习题解答-现控理论-第2章

1、精选优质文档-倾情为你奉上习题解答2-1 如题图2-1所示为RLC电路网络,其中为输入电压,安培表的指示电流为输出量。试列写状态空间模型。题图2-1解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.(2) 在这个电路中,只要给定了储能R元件电感L和电容C上的iL和UC的初始值,以及t³t0时刻后的输入量Ui(t),则电路中各部分的电压、电流在t³t0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,iL和UC可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选iL和为UC状态变量,即x1(t)=iL, x2(t)=uC(3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有

2、经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组-状态方程(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式2-2 如题图2-2所示为RLC电路网络,其中为输入电压,为输出电压。试列写状态空间模型。 专心-专注-专业 题图2-2解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数.对本题x1(t)=iL, x2(t)=uC(3) 将状态变量代入电压电流的关系式,经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微

3、分方程组-状态方程(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式2-3 设有一个弹簧-质量-阻尼器系统,安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。u和y为分别为小车和质量体的位移,k、b和m分别为弹簧弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量体质量阻尼器。试建立u为输入,y为输出的状态空间模型。题图2-3解：下面推导安装在小车上的弹簧质量阻尼器系统的数学模型。假设时小车静止不动,并且安装在小车上面的弹簧质量阻尼器系统这时也处于静止状态(平衡状态)。在这个系统中,是小车的位移,并且是系统的输入量。当时,小车以

4、定常速度运动,即。质量的位移为输出量（该位移是相对于地面的位移）。在此系统中,表示质量,表示黏性摩擦系数,表示弹簧刚度。假设阻尼器的摩擦力与成正比,并且假设弹簧为线性弹簧,即弹簧力与成正比。对于平移系统,牛顿第二定律可以表示为：式中,为质量,为质量加速度,为沿着加速度的方向并作用在该质量上的外力之和。对该系统应用牛顿第二定律,并且不计小车的质量,我们得到：即： 这个方程就是该系统的数学模型。对这个方程进行拉普拉斯变换,并且令初始条件等于零,得到：取之比,求得系统的传递函数为：下面我们来求这个系统的状态空间模型。首先将该系统的微分方程与下列标准形式比较： 得到：, , , , 即而得到： 并定义

5、：可得到： 输出方程为：即：2-4 题图2-4为登月舱在月球软着陆的示意图。其中,m为登月舱质量,g为月球表面重力常数,项为反向推力,k为常数,y为登月舱相对于地球表面着陆点的距离。现指定状态变量组,输入变量 ,试列出系统的状态方程。 题图2-4解：本题属于由物理系统建立状态空间描述的基本题。对给定力学系统,储能元件质量的相应变量即位置、速度和质量（本题中他也是随时间改变的）,可被取为状态变量组 。基此,利用力学定律并考虑到输入变量,先来导出在将此方程组表为向量方程,就得到系统的状态方程：且由状态方程形式可以看出,给定力学系统为非线性系统。2-5某磁场控制的直流电动机的简化原理图如题图2-5所

6、示,其中电动机轴上的负载为阻尼摩擦,其摩擦系数为f;电动机轴上的转动惯量为J。设输入为电枢电压ua和激磁电压uf,输出为电机转角,试列出系统的状态空间模型。题图2-5解 设电动机的铁芯工作在非饱和区。分析题图2-5所描述的电动机转速控制系统,可以写出电动机的主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动方程为式中,Ea和M分别为如下电动机电枢电势和电动机转矩,且, 式中,Ce和Cm分别为电动机的电枢电势常数和转矩常数；F为磁场的磁通量，其正比于励磁回路电流if；ke和km分别为比例常数。因此,主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动可记为 (2-13)对于上述微分方程组,若已知电枢电流if(t)、角位移(t

7、)及其导数在初始时刻t0的值,以及电枢电压ua和励磁回路电压uf,则方程组有惟一解。因此,可以选择状态变量为因此,由微分方程组(2-13)可得系统的状态方程为输出方程为y=x2由上述状态方程和输出方程可得系统的非线性状态空间模型为2-6 题图2-6为一化学反应器,它是一个均匀、连续流动单元,其中发生如下反应速率常数为k的一级吸热反应AkB该化工反应生产过程为:温度为常量f,含A物质浓度为常量CAf的料液以Q(t)的流量进入反应器;假定流出的液体的流量也为Q(t),保持单元内液体体积为V;为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为q(t)。试以料液的流量Q(t)和蒸汽加

8、热量q(t)为输入,容器内的液体的温度(t)和物质B的浓度CB(t)为输出,建立状态空间模型。 题图2-6参见2.2小节例题2-7. 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。(1) (2) (3) 解 (1) 由所求的系统输入输出方程,有a1=2, a2=6, a3=3, b=5当选择输出y及其1阶、2阶导数为状态变量时,可得状态空间模型为(2) 先将方程变换成y的首项的系数为1,对方程两边除以2，得由所求的系统输入输出方程,有a1=0, a2=0, a3=-3/2, b0=1/2, b1=0, b2=0, b3=-1/2, 故由式(2-17)可得因此,当选择状态变量时,可写出状态空间模型为

