Az/ n2) 1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。n当当(Az/ n2)很大时，有很大时，有w这时上式近似为高斯分布，即这时上式近似为高斯分布，即xexIx2)(0222)(exp21)(nnAzzf2022-4-11603.6 正弦波加窄带高斯噪声n包络概率密度函数包络概率密度函数 f (z)曲线曲线2022-4-116