9、(3) 由所求的系统输入输出方程,有a1=4, a2=5, a3=2, b0=2, b1=1, b2=1, b3=2, 故由式(2-17)可得因此,当选择状态变量时,可写出状态空间模型为2-8将下列传递函数转换为状态空间模型(1) (2) (3) 解 (1) 由系统特征多项式,可求得系统的极点为s1=-1, s2=-2, s3=-3于是有其中,故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为(2) 对本题，先用长除法求出严格真有理函数如下由系统特征多项式,可求得系统的极点为s1=-2, s2=-3于是有其中,故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯

10、性环节的输出,则可得状态空间模型为(3) 由系统特征多项式,可求得系统的极点为s1=s2=-3, s3=-1于是有其中故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得状态空间模型为2-9 试求题图2-9所示系统的模拟结构图,并建立其状态空间模型。题图2-9解： 系统方框图变换成： 则状态空间表达式中： , , 2-10 给定题图2-10所示的一个系统方框图,输入变量和输出变量分别为,试列出系统的一个状态空间模型。题图2-10解：首先,定出状态方程。对此,需将给定方块图化为图示规范方块图,并按图中所示把每个一阶环节的输出取为状态变量。进而,利用每个环节的因果关系,可以导出

11、变换域变量关系式：基此,可以导出变换域状态变量方程：将上述关系式组取拉普拉斯反变换,并运用,就定义此方块图的状态变量方程：再将上述方程组表为向量方程,得到此方块图的状态方程：进而,定出输出方程。对此,由方块图中相应环节显示的因果关系,可直接导出此方块图的输出方程：2-11已知系统的状态空间模型为现用=Px进行状态变换,其变换矩阵为试写出状态变换后的状态方程和输出方程。解 本题的线性变换为=Px ，因此相应的各个矩阵的变换公式为P的逆矩阵为因此有 故系统在新的状态变量下的状态空间模型为2-12 求下列各方阵A的特征值、特征向量和广义特征向量。(1) (2) (3) (4) 解 (1) 由特征方程

12、|I-A|=0可求得系统的特征值为1=1, 2=2计算对应于1=1的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0将A、1和v1代入上式,有该方程组有无穷组解。由于 n-rank(l1I-A)=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为令v11=1, 可得如下独立的特征向量再计算对应于重特征值2= 2的特征向量。按定义有(2I-A)v2=0将A、2和v2代入上式,有由于 n-rank(l2I-A)=1,该方程组有特征向量解空间为1维,其通解式为因此,令v22=1,解之得(2) 由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=2=-1, 3=5即-1为系统的二重特征值,其代数重数为2。计算对应于二重特征值-

13、1的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0将A、1和v1代入上式,有由于 n-rank(l1I-A)=2,该方程组有特征向量解空间为2维,故特征向量解空间为2维,独立的特征向量数为2。解该方程,可得特征向量的通解式为因此,令v11=1,v12=0或1,解之得 和 即重特征值2有两个线性独立的特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。 再计算对应于重特征值3=5的特征向量。按定义有(3I-A)v2=0将A、3和v3代入上式,有该方程组有无穷组解。由于 n-rank(l1I-A)=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为令v31=1, 可得如下独立的特征向量(4) 由特征方程|I-A|=0可求得系统的

14、特征值为1=2=1, 3=2由于矩阵为友矩阵，因此对应于1=2=1的特征向量和广义特征向量分别为对应于3=2的特征向量和广义特征向量分别为(4) 由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=2=3=-2由于矩阵为友矩阵，因此对应于1=2=3=-2的特征向量和广义特征向量分别为2-13 试将下列状态方程变换为约旦规范形(对角线规范形)(1) (2) 解 (1) 先求A的特征值。由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=-1, 2=1, 3=2求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值1,2,和3所对应的特征向量分别为p1=0 1 -1t , p2=1 0 1t , p3=-1 0

15、 0t取系统的特征向量组成线性变换矩阵P并求逆矩阵P-1,即有计算、和 故系统在新的状态变量下的状态空间模型为 (2) 先求A的特征值。由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=-1, 2=1, 3=2求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值1,2,和3所对应的特征向量分别为p1=-4 -3 -2t , p2=3 2 1t , p3=2 1 1t取系统的特征向量组成线性变换矩阵P并求逆矩阵P-1,即有计算、 故系统在新的状态变量下的状态空间模型为2-14状态空间模型为(1) 画出其模拟结构图;(2) 求系统的传递函数。解：(i) 系统的模拟结构图如下： (ii) 传递函数由下式给出： 对于该问题,矩阵A,B,C和D为： , , , 因此： 2-15 已知两系统的传递函数阵分别为, 试求两子系统串联联结和并联联结时,系统的传递函数阵。解： 串联联结时, 并联联结时, 2-16 给定题图2-16所示的动态输出反馈系统,其中,试定出反馈系统的传